# Model de sis raigs

El model de sis raigs s'aplica en un entorn urbà o interior on un senyal de ràdio transmès es trobarà amb alguns objectes que produeixen còpies reflectides, refractes o disperses del senyal transmès. Aquests s'anomenen components del senyal multipath; s'atenuen, es retarden i es desplacen del senyal original (LOS) a causa d'un nombre finit de reflectors amb ubicació i propietats dielèctriques conegudes, els senyals LOS i múltiples camins es sumen al receptor.
Aquest model s'aproxima a la propagació d'ones electromagnètiques representant el front d'ona com a partícules simples. Així, els efectes de reflexió, refracció i dispersió s'aproximen utilitzant equacions geomètriques simples en lloc de les equacions d'ona de Maxwell.
El model més senzill és el de dos raigs que prediu la variació del senyal resultant d'una reflexió del sòl que interfereix amb el camí de pèrdua. Aquest model és aplicable en zones aïllades amb alguns reflectors, com camins rurals o passadís.
L'enfocament de dos raigs anterior es pot estendre fàcilment per afegir tants raigs com sigui necessari. Podem afegir raigs que reboten a cada costat d'un carrer en un passadís urbà, que condueixen a un model de sis raigs. A continuació es presenta la deducció del model de sis raigs.

## Deducció matemàtica
### Antenes d'altures iguals situades al centre del carrer

Per a l'anàlisi d'antenes amb alçades iguals doncs $h_{t}=h_{r}=h$, determinant que per als dos raigs següents que es reflecteixen una vegada a la paret, el punt en què xoquen és igual a aquesta alçada $h$. També per cada raig que es reflecteix a la paret, hi ha un altre raig que es reflecteix al terra en un nombre igual als reflexos a la paret més un, en aquests raigs hi ha distàncies diagonals per a cada reflex i la suma d'aquestes distàncies es denomina $d'$.
En estar situat al centre del carrer la distància entre les antenes $T_{X}$ i $R_{X}$, els edificis i l'amplada dels carrers són iguals en ambdós costats de manera que $w_{t1}=w_{r1}=w_{t2}=w_{r2}$, definint així una única distància $w$.
El model matemàtic de propagació de sis raigs es basa en el model de dos raigs, per trobar les equacions de cada raig implicat. La distància $d$ que separa les dues antenes, és igual al primer raig directe $R_{0}$ o línia de visió (LOS), és a dir:
$R_{0}=d$
Pel raig reflectit sota $R_{0}$ aplica el teorema de Pitàgores, en el triangle rectangle que es forma entre la reflexió de $R_{0}$ com la hipotenusa i el raig directe obtenint:
$R_{0}'={\sqrt {d^{2}+(2*h)^{2}}}$
Per $R_{1}$ es torna a aplicar el teorema de Pitàgores, sabent que una de les frontisses és el doble de les distàncies entre el transmissor i l'edifici a causa de la reflexió de $w$ i la distància diagonal a la paret:
$R_{1}={\sqrt {d^{2}+(2*w)^{2}}}$
Per $R_{1}$ el segon raig es multiplica dues vegades però es té en compte que la distància és la meitat del tercer raig per formar el triangle equivalent tenint en compte que $d_{1}$ és la meitat de la distància de $R_{1}$ i aquestes han de ser la meitat de la distància de la línia de visió $d$ :
$R_{1}'=2*{\sqrt {\left({\frac {R_{1}}{2}}\right)^{2}+(2h)^{2}}}$
Per $R_{1}$ y $R_{2}$ la deducció i les distàncies són iguals, per tant:
$R_{2}=R_{1}$
$R_{2}'=R_{1}'$

### Antenes d'altures iguals situades en qualsevol punt del carrer

Com que el raig directe LOS no varia i no té variació angular entre els raigs, la distància dels dos primers raigs $R_{0}$ i $R_{0}^{'}$ de model no varia i es dedueix segons el model matemàtic per a dos raigs. Per als altres quatre raigs aplica el següent procés matemàtic:
$R_{1}$ s'obté mitjançant una anàlisi geomètrica de la vista superior del model i s'aplica els triangles del Teorema de Pitàgores, tenint en compte la distància entre la paret i les antenes. $w_{t1}$, $w_{r1}$, $w_{t2}$, $w_{r2}$ són diferents:
$R_{1}={\sqrt {d^{2}-(w_{t1}-w_{r2})^{2}+(w_{t1}+w_{t2}-w_{r2})^{2}}}$
Per a la semblança de triangles a la vista superior del model es determina l'equació $R_{1}$ :
$d'={\sqrt {d^{2}-(w_{t1}-w_{r2})^{2}}}$
$x={\frac {(w_{r2}*R_{1})}{w_{r2}+w_{t2}+w_{t1}-w_{r2}}}$
$R_{1}'={\sqrt {(R_{1}-x^{2})+(2*h^{2})}}+{\sqrt {(x)^{2}+(2*h)^{2}}}$
Per $R_{1}$ i $R_{2}$ la deducció i les distàncies són iguals aleshores:
$R_{2}=R_{1}$
$R_{2}'=R_{1}'$

