# Distribució de Cauchy multivariant

En Teoria de la probabilitat i Estadística, la distribució de Cauchy multivariant o multivariable és una extensió vectorial de la distribució de Cauchy i coincideix amb una distribució $t$ multivariant amb un grau de llibertat. Pertany a la família de distribucions amb simetria el·líptica i és una distribució estable.

## Definició

Escriurem tots els vectors en columna i per una matriu o vector ${\boldsymbol {A}}$ , designarem per ${\boldsymbol {A}}'$ la seva transposada.
Sigui ${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{p})'\in \mathbb {R} ^{p}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}$ una matriu $p\times p$ definida positiva (en particular, simètrica i amb determinant diferent de 0). Un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{p})'$ es diu que té distribució de Cauchy multivariant (o multivariable) amb paràmetres ${\boldsymbol {\mu }}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}$ si té funció de densitat
    $f_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})={\frac {\Gamma {\big(p+1)/2{\big )}}{\pi ^{(p+1)/2}\,{\sqrt {{\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}}}}}\,{\frac {1}{{\big1+({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}){\big )}^{(p+1)/2}}},\quad {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{p})'\in \mathbb {R} ^{p},\qquad \qquad (1)$
on ${\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}$ és el determinant de la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$. S'escriu ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ o ${\boldsymbol {X}}\sim {\text{Cauchy}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Coincideix amb una distribució t multivariant amb un grau de llibertat, ${\boldsymbol {t}}_{p}(1,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$.
Quan ${\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {0}}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {I}}_{p}$, on ${\boldsymbol {I}}_{p}$ és la matriu identitat de dimensió $p$, aleshores la funció de densitat és $f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{p})={\frac {\Gamma {\big(p+1)/2{\big )}}{\pi ^{(p+1)/2}}}\,{\frac {1}{(1+\sum _{j=1}^{p}x_{j}^{2})^{(p+1)/2}}}.\qquad \qquad (2)$ que és una extensió vectorial de la distribució de Cauchy estàndard ${\mathcal {C}}(0,1)$.
Observació sobre les notacions. En el cas $p=1$, amb ${\boldsymbol {\Sigma }}=\sigma ^{2}$ , $\sigma >0$, la funció de densitat (1) és $f(x)={\frac {1}{\pi \sigma }}\,{\frac {1}{1+{\Big{\dfrac {x-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{2}}}.$En la notació de la distribució de Cauchy ordinària aquesta densitat correspon a una distribució ${\mathcal {C}}(\mu ,\sigma )$, mentre que en la notació multivariant seria ${\mathcal {C}}_{1}(\mu ,\sigma ^{2})$. En aquest article, quan $p=1$, escriurem ${\mathcal {C}}(\mu ,\sigma )$ .

## Propietats

La majoria de propietats s'obtenen directament de les de la distribució $t$ multivariant amb un grau de llibertat. Algunes de les més importants són

### Representacions

1. Si $Z_{1},\dots ,Z_{p+1}$són variables aleatòries normals estàndard independents. Aleshores ${\Big{\frac {Z_{1}}{\vert Z_{p+1}\vert }},\dots ,{\frac {Z_{p}}{\vert Z_{p+1\vert }}}{\Big )}^{\prime }\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p}).$ 2. A més, a l'igual que en el cas de la distribució de Cauchy estàndard ordinària, podem suprimir el valor absolut dels denominadors: ${\Big{\frac {Z_{1}}{Z_{p+1}}},\dots ,{\frac {Z_{p}}{Z_{p+1}}}{\Big )}^{\prime }\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p}).\qquad \qquad (3)$ Aquesta propietat pot demostrar-se mitjançant la transformació $(Z_{1},\dots ,Z_{p},Z_{p+1})\longrightarrow {\Big{\frac {Z_{1}}{Z_{p+1}}},\dots ,{\frac {Z_{p}}{Z_{p+1}}},Z_{p+1}{\Big )}$ (vegeu la fórmula de canvi de variables per a vector aleatoris) i calculant la densitat marginal del vector ${\Big{\frac {Z_{1}}{Z_{p+1}}},\dots ,{\frac {Z_{p}}{Z_{p+1}}}{\Big )}$. Vegeu els detalls en el cas $p=1$ a Severini ; en el cas vectorial els càlculs són molt anàlegs.
3. Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p})$, ${\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{p}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}$ una matriu $p\times p$ definida positiva. Designem per ${\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}$ l'arrel quadrada de la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$. Aleshores ${\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {\mu }}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).\qquad \qquad (4)$ Recíprocament, si ${\boldsymbol {V}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$, llavors, ${\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}({\boldsymbol {V}}-{\boldsymbol {\mu }})\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p}).$

### Distribucions marginals

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Aleshores qualsevol subvector te distribució de Cauchy (multivariant).

