# Distribució khi quadrat

En Teoria de la probabilitat i Estadística la distribució distribució khi quadrat $\chi ^{2}$(pronunciat [xi] o [ci]), també anomenada khi quadrat de Pearson, amb $k$ de llibertat és la distribució de la suma dels quadrats de $k$ variables aleatòries normals estàndard independents. És un cas particular de la distribució gamma i es pot estendre a un nombre no enter de graus de llibertat. És molt important en Estadística ja que intervé en nombrosos tests estadístics, com el de la $t$ de Student o de la $\chi ^{2}$ de Pearson, així com en la construcció de diversos intervals de confiança.
La referència bàsica d'aquest article és Johnson et al..

## Definició, funció de densitat i funció de distribució

Siguin $Z_{1},\dots ,Z_{k}$ variables aleatòries independents, totes amb distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$. La variable aleatòria $Q=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}$es diu que té una distribució $\chi ^{2}$ amb $k$ graus de llibertat i s'escriu $Q\sim \chi _{k}^{2}$ o $Q\sim \chi ^{2}(k)$ .
La funció de densitat és $f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&{\text{si}}\ x>0,\\0,&{\text{en cas contrari}},\end{cases}}$ on $\Gamma (a)$ és la funció gamma. Per tant, tenim que la distribució coincideix amb una distribució gamma amb paràmetre de forma $k/2$ i paràmetre d'escala 2, $Q\sim \Gamma {\Big{\frac {k}{2}},2{\Big )}$ .
$k=1$
$Q=Z^{2}$
$Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$
$Q$
$F_{Q}(x)=P(Q\leq x)$
* Si $x<0$, llavors òbviament $F_{Q}(x)=0$.
* Si $x\geq 0$, llavors $F_{Q}(x)=P(Z^{2}\leq x)=P(-{\sqrt {x}}\leq Z\leq {\sqrt {x}})=F_{Z}({\sqrt {x}})-F_{Z}(-{\sqrt {x}}),$
on $F_{Z}$ és la funció de distribució de $Z$ .
Derivant obtenim la funció de densitat de $Q$, $f_{Q}$: per a $x\geq 0$, $f_{Q}(x)=F'_{Z}({\sqrt {x}})\,{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+F'_{Z}(-{\sqrt {x}})\,{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {e^{-x/2}}{\sqrt {x}}}.$ Per tant, identifiquem que $Q$ té una distribució gamma amb paràmetre de forma 1/2 i paràmetre d'escala 2: $Q\sim \Gamma {\Big{\frac {1}{2}},2{\Big )}$ .
$Q=Q_{1}+\cdots +Q_{k},$
$Q_{1},\dots ,Q_{k}$
$Q_{i}\sim \Gamma {\Big{\frac {1}{2}},2{\Big )}$
$Q\sim \Gamma {\Big{\frac {k}{2}},2{\Big )}$

### Funció de distribució

La funció de distribució es pot escriure en termes de la funció gamma incompleta: $F(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}\gamma {\big{\dfrac {k}{2}},{\dfrac {x}{2}}{\big )},&{\text{si}}\ x\geq 0\\0,&{\text{si}}\ x<0,\end{cases}}$on $\gamma (\nu ,x)$ és la funció gamma incompleta inferior.

### Extensió a graus de llibertat no enters

La funció $f(x;k)$ està ben definida i és una funció de densitat per a qualsevol $k\in (0,\infty )$: en efecte, fixat qualsevol nombre real $k>0$, tenim que $f(x;k)\geq 0$ i $\int _{-\infty }^{\infty }f(x;k)\,dx=1$. Aleshores, una variable aleatòria amb aquesta densitat es diu que té una distribució $\chi ^{2}$ amb $k$ graus de llibertat. Alternativament, la distribució $\Gamma {\Big{\frac {k}{2}},2{\Big )}$ està definida per a qualsevol $k\in (0,\infty )$. A partir d'ara, suposarem que $k\in (0,\infty )$. i especificarem quan suposem que $k$ és un nombre natural.