### Antenes de diferents altures situades al centre del carrer

Per a antenes de diferents alçades amb raigs que reboten a la paret, cal assenyalar que la paret és el mig punt, on els dos raigs transmesos cauen sobre aquesta paret. Aquesta paret té la meitat de l'alçada entre l'alçada del $T_{X}$ i $R_{X}$, vol dir més petit que el transmissor i més alt que el receptor i aquest alt és on els dos raigs impacten en el punt, i després reboten cap al receptor. El raig reflectit deixa dos reflexos, un que té la mateixa altura de la paret i l'altre el receptor, i el raig de la línia de visió manté la mateixa direcció entre el $T_{X}$ i el $R_{X}$. La distància diagonal d´ que separa les dues antenes es divideix en dues distàncies a través de la paret, s'anomena una $a$ i l'altre $d-a$.

### Antenes de diferents altures situades en qualsevol punt del carrer

Per al model matemàtic de propagació de sis raigs per a antenes de diferents alçades situades en qualsevol punt del carrer, $h_{t}\neq h_{r}$, hi ha una distància directa $d$ que separa les dues antenes, el primer raig es forma aplicant el teorema de Pitàgores a partir de la diferència d'altures de les antenes respecte a la línia de visió:
$R_{0}={\sqrt {d^{2}+(h_{t}-h_{r})^{2}}}$
El segon raig o raig reflectit es calcula com el primer raig però s'afegeixen les altures de les antenes per formar el triangle rectangle.
$R_{0}'={\sqrt {d^{2}+(h_{t}+h_{r})^{2}}}$
Per deduir el tercer raig es calcula l'angle entre la distància directa $d$ i la distància de la línia de visió $R_{0}$
$\cos \theta ={\frac {h_{t}-h_{r}}{R_{0}}}$
Ara deduint l'altura que la resta de la paret respecte l'alçada del receptor s'anomena $z$ per semblança els triangles:
${\frac {z}{a}}={\frac {h_{t}}{d'}}$
$z={\frac {h_{t}*~a}{d'}}$
Per similitud de triangles es pot deduir la distància on el raig incideix contra la paret fins a aconseguir la perpendicular del receptor anomenada a :
${\frac {a}{w^{t2}}}={\frac {d'}{w_{t1}+w_{r1}}}$
$a={\frac {d'*w_{t2}}{\left(w_{t1}+w_{r1}\right)}}$
$R_{1}={\frac {{\sqrt {(h_{t}-h_{r}-z)^{2}+(d'-a)^{2}}}+{\sqrt {z^{2}+a^{2}}}}{\cos \theta }}$
Per semblança dels triangles es pot deduir l'equació del quart raig:
$R_{1}'={\frac {{\sqrt {(h_{t}+h_{r}+z)^{2}+(d'-a)^{2}}}+{\sqrt {(2h_{r}+z)^{2}+a^{2}}}}{\cos \theta }}$
Per $R_{1}$ i $R_{2}$ la deducció i les distàncies són iguals, per tant:
$R_{2}=R_{1}$
$R_{2}'=R_{1}'$

## Pèrdua de camí d'espai lliure al model

Considereu un senyal transmès a l'espai lliure un receptor situat a una distància d del transmissor. Es poden afegir raigs que reboten a cada costat d'un carrer en un passadís urbà, que condueixen a un model de sis raigs, amb raigs. $R_{0}$, $R_{1}$ i $R_{2}$ cadascun amb un raig de rebot directe i un de terra.
Cal fer una hipòtesi important per simplificar el model: $T$ és petit en comparació amb la longitud del símbol de la informació útil, és a dir $s(t)=s(t-T)$. Per als raigs que reboten fora de la terra i a cada costat del carrer, aquesta hipòtesi és bastant segura, però en general haurem recordat que aquestes hipòtesis signifiquen la dispersió dels retards (difusió dels valors). $T$ ) és menor que la velocitat de transmissió dels símbols.
El model de pèrdua de camí en l'espai lliure de sis raigs es defineix com:
$p_{0}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{r})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}\left({\frac {\exp(j*2\pi *R_{0}/{\lambda })}{R_{0}}}+\Gamma {\frac {\exp(j*2\pi *R_{0}'/{\lambda })}{R_{0}'}}\right)$

## Referències

* ↑ Goldsmith, Andrea. Wireless communications (en anglès). Cambridge: Cambridge University Press, 2005. ISBN 978-0-521-83716-3.
* ↑ T.Rappaport. Wireless Communications: Principles and Practice (en anglès). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall., 2002. ISBN 978-0137192878.
* ↑ A. J. Rustako, Jr., Noach Amitay, G. J. Owens, R.S. Roman.. Radio Propagation at Microwave Frequencies for Line-of-Sight Microcellular Mobile and Personal Communications. (en anglès), 1991.
* ↑ Schwengler, Thomas. Wireless & Cellular Communications Class Notes for TLEN-5510-Fall. (en anglès). Universidad de Colorado., 2016, p. http://morse.colorado.edu/~tlen5510/text/classwebch3.html.