# Funció potencial

En matemàtiques, i més específicament en anàlisi matemàtica, s'anomena funció potencial una funció de la forma
    $f(x)=cx^{a}$
on c és una constant i a és una altra constant, dita exponent de la funció potencial.
En general es pensa en la funció potencial com una funció de variable real (x $\in$ R), per bé que sovint també s'estudia com a funció de variable complexa. En qualsevol dels dos casos, el conjunt de definició de la funció pot canviar segons que l'exponent a sigui un nombre natural, un enter o un nombre real qualsevol. Deixant a banda el cas trivial en què c=0, les propietats de la funció c x$^a$, per a c>0, no difereixen sensiblement de les de la funció x$^a$, i per a c<0 les diferències són escasses (decreixement en comptes de creixement, etc.), de manera que és suficient estudiar les propietats de la funció f(x) = x$^a$.
Les funcions potencials amb exponent natural apareixen en la construcció de les funcions polinòmiques i les sèries de potències. Les potències amb enters negatius apareixen en les sèries de Laurent. Les funcions potencials amb exponent real qualsevol s'usen en la descripció i modelització de nombrosos fenòmens físics.

## Casos especials (exponents enters i racionals)
### Exponent natural

Són les funcions definides sobre R per
    $f(x)=x^{n}$
on n $\in$ N. Per a n parell, la funció corresponent és parella, és a dir que, per a tot x, f(-x) = f(x); el seu graf és simètric respecte a l'eix d'ordenades.
Per a n senar, la funció associada és imparella, és a dir que, per a tot x, f(-x) = -f(x); el seu graf és simètric respecte a l'origen de coordenades.
Els primers valors de n corresponen a funcions elementals ben conegudes:
* per a n=0, seguint el conveni general d'exponent igual a 0, es tracta de la funció constant f(x)=1.
* per a n=1, es tracta de la funció identitat f(x)=x.
* per a n=2, es tracta de la funció d'elevar al quadrat f(x)=x²; la seva representació gràfica és una paràbola.
* per a n=3, es tracta de la funció d'elevar al cub; la seva gràfica és una cúbica.
* per a n=4, es tracta de la funció d'elevar a la quarta; la seva gràfica és una quàrtica.
Totes aquestes funcions prenen el valor 1 en 1. Com més augmenta l'exponent, més s'aixafa la corba sobre l'eix de les abscisses entre -1 i 1, i més gran és el seu pendent fora d'aquest interval. En particular, si m < n, llavors, per a tot x $\in$ ]0,1[, $x^{m}>x^{n}$, i per a tot x>1, $x^{m}<x^{n}$.
La funció constant 1 a banda, les funcions potencials són totes estrictament creixents sobre el conjunt dels reals positius. El seu límit quan x tendeix a +∞a és +∞, i el seu valor en 0 és 0. Sobre el conjunt dels reals negatius, cal distingir el cas d'exponent parell, en què la funció és decreixent, i el d'exponent imparell, en què la funció és creixent. Si l'exponent és imparell i diferent d'1, el graf de la funció posseeix un punt d'inflexió a l'origen.
La funció potencial $f(x)=x^{n}$ és derivable sobre tot R, i la seva funció derivada és
    $f'(x)=nx^{n-1},$
fórmula vàlida també en el cas de n=0. Si l'exponent és n>1, aquesta derivada s'anul·la en x=0 i només en aquest punt; és a dir, que 0 és l'únic punt crític de f.
La funció potencial també té primitives, que venen donades per
    $F(x)={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C,$
on C és una constant arbitrària.
Les funcions potencials amb exponent natural serveixen per construir les funcions polinòmiques, i més generalment les sèries de potències.

### Exponent enter negatiu

En aquest cas es tracta de les funcions definides sobre R$^*$ = R-{0} per
    $f(x)=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$
amb n>0 un nombre natural. Igual que en el cas d'exponent positiu, són funcions parelles o imparelles segons que ho sigui l'exponent.
El cas de n=1 és especialment interessant, ja que es tracta de la funció d'invertir, f(x)=1/x. La seva gràfica és una hipèrbola.
Totes aquestes funcions prenen el valor 1 en el punt 1. A mesura que augmenta n, el graf de y = 1/x$^n$ s'aixafa en el domini |x|>1, mentre que el seu pendent es va fent més pronunciat en els intervals ]-1,0[ i ]0,1[.
Aquestes funcions potencials són totes estrictament decreixents sobre el conjunt dels reals positius; sobre els reals negatius són positives i creixents, o negatives i decreixents, segons que n sigui respectivament parell o imparell. El seu límit quan x tendeix a +∞a o a -∞ és 0. El seu límit quan x tendeix a 0+ és +∞a, mentre que quan x tendeix a 0- +∞a si n és parell, i -∞ si n és imparell. La gràfica posseeix per tant dues asímptotes, d'equacions x=0 i y=0.
La derivada de 1/x$^n$ és -n/x$^{n+1}$. Si n>1, una primitiva de 1/x$^n$ és (-n+1)/x$^{n-1}$, mentre que una primitiva de 1/x és ln |x|.