## Moments, funció generatriu de moments i funció característica
### Moments

Aquestes propietats es dedueixen particularitzant les corresponents propietats de la distribució gamma. Si $Q\sim \chi ^{2}(k)$ aleshores té moments de tots els ordres, que valen $E[Q]=k\quad {\text{i}}\quad E[Q^{n}]=k(k+2)\cdots (k+2n-2),\ n\geq 2.$Utilitzant la funció Gamma es pot escriure
$E[Q^{n}]=2^{n}\,{\frac {\Gamma {\big(k/2)+n{\big )}}{\Gamma (k/2)}}.$
En particular, $E[Q^{2}]=k(k+2),$ d'on ${\text{Var}}(Q)=E[Q^{2}]-(E[Q])^{2}=2k.$ Així,
* $E[Q]=k\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(Q)=2k.$

### Moments d'ordre negatiu

Si $X$ és una variable aleatòria positiva, $X\geq 0$, aleshores per a qualsevol $r>0$ podem calcular $E[X^{-r}]=E{\Big{\frac {1}{X^{r}}}{\Big ]},$però pot donar $+\infty$ . Quan dona finit, llavors es diu que la variable $X$ té moment d'ordre negatiu $-r$.
Sigui $Q\sim \chi ^{2}(k)$. Llavors, si $r\in (0,\nu /2)$ , $Q$ té moment d'ordre negatiu $-r$ i val$E[Q^{-r}]={\frac {\Gamma {\Big{\frac {\nu }{2}}-r{\Big )}}{2^{r}\,\Gamma {\Big{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}.$Per exemple, si $\nu =4$ , llavors $Q$ té moment negatiu d'ordre -1 i val $E[Q^{-1}]={\frac {1}{2}}.$Aquesta propietat s'utilitza per a calcular els moments de distribucions de quocients (o ratios) de variables aleatòries independents quan al denominador hi ha una distribució khi quadrat, com en el cas d'una distribució $t$ de Student o una distribució $F$.

### Funció generatriu de moments

La funció generatriu de moments és $M(t)={\frac {1}{(1-2t)^{k/2}}},\quad t\in (-\infty ,{\frac {1}{2}}).$

### Funció característica

La funció característica és $\varphi (t)={\frac {1}{(1-2it)^{k/2}}},\quad t\in \mathbb {R} .$

## Caràcter reproductiu

Del caràcter reproductiu de les distribucions gamma es dedueix el de les distribucions $\chi ^{2}$: Siguin $Q_{1},\dots ,Q_{n}$ independents, amb distribucions $Q_{i}\sim \chi ^{2}(k_{i})$, $1=1,\dots ,n$. Llavors, $\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\sim \chi ^{2}{\big\sum _{i=1}^{n}k_{i}{\big )}.$
       Propietat.: Siguin $Q_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ i $Q_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$. Suposem que $Q=Q_{1}-Q_{2}$ és independent de $Q_{2}$. Aleshores $Q\sim \chi ^{2}(k_{1}-k_{2})$.
$\varphi _{Q},\ \varphi _{Q_{1}}\ {\text{i}}\ \varphi _{Q_{2}}$
$Q,\ Q_{1}\ {\text{i}}\ Q_{2}$
$\varphi _{Q_{1}}(t)={\frac {1}{(1-2it)^{k_{1}/2}}}=E[e^{itQ_{1}}]=E[e^{itQ+itQ_{2}}]=E[e^{itQ}]\,E[e^{itQ_{2}}]=\varphi _{Q}(t)\,\varphi _{Q_{2}}(t)=\varphi _{Q}(t)\,{\frac {1}{(1-2it)^{k_{2}/2}}}.$
$\varphi _{Q}(t)={\frac {1}{(1-2it)^{(k_{1}-k_{2})/2}}}.$
$Q\sim \chi ^{2}(k_{1}-k_{2})$

