# Beta termodinàmica

En termodinàmica estadística, la beta termodinàmica, també coneguda com a fredor, és el recíproc de la temperatura termodinàmica d'un sistema: $\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$ (on T és la temperatura i k$_B$ és constant de Boltzmann).
La beta termodinàmica té unitats recíproques a la de l'energia (en unitats SI, joules recíprocs, $[\beta ]={\textrm {J}}^{-1}$). En unitats no tèrmiques, també es pot mesurar en byte per joule, o més convenientment, gigabyte per nanojoule; 1 K$^{−1}$ és equivalent a uns 13.062 gigabytes per nanojoule; a temperatura ambient: T = 300K, β ≈ 44 GB/nJ ≈ 39 eV$^{−1}$ ≈ 2,4×10$^{20}$ J$^{−1}$. El factor de conversió és 1 GB/nJ = $8\ln 2\times 10^{18}$ J$^{−1}$.

## Descripció

La beta termodinàmica és essencialment la connexió entre la teoria de la informació i la interpretació mecànica estadística d'un sistema físic mitjançant la seva entropia i la termodinàmica associada a la seva energia. Expressa la resposta de l'entropia a un augment d'energia. Si s'afegeix una petita quantitat d'energia al sistema, aleshores β descriu la quantitat que el sistema atorgarà.
Mitjançant la definició estadística de la temperatura en funció de l'entropia, la funció de fredor es pot calcular en el conjunt microcanònic a partir de la fórmula
$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\,={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}$
(és a dir, la derivada parcial de l'entropia S respecte a l'energia E a volum constant V i nombre de partícules N).

### Avantatges

Tot i que el contingut conceptual és completament equivalent a la temperatura, β es considera generalment una quantitat més fonamental que la temperatura a causa del fenomen de la temperatura negativa, en què β és contínua quan creua zero mentre que T té una singularitat.
A més, β té l'avantatge de ser més fàcil d'entendre causalment: si s'afegeix una petita quantitat de calor a un sistema, β és l'augment d'entropia dividit per l'augment de calor. La temperatura és difícil d'interpretar en el mateix sentit, ja que no és possible "Afegir entropia" a un sistema excepte indirectament, modificant altres magnituds com la temperatura, el volum o el nombre de partícules.

## Interpretació estadística

Des del punt de vista estadístic, β és una magnitud numèrica que relaciona dos sistemes macroscòpics en equilibri. La formulació exacta és la següent. Considereu dos sistemes, 1 i 2, en contacte tèrmic, amb energies respectives E$_1$ i E$_2$. Suposem que E$_1$ + E$_2$ = alguna constant E. El nombre de microestats de cada sistema es denotarà amb Ω$_1$ i Ω$_2$. Sota els nostres supòsits Ω $_i$ només depèn d'E $_i$. També assumim que qualsevol microestat del sistema 1 compatible amb E $_1$ pot coexistir amb qualsevol microestat del sistema 2 compatible amb E $_2$. Per tant, el nombre de microestats per al sistema combinat és
$\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).\,$
Derivarem β del supòsit fonamental de la mecànica estadística:
Quan el sistema combinat arriba a l'equilibri, el nombre Ω es maximitza.
(En altres paraules, el sistema busca naturalment el nombre màxim de microestats). Per tant, a l'equilibri,
${\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.$
Però E $_1$ + E $_2$ = E implica
${\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.$
Així que
$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$
és a dir
${\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{en equilibri.}}$
La relació anterior motiva una definició de β :
$\beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.$

## Connexió de vista estadística amb vista termodinàmica

Quan dos sistemes estan en equilibri, tenen la mateixa temperatura termodinàmica T. Així, intuïtivament, s'esperaria que β (tal com es defineix mitjançant microestats) estigués relacionat amb T d'alguna manera. Aquest enllaç el proporciona el supòsit fonamental de Boltzmann escrit com
$S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,$
on k$_B$ és la constant de Boltzmann, S és l'entropia termodinàmica clàssica i Ω és el nombre de microestats. Així que
$d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.$
Substituint a la definició de β de la definició estadística anterior es dóna
$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.$
Comparació amb la fórmula termodinàmica
${\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},$
tenim
$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}$

## Història

La beta termodinàmica es va introduir originalment el 1971 (com a Kältefunktion "Funció de fredor") d'Ingo Müller, un dels defensors de l'escola de pensament de la termodinàmica racional, basat en propostes anteriors per a una funció de "temperatura recíproca".

## Referències

* ↑ Day, W. A.; Gurtin, Morton E. (en anglès) Archive for Rational Mechanics and Analysis, 33, 1, 01-01-1969, pàg. 26–32. Bibcode: 1969ArRMA..33...26D. DOI: 10.1007/BF00248154. ISSN: 1432-0673.
* ↑ Meixner, J. (en anglès) Archive for Rational Mechanics and Analysis, 57, 3, 01-09-1975, pàg. 281–290. Bibcode: 1975ArRMA..57..281M. DOI: 10.1007/BF00280159. ISSN: 1432-0673.
* ↑ Fraundorf, P. (en anglès) American Journal of Physics, 71, 11, 01-11-2003, pàg. 1142–1151. Bibcode: 2003AmJPh..71.1142F. DOI: 10.1119/1.1593658. ISSN: 0002-9505.
* ↑ Müller, Ingo Archive for Rational Mechanics and Analysis, 40, 1971, pàg. 1–36. DOI: 10.1007/BF00281528.
* ↑ Müller, Ingo Archive for Rational Mechanics and Analysis, 41, 5, 1971, pàg. 319–332. Bibcode: 1971ArRMA..41..319M. DOI: 10.1007/BF00281870.
* ↑ Day, W. A.; Gurtin, Morton E. (en anglès) Archive for Rational Mechanics and Analysis, 33, 1, 01-01-1969, pàg. 26–32. Bibcode: 1969ArRMA..33...26D. DOI: 10.1007/BF00248154. ISSN: 1432-0673.
* ↑ Castle, J. Science by Degrees: Temperature from Zero to Zero (en anglès). New York: Walker and Company, 1965.