### Arrels n-èsimes

Per a tot nombre natural n>0, la funció $g(x)=x^{n}$ és una bijecció
* de $[0,+\infty [$ en $[0,+\infty [$ quan n és parell
* de $\mathbf {R}$ en $\mathbf {R}$ quan n és imparell
La seva funció inversa és l'arrel n-èsima:
    $f(x)={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}$.
El seu límit quan x tendeix a +∞ és +∞, però la gràfica està girada cap a l'eix de les abscisses (es parla de "branca parabòlica"). Aquesta gràfica és simètrica de la de la funció y=x$^n$ respecte a la diagonal y=x.
La funció f(x) = x$^{1/n}$ és derivable en cada punt del seu domini de definició excepte quan x=0, on el seu graf posseeix una tangent vertical. La seva derivada és
    $f'(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x}}x^{1/n}$
| Prova: | El teorema de la derivada de la funció inversa assegura que $f_{1/n}'={\frac {1}{f_{n}'\circ f_{1/n}}}$ en tot punt on $f_{n}'\circ f_{1/n}$ no s'anul·la. Doncs, per a tot x no nul, $f_{1/n}'(x)={\frac {1}{n(x^{1/n})^{n-1}}}={\frac {1}{n}}{\frac {x^{1/n}}{(x^{1/n})^{n}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x}}x^{1/n}$. |
Igualment, la funció posseeix les primitives
    $F_{1/n}(x)={\frac {n}{n+1}}x.x^{1/n}+C$

## Funció exponencial amb exponent real arbitrari
### Estudi general

Gràcies a les funcions exponencial i logarítmica, es poden estudiar les funcions potencials amb exponent un nombre real a qualsevol. La funció
    $f(x)=x^{a}=e^{a\ln(x)}$
està definida per a tot nombre real x>0. Segons els valors de a, pot ser prolongable per continuïtat a x=0, a $\mathbb {R} ^{*}$ o a tot $\mathbb {R}$ (cf supra). Segons els valors de a, la prolongació pot o no ser derivable en 0.
La convexitat d'una funció està vinculada al signe de la seva derivada segona. Per a una funció potèncial depèn del signe de a(a-1).
Quadre recapitulatiu :
| Valor de a | Prolongable en 0 | Derivable en 0 | Creixement | Comportament a l'infinit | Convexitat |
| a < 0 | no | no | decreixent | asímptota y = 0 | convexa |
| a=0 | sí | sí | constant | coincident amb y=1 | recta |
| 0< a < 1 | sí | no | creixent | branca parabòlica d'eix OX | còncava |
| a = 1 | sí | sí | creixent | coincident amb y=x | recta |
| a>1 | sí | sí | creixent | branca parabòlica d'eix OY | convexa |

### Derivada i primitiva

La funció potencial $f(x)=x^{a}$ és sempre derivable en $]0,+\infty [$ i la seva derivada s'expressa com
    $f'(x)=ax^{a-1}$
Si l'exponent a és diferent de -1, posseeix una primitiva sobre aquest mateix interval definida per
    $F(x)={\frac {x^{a+1}}{a+1}},$
mentre que per a exponent a=-1 una primitiva n'és la funció logaritme neperià $F(x)=\ln x$.

