# Regla del quocient

A càlcul, la regla del quocient és un mètode per a calcular la derivada d'una funció que consisteix en el quocient d'altres dues per a les quals la derivada existeix.
Si la funció que es vol derivar, $f(x)$, es pot escriure com
    $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$
i $h(x)$ ≠ $0$, llavors la regla diu que la derivada de $g(x)/h(x)$ és igual a:
    ${\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.$
O de forma més precisa, per a tot $x$ que pertany a algun conjunt obert que conté el nombre $a$, amb $h(a)$ ≠ $0$; i, tal que $g'(a)$ i $h'(a)$ existeixen totes dues; llavors, $f'(a)$ també existeix:
    $f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{[h(a)]^{2}}}.$

## Exemples

La derivada de $(4x-2)/(x^{2}+1)$ és
    ${\frac {d}{dx}}{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}$ $={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}$ $={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}$ $={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}$
A l'exemple de dalt, s'ha triat:
    $g(x)=4x-2$
    $h(x)=x^{2}+1$
De forma anàloga, la derivada de $\sin(x)/x^{2}$ (quan $x$ ≠ 0) és:
    ${\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}$
Per a més informació referent a les derivades de les funcions trigonomètriques vegeu: derivada.
Un altre exemple és:
    $f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}$
on $g(x)=2x^{2}$ i $h(x)=x^{3}$, i $g'(x)=4x$ i $h'(x)=3x^{2}$.
La derivada de $f(x)$ es determina tal com segueix:
* $={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}$
* $={\frac {4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}$
* $={\frac {-2x^{4}}{x^{6}}}$
* $=-{\frac {2}{x^{2}}}$

## Demostracions
### A partir de la definició de derivada

    Suposant que $f(x)=g(x)/h(x)$
       on $h(x)$≠ 0 i $g$ i $h$ són derivables.
    $f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}$
    $=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)$
    $=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)$
    $=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)$
    $=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}$
    $={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}}$
    $={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}$

### A partir de la regla del producte

    Suposant que $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$
    $g(x)=f(x)h(x){\mbox{ }}\,$
    $g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x){\mbox{ }}\,$
La resta consisteix en aplicar les regles de l'àlgebra per a fer que $f'(x)$ sigui l'únic terme del cantó esquerre de l'equació i per a eliminar $f(x)$ del cantó dret de l'equació.
    $f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}$
    $f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}$
De forma alternativa, es pot aplicar la regla del producte directament, sense haver de fer ús de la substitució:
    $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}=g(x)[h(x)]^{-1}$
I tot seguit aplicar la regla de la cadena per a derivar $h(x)^{-1}$:
    $f'(x)=g'(x)[h(x)]^{-1}+g(x)(-1)[h(x)]^{-2}h'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}$

### A partir de la regla de la cadena

Es considera la identitat
    ${\frac {u}{v}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]$
Llavors
    ${\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]$
Porta a
    ${\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[2\left(u+{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)-\;2\left(u-{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)\right]$
Operant s'obté
    ${\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[{\frac {4}{v}}{\frac {du}{dx}}-{\frac {4u}{v^{2}}}{\frac {dv}{dx}}\right]$
Per acabar, es treu comú denominador i en queda el resultat esperat
    ${\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {\left[v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right]}{v^{2}}}$

### Emprant diferencials totals

Una demostració fins i tot més elegant és conseqüència de la llei referent als diferencials totals, que diu que el diferencial total,
    $dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial z}}dz+...$
De qualsevol funció a qualsevol conjunt de quantitats es pot descompondre de la següent forma, sense importat quines variables independents hi hagi a la funció (és a dir no importa quines variables es prenguin, ja que no poden expressar-se com a funcions d'altres variables). Això vol dir que, si N i D són totes dues funcions d'una variable independent x, i $F=N(x)/D(x)$, llavors han de ser veritat simultàniament que
    (*) $dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx$
I que
    $dF={\frac {\partial F}{\partial N}}dN+{\frac {\partial F}{\partial D}}dD$.
Però sabent que $dN=N'(x)dx$ i $dD=D'(x)dx$.
Substituint i fent aquests dos diferencials totals iguals a un tercer (donat que representen límits que es poden manipular), s'obté l'equació
    ${\frac {\partial F}{\partial x}}dx={\frac {\partial F}{\partial N}}N'(x)dx+{\frac {\partial F}{\partial D}}D'(x)dx$
La qual requereix que
    (#) ${\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {\partial F}{\partial N}}N'(x)+{\frac {\partial F}{\partial D}}D'(x)$.
Calculant les parcials de la dreta:
    ${\frac {\partial F}{\partial N}}={\frac {\partial (N/D)}{\partial N}}={\frac {1}{D}}$;
    ${\frac {\partial F}{\partial D}}={\frac {\partial (N/D)}{\partial D}}=-{\frac {N}{D^{2}}}$.
Si se substitueixen dins de (#),
    ${\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {N'(x)}{D(x)}}-{\frac {N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}}$
    ${\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {D(x)N'(x)}{D(x)^{2}}}-{\frac {N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}}$
La qual dona la regla del quocient, donat que, per a (*),
    ${\frac {dF}{dx}}={\frac {\partial F}{\partial x}}$.
Aquesta demostració és forma més sistemàtica de demostrar el teorema en termes de límits, i per tant, és equivalent a la primera demostració – i fins i tot es redueix a ella si es fan les substitucions adequades als llocs adequats.

## Vegeu també

* Regla del producte
* Regla de la cadena