# Conjunt obert

En matemàtiques, un conjunt obert (o simplement obert) és cadascun dels elements que conformen una topologia.
Per exemple, a $\mathbb {R} \,$ amb la topologia euclidiana, diem que $(0,1)\,$ és un conjunt obert, perquè per qualsevol valor $x\,$ tal que $0<x<1\,$ sempre podrem trobar un valor $\varepsilon >0\,$ tal que la bola (obert de la topologia) $(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\subset (0,1)\,$.
En el cas anterior, si s'hagués agafat el conjunt $(0,1]\,$, no podríem dir el mateix, ja que per $x=1\,$ no existeix cap $\varepsilon >0\,$ que compleixi la condició.
El fet que un cert conjunt sigui obert o tancat no depèn dels elements de l'espai sinó també de la topologia que s'hi defineix. Així per exemple el cas anterior, $(0,1)\,$ en $\mathbb {R} \,$, no és un obert si prenem la topologia grollera.

## Definicions
### Espais topològics

La topologia és l'àmbit més general en què trobem els conjunts oberts. En aquest context, el concepte de conjunt obert és fonamental.
Donat un conjunt $\mathrm {X} \,$, sigui $\mathbf {T} \,$ un conjunt qualsevol de subconjunts de $\mathrm {X} \,$, que compleix les següents propietats.
* La unió arbitrària de conjunts de $\mathbf {T} \,$ és un conjunt de $\mathbf {T} \,$.
* La intersecció finita de conjunts de $\mathbf {T} \,$, és un conjunt de $\mathbf {T} \,$.
* Els conjunts $\mathrm {X} \,$ i $\emptyset \,$ pertanyen a $\mathbf {T} \,$.
Amb aquestes condicions, $\mathrm {X} \,$ és un espai topològic, i a $\mathbf {T} \,$ se l'anomena topologia de $\mathrm {X} \,$, i per definició, els conjunts de $\mathbf {T} \,$ són conjunts oberts.
L'espai topològic ve especificat per la parella $(\mathrm {X} ,\mathbf {T} )\,$.
Cal observar que si es considera un conjunt $\mathrm {X} \,$ amb dues topologies diferents, $\mathbf {T} \,$ i $\mathbf {T'} \,$, es tenen dos espais topològics diferents.

### Espais mètrics

En el cas dels espais mètrics, la definició de conjunt obert, es pot fer de la següent forma:
Sigui $U\,$ un subconjunt d'un espai mètric $(M,d)\,$, es dirà que $U\,$ és obert si:
    $\forall x\in U,\exists \varepsilon >0\;|\;\forall y\in M,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in U\,$

### Espais vectorials normats

En el cas dels espais vectorials normats, com espais mètrics que són, es pot dir que un conjunt $U\subset \mathbb {R} ^{n}\,$ és obert si:
    $\forall x\in U,\exists \varepsilon >0\;|\;B_{\varepsilon }(x)\subset U\,$
on $B_{\varepsilon }(x)\,$ és la bola centrada a $x\,$ i de radi $\varepsilon \,$
Un conjunt obert a $\mathbb {R} \,$, té la propietat de ser una unió numerable d'intervals oberts. ($\mathbb {R} \,$ i $\emptyset \,$ també són oberts).

## Propietats

Cada subconjunt $A\,$ d'un espai topològic $X\,$ conté a un conjunt obert, tal vegada el conjunt buit. El més gran d'aquests conjunts oberts, s'anomena interior de $A\,$, que es pot construir buscant la unió de tots els conjunts oberts continguts en $A\,$.
Donats dos espais topològics, $X,Y\,$, una funció $f:X\rightarrow Y\,$ és contínua si la preimatge de cada conjunt obert en $Y\,$ és oberta en $X\,$.

## Referències

* ↑ Kelley, John L. General topology, 2017. ISBN 978-0-486-82066-8.
* ↑ «What is Topology?». Wayne State University, 13-10-2015. Arxivat de l'original el 13/10/2015. [Consulta: 18 desembre 2021].
* ↑ Papadopoulos, Athanase. Metric spaces, convexity and nonpositive curvature. Zürich: European Mathematical Society, 2005. ISBN 3-03719-010-8.
* ↑ Callier, Frank M. Linear system theory. Nova York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97573-X.
* ↑ Schubert, Horst. Topology;. London,: Macdonald & Co, 1968. ISBN 0-356-02077-0.

## Vegeu també

* Conjunt tancat
* Transformada de Berezin