### Creixements comparats

Les funcions logaritme i exponencial de base b>1 i les funcions potencials d'exponent a>0 tenen totes un límit infinit quan x tendeix a +∞. És per tant interessant comparar el seu creixement. Es demostra que, quan x tendeix a +∞, l'exponencial és més forta que la potència, i que aquesta és més forta que el logaritme:
    $\lim _{x\to +\infty }{\frac {b^{x}}{x^{a}}}=+\infty$
    $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\log _{b}(x)}{x^{a}}}=0$
| Prova : | Si se suposa conegut el fet que $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0\$, els altres límits se'n dedueixen immediatament. En efecte ${\frac {b^{x}}{x^{a}}}=e^{x\ln(b)-a\ln(x)}=e^{x(\ln(b)-a{\frac {\ln(x)}{x}})}\$. Com que $\lim _{x\to +\infty }\left(\ln(b)-a{\frac {\ln(x)}{x}}\right)=\ln(b)>0\$, hom té $\lim _{x\to +\infty }x(\ln(b)-a{\frac {\ln(x)}{x}})=+\infty$ i doncs igualmentment el límit del quocient estudiat. D'altra banda ${\frac {\log _{b}(x)}{x^{a}}}={\frac {1}{\ln(b)}}{\frac {\ln(x)}{x^{a}}}={\frac {1}{a\ln(b)}}{\frac {\ln(x^{a})}{x^{a}}}={\frac {1}{a\ln(b)}}{\frac {\ln(x)}{x}}$. Com que x tendeix cap a infinit, i $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0\$, passa el mateix amb el quocient initial. |

### Infinitament petit i funció lipschitziana

Per a a>0, es té $\lim _{x\to 0}{x^{a}}=0$. Es pot llavors intentar comparar la força d'aquesta convergència amb la força de convergència d'altres funcions.
Així, es diu que f és un infinitèsim d'ordre més gran o igual que x$^n$ en 0 si ${\frac {f(x)}{x^{n}}}$ és fitada en un veïnat de 0
Es diu que f és lipschitziana d'ordre a sobre un interval I si existeix un nombre real M tal que, per a qualssevol x, y de I
    $|f(x)-f(y)|<M|x-y|^{a}$.
En general, es pren a comprès entre 0 i 1, ja que si és estrictament major que 1 aquesta condició implica que f és constant.
La funció potencial d'exponent a, per a a comprès entre 0 i 1, és l'exemple més simple de funció lipschitziana d'ordre a o de funció hölderiana. En efecte, per a qualssevol nombres reals x i y estrictament positius,
    $0\leq (x+y)^{a}-x^{a}\leq y^{a}$
| Prova : | Una factorització per $y^{a}$ de l'expressió precedent dona $(x+y)^{a}-x^{a}=y^{a}\left[\left(1+{\frac {x}{y}}\right)^{a}-\left({\frac {x}{y}}\right)^{a}\right]=y^{a}[(1+X)^{a}-X^{a}]$ Basta aleshores estudiar la funció g definida per $g(X)=(1+X)^{a}-X^{a}$ La funció potencial d'exponent a > 0 és creixent, doncs g(X) > 0. La derivada de g val $g'(X)=a(1+X)^{a-1}-aX^{a-1}$. La funció potencial d'exponent a-1 < 0 és decreixent, doncs g'(X) < 0. La funció g és doncs decreixent, i, per a tota X, $g(X)\leq g(0)=1$ L'expressió g(X) és doncs compresa entre 0 i 1, i això acaba de provar la desigualtat per a $(x+y)^{a}-x^{a}$. |

### Funcions amb raó constant

Les funcions potencials satisfan la propietat següent: raons iguals de x indueixen raons iguals de f(x). És a dir, si
    ${\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {x_{3}}{x_{4}}}$
aleshores
    ${\frac {x_{1}^{a}}{x_{2}^{a}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)^{a}=\left({\frac {x_{3}}{x_{4}}}\right)^{a}={\frac {x_{3}^{a}}{x_{4}^{a}}}$
Recíprocament, tota funció no nul·la, definida i derivable per a x > 0, i que satisfaci tal propietat, és igual a una funció potencial.
| Prova : | La propietat es tradueix en que, per a tot y positiu, existeix una constant $K_{y}$ tal que, per a cada x > 0, $f(xy)=K_{y}f(x)$. Prenent la derivada logarítmica respecte a x d'aquesta igualtat, s'obté ${\frac {yf'(xy)}{f(xy)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}$. Fent x=1 i notant $a={\frac {f'(1)}{f(1)}}$ s'obté, per a tot y >0, ${\frac {f'(y)}{f(y)}}={\frac {a}{y}}$. Integrant, $\ln(f(y))=a\ln(y)+\mathrm {const}$ i exponenciant $f(y)=Ky^{a}$. |

### Desenvolupament en sèrie

La funció $f(x)=x^{a}$ és desenvolupable en sèrie entera en un veïnat de $x_{0}$ segons la fórmula
    $(x_{0}+x)^{a}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{{a \choose n}\,x_{0}^{a-n}x^{n}},$
on
    ${a \choose n}={\frac {a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{n!}}$ i ${a \choose 0}=1$
són els coeficient binomials generalitzats.
Cal notar que, per a a natural, la suma és finita: es tracta de desenvolupament del binomi de Newton. El radi de convergència d'aquesta sèrie és trivialment infinit. Si a no és natural, la suma és infinita, i el radi de convergència és $|x_{0}|$.

