# Distribució de Cauchy

En Probabilitat i Estadística, la distribució de Cauchy és una distribució de probabilitat de tipus continu. És una distribució $t$ de Student amb un grau de llibertat i també és la distribució del quocient de dues variables normals estàndard independents. La seva funció de densitat té una forma de campana molt semblant a la d'una distribució normal, però amb les cues més pesades, i no té esperança ni variància. S'utilitza molt en diversos camps de la física o l'economia com una alternativa a la distribució normal quan hi ha observacions atípiques.
En Física també se l'anomena distribució de Cauchy-Lorentz, o distribució lorentziana, o (la funció de densitat) funció lorentziana, en honor al físic holandès Hendrik Lorentz que la va utilitzar en els seus treballs. També és coneguda com a distribució de Breit-Wigner

## Definició

La distribució de Cauchy amb paràmetre de posició $\ x_{0}\in \mathbb {R}$ i paràmetre d'escala $\gamma >0$, que es denota per ${\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$ o ${\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )$ , està definida per la funció de densitat $f_{x_{0},\gamma }(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {\gamma }{\gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}}={\frac {1}{\pi \,\gamma }}\,{\frac {1}{1+{\Big{\dfrac {x-x_{0}}{\gamma }}{\Big )}^{2}}},\quad x\in \mathbb {R} .\qquad \qquad (1)$
Quan $x_{0}=0$, es diu que és una distribució de Cauchy simètrica o centrada en l'origen, i quan $x_{0}=0$ i $\gamma =1$ que és una distribució de Cauchy estàndard. En aquest darrer cas, escriurem la funció de densitat $f$ en lloc de $f_{0,1}$: $f(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {1}{1+x^{2}}}.\qquad \qquad (2)$Aquesta funció de densitat coincideix amb la densitat d'una distribució $t$ de Student amb un grau de llibertat, $t(1)$. Si $X\sim {\mathcal {C}}(0,1)$ i $\ x_{0}\in \mathbb {R}$ i $\gamma >0$, llavors, per la fórmula del canvi de variables, $Y=x_{0}+\gamma X\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma ).$Recíprocament, si $V\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$, llavors, $(V-x_{0})/\gamma \sim {\mathcal {C}}(0,1)$; però cal notar que aquesta estandarització no s'ha fet amb la mitjana i la desviació típica (que en el cas de la distribució de Cauchy no existeixen, com veurem més endavant) sinó amb els paràmetres de posició i escala.
La funció de distribució és $F_{x_{0},\gamma }(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan {\Big{\frac {x-x_{0}}{\gamma }}{\Big )}+{\frac {1}{2}},\quad x\in \mathbb {R} .$

### Propietats de la funció de densitat

El màxim de la funció de densitat es troba en el punt $x_{0}$, que és també el valor de la mediana i la moda. Els quartils 1r. i 3r., són $Q_{1}=x_{0}-\gamma$ i $Q_{3}=x_{0}+\gamma$. Per tant, el rang interquartil és $Q_{3}-Q_{1}=\gamma$.

### Comparació amb la distribució normal

Anem a comparar una distribució de Cauchy amb la distribució normal estàndard. Per tal que el valor màxim d'ambdues funcions de densitat coincideixi, considerarem la distribució de Cauchy amb paràmetre d'escala $\gamma ={\sqrt {2/\pi }}\approx 0.798$. Siguin $X\sim {\mathcal {C}}(0,{\sqrt {2/\pi }})$ i $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$. Designem per $f_{X}(x)$ i $f_{Z}(x)$ les seves funcions de densitat respectivament, vegeu la Figura 1.
Com es veu al gràfic, la distribució normal dona més probabilitat (més àrea entre la corba i l'eix d'abscisses) a la part propera a 0, mentre que la Cauchy en dona més als valors grans (positius o negatius). Per exemple, $P(-1'5\leq Z\leq 1'5)=0'87\quad {\text{i}}\quad P(-1'5\leq X\leq 1'5)=0'69.$
Per als valors grans, notem que les dues funcions de densitat es tallen als punts $\alpha \approx \pm 1'99$; per a $\vert x\vert >\alpha$, tenim que $f_{X}(x)>f_{Z}(x),$ la qual cosa implica que $P(X>t)\geq P(Z>t),\quad {\text{per a qualsevol }}t>\alpha .$Per exemple, $P(X>2'2)=0'111\quad {\text{i}}\quad P(Z>2'2)=0'014.$Es diu que la distribució de Cauchy té les cues més pesades que la distribució normal. Vegeu també la pàgina distribució amb cues pesades.