## Aproximació per la distribució normal

En aquesta secció considerarem la distribució $\chi ^{2}$ amb un nombre enter de graus de llibertat. D'acord amb el teorema central del límit, si $Q_{k}\sim \chi ^{2}(k)$, aleshores$\lim _{k\to \infty }{\frac {Q_{k}-k}{\sqrt {2k}}}={\mathcal {N}}(0,1),\quad {\text{en distribució.}}$En altres paraules, per a $k$ gran, $Q_{k}$ és aproximadament normal ${\mathcal {N}}(k,2k)$.
Però aquesta aproximació demana $k$ força gran. La següent aproximació, deguda a Fisher, és més ràpida $\lim _{k\to \infty }{\Big{\sqrt {2Q_{k}}}-{\sqrt {2k-1}}{\Big )}={\mathcal {N}}(0,1),\quad {\text{en distribució.}}$Equivalentment, per a $k$ gran, ${\sqrt {2Q_{k}}}$ és aproximadament normal ${\mathcal {N}}({\sqrt {2k-1}},1)$ .
Segons Johnson et al encara és més ràpida l'aproximació deguda a Wilson and Hilferty: per a $k$ gran, ${\sqrt[{3}]{Q_{k}/k}}$ és aproximadament normal ${\mathcal {N}}{\big1-{\frac {2}{9k}},{\frac {2}{9k}}{\big )}.$
$Z_{1},Z_{2},\dots$
${\mathcal {N}}(0,1)$
$Z_{1}^{2},Z_{2}^{2},\dots$
$E[Z_{i}^{2}]=1$
${\text{Var}}(Z_{i})=E[Z_{i}^{4}]-{\bigE[Z_{i}^{2}]{\big )}^{2}=2.$
$\lim _{k\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}-k}{\sqrt {2k}}}={\mathcal {N}}(0,1),\quad {\text{en distribució.}}$Però $\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(k).$
L'aproximació de Fisher pot deduir-se de l'aproximació de la distribució gamma a la distribució normal: sigui $X_{k}\sim \Gamma (k,1)$. Aleshores $\lim _{k\to \infty }2{\Big{\sqrt {X_{k}}}-{\sqrt {k-{\tfrac {1}{4}}}}{\Big )}=\ {\mathcal {N}}(0,1),\quad {\text{en distribució}}.$Ara, per la propietat d'escala de la distribució gamma, atès que $Q_{k}\sim \chi ^{2}(k)=\Gamma {\Big{\dfrac {k}{2}},2{\Big )}$, tenim que ${\dfrac {Q_{k}}{2}}\sim \Gamma {\Big{\dfrac {k}{2}},1{\Big )}$. Vegeu pels detalls .

