# Semigrup

En matemàtiques, un semigrup és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna associativa. Un semigrup és doncs, un magma associatiu.
Formalment, $(E,\star )$ és un semigrup si:
* $\forall (x,y)\in E^{2},x\star y\in E$ (llei de composició interna).
* $\forall (x,y,z)\in E^{3},x\star (y\star z)=(x\star y)\star z$ (associativitat)
Quan un semigrup té a més element neutre s'anomena monoide.

## Un exemple de semigrup: els polinomis de grau 3 amb la suma

El conjunt dels polinomis de grau 3 amb coeficients naturals, amb l'addició, és un semigrup, amb les característiques següents:

### L'operació és una llei de composició interna

Podem expressar dos polinomis $P(x)$ i $Q(x)$ de grau 3 amb coeficients naturals qualssevol de la següent manera:
* $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
* $Q(x)=ex^{3}+fx^{2}+gx+h$
La suma dels dos polinomis pot ser entesa com la suma dels seus components:
$P(x)+Q(x)=(a+e)x^{3}+(b+f)x^{2}+(c+g)x+(d+h)$.
Atès que els coeficients de $P(x)$ i $Q(x)$ són naturals, els de la seva suma també ho seran. Per tant, l'operació és una llei de composició interna.

### No té element neutre

Prenent $P(x)$ i un polinomi $I(x)$ tal que $I(x)=ex^{3}+fx^{2}+gx+h$, on e, f, g i h són nombres naturals, $I(x)$ és l'element neutre del conjunt si satisfà l'equació $P(x)+I(x)=P(x)$. Per tant, la suma d'aquests dos polinomis $P(x)+I(x)$ hauria de ser igual a $P(x)$. L'única solució possible a aquesta equació és que totes les components de $I(x)$ siguin 0, de manera que no seria un element del conjunt. En conseqüència, no existeix un element neutre.

### L'operació és associativa en el conjunt

Com s'ha especificat abans, la suma de dos polinomis pot expressar-se com la suma dels seus components. Sabent que aquests són nombres naturals i que la suma és associativa pels nombres naturals, pot es pot assegurar que l'operació també és associativa en el conjunt dels polinomis de grau 3 amb coeficients naturals.

### La divisió no sempre és possible

Perquè la divisió sigui sempre possible, s'ha de verificar que per a qualsevol $P(x)$ i $Q(x)$ en aquest conjunt, existeix un divisor $D(x)$, també en el conjunt, tal que $Q(x)+D(x)=P(x)$. Aquesta condició no es compleix per a tots els $P(x)$ i $Q(x)$ del conjunt, ja que si un dels components de $P(x)$ és més petit que el mateix component de $Q(x)$, no existirà cap divisor en el conjunt que satisfaci l'equació. Per exemple, aquesta condició no es verificaria per a $P(x)=x^{3}+x^{2}+2x+1$ i per a $Q(x)=4x^{3}+3x^{2}+x+5$.

## Altres exemples

* El conjunt dels naturals sense el zero, amb l'addició, és un semigrup.
* El conjunt dels nombres positius múltiples de n per un n fixat, amb l'addició, és un semigrup.

## Bibliografia

* Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francès). París: Hermann, 1970.
* Weisstein, Eric W. «Semigroup» (en anglès). MathWorld. Wolfram Research, Inc.. [Consulta: 27 novembre 2013].
* Albert, A. A.. Studies in Modern Algebra (en anglès). Washington, DC: Associació Americana de Matemàtiques, 1963.
* Suschkewitsch, Anton «Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit» (en alemany). Mathematische Annalen, Vol. 99, Num. 1, 1928, pàg. 30-50. DOI: 10.1007/BF01459084. ISSN: 0025-5831.

## Referències

* ↑ «GDLC - monoide». [Consulta: 29 gener 2022].
* ↑ «What does semigroup mean?». [Consulta: 29 gener 2022].
* ↑ «examples of semigroups». [Consulta: 29 gener 2022].
* ↑ «MATHS: Semigroups». [Consulta: 29 gener 2022].

## Vegeu també

* Element absorbent
* Magma
* Monoide, semigrup amb element neutre.