# Bucle (àlgebra)

En matemàtiques, un bucle o llaç és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna amb element neutre i on tot element té un element invers. Un bucle és doncs, un magma amb divisibilitat i element neutre.
Amb altres paraules, $(E,\star ,e)$ és un bucle si:
* $\forall (x,y):E^{2},\ x\star y\in E$ (llei de composició interna).
* $\forall x:E,\exists _{1}e:E,\ x\star e=e\star x=x$ (element neutre). Noteu que l'element neutre és únic i bilàter.
* $\forall x:E\ \ \exists x^{\lambda },x^{\rho }:E\ \ x^{\lambda }\star x=e=x\star x^{\rho }$ (existència d'element simètric). Per a cada x existeix un únic element simètric per l'esquerra, $x^{\lambda }$, i un únic element simètric per la dreta, $x^{\rho }$. Noteu que el simètric per l'esquerra pot ser diferent al simètric per la dreta.
Si el bucle és associatiu aleshores queda garantit que $x^{\lambda }=x^{\rho }$, i l'element simètric és bilàter i únic per a cada x, amb la qual cosa tenim un grup.

## Exemples

* Els nombres enters amb la subtracció són un bucle.
* Els nombres racionals diferents de zero (ℚ$^*$) amb la divisió són un bucle.
* Els nombres reals diferents de zero (ℝ$^*$) amb la divisió són un bucle.
* Sigui S un conjunt amb els següents elements $S=\{a,b,c,d,e,f\}$ i sigui $\otimes$ una operació interna en S. A la taula següent es mostren els resultats d’operar tots els elements entre ells amb $\otimes$, on la primera fila representa l'operand per l'esquerra i la primera columna l'operand per la dreta:
| $\otimes$ | a | b | c | d | e | f |
| a | b | d | e | c | f | a |
| b | e | a | d | f | c | b |
| c | d | e | f | b | a | c |
| d | c | f | a | e | b | d |
| e | f | c | b | a | d | e |
| f | a | b | c | d | e | f |
El conjunt S amb aquesta operació són un bucle:

### L'operació és una llei de composició interna

Tots els elements d'arribada són també elements en S.

### Existeix un element neutre

L'element neutre del conjunt és f, ja que per a qualsevol element n del conjunt es compleix que $n\otimes f=f\otimes n=n$.

### Existeix un element invers per a tots els elements del conjunt

L’element invers i és aquell element el qual, sent operat per l’esquerra i per la dreta amb un element qualsevol n dins de S, dona com a resultat l’element neutre, que en el cas d'aquest conjunt és f. Com es pot apreciar a la taula, tots els elements del conjunt tenen un invers per les dues bandes.

### L'operació no és associativa en el conjunt

Això es pot verificar amb el següent exemple: $a\otimes (b\otimes c)\neq (a\otimes b)\otimes c$. Al costat esquerre es té, per una banda, que el resultat d'operar b amb c és e i que $a\otimes e=f$. Al costat dret, per altra banda, es té que $a\otimes b=e$ i que $e\otimes c=a$. Per tant, aquesta operació no és associativa en S.

### La divisió és sempre possible

Ja que, per a dos elements n i m qualssevol en S, es compleix que existeix un divisor x per l’esquerra i un divisor y per la dreta tals que $x\otimes n=n\otimes y=m$. Podem comprovar que la divisió és sempre possible verificant que totes les files i columnes tinguin els sis elements del conjunt sense repetir-se, ja que això indica que es pot obtenir qualsevol element m operant qualsevol n del conjunt amb un divisor per l’esquerra i altre per la dreta.

## Vegeu també

* Grup, bucle amb associativitat.
* Quasigrup, bucle sense element neutre.

## Bibliografia

* Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francès). París: Hermann, 1970.
* Weisstein, Eric W. «Loop» (en anglès). MathWorld. Wolfram Research, Inc.. Arxivat de l'original el 2 de desembre 2013. [Consulta: 27 novembre 2013].
* Albert, A. A.. Studies in Modern Algebra (en anglès). Washington, DC: Associació Americana de Matemàtiques, 1963.
Viccionari