## La distribució χ² i les mostres de poblacions normals

El següent resultat té una importància fonamental en la inferència estadística basada en mostres de poblacions normals.
* Teorema. Sigui $X_{1},\dots ,X_{n}$ una mostra d'una població normal ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$, és a dir, les variables aleatòries $X_{1},\dots ,X_{n}$ són independents i totes tenen distribució ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$. Considerem la mitjana mostral ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$Aleshores:
* ${\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\bigX_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2}\sim \chi ^{2}(n-1).$
* Les variables aleatòries ${\overline {X}}$ i $\sum _{i=1}^{n}{\bigX_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2}$ són independents.
A partir d'aquest teorema i del fet que ${\overline {X}}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n)$, tenim que la variable aleatòria (estadístic)$T={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}$ té una distribució $t$ de Sudent amb $n-1$ graus de llibertat: $T\sim t(n-1)$, on
$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{\bigX_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2},$ és la variància mostral.
Pas previ: reducció a una mostra d'una població normal estàndard. Siguin $Z_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }},\ i=1,\dots ,n,$ que son variables independents amb distribució ${\mathcal {N}}(0,1)$. Tenim que ${\overline {X}}=\sigma {\overline {Z}}+\mu .$Llavors, $X_{i}-{\overline {X}}=\sigma Z_{i}+\mu -(\sigma {\overline {Z}}+\mu )=\sigma (Z_{i}-{\overline {Z}}).$Per tant, ${\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-{\overline {Z}})^{2}.$Així, n'hi ha prou amb demostrar que si $Z_{1},\dots ,Z_{n}$ són independents, totes amb llei ${\mathcal {N}}(0,1)$, aleshores
* $\sum _{i=1}^{n}{\bigZ_{i}-{\overline {Z}}{\big )}^{2}\sim \chi ^{2}(n-1).$
* Les variables aleatòries ${\overline {Z}}$ i $\sum _{i=1}^{n}{\bigZ_{i}-{\overline {Z}}{\big )}^{2}$ són independents.
Per demostrar aquestes propietats utilitzarem l'anomenada matriu de Helmert de dimensió $n$:${\boldsymbol {H}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {n}}}&{\frac {1}{\sqrt {n}}}&{\frac {1}{\sqrt {n}}}&{\frac {1}{\sqrt {n}}}&\cdots &{\frac {1}{\sqrt {n}}}&{\frac {1}{\sqrt {n}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0&0&\cdots &0&0\\{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {2}{\sqrt {6}}}&0&\cdots &0&0\\{\frac {1}{\sqrt {12}}}&{\frac {1}{\sqrt {12}}}&{\frac {1}{\sqrt {12}}}&-{\frac {3}{\sqrt {12}}}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}&{\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}&{\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}&{\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}&\cdots &{\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}&-{\frac {n-1}{\sqrt {n(n-1)}}}\end{pmatrix}}$que és una matriu ortogonal, és a dir, ${\boldsymbol {H}}^{-1}={\boldsymbol {H}}',$on ${\boldsymbol {H}}'$ denota la matriu transposada de ${\boldsymbol {H}}$. Aquesta matriu té la següent propietat: sigui ${\boldsymbol {z}}=(z_{1},\dots ,z_{n})$ (escriurem tots els vectors en columna) i ${\boldsymbol {y}}=(y_{1},\dots ,y_{n})^{\prime }={\boldsymbol {Hz}}.$Aleshores, tenim que $\sum _{i=1}^{n}(z_{i}-{\overline {z}})^{2}=\sum _{i=2}^{n}y_{i}^{2}.\qquad (1)$ En efecte, d'una banda, $y_{1}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}z_{i}={\sqrt {n}}\,{\overline {z}}.$D'altra banda, desenvolupant els quadrats de l'esquerra de (1) s'obté $\sum _{i=1}^{n}(z_{i}-{\overline {z}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}z_{i}^{2}-n({\overline {z}})^{2}={\boldsymbol {z'z}}-n({\overline {z}})^{2}.$El costat de la dreta de (1) és $\sum _{i=2}^{n}y_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-y_{1}^{2}={\boldsymbol {y'y}}-y_{1}^{2}={\boldsymbol {z'H'Hz}}-n({\overline {z}})^{2}={\boldsymbol {z'z}}-n({\overline {z}})^{2},$amb la qual cosa queda provada la igualtat (1).
Ara considerem el vector normal multidimensional ${\boldsymbol {Z}}=(Z_{1},\dots ,Z_{n})'$, i sigui ${\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{n})'$ donat per${\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {HZ}}.$Per les propietats dels vectors normals multidimensionals, del fet que $Z_{1},\dots ,Z_{n}$ són independents, totes amb llei ${\mathcal {N}}(0,1)$ i que ${\boldsymbol {H}}$ és ortogonal, es dedueix que $Y_{1},\dots ,Y_{n}$ són independents, totes amb llei ${\mathcal {N}}(0,1)$. Llavors,
$\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-{\overline {Z}})^{2}=\sum _{i=2}^{n}Y_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(n-1).$La independència entre ${\overline {Z}}$ i $\sum _{i=1}^{n}{\bigZ_{i}-{\overline {Z}}{\big )}^{2}$ es dedueix de les relacions ${\overline {Z}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\,Y_{1}\quad {\text{i}}\quad \sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-{\overline {Z}})^{2}=\sum _{i=2}^{n}Y_{i}^{2},$
$Y_{1}$
$(Y_{2},\dots ,Y_{n})$

