# Cinètica de Michaelis-Menten

La cinètica de Michaelis-Menten descriu la velocitat de reacció de moltes reaccions enzimàtiques. El seu nom és en honor de Leonor Michaelis i Maud Menten. Aquest model només és vàlid quan la concentració del substrat és major que la concentració de l'enzim, i per a condicions d'estat estacionari, o sigui que la concentració del complex enzim-substrat és constant.

## Determinació de constants

Per determinar la velocitat màxima d'una reacció enzimàtica, la concentració de substrat ([S]) és augmentada fins a aconseguir una velocitat constant de formació de producte. Aquesta és la velocitat màxima (V$_{màx}$) de l'enzim. En aquest cas, els llocs actius de l'enzim estan saturats amb substrat.

## Velocitat de reacció/velocitat V

La velocitat V indica el nombre de reaccions per segon que són catalitzades per un enzim. Amb concentracions creixents de substrat[S], l'enzim va acostant-se asimptòticament a la seva velocitat màxima V$_{màx}$, però mai hi acaba d'arribar. Per aquesta raó, no hi ha un [S] determinat per a la V$_{màx}$. De totes maneres, el paràmetre característic de l'enzim està definit per la concentració de substrat a la qual s'arriba a la meitat de la velocitat màxima (V$_{màx}$/2).

## Constant de Michaelis 'K$_M$'

Llavors, encara que la concentració de susbtrat a V$_{màx}$ no pot ser medida exactament, els enzims poden ser caracteritzats per la concentració de substrat a la qual la velocitat de reacció és la meitat de la velocitat màxima. Aquesta concentració de substrat es coneix com a constant de Michaelis-Menten (K$_M$).
Aquesta constant representa (per a enzims que exhibeixen una cinètica de Michaelis-Menten simple), la constant de dissociació (l'afinitat del complex enzim-substrat (ES) pel substrat). Valors baixos indiquen que el complex ES està unit molt fortament i rarament es dissocia sense que el substrat reaccioni per donar producte.
Així, per aquests casos, s'obtindrà una K$_M$ diferent, segons el substrat específic, en què actui cada enzim (com passa en el cas d'enzims que actuen en substrats anàlegs); i les condicions de reacció en què es realitzin les mesures.
Nota: K$_M$ només pot ésser utilitzada per a determinar l'afinitat d'un enzim per un substrat k$_2$ és limitant de la velocitat, per exemple, k$_2$ << k$_1$ i K$_M$ esdevé k$_{-1}$/k$_1$. Generalment, k$_2$ >> k$_1$, o k$_2$ i k$_1$ són comparables.

## Equació

La derivació de Michaelis-Menten va ser descrita per Briggs i Haldane. S'obté de la següent manera:
Se suposa que la reacció enzimàtica és irreversible, i que el producte no es lliga amb l'enzim després de la reacció.
$E+S{\begin{matrix}k_{1}\\\longrightarrow \\\longleftarrow \\k_{-1}\end{matrix}}ES{\begin{matrix}k_{2}\\\longrightarrow \\\ \end{matrix}}E+P$
Seguint l'aproximació de l'estat estacionari, que assenyala que la concentració del complex enzim-substrat (ES) és petita i es manté quasi constant al llarg de la reacció enzimàtica:
${\frac {d[ES]}{dt}}=k_{1}[E][S]-k_{-1}[ES]-k_{2}[ES]=0$
$[ES]={\frac {k_{1}[E][S]}{k_{-1}+k_{2}}}$
Es defineix:
$K_{m}={\frac {k_{-1}+k_{2}}{k_{1}}}$
Llavors:
$[ES]={\frac {[E][S]}{K_{m}}}$ (1)
La velocitat de la reacció és:
${\frac {d[P]}{dt}}=k_{2}[ES]$ (2)
La concentració total de l'enzim:
$[E_{0}]=[E]+[ES]$
Conseqüentment:
$[E]=[E_{0}]-[ES]$ (3)
Substituint (3) en (1) dona:
$[ES]={\frac {([E_{0}]-[ES])[S]}{K_{m}}}$
Reordenant:
$[ES]{\frac {K_{m}}{[S]}}=[E_{0}]-[ES]$
$[ES](1+{\frac {K_{m}}{[S]}})=[E_{0}]$
$[ES]=[E_{0}]{\frac {1}{1+{\frac {K_{m}}{[S]}}}}$ (4)
Substituint (4) en (2) i multiplicant numerador i denominador per $[S]$:
${\frac {d[P]}{dt}}=k_{2}[E_{0}]{\frac {[S]}{K_{m}+[S]}}=V_{max}{\frac {[S]}{K_{m}+[S]}}$
Aquesta equació pot ser analitzada experimentalment amb una representació de Lineweaver-Burk o un diagrama d'Eadie-Hofstee.
* E$_0$ és el total d'enzim. No es pràctic mesurar la quantitat de complex enzim-substrat durant la reacció, fet pel qual s'ha d'escriure en termes de quantitat total o inicial d'enzim, que és una quantitat coneguda.
* d[P]/dt o V$_0$ és la velocitat de producció de producte.
* k$_2$[E$_0$] o V$_{max}$ és la velocitat màxima. k$_2$ sovint és anomenada k$_{cat}$.
S'ha de tenir en compte que [S] és gran comparada amb K$_m$, [S]/(K$_m$ + [S]) tendeix a 1. La velocitat de formació de producte és igual a k$_2$[E$_0$] en aquest cas.
Quan [S] és igual a K$_m$, [S]/(K$_m$ + [S]) val 0.5. En aquest cas, la velocitat de formació de producte és la meitat de la màxima(1/2 V$_{màx}$). Graficant V$_0$ contra [S], es pot determinar fàcilment V$_{màx}$ i K$_m$. Això requereix una sèrie d'experiments a E$_0$ constant i diferents concentracions de substrat [S].

## Enllaços externs

* Catalysis chapter from the Biochemistry textbook released under the GFDL Arxivat 2004-03-20 a Wayback Machine.
* Conceptos básicos de cinética química (castellà)