# So zero

El so zero és el nom que va donar Lev Landau el 1957 a les vibracions quàntiques úniques en els líquids quàntics de Fermi. El so zero ja no es pot pensar com una simple ona de compressió i rarefacció, sinó més aviat una fluctuació en l'espai i el temps de la funció de distribució del moment de les quasipartícules. A mesura que la forma de la funció de distribució de Fermi canvia lleugerament (o en gran manera), el so zero es propaga en la direcció del cap de la superfície de Fermi sense cap canvi en la densitat del líquid. Les prediccions i les observacions experimentals posteriors de so zero van ser una de les confirmacions clau de la correcció de la teoria líquida de Fermi de Landau.

## Derivació de l'equació de transport de Boltzmann

L'equació de transport de Boltzmann per a sistemes generals en el límit semiclàssic dóna, per a un líquid de Fermi,
${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial E}{\partial {\vec {p}}}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}-{\frac {\partial E}{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\text{St}}[f]$
on $f({\vec {p}},{\vec {x}},t)=f_{0}({\vec {p}})+\delta f({\vec {p}},{\vec {x}},t)$ és la densitat de quasipartícules (aquí ignorem l'espín) amb el moment ${\vec {p}}$ i posició ${\vec {x}}$ a l'hora $t$, i $E({\vec {p}},{\vec {x}},t)=E_{0}({\vec {p}})+\delta E({\vec {p}},{\vec {x}},t)$ és l'energia d'una quasipartícula de moment ${\vec {p}}$ ( $f_{0}$ i $E_{0}$ denoten la distribució d'equilibri i l'energia en la distribució d'equilibri). El límit semiclàssic suposa això $f$ fluctua amb la freqüència angular $\omega$ i longitud d'ona $\lambda =2\pi /k$, que són molt inferiors a $E_{\rm {F}}/\hbar$ i molt més llarg que $\hbar /p_{\rm {F}}$ respectivament, on $E_{\rm {F}}$ i $p_{\rm {F}}$ són l'energia i el moment de Fermi respectivament, al voltant dels quals $f$ no és trivial. Al primer ordre en la fluctuació des de l'equilibri, l'equació esdevé
${\frac {\partial \delta f}{\partial t}}+{\frac {\partial E_{0}}{\partial {\vec {p}}}}\cdot {\frac {\partial \delta f}{\partial {\vec {x}}}}-{\frac {\partial \delta E}{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\frac {\partial f_{0}}{\partial {\vec {p}}}}={\text{St}}[f]$
Quan la quasipartícula és el camí lliure mitjà $\ell \ll \lambda$ (equivalentment, temps de relaxació $\tau \ll 1/\omega$ ), les ones sonores ordinàries ("primer so") es propaguen amb poca absorció. Però a baixes temperatures $T$ (on $\tau$ i $\ell$ escala com $T^{-2}$), el camí lliure mitjà supera $\lambda$, i com a resultat la col·lisió funcional ${\text{St}}[f]\approx 0$. No es produeix so en aquest límit sense col·lisions.
En la teoria líquida de Fermi, l'energia d'una quasipartícula de moment ${\vec {p}}$ és
$E_{\rm {F}}+v_{\rm {F}}(|{\vec {p}}|-p_{\rm {F}})+\int {\frac {d^{3}{\vec {p}}'}{4\pi p_{\rm {F}}m^{*}}}F(p,p')\delta f(p')$
on $F$ és el paràmetre de Landau normalitzat adequadament, i
$f_{0}({\vec {p}})=\Theta (p_{\rm {F}}-|{\vec {p}}|)$.
Aleshores, l'equació de transport aproximada té solucions d'ona plana
$\delta f({\vec {p}},{\vec {x}},t)=\delta (E({\vec {p}})-E_{\rm {F}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\nu ({\hat {p}})$
amb $\nu ({\hat {p}})$ donat per
$(\omega -v_{\rm {F}}{\hat {p}}\cdot {\hat {k}})\nu ({\hat {p}})=v_{\rm {F}}{\hat {p}}\cdot {\hat {k}}\int d^{2}{\frac {{\hat {p}}'}{4\pi }}F({\hat {p}},{\hat {p}}')\nu ({\hat {p}}')$
Aquesta equació d'operador funcional dóna la relació de dispersió per a les ones sonores zero amb freqüència $\omega$ i vector d'ona ${\vec {k}}$. L'equació de transport és vàlida en el règim on $\hbar \omega \ll E_{\rm {F}}$ i $\hbar |{\vec {k}}|\ll p_{\rm {F}}$.
En molts sistemes, $F({\hat {p}},{\hat {p}}')$ només depèn lentament de l'angle entre ${\hat {p}}$ i ${\hat {p}}'$. Si $F$ és una constant independent de l'angle $F_{0}$ amb $F_{0}>0$ (tingueu en compte que aquesta restricció és més estricta que la inestabilitat de Pomeranchuk) aleshores l'ona té la forma $\nu ({\hat {p}})\propto ({\omega }/({v_{\rm {F}}{\hat {p}}\cdot {\vec {k}}})-1)^{-1}$ i relació de dispersió ${\frac {s}{2}}\log {\frac {s+1}{s-1}}-1=1/F_{0}$ on $s=\omega /{kv_{\rm {F}}}$ és la relació entre la velocitat zero de la fase del so i la velocitat de Fermi. Si els dos primers components de Legendre del paràmetre Landau són significatius, $F({\hat {p}},{\hat {p}}')=F_{0}+F_{1}{\hat {p}}\cdot {\hat {p}}'$ i $F_{1}>6$, el sistema també admet una solució d'ona sonora zero asimètrica $\nu ({\hat {p}})\propto {\sin(2\theta )}/({s-\cos {\theta }})e^{i\phi }$ (on $\phi$ i $\theta$ són l'angle azimutal i polar de ${\hat {p}}$ sobre la direcció de propagació ${\hat {k}}$ ) i relació de dispersió
$\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin ^{3}\theta \cos \theta }{s-\cos \theta }}d\theta ={\frac {4}{F_{1}}}$

## Referències

* ↑ Mermin, N. D. «Existence of Zero Sound in a Fermi Liquid». Physical Review, 159, 1, 05-07-1967, pàg. 161–164. DOI: 10.1103/PhysRev.159.161.
* ↑ Eckart, G.; Holzwarth, G.; da Providencia, J. P. «First sound versus zero sound in finite Fermi systems». Nuclear Physics A, 364, 1, 29-06-1981, pàg. 1–28. DOI: 10.1016/0375-9474(81)90430-9. ISSN: 0375-9474.
* ↑ «INSPIRE» (en anglès). [Consulta: 9 març 2025].
* ↑ Mandal, Ipsita «Zero sound and plasmon modes for non-Fermi liquids». Physics Letters A, 447, 30-09-2022, pàg. 128292. DOI: 10.1016/j.physleta.2022.128292. ISSN: 0375-9601.