# Sèries hipergeomètriques de Lauricella

En matemàtiques, les sèries hipergeomètriques de Lauricella són quatre sèries hipergeomètriques de tres variables (F$_A$, F$_B$, F$_C$, F$_D$) definides i estudiades l'any 1893 pel matemàtic Giuseppe Lauricella (Lauricella 1893):
    $F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}$
per a |x$_1$| + |x$_2$| + |x$_3$| < 1, i
    $F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}$
per a |x$_1$| < 1, |x$_2$| < 1, |x$_3$| <1, i
    $F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}$
per a |x$_1$|$^{1/2}$ + |x$_2$|$^{1/2}$ + |x$_3$|$^{1/2}$ < 1, i
    $F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}\,i_{1}!\,i_{2}!\,i_{3}!}}\,x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}$
per a |x$_1$| < 1, |x$_2$| < 1, |x$_3$| < 1.
El símbol de Pochhammer (q)$_i$ indica l'i-è factor creixent de q, és a dir
    $(q)_{i}=q\,(q+1)\cdots (q+i-1)={\frac {\Gamma (q+i)}{\Gamma (q)}}~,$
on la segona igualtat és certa per a tot complex $q$ excepte $q=0,-1,-2,\ldots$
Aquestes funcions es poden estendre a altres valors de les variables x$_1$, x$_2$, x$_3$ mitjançant continuació analítica.
Lauricella també va indicar l'existència d'altres deu funcions hipergeomètriques de tres variables. Aquests van ser anomenats F$_E$, F$_F$ ,... , F$_T$ estudiades per Shanti Saran el 1954 (Saran 1954). Per tant, hi ha un total de 14 funcions hipergeomètriques de Lauricella–Saran.

## Generalització a n variables

Aquestes funcions es poden estendre directament a n variables. Hom escriu, per exemple,
    $F_{A}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\cdots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\cdots (b_{n})_{i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\cdots (c_{n})_{i_{n}}\,i_{1}!\cdots \,i_{n}!}}\,x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}~,$
on |x$_1$| +... + |x$_n$| < 1. Aquestes sèries generalitzades també es coneixen de vegades com a funcions de Lauricella.
Quan n = 2, les funcions de Lauricella corresponen a la sèrie hipergeomètrica d'Appell de dues variables:
    $F_{A}^{(2)}\equiv F_{2},\quad F_{B}^{(2)}\equiv F_{3},\quad F_{C}^{(2)}\equiv F_{4},\quad F_{D}^{(2)}\equiv F_{1}.$
Quan n = 1, les quatre funcions es redueixen a la funció hipergeomètrica de Gauss:
    $F_{A}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{B}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{C}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv F_{D}^{(1)}(a,b,c;x)\equiv {_{2}}F_{1}(a,b;c;x).$

## Representació integral de F $_D$

En analogia amb la funció d'Appell <i id="mwfg">F</i><sub id="mwfw">1</sub>, la funció F$_D$ de Lauricella es pot escriure com a una integral de tipus Euler unidimensional per a qualsevol nombre n de variables:
    $F_{D}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c;x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-x_{1}t)^{-b_{1}}\cdots (1-x_{n}t)^{-b_{n}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Re} c>\operatorname {Re} a>0~.$
Aquesta representació es pot verificar fàcilment mitjançant l'expansió de Taylor de l'integrand, seguida de la integració de termes. La representació implica que la integral el·líptica incompleta Π és un cas especial de la funció de Lauricella F$_D$ amb tres variables:
    $\Pi (n,\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}=\sin(\phi )\,F_{D}^{(3)}({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};n\sin ^{2}\phi ,\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\qquad |\operatorname {Re} \phi |<{\frac {\pi }{2}}~.$

## Solucions de suma finita de F $_D$

Cas 1: $a>c$, $a-c$ un nombre sencer positiu
Es pot relacionar F $_D$ amb la funció R de Carlson $R_{n}$ via
$F_{D}(a,{\overline {b}},c,{\overline {z}})=R_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}={\frac {\Gamma (a-c+1)\Gamma (b^{*})}{\Gamma (a-c+b^{*})}}\cdot D_{a-c}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})\cdot \prod _{i}(z_{i}^{*})^{b_{i}^{*}}$
amb la suma iterativa
$D_{n}({\overline {b^{*}}},{\overline {z^{*}}})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}^{*}\cdot (z_{i}^{*})^{k}\right)\cdot D_{k-i}$ i $D_{0}=1$
on es pot aprofitar que la funció R de Carlson per $n>0$ té una representació exacta (vegeu per a més informació).
Els vectors es defineixen com a
${\overline {b^{*}}}=[{\overline {b}},c-\sum _{i}b_{i}]$
${\overline {z^{*}}}=[{\frac {1}{1-z_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{1-z_{N-1}}},1]$
on la longitud de ${\overline {z}}$ i ${\overline {b}}$ és $N-1$, mentre que els vectors ${\overline {z^{*}}}$ i ${\overline {b^{*}}}$ tenen longitud $N$.
Cas 2: $c>a$, $c-a$ un nombre sencer positiu
En aquest cas també hi ha una forma analítica coneguda, però és bastant complicat d'escriure i comporta diversos passos. Vegeu per a més informació.

## Referències

* ↑ Glüsenkamp, T. EPJ Plus, 133, 6, 2018, pàg. 218. arXiv: 1712.01293. Bibcode: 2018EPJP..133..218G. DOI: 10.1140/epjp/i2018-12042-x.
* ↑ Tan, J.; Zhou, P. Advances in Computational Mathematics, 23, 4, 2005, pàg. 333–351. DOI: 10.1007/s10444-004-1838-0.
* Appell, Paul. Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (en french). Paris: Gauthier–Villars, 1926. (see p. 114)
* Exton, Harold. Multiple hypergeometric functions and applications. Chichester, UK: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd., 1976 (Mathematics and its applications). ISBN 0-470-15190-0.
* Lauricella, Giuseppe (en italian) Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 7, S1, 1893, pàg. 111–158. DOI: 10.1007/BF03012437.
* Saran, Shanti Ganita, 5, 1, 1954, pàg. 77–91. ISSN: 0046-5402. (corrigendum 1956 in Ganita 7, p. 65)
* Slater, Lucy Joan. Generalized hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1966. ISBN 0-521-06483-X. (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2)
* Srivastava, Hari M. Multiple Gaussian hypergeometric series. Chichester, UK: Halsted Press, Ellis Horwood Ltd., 1985 (Mathematics and its applications). ISBN 0-470-20100-2. (there is another edition with ISBN 0-85312-602-X)