### Transformacions afins

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$, ${\boldsymbol {B}}$ una matriu $p\times p$ definida positiva (en particular, simètrica) i ${\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{p}$. Aleshores ${\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {b}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {\mu }}+{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {B\Sigma B}}).$

### Combinacions lineals de les components

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Considerem una combinació lineal de les seves components $S={\boldsymbol {a}}'{\boldsymbol {X}}=\sum _{j=1}^{p}a_{j}X_{j},$on ${\boldsymbol {a}}=(a_{1},\dots ,a_{p})'$ . Aleshores$S\sim {\mathcal {C}}({\boldsymbol {a}}'{\boldsymbol {\mu }},{\sqrt {{\boldsymbol {a\Sigma }}{\boldsymbol {a}}'}}),$on aquesta última és una distribució de Cauchy ordinària (vegeu el comentari sobre les notacions a la definició més amunt).

### Moments i funció generatriu de moments

La distribució de Cauchy multivariant no té moments de cap ordre ni funció generatriu de moments.

### La distribució de Cauchy té simetria el·líptica

La distribució de Cauchy ${\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ té simetria el·liptica. Quan ${\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {0}}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}=c^{2}{\boldsymbol {I}}_{p}$, amb $c>0$, té simetria esfèrica.

### Funció característica

La funció característica d'una distribució de Cauchy ${\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ és $\varphi ({\boldsymbol {t}})=e^{i{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\mu }}-{\sqrt {{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\Sigma }}{\boldsymbol {t}}}}},\quad {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} .$Quan ${\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {0}}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {I}}_{p}$, llavors $\varphi (t_{1},\dots ,t_{p})=e^{-{\sqrt {\sum _{j=1}^{p}t_{j}^{2}}}}.$
$t$
Començarem per la distribució de Cauchy ${\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p})$. Siguin $Z_{1},\dots ,Z_{p+1}$ variables aleatòries normals estàndard independents. D'acord amb (3) ${\boldsymbol {X}}={\Big{\frac {Z_{1}}{Z_{p+1}}},\dots ,{\frac {Z_{p}}{Z_{p+1}}}{\Big )}^{\prime }\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p}).$Llavors, fixats $t_{1},\dots ,t_{p}\in \mathbb {R}$, donada la independència entre les variables $Z_{1},\dots ,Z_{p+1}$ i les propietats de l'esperança condicionada, tenim que$\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{p})=E{\Big\exp {\big \i\sum _{j=1}^{p}t_{j}{\frac {Z_{j}}{Z_{p+1}}}{\big \}}{\Big ]}=E{\BigE{\big\exp {\big \i\sum _{j=1}^{p}t_{j}{\frac {Z_{j}}{Z_{p+1}}}{\big \}}\,\vert Z_{p+1}{\big ]}{\Big ]}=E[h(Z_{p+1})],$on $h$ és la funció $h(x)=E{\Big\exp {\big \i\sum _{j=1}^{p}t_{j}{\frac {Z_{j}}{x}}{\big \}}{\Big ]}.$A partir de la independència de $Z_{1},\dots ,Z_{p}$ i de la funció característica d'una distribució normal estàndard, $h(x)=E{\Big\exp {\big \i\sum _{j=1}^{p}t_{j}{\frac {Z_{j}}{x}}{\big \}}{\Big ]}=\exp {\bigg \-{\frac {\sum _{j=1}^{p}t_{j}^{2}}{2x^{2}}}{\bigg \}}.$Escrivim $a={\sqrt {\sum _{j=1}^{p}t_{j}^{2}}}.$Llavors, $\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{p})=E[h(Z_{p+1})]={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {a^{2}}{2x^{2}}}-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {a^{2}}{2x^{2}}}-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {a^{2}}{4y}}-y}{\frac {1}{\sqrt {y}}}\,dy,$on a l'última igualtat hem fet el canvi de variables $y=x^{2}/2$ . La integral de la dreta es pot calcular notant que$\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {a^{2}}{4y}}-y}{\frac {1}{\sqrt {y}}}\,dy=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {a^{2}}{4y}}}}{\sqrt {y}}}\,e^{-y}\,dy,$i, per tant, és la transformada de Laplace de la funció $g(y)=e^{-a^{2}/(4y)}/{\sqrt {y}}$ avaluada en el punt $s=1$ . Aquesta transformada de Laplace és coneguda: per a $a\geq 0$ , ${\mathcal {L}}\{g\}(s)=\int _{0}^{\infty }g(y)\,e^{-sy}\,dy={\sqrt {\pi }}\,{\frac {1}{\sqrt {s}}}e^{-a{\sqrt {s}}}.$
(Vegeu Schiff, taula de la pàgina 214, i pàgines 178-179 per a la seva demostració). En resum, tenim que $\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{p})={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\mathcal {L}}\{g\}(1)=e^{-a}=e^{-{\sqrt {\sum _{j=1}^{p}t_{j}^{2}}}}.$ Observació. La integral$\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {a^{2}}{4y}}-y}{\frac {1}{\sqrt {y}}}\,dy$ també es pot calcular utilitzant la representació integral de la funció de Bessel modificada de segon tipus $W_{\nu }(z)$ i el seu valor per a $\nu =-1/2$.
${\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$

