# Tensor de Killing-Yano

En Geometria riemanniana, un tensor de Killing-Yano és una generalització del concepte de vector de Killing a un tensor de dimensió superior. Van ser introduïts l'any 1952 per Kentaro Yano. Un tensor antisimètric d'ordre p $f_{a_{1}a_{2}...a_{p}}$és anomenat de Killing-Yano quan verifica l'equació:
    $D_{b}f_{ca_{2}...a_{p}}+D_{c}f_{ba_{2}...a_{p}}=0\,$
Aquesta equació difereix de la generalització habitual del concepte de vector de Killing a tensors d'ordre superior, anomenats tensors de Killing pel fet que la derivada covariant D és simetritzada amb un únic índex del tensor i no amb la seva totalitat, com és el cas per als tensors de Killing.

## Tensors de Killing-Yano trivials

Tot vector de Killing és un tensor de Killing d'ordre 1 i un tensor de Killing-Yano.
El tensor completament antisimètric (anomenat tensor de Levi-Civita) $\epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}$, on n és la dimensió de la varietat, és un tensor de Killing-Yano, amb derivada covariant sempre nul·la.

## Construcció dels tensors de Killing a partir dels tensors de Killing-Yano

Existeixen diverses maneres de construir els tensors de Killing (simètrics) a partir dels tensors de Killing-Yano. Primerament, es poden obtenir dos tensors de Killing trivials a partir de tensors de Killing-Yano :
* A partir d'un tensor de Killing-Yano d'ordre 1 $\xi _{a}$, es pot construir un tensor de Killing $K_{ab}$ d'ordre de 2 segons
    $K_{ab}=\xi _{a}\xi _{b}$
* A partir del tensor completament antisimètric$\epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}$ $\epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}$$\epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}$, es pot construir el tensor de Killing trivial$\epsilon _{a_{1}a_{2}...a_{n}}$
    $K_{ab}=\epsilon _{ba_{2}...a_{n}}\epsilon ^{a_{2}...a_{n}c}g_{ca}=-6g_{ab}$
De manera més interessant, a partir de dos tensors de Killing-Yano d'ordre 2 $A_{ab}$ i $B_{ab}$, es pot construir el tensor de Killing d'ordre 2 $K_{ab}$ segons
    $K_{ab}=g^{cd}\left(A_{ac}B_{db}+B_{ac}A_{db}\right)$
A partir d'un tensor de Killing-Yano d'ordre n-1, $A_{a_{2}...a_{n}}$, es pot construir el vector associat al sentit d'Hodge (veure Dualitat d'Hodge),
    $A^{a}=\epsilon ^{aa_{2}...a_{n}}A_{a_{2}...a_{n}}$
Del fet que el tensor $A_{a_{2}...a_{n}}$ és de Killing-Yano, el vector A no és Killing-Yano, però obeeix l'equació.
    $D_{a}A_{b}={\frac {1}{n}}g_{ab}D_{c}A^{c}$
Aquesta propietat permet construït un tensor de Killing $K_{ab}$ a partir de dos vectors com aquests, definit per:
    $K_{ab}=A_{a}B_{b}+A_{b}B_{a}-2A^{c}B_{c}g_{ab}$
Tota combinació lineal de tensors de Killing-Yano és igualment un tensor de Killing-Yano

## Propietats

Un cert nombre de propietats dels espaitemps quadridimensionnels implides en els tensors de Killing-Yano han estat exposades per C. D. Collinson i H. Stephani al voltant dels anys 1970. ·
* Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano no degenerat, llavors aquest pot escriure's sota la forma
    $A_{ab}=X(l_{a}k_{b}-k_{a}l_{b})+iY(m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b})$
    on k, l, m i ${\bar {m}}$ formen una tètrade i les funcions X i Y obeeixen un cert nombre d'equacions diferencials. A més, el tensor de Killing-Yano va obeeix la relació següent amb el tensor de Ricci: ·
    $R_{a}^{c}A_{cb}+R_{b}^{c}A_{ca}=0$
* Les solucions a les equacions d'Einstein en el buit i de tipus D en la classificació de Petrov admeten un tensor de Killing i un tensor de Killing-Yano, tots dos d'ordre 2 i regits per la fórmula de més amunt. ·
* Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano d'ordre 2 degenerat $A_{ab}$, llavors aquest s'escriu segons la forma:
    $A_{ab}=k_{a}p_{b}-p_{a}k_{b}$
    on k és un vector de Killing de gènere llum. El tensor de Weyl és en aquest cas de tipus N segons la classificació de Petrov, i k és el seu vector net no trivial. A més, a compleix la relació donada més amunt amb el tensor de Riemann. ·
* Si un espaitemps admet un tensor de Killing-Yano d'ordre 3, llavors si el vector associat per dualitat de Hodge és un vector de gènere llum constant, llavors l'espai és conformament pla. ·

## Vegeu també

* Tensor de Killing

## Bibliografia

* (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein's field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (ISBN 0521230411), pages 349 à 352.

## Referències

* ↑ (anglès) Kentaro Yano, Annals of Mathematics, 55, 328 (1952).
* 1 2 3 (anglès) C. D. Collinson, The existence of Killing tensors in empty spacetimes, Tensors, 28, 173 (1974).
* 1 2 3 (anglès) C. D. Collinson, On the relationship between Killing tensors and Killing-Yano tensors, International Journal of Theoretical Physics, 15, 311 (1976).
* 1 2 3 4 5 (anglès) H. Stephani, A note on Killing tensors, General Relativity and Gravitation, 9, 789 (1978).