# Xavier Tolsa Domènech

Xavier Tolsa Domènech (Barcelona, 1966) és un matemàtic català que treballa en anàlisi harmònica, anàlisi complexa, teoria geomètrica de la mesura i teoria del potencial.
Des de 2003 és investigador ICREA a la UAB. És conegut per ser el primer matemàtic de la península Ibèrica en rebre el Premi Salem (2002), així com el Premi de la European Mathematical Society per joves investigadors l'any 2004 per la resolució d'un problema de més de 100 anys d'antiguitat. L'any 2013 va rebre el premi Ferran Sunyer i Balaguer per la seva monografia sobre capacitat analítica i teoria de Calderón-Zygmund. El 2019 va rebre el Premi Rei Jaume I a la Investigació pels seus avenços en anàlisi harmònica i teoria geomètrica de la mesura.
És especialment reconegut pel seus treballs sobre capacitat analítica i conjunts evitables per les funcions holomorfes fitades, el problema de David-Semmes i diverses qüestions sobre rectificabilitat i mesura harmònica. Va resoldre la conjectura de Anatoli Gueórguievitx Vituixkin sobre la semi-additivitat de la capacitat analítica, la qual va utilitzar per resoldre el problema de Paul Painlevé (veure p.78 de), que consistia en trobar una caracterització purament geomètrica dels conjunts evitables en el pla complex. Tolsa va solucionar el problema de Painlevé mitjançant una expressió de la transformada de Cauchy en termes de la curvatura de Menger descoberta per Mark Melnikov (qui va ser el tutor de tesi de Tolsa) el 1995. La primera aplicació d'aquesta relació va ser la demostració de Joan Verdera de la fitació L^2 de la integral de Cauchy sobre una corba lipschitziana i la segona la caracterització en el pla dels conjunts uniformement rectificables en dimensió 1 per la fitació L^2 de la integral de Cauchy respecte de la mesura de longitud. La demostració, basada en obtenir estimacions de la transformada de Cauchy via la curvatura de Menger i el teorema T(b), li va valdre el reconeixement de la comunitat matemàtica internacional.
Guy David i Stephen Semmes van demostrar el 1991 que l'acotació de tots els operadors singulars de convolució d'un nucli imparell respecte a una mesura donada en l'espai de les funcions de quadrat integrable respecte la mateixa mesura implica que la mesura és uniformement rectificable. Al mateix llibre conjecturaven que acotar només la transformada de Riesz podria ser suficient. Fedor Nazarov, Tolsa i Alexander Volberg van demostrar que la conjectura és certa en codimensió 1 (Mattila Melnikov i Verdera ho havien demostrat prèviament en el pla).
A partir del 2015 comença a investigar també problemes de mesura harmònica i rectificabilitat. En particular estudia el problema d'una fase de la mesura harmònica (trobar condicions necessàries i suficients perquè la mesura harmònica sigui absolutament contínua respecte a la mesura de superfície) i el problema de dues fases (trobar condicions perquè la mesura harmònica d'un domini i la de l'interior del seu complementari siguin mútuament absolutament contínues).

## Publicacions seleccionades

* «Singularitats de funcions analítiques, integrals singulars i conjunts fractals» Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, 17, núm. 2 (desembre 2002), pàgines 75-89
* «The planar Cantor sets of zero analytic capacity and the local T(b) theorem» (anglès), (amb J. Mateu and J. Verdera), Journal American Mathematical Society. 16 (2003), pàgines 19-28.
* «Painleve's problem and semiadditivity of analytic capacity.» (anglès) Acta Mathematica 190 (2003), pàgines 105-149.
* «Bilipschitz maps, analytic capacity, and the Cauchy integral» (anglès), Annals of Mathematics. 162 (2005), pàgines 1241-1302.