## Relació amb altres distribucions

* Si $Q_{k}\sim \chi ^{2}(k)$, aleshores $Q_{k}$ té una distribució gamma $\Gamma {\Big{\frac {k}{2}},2{\Big )}$.
* Si $Q_{k}\sim \chi ^{2}(k)$ i $c>0$, aleshores $c\,Q_{k}\sim \Gamma {\Big{\frac {k}{2}},2c{\Big )}$. En particular, per a $\theta >0$, tenim que ${\tfrac {\theta }{2}}Q_{2k}\sim \Gamma (k,\theta )$. Aquesta propietat és deguda a la propietat d'escala de la distribució gamma.
* Relació amb la distribució de Poisson.. Sigui $Q_{k}\sim \chi ^{2}(k)$ amb $k$ parell. Aleshores per a qualsevol $a>0$,
$P(Q_{k}>a)=P(Y\leq {\frac {k}{2}}-1),$ on $Y$ és una variable aleatòria amb una distribució de Poisson de paràmetre $a/2$.
$m=k/2$
$P(Q_{k}>a)={\frac {1}{2^{m}\Gamma (m)}}\int _{a}^{\infty }x^{m-1}e^{-x/2}\,dx.$
$u=x^{m-1}$
$e^{-x/2}\,dt=dv$
Noteu que aquesta propietat és equivalent a la que es formula a la pàgina de la distribució de Poisson: Si $Y$ és una variable amb distribució de Poisson de paràmetre $\lambda$, aleshores per a $n=0,\,1,2,\dots$,
    $P(Y\leq n)=P(Q_{2(n+1)}>2\lambda ),$
on $Q_{2(n+1)}\sim \chi ^{2}{\big2(n+1){\big )}$.
* Si $Q\sim \chi _{2}^{2}$, aleshores $Q$ té una distribució exponencial de paràmetre 1/2.
* Si $Q\sim \chi _{2k}^{2}$, aleshores $Q$ té una distribució d'Erlang de paràmetres $k$ i 1/2.
* Si $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$ (distribució d'Erlang) llavors $2\lambda X\sim \chi ^{2}(2k)$.
* Si $X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,$ (distribució de Rayleigh) llavors $X^{2}\sim \chi ^{2}(2)\,$.
* Si $X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,$ (distribució de Maxwell) llavors $X^{2}\sim \chi ^{2}(3)\,$.
* Si $Q_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})\,$ i $Q_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})\,$ són independents, llavors $Q_{1}/(Q_{1}+Q_{2})\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {k_{1}}{2}},{\tfrac {k_{2}}{2}})\,$ (Distribució beta).
* Si $X\sim \operatorname {U} (0,1)\,$ (distribució uniforme contínua) llavors $-2\log(X)\sim \chi ^{2}(2)\,$.

## Aplicacions

La distribució khi quadrat té moltes aplicacions en inferència estadística, per exemple en el test khi quadrat i en l'estimació de variàncies. També està involucrada en el problema d'estimar la mitjana d'una població normalment distribuïda i en el problema d'estimar el pendent d'una recta de regressió lineal, a través del seu paper en la distribució t de Student, i participa en tots els problemes d'anàlisi de variància, pel seu paper en la distribució F de Snedecor, que és la distribució del quocient de dues variables aleatòries de distribució khi-quadrat i independents. També té ús al contrast de $k$ poblacions amb els contrasts d'homogeneïtat i al d'independència.

## Referències

* ↑ Johnson, Kotz i Balakrishnan, 1994, Chapter 18.
* 1 2 David, H. A. «Moments of Negative Order and Ratio-Statistics». Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 17, 1, 1955, pàg. 122–123. ISSN: 0035-9246.
* ↑ Seber, G. A. F.. Linear regression analysis. 2a edició. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003, p. 13. ISBN 0-471-41540-5.
* ↑ Fisher, Ronald A. Stastistical Methods for Social Workers. Edimburg: Oliver & Boyd, 1925, p. 63.
* ↑ Johnson, Kotz i Balakrishnan, 1994, p. 426.
* ↑ Wilson, Edwin B.; Hilferty, Margaret M. «The Distribution of Chi-Square» (en anglès). Proceedings of the National Academy of Sciences, 17, 12, 12-1931, pàg. 684–688. DOI: 10.1073/pnas.17.12.684. ISSN: 0027-8424. PMC: PMC1076144. PMID: 16577411.
* ↑ Williams, D. Weighing the odds : a course in probability and statistics. Cambridge: Cambridge University Press, 2001, p. 164. ISBN 0-521-80356-X.
* ↑ DeGroot, Morris H. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, p. 373-374. ISBN 0-201-64405-3.
* ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 149. ISBN 978-0-470-22678-0.
* ↑ Johnson, Kotz i Balakrishnan, 1994, p. 450.
* ↑ Johnson, Norman Lloyd. Univariate discrete distributions.. 2nd ed.. Nova York: Wiley, 1992, p. 162, formula (4.38). ISBN 0-471-54897-9.

## Bibliografia

* Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions (en anglès). 1 1. 2a edició. Nova York: Wiley, 1994. ISBN 0-471-58495-9.

## Vegeu també

* Distribució gamma
* Distribució exponencial
* Distribució de Poisson
* Prova de khi-quadrat de Pearson
* Distribució multinomial