## Aplicacions

La varietat de les formes de les gràfiques de les funcions potencials les converteix en bons candidats per a la modelització de fenòmens en física, biologia (al·lometria) o economia. Així que s'observa que la corba que expressa y en funció de x té un aspecte similar a una d'aquelles corbes, es pot proposar un model de la forma
    $y=Kx^{a}$
Es busca també una modelització d'aquest tipus quan raons iguals entre valors de x indueixen raons iguals entre valors de y.
En aquesta modelització, es tracta de trobar els millors valors de K i de a que modelitzen aquesta relació. Es pot buscar a racional, es busquen llavors dos enters p i q tals que
    $y^{q}=K'x^{p}$
o fins i tot dos enters p' i q tals que
    $y^{q}x^{p'}=K'$
Per exemple, la tercera llei de Kepler, que dona la relació entre el semieix major de la trajectòria d'un planeta i el seu període, es pot observar que la corba que dona el període en funció del semieix és del tipus potència amb a>1. A partir del quadre de mesures
| Planeta | semieix major R en $10^{9}$m | període T en $10^{6}$s |
| Mercuri | 57,9 | 7,58 |
| Venus | 108,2 | 19,36 |
| Terra | 149,6 | 31,47 |
| Mart | 227,9 | 59,19 |
| Júpiter | 778,3 | 373,32 |
S'intenta doncs verificar si T/R² o T²/R³ és constant. La segona temptativa és la bona i dona una constant d'aproximadament $2,96.10^{-4}$.
Quan la relació és més complicada, és preferible procedir a un ajust logarítmic. En efecte, si la relació entre y i x és tal que
    $y=Kx^{a}$
aleshores hi ha d'haver una relació afí entre ln(x) i ln(y):
    $ln(y)=a\ln(x)+\ln(K)$
Un ajust lineal sobre el núvol de punts (ln(x),ln(y)) permet trobar llavors la funció potencial que relaciona x i y. Si
    $ln(y)=m\ln(x)+p$
llavors
    $y=e^{p}x^{m}$
Doncs, per esbrinar si un ajust en forma de funció potencial és factible, n'hi ha prou amb col·locar el núvol de punts en una escala logarítmica, i decidir si els punts semblen alineats.
En l'àmbit econòmic, les corbes de concentració de Lorenz donen sobre l'interval [0,1] corbes que es poden modelitzar per funcions potencials. Aquesta modelització és legítima quan els fenòmens estudiats segueixen tots dos una llei de Pareto.

## Funció de variable complexa

En l'àmbit de la variable complexa, per a tot nombre natural n es pot definir sobre $\mathbb {C}$ la funció $z\mapsto z^{n}$. Aquestes funcions serveixen per a construir les funcions polinòmiques sobre $\mathbb {C}$, així com els desenvolupaments en sèrie de les funcions holomorfes. També és possible definir sobre $\mathbb {C} ^{*}$ la funció $z\mapsto z^{n}$ quan n és un enter negatiu.
Tanmateix, no és possible definir sobre $\mathbb {C} ^{*}$, de manera unívoca, la funció $z^{a}$ quan a és un nombre real o complex arbitrari. En efecte, cal limitar-se a un d'obert de $\mathbb {C} ^{*}$ en el qual existeixi una determinació L del logaritme complex. En tal obert, $f(z)=z^{a}$ és llavors la funció holomorfa definida per
    $f(z)=\exp(aL(z))$

## Notes

* ↑ André Ross, Fonction puissance et modélisation, Cegep de Levis-Lauzon.
* ↑ Marc Barbut, Note sur quelques indicateurs globaux de l'inégalité : C. Gini, V. Pareto, P. Lévy, Revue de sociologie française, vol. 25, núm. 25-4 (1984) pp. 609-622

## Vegeu també

* Funció exponencial