### Representacions de la distribució de Cauchy

Hem comentat que una distribució de Cauchy estàndard coincideix amb una distribució $t$ de Student amb un grau de llibertat. En conseqüència, de la definició d'aquesta última distribució, si $Z_{1}$ i $Z_{2}$ són dues variables normals estàndard independents, llavors ${\frac {Z_{1}}{\vert Z_{2}\vert }}\sim {\mathcal {C}}(0,1).$Però també tenim que ${\frac {Z_{1}}{Z_{2}}}\sim {\mathcal {C}}(0,1).$Aquesta propietat pot demostrar-se mitjançant la transformació $(Z_{1},Z_{2})\longrightarrow ({\frac {Z_{1}}{Z_{2}}},Z_{2})$ (vegeu la fórmula de canvi de variables per a vectors aleatoris) i calculant la funció de densitat marginal de $Z_{1}/Z_{2}$; vegeu Severini pels detalls.

### Un exemple de la distribució de Cauchy

Aquest exemple és de Feller. Des del punt $P$ (vegeu la Figura 2) s'emet un raig de llum sobre una línia vertical (línia vermella) amb un angle $\theta$ (positiu o negatiu) respecte la línia horitzontal $PO$. El raig toca la línia vertical en el punt $A$. Designem per $d$ la distància entre els punts $P$ i $O$ i per $X$ la distància (positiva o negativa) entre els punts $O$ i $A$. Si l'angle $\theta$ s'escull a l'atzar uniformement en $(-\pi /2,\pi /2)$ , llavors $X$ té una distribució de Cauchy amb paràmetre d'escala $d$, $X\sim {\mathcal {C}}(0,d)$.
Per provar aquesta afirmació es considera l'aplicació bijectiva $(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R}$ donada per $x=d\,\tan \theta$ i s'aplica la fórmula del canvi de variables per a variables aleatòries amb densitat.

## Moments de la distribució de Cauchy
### La distribució de Cauchy no té esperança

Anem a argumentar que la distribució de Cauchy no té esperança . N'hi ha prou amb considerar una distribució de Cauchy estàndard. Per calcular l'esperança hem de calcular la integral impròpia$\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx$, on $f(x)$ és la funció de densitat (2). Si bé la funció $xf(x)$ va a zero quan $x\to \pm \infty$, ho fa molt lentament i l'àrea entre la part positiva de l'eix d'abscisses i la corba és $\infty$, vegeu la figura 3; formalment,
$\int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{\pi }}\lim _{c\to \infty }\int _{0}^{c}{\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2\pi }}\lim _{c\to \infty }\ln(1+x^{2})=\infty .$Anàlogament, l'àrea entre la part negativa de l'eix d'abscisses i la corba és infinita: $\int _{-\infty }^{0}xf(x)\,dx=-\infty .$Aleshores, al calcular$\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{-\infty }^{0}xf(x)\,dx+\int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx,$s'obté una indeterminació del tipus $\infty -\infty$. Cal notar, que la condició formal per tal que existeixi l'esperança és $\int _{-\infty }^{\infty }\vert x\vert f(x)\,dx<\infty$, i que no es compleix ja que, $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\vert x\vert }{1+x^{2}}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=\infty .$

### La distribució de Cauchy no té moments de cap ordre n ≥ 1

Sigui $X\sim {\mathcal {C}}(0,1)$. Hem vist a l'apartat anterior que $E{\big\vert X\vert {\big ]}=\infty .$d'aquí es dedueix que per a qualsevol $n\geq 1$ , $E{\big\vert X\vert ^{n}{\big ]}=\infty$ . En efecte, per a qualsevol número real $a\geq 0$ i qualsevol nombre natural $n\geq 1$ tenim que $a^{n}\leq a^{n+1}+1,$ ja que si $0\leq a\leq 1$, llavors $a^{n}\leq 1$; i si $a>1$, llavors $a^{n}\leq a^{n+1}$. Per tant, $\vert X\vert ^{n}\leq \vert X\vert ^{n+1}+1.$Llavors, $E[\vert X\vert ^{n}]=\infty \quad \Longrightarrow \quad E[\vert X\vert ^{n+1}]=\infty .$

### Funció generatriu de moments

La distribució de Cauchy no té funció generatriu de moments, ja que no té moments de cap ordre.