### Suma de vectors aleatoris de Cauchy independents i aplicacions

En aquesta secció ens restringirem al cas ${\boldsymbol {\Sigma }}=c^{2}\,{\boldsymbol {I}}_{p}$, amb $c>0$. La seva funció característica és$\varphi ({\boldsymbol {t}})=e^{i{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\mu }}-c{\sqrt {{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {t}}}}},\quad {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} .$A partir d'aquesta funció de densitat es demostra la següent propietat: Siguin ${\boldsymbol {X}}_{1}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }}_{1},c_{1}^{2}{\boldsymbol {I}}_{p}),\dots ,{\boldsymbol {X}}_{n}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }}_{n},c_{n}^{2}{\boldsymbol {I}}_{p})$ i $a_{1}\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$, independents. Llavors $a_{1}{\boldsymbol {X}}_{1}+\cdots +a_{n}{\boldsymbol {X}}_{n}\sim {\mathcal {C}}_{p}{\bigg\sum _{j=1}^{n}a_{j}{\boldsymbol {\mu }}_{j},\,{\big\sum _{j=1}^{n}\vert a_{j}\vert \,c_{j}{\big )}^{2}{\boldsymbol {I}}_{p}{\bigg )}.$D'aquí es dedueix (o directament de la forma de la funció característica) que la distribució de Cauchy multivariant ${\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},c^{2}\,{\boldsymbol {I}}_{p})$, amb $c>0$, és estrictament estable i infinitament divisible

## Una altra definició de la distribució de Cauchy multivariant

En un notable article, Ferguson proposa una definició de distribució de Cauchy multivariant que adapta a aquest context una caracterització de la distribució normal multivariant.
Definició (Ferguson). Direm que un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{p})'$ té una distribució de Cauchy multivariant si i només si tota combinació lineal de les seves components té una distribució de Cauchy. La distribució és diu simètrica si la massa es distribueix simètricament respecte algun punt de l'espai $\mathbb {R} ^{p}$ .
A continuació, Ferguson demostra la següent caracterització:
Caracterització. Un vector aleatori té distribució de Cauchy (en el sentit anterior) si i només si la seva funció característica és de la forma $\varphi ({\boldsymbol {t}})=e^{i\alpha ({\boldsymbol {t}})-g({\boldsymbol {t}})},\qquad \qquad (5)$on $g({\boldsymbol {t}})\geq 0$ i $\alpha ({\boldsymbol {t}})$ són funcions reals tals que per a tot número real $c\in \mathbb {R}$, $g(c\,{\boldsymbol {t}})=\vert c\vert \,g({\boldsymbol {t}})\quad {\text{i}}\quad \alpha (c\,{\boldsymbol {t}})=c\,\alpha ({\boldsymbol {t}}).$A més, si la distribució és simètrica respecte un punt ${\boldsymbol {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{p}$, llavors $\alpha ({\boldsymbol {t}})={\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }{\boldsymbol {t}}.$
De les propietats que hem estudiat anteriorment, es dedueix que aquesta definició és més general que la que hem donat al principi i inclou més casos. Veiem-ne uns exemples:
* Siguin $X_{1}$ i $X_{2}$ dues variables de Cauchy estàndard ${\mathcal {C}}(0,1)$ independents, i considerem el vector bidimensional ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},X_{2})^{\prime }$. Per les propietats de la distribució de Cauchy, el vector ${\boldsymbol {X}}$ compleix la definició de Ferguson (també es pot veure que la seva funció característica és de la forma (5)). D'altra banda, la seva funció de densitat és $f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi ^{2}}}{\frac {1}{(1+x_{1}^{2})(1+x_{2}^{2})}},$que no té la forma (1), i que per tant no compleix la definició inicial (alternativament es poden utilitzar la funcions característiques).
* La definició de Ferguson inclou vectors aleatoris sense funció de densitat mentre que la definició del principi no. Per exemple sigui $X_{1}\sim {\mathcal {C}}(0,1)$ i $X_{2}=X_{1}$ . El vector ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},X_{2})^{\prime }$ compleix la definició de Ferguson però no té funció de densitat ja que està concentrat en la diagonal de pla $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\,x=y\}$.

