# Aproximació de fase estacionària

En matemàtiques, l'aproximació de la fase estacionària és un principi bàsic de l'anàlisi asimptòtica, que s'aplica a funcions donades per integració contra una exponencial complexa que varia ràpidament.
Aquest mètode té el seu origen al segle XIX i es deu a George Gabriel Stokes i Lord Kelvin. Està estretament relacionat amb el mètode de Laplace i el mètode del descens més pronunciat, però la contribució de Laplace precedeix les altres.

## Conceptes bàsics

La idea principal dels mètodes de fase estacionària es basa en la cancel·lació de sinusoides amb fases que varien ràpidament. Si molts sinusoides tenen la mateixa fase i se sumen, se sumaran constructivament. Tanmateix, si aquests mateixos sinusoides tenen fases que canvien ràpidament a mesura que canvia la freqüència, s'afegiran de manera incoherent, variant entre addició constructiva i destructiva en diferents moments.

## Fórmula

Sigui $\Sigma$ el conjunt de punts crítics de la funció $f$ (és a dir, punts on $\nabla f=0$), en el supòsit que $g$ o té un suport compacte o té una decadència exponencial, i que tots els punts crítics són no degenerats (és a dir, $\det(\mathrm {Hess} (f(x_{0})))\neq 0$ per $x_{0}\in \Sigma$ ) tenim la següent fórmula asimptòtica, as $k\to \infty$ :
$\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }e^{ikf(x_{0})}|\det({\mathrm {Hess} }(f(x_{0})))|^{-1/2}e^{{\frac {i\pi }{4}}\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f(x_{0})))}(2\pi /k)^{n/2}g(x_{0})+o(k^{-n/2})$
Aquí $\mathrm {Hess} (f)$ denota l'hessià de $f$, i $\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f))$ denota la signatura de l'hessià, és a dir, el nombre d'autovalors positius menys el nombre d'autovalors negatius.
Per $n=1$, això es redueix a:
$\int _{\mathbb {R} }g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }g(x_{0})e^{ikf(x_{0})+\mathrm {sign} (f''(x_{0}))i\pi /4}\left({\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}\right)^{1/2}+o(k^{-1/2})$
En aquest cas els supòsits sobre $f$ reduir a tots els punts crítics no degenerats.
Aquesta és només la versió girada per Wick de la fórmula per al mètode de baixada més pronunciada.

## Un exemple

Considereu una funció
$f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i[k(\omega )x-\omega t]}\,d\omega$
El terme de fase en aquesta funció, $\phi =k(\omega )x-\omega t$, està estacionari quan
${\frac {d}{d\omega }}{\mathopen}\left(k(\omega )x-\omega t\right){\mathclose}=0$
o equivalent,
${\frac {dk(\omega )}{d\omega }}{\Big |}_{\omega =\omega _{0}}={\frac {t}{x}}$
Les solucions d'aquesta equació donen freqüències dominants $\omega _{0}$ per a alguns $x$ i $t$. Si ens ampliem $\phi$ com una sèrie de Taylor sobre $\omega _{0}$ i descuidar termes d'ordre superiors a $(\omega -\omega _{0})^{2}$, tenim
$\phi =\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]+{\frac {1}{2}}xk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}+\cdots$
on $k''$ denota la segona derivada de $k$. Quan $x$ és relativament gran, fins i tot una petita diferència $(\omega -\omega _{0})$ generarà oscil·lacions ràpides dins de la integral, donant lloc a la cancel·lació. Per tant, podem estendre els límits d'integració més enllà del límit d'una expansió de Taylor. Si fem servir la fórmula,
$\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}icx^{2}}dx={\sqrt {\frac {2i\pi }{c}}}={\sqrt {\frac {2\pi }{|c|}}}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}$
$f(x,t)\approx {\frac {1}{2\pi }}e^{i\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]}\left|F(\omega _{0})\right|\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}ixk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}}\,d\omega$
Això s'integra com
$f(x,t)\approx {\frac {\left|F(\omega _{0})\right|}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left|k''(\omega _{0})\right|}}}\cos \left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]$

## Referències

* ↑ «11.3.2: The Stationary Phase Approximation» (en anglès), 17-10-2013. [Consulta: 25 febrer 2024].
* ↑ «[https://ocw.mit.edu/courses/18-238-geometry-and-quantum-field-theory-fall-2002/f1d64cdfe3b3f3b9846dfe8149b8eb47_sec2.pdf 4 MATHEMATICAL IDEAS AND NOTIONS OF QUANTUM FIELD THEORY 2. The steepest descent and stationary phase formulas]» (en anglès). [Consulta: 25 febrer 2024].
* ↑ «[https://www.phys.uconn.edu/~rozman/Courses/P2400_16S/downloads/stationary-phase.pdf Physics 2400 Spring 2016 Method of stationary phase]» (en anglès). [Consulta: 25 febrer 2024].
* ↑ «Group velocity and stationary phase approximation | Quantum Physics I | Physics» (en anglès). [Consulta: 25 febrer 2024].