## Referències

* ↑ «Entrevista: Xavier Tolsa i Domènech: "En matemáticas se necesita creatividad e imaginación"». El País, 15-09-2004. [Consulta: 17 agost 2023].
* ↑ «Premi Salem», SCM Notícies, juliol 2002, n°17, pàgina 9
* ↑ «Premien un investigador català per resoldre un problema matemàtic», Diari de Barcelona, 30 de juny de 2004
* ↑ «Mathematics People: Prizes presented at the European Congress of Mathematicians», Notices of the American Mathematical Society, octubre 2004, pàgina 1071
* 1 2 Tolsa, Xavier. Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. 307. Cham: Springer International Publishing, 2014. DOI 10.1007/978-3-319-00596-6. ISBN 978-3-319-00595-9.
* ↑ «El jurat dels Jaume I reconeix la tasca investigadora de tres valencians». Àpunt, 01-06-2019. [Consulta: 17 agost 2023].
* 1 2 Tolsa, Xavier «Bilipschitz maps, analytic capacity, and the Cauchy integral». Annals of Mathematics, 162, 3, 01-11-2005, pàg. 1243–1304. DOI: 10.4007/annals.2005.162.1243. ISSN: 0003-486X.
* ↑ Nazarov, Fedor; Volberg, Alexander; Tolsa, Xavier «On the uniform rectifiability of AD-regular measures with bounded Riesz transform operator: the case of codimension 1». Acta Mathematica, 213, 2, 2014, pàg. 237–321. DOI: 10.1007/s11511-014-0120-7. ISSN: 0001-5962.
* ↑ Vitushkin, A G «The analytic capacity of sets in problems of approximation theory». Russian Mathematical Surveys, 22, 6, 31-12-1967, pàg. 139–200. DOI: 10.1070/rm1967v022n06abeh003763. ISSN: 0036-0279.
* ↑ Dudziak, James Joseph, 1955-. Vitushkin's conjecture for removable sets. Nova York: Springer, 2010. ISBN 978-1-4419-6709-1.
* ↑ Tolsa, Xavier «The semiadditivity of continuous analytic capacity and the inner boundary conjecture». American Journal of Mathematics, 126, 3, 2004, pàg. 523–567. DOI: 10.1353/ajm.2004.0021. ISSN: 1080-6377.
* ↑ Pajot, Herv ̌M, author.. Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature, and Cauchy Integral.. Springer, 2003-01. ISBN 978-3-540-00001-3.
* 1 2 Tolsa, Xavier «Painlevé's problem and the semiadditivity of analytic capacity». Acta Mathematica, 190, 1, 2003, pàg. 105–149. DOI: 10.1007/bf02393237. ISSN: 0001-5962.
* ↑ Mel'nikov, M S «Analytic capacity: discrete approach and curvature of measure». Sbornik: Mathematics, 186, 6, 30-06-1995, pàg. 827–846. DOI: 10.1070/sm1995v186n06abeh000045. ISSN: 1064-5616.
* ↑ Melnikov, Mark S.; Verdera, Joan «A geometric proof of the L2 boundedness of the Cauchy integral on Lipschitz graphs» (en anglès). International Mathematics Research Notices, 1995, 7, 01-01-1995, pàg. 325–331. DOI: 10.1155/S1073792895000249. ISSN: 1073-7928.
* 1 2 Mattila, Pertti; Melnikov, Mark S.; Verdera, Joan «The Cauchy Integral, Analytic Capacity, and Uniform Rectifiability». The Annals of Mathematics, 144, 1, 7-1996, pàg. 127. DOI: 10.2307/2118585. ISSN: 0003-486X.
* ↑ David, Guy, 1957- author.. Singular integrals and rectifiable sets in Rn̳ : au-delà des graphes lipschitziens.
* ↑ Nazarov, Fedor; Volberg, Alexander; Tolsa, Xavier «On the uniform rectifiability of AD-regular measures with bounded Riesz transform operator: the case of codimension 1» (en anglès). Acta Mathematica, 213, 2, 2014, pàg. 237–321. DOI: 10.1007/s11511-014-0120-7. ISSN: 0001-5962.
* ↑ Azzam, Jonas; Hofmann, Steve; Martell, José María; Mayboroda, Svitlana; Mourgoglou, Mihalis «Rectifiability of harmonic measure». Geometric and Functional Analysis, 26, 3, 6-2016, pàg. 703–728. DOI: 10.1007/s00039-016-0371-x. ISSN: 1016-443X.
* ↑ Azzam, Jonas; Mourgoglou, Mihalis; Tolsa, Xavier «The one-phase problem for harmonic measure in two-sided NTA domains». Analysis & PDE, 10, 3, 17-04-2017, pàg. 559–588. DOI: 10.2140/apde.2017.10.559. ISSN: 1948-206X.
* ↑ Azzam, Jonas; Mourgoglou, Mihalis; Tolsa, Xavier «Mutual Absolute Continuity of Interior and Exterior Harmonic Measure Implies Rectifiability». Communications on Pure and Applied Mathematics, 70, 11, 15-02-2017, pàg. 2121–2163. DOI: 10.1002/cpa.21687. ISSN: 0010-3640.
* ↑ Domènech, Xavier Tolsa i «Singularitats de funcions analítiques, integrals singulars i conjunts fractals». Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, 2002, pàg. 75?89–75?89. ISSN: 2013-9829.
* ↑ Mateu, Joan; Tolsa, Xavier; Verdera, Joan Journal of the American Mathematical Society, 16, 01, 01-01-2003, pàg. 19–29. DOI: 10.1090/s0894-0347-02-00401-0. ISSN: 0894-0347.