## Referències

* ↑ Kotz, Samuel; Nadarajah, Saralees. Multivariate T-Distributions and Their Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. DOI 10.1017/cbo9780511550683. ISBN 978-0-521-82654-9.
* 1 2 Fang, Kaitai; Kotz, Samuel; Ng, Kai-Wang. Symmetric multivariate and related distributions. Reissued 2018. Milton: CRC Press, 2018, p. 88. ISBN 978-1-315-89794-3.
* ↑ Severini, Thomas A. Elements of distribution theory. New York, NY: Cambridge University Press, 2005, p. 206-207. ISBN 978-0-521-84472-7.
* ↑ Seber, G.A.F.. A Matrix Handbook for Statisticians. Wiley, 2008, p. 221, ítem 10.2.
* ↑ Fang, Kaitai; Kotz, Samuel; Ng, Kai-Wang. Symmetric multivariate and related distributions. Reissued 2018. Milton: CRC Press, 2018, p. 69, Taula 3.1. ISBN 978-1-315-89794-3.
* ↑ Kotz, Samuel; Nadarajah, Saralees. Multivariate T-Distributions and Their Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2004, p. 36. DOI 10.1017/cbo9780511550683. ISBN 978-0-521-82654-9.
* ↑ Sutradhar, Brajendra C. «On the Characteristic Function of Multivariate Student t-Distribution». The Canadian Journal of Statistics / La Revue Canadienne de Statistique, 14, 4, 1986, pàg. 329–337. DOI: 10.2307/3315191. ISSN: 0319-5724.
* ↑ «Addendum to Dagum and Sutradhar». The Canadian Journal of Statistics / La Revue Canadienne de Statistique, 16, 3, 1988, pàg. 323–323. DOI: 10.2307/3314742. ISSN: 0319-5724.
* ↑ Severini, Thomas A.; Severini, Thomas Alan. Elements of distribution theory. New York, NY: Cambridge Univ. Press, 2005, p. 85. ISBN 978-0-521-84472-7.
* ↑ Schiff, Joel L. The Laplace Transform. New York, NY: Springer New York, 1999. DOI 10.1007/978-0-387-22757-3. ISBN 978-1-4757-7262-3.
* ↑ NIST Handbook of mathematical funcions fórmula 10.32.10 «DLMF: §10.32 Integral Representations ‣ Modified Bessel Functions ‣ Chapter 10 Bessel Functions». [Consulta: 8 març 2024].
* ↑ NIST Handbook of mathematical funcions fórmula 10.39.2 «DLMF: §10.39 Relations to Other Functions ‣ Modified Bessel Functions ‣ Chapter 10 Bessel Functions». [Consulta: 8 març 2024].
* ↑ Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K. ; New York: Cambridge University Press, 1999, p. 11. ISBN 978-0-521-55302-5.
* ↑ Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K. ; New York: Cambridge University Press, 1999, p. 70. ISBN 978-0-521-55302-5.
* ↑ Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K. ; New York: Cambridge University Press, 1999, p. 31. ISBN 978-0-521-55302-5.
* 1 2 Ferguson, Thomas S. «A Representation of the Symmetric Bivariate Cauchy Distribution». The Annals of Mathematical Statistics, 33, 4, 12-1962, pàg. 1256–1266. DOI: 10.1214/aoms/1177704357. ISSN: 0003-4851.