### La distribució de Cauchy té moments absoluts d'ordre menor que 1

Sigui $X\sim {\mathcal {C}}(0,1)$. Aleshores per a $r\in (-1,1)$, $E{\big\vert X\vert ^{r}{\big ]}={\frac {1}{\cos(\pi r/2)}}.$Aquesta propietat es demostra de la següent manera:$E{\big\vert X\vert ^{r}{\big ]}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\vert x\vert ^{r}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{r}}{1+x^{2}}}\,dx.$Ara es fa el canvi $1+x^{2}=1/u$, amb la qual cosa s'obté una integral del tipus funció beta, i l'expressió de la dreta dona $\pi \,\mathrm {B} ((1-r)/2,(1+r)/2)$. Finalment s'aplica la següent identitat per a la funció beta (que és una conseqüència de la fórmula de reflexió de la funció gamma) $\mathrm {B} (z,1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}},\quad z\not \in \mathbb {Z} .$
Observació. Per a $r\in (-1,0)$, $E{\big\vert X\vert ^{r}{\big ]}$ s'anomena moment absolut d'ordre negatiu $r$.

## Funció característica i aplicacions

Sigui $X\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$. Llavors la seva funció característica és$\varphi (t)=E{\bige^{itX}{\big ]}=e^{ix_{0}t-\gamma \vert t\vert },\quad t\in \mathbb {R} .\qquad \qquad (3)$Vegeu la pàgina funció característica per al seu càlcul.

### Suma de variables de Cauchy independents

De la forma de la funció característica és dedueix que si $X_{1}\sim {\mathcal {C}}(x_{1},\gamma _{1}),\dots ,X_{n}\sim {\mathcal {C}}(x_{n},\gamma _{n})$ independents, i $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ , llavors$a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}\sim {\mathcal {C}}{\big\sum _{j=1}^{n}a_{j}x_{j},\,\sum _{j=1}^{n}\vert a_{j}\vert \gamma _{j}{\big )}.\qquad \qquad (4)$

### La distribució de Cauchy és estable

Recordem que una variable aleatòria no degenerada $X$ és diu que és estable (o que la seva distribució és estable) si per a qualsevol número natural $n\geq 1$ i $X_{1},\dots ,X_{n}$ independents amb la mateixa distribució que $X$, existeixen números $a_{n}>0$ i $b_{n}\in \mathbb {R}$ tals que $X_{1}+\cdots +X_{n}\ {\overset {\mathcal {D}}{=}}\ a_{n}X+b_{n},\qquad \qquad (*)$ on ${\overset {\mathcal {D}}{=}}$ indica la igualtat en distribució o llei. Si la relació anterior es compleix amb $b_{n}=0$, llavors diu que la variable aleatòria es estrictament estable.
Recordem també que una variable aleatòria $X$ es diu que és infinitament divisible si per a qualsevol $n\geq 1$, existeixen variables aleatòries $Y_{1},\dots ,Y_{n}$ independents i idènticament distribuïdes tals que$X\ {\overset {\mathcal {D}}{=}}\ Y_{1}+\cdots +Y_{n}.\qquad \qquad (**)$Si una variable aleatòria és estable, llavors és infinitament divisible, ja que si es compleix (*), prenent $Y_{j}={\frac {X_{j}}{a_{n}}}-{\frac {b_{n}}{na_{n}}},\ j=1,\dots ,n,$obtenim (**).
Retornant a la distribució de Cauchy ${\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$, a partir de la la propietat (4) deduïm que es compleix la igualtat (*) amb $a_{n}=n$ i $b_{n}=0$, i per tant, és estrictament estable, i, aleshores, també infinitament divisible.
Les funcions característiques de les distribucions estables sempre tenen la forma$\varphi (t)=E[e^{itX}]=\exp {\big \itc-b\vert t\vert ^{\alpha }{\big1+i\lambda w_{\alpha }(t){\big )}{\big \}},$amb $c\in \mathbb {R}$, $b\geq 0$ , $0<\alpha \leq 2$ , que s'anomena l'índex, $-1\leq \lambda \leq 1$ i$w_{\alpha }(t)={\begin{cases}\operatorname {sgn}(t)\,\tan {\frac {\pi \alpha }{2}},&{\text{si }}\alpha \neq 1,\\{\frac {2}{\pi }}\,\operatorname {sgn}(t)\,\log \vert t\vert ,&{\text{si }}\alpha =1,\end{cases}}$on $\operatorname {sgn}(t)={\begin{cases}~~~1,&{\text{si }}t>0,\\~~~0,&{\text{si }}t=0,\\-1,&{\text{si }}t<0.\end{cases}}$Una distribució estable amb aquesta funció característica és designa per $Stab(c,b,\alpha ,\lambda )$ . Comparant l'expressió anterior amb la la funció característica d'una distribució de Cauchy ${\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$ donada a (3) deduïm que és $Stab(x_{0},\gamma ,1,0)$ ; en particular, l'índex és $\alpha =1$ .

### La distribució de Cauchy i la llei dels grans nombres

Siguin $X_{1},\dots ,X_{n}$ independents, totes amb distribució de Cauchy ${\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$. Posem $S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.$
De la propietat (4) es dedueix que $S_{n}/n\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$. Per tant, $\lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{n}}=X,\quad {\text{en distribució}},$on $X\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$. Però això no contradiu la llei dels grans nombres, ja que (a la llei forta) calia suposar que $X$ tenia esperança, la qual cosa amb la distribució de Cauchy no es compleix.
Tornant a l'exemple del raig de llum, tal com comenta Feller, si repetim $n$ vegades l'experiment, el fet que la mitjana $S_{n}/n$ tingui també una distribució de Cauchy ${\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$ vol dir que les mitjanes no es distribuirien més a prop del punt $O$ com s'esperaria amb la llei dels grans nombres, sinó que es dispersen com les dades sense promitjar.

## La distribució de Cauchy truncada

Fixats dos números $a,b\in \mathbb {R}$, amb $a<b$ , la distribució de Cauchy truncada a l'interval $(a,b)$ (Johnson et al l'anomenen distribució de Cauchy doblement truncada), amb paràmetre de posició $x_{0}\in \mathbb {R}$ i paràmetre d'escala $\gamma >0$ , té funció de densitat$f_{x_{0}\gamma ,a,b}(x)={\begin{cases}C\,f_{x_{0},\gamma }(x),&{\text{si }}x\in (a,b),\\0,&{\text{en cas contrari}},\end{cases}}$on $C$ és la constant normalitzadora $C={\frac {1}{\int _{a}^{b}f_{x_{0},\gamma }(x)\,dx}}={\frac {\pi }{\arctan {\big{\frac {a-x_{0}}{\gamma }}{\big )}-\arctan {\big{\frac {b-x_{0}}{\gamma }}{\big )}}}.$Més explícitament, després de simplificar, tenim la funció de densitat $f_{x_{0},\gamma ,a,b}(x)={\frac {\gamma }{{\Big\arctan {\big{\frac {a-x_{0}}{\gamma }}{\big )}-\arctan {\big{\frac {b-x_{0}}{\gamma }}{\big )}{\Big )}{\big(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}{\big )}}},\quad x\in (a,b).$Cal notar que si $X\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )$, llavors $f_{x_{0},\gamma ,a,b}$ és la densitat de la variable condicionada $X\,\vert \,X\in (a,b)$. Vegeu l'article distribució truncada. Aquesta distribució té l'avantatge que, a l'estar definida en un interval finit, té moments de tots els ordres i funció generatriu de moments. Vegeu per a l'estudi de les seves propietats i diverses aplicacions.

## Vegeu també

* Distribució de Cauchy multivariant
* Distribució t de Sudent
* Funcions característiques

## Referències

* ↑ «Lorentz 1916». [Consulta: 28 febrer 2024].
* ↑ Breit, G.; Wigner, E. «Capture of Slow Neutrons». Physical Review, 49, 7, 01-04-1936, pàg. 519–531. DOI: 10.1103/PhysRev.49.519.
* ↑ Cramer, Harald. Métodos matemáticos de Estadística. Cuarta edición. Aguilar, 1970, p. 283.
* ↑ Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. «Chapter 16». A: Continuous univariate distributions. 1. 2. ed., 3. [print.] - 1994. New York: Wiley, 1994. ISBN 978-0-471-58495-7.
* ↑ Severini, Thomas A. Elements of distribution theory. New York, NY: Cambridge University Press, 2005, p. 206-207. ISBN 978-0-521-84472-7.
* ↑ Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 79.
* ↑ Per a les propietats de les integrals impròpies, vegeu Apostol, T. M.. «Cap. 14». A: Análisis matemático. Barcelona: Editorial Reverté, 1960.
* ↑ David, H. A. «Moments of Negative Order and Ratio-Statistics». Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 17, 1, 1955, pàg. 122–123. ISSN: 0035-9246.
* ↑ Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 206.
* ↑ Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 213.
* ↑ Hoffmann-Jørgensen, Jørgen. Probability with a view toward statistics. 1. Boca Raton: CRC Press, 2003, p. 386. ISBN 978-0-412-05221-7.
* ↑ Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 80.
* ↑ Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. Continuous univariate distributions. 1. 2. ed., 3. [print.] - 1994. New York: Wiley, 1994, p. 322. ISBN 978-0-471-58495-7.
* 1 2 Nadarajah, Saralees «Making the Cauchy work». Brazilian Journal of Probability and Statistics, 25, 1, 2011, pàg. 99–120. ISSN: 0103-0752.