# Equació logarítmica de Schrödinger

En física teòrica, l'equació logarítmica de Schrödinger (de vegades abreujada com a LNSE o LogSE) és una de les modificacions no lineals de l'equació de Schrödinger. És una equació d'ona clàssica amb aplicacions a les extensions de la mecànica quàntica, òptica quàntica, física nuclear, fenòmens de transport i difusió, obert sistemes quàntics i teoria de la informació, gravetat quàntica efectiva i models de buit físic i teoria de la superfluidesa i Condensació de Bode-Einstein. La seva versió relativista (amb D'Alembertiana en comptes de Laplacià i derivada temporal de primer ordre) va ser proposada per primera vegada per Gerald Rosen. És un exemple de model integrable.
L'equació logarítmica de Schrödinger és l'equació diferencial parcial. En matemàtiques i física matemàtica s'utilitza sovint la seva forma adimensional:$i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla ^{2}\psi +\psi \ln |\psi |^{2}=0.$per a la funció de valor complex ψ = ψ(x, t) del vector de posició de les partícules x = (x, y, z) en el temps t, i$\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}$és el laplacià de ψ en coordenades cartesianes. El terme logarítmic $\psi \ln |\psi |^{2}$ s'ha demostrat que és indispensable per determinar la velocitat de les escales sonores com l'arrel cúbica de la pressió de l'heli-4 a temperatures molt baixes. Aquest terme logarítmic també és necessari per als àtoms de sodi freds. Malgrat el terme logarítmic, s'ha demostrat en el cas dels potencials centrals, que fins i tot per a moments angulars diferent de zero, el LogSE conserva certes simetries similars a les que es troben en el seu homòleg lineal, el que el fa potencialment aplicable a sistemes atòmics i nuclears.La versió relativista d'aquesta equació es pot obtenir substituint l'operador de la derivada pel D'Alembertià, de manera similar a l'equació de Klein-Gordon. Les solucions semblants a Soliton conegudes com a Gaussons figuren de manera destacada com a solucions analítiques d'aquesta equació per a diversos casos.

## Vegeu també

* Equació de Schrödinger no lineal
* Gravitació quàntica
* Condensat de Bose-Einstein

## Referències

* ↑ Bialynicki-Birula, Iwo; Mycielski, Jerzy Annals of Physics, 100, 1–2, 1976, pàg. 62–93. Bibcode: 1976AnPhy.100...62B. DOI: 10.1016/0003-4916(76)90057-9. ISSN: 0003-4916.
* ↑ Białynicki-Birula, Iwo; Mycielski, Jerzy Communications in Mathematical Physics, 44, 2, 1975, pàg. 129–132. Bibcode: 1975CMaPh..44..129B. DOI: 10.1007/BF01608825. ISSN: 0010-3616.
* ↑ Bialynicki-Birula, Iwo; Mycielski, Jerzy Physica Scripta, 20, 3–4, 1979, pàg. 539–544. Bibcode: 1979PhyS...20..539B. DOI: 10.1088/0031-8949/20/3-4/033. ISSN: 0031-8949.
* ↑ Buljan, H.; Šiber, A.; Soljačić, M.; Schwartz, T.; Segev, M. Physical Review E, 68, 3, 2003, pàg. 036607. Bibcode: 2003PhRvE..68c6607B. DOI: 10.1103/PhysRevE.68.036607. ISSN: 1063-651X. PMID: 14524912.
* ↑ Hefter, Ernst F. Physical Review A, 32, 2, 1985, pàg. 1201–1204. Bibcode: 1985PhRvA..32.1201H. DOI: 10.1103/PhysRevA.32.1201. ISSN: 0556-2791. PMID: 9896178.
* ↑ Kartavenko, V. G.; Gridnev, K. A.; Greiner, W. International Journal of Modern Physics E, 07, 2, 1998, pàg. 287–299. arXiv: nucl-th/9907015. Bibcode: 1998IJMPE...7..287K. DOI: 10.1142/S0218301398000129. ISSN: 0218-3013.
* ↑ Martino, S. De; Falanga, M; Godano, C; Lauro, G Europhysics Letters (EPL), 63, 3, 2003, pàg. 472–475. Bibcode: 2003EL.....63..472D. DOI: 10.1209/epl/i2003-00547-6. ISSN: 0295-5075.
* ↑ Hansson, T.; Anderson, D.; Lisak, M. Physical Review A, 80, 3, 2009, pàg. 033819. Bibcode: 2009PhRvA..80c3819H. DOI: 10.1103/PhysRevA.80.033819. ISSN: 1050-2947.
* ↑ Yasue, Kunio Annals of Physics, 114, 1–2, 1978, pàg. 479–496. Bibcode: 1978AnPhy.114..479Y. DOI: 10.1016/0003-4916(78)90279-8. ISSN: 0003-4916.
* ↑ Lemos, Nivaldo A. Physics Letters A, 78, 3, 1980, pàg. 239–241. Bibcode: 1980PhLA...78..239L. DOI: 10.1016/0375-9601(80)90080-8. ISSN: 0375-9601.
* ↑ Brasher, James D. International Journal of Theoretical Physics, 30, 7, 1991, pàg. 979–984. Bibcode: 1991IJTP...30..979B. DOI: 10.1007/BF00673990. ISSN: 0020-7748.
* ↑ Schuch, Dieter Physical Review A, 55, 2, 1997, pàg. 935–940. Bibcode: 1997PhRvA..55..935S. DOI: 10.1103/PhysRevA.55.935. ISSN: 1050-2947.
* ↑ M. P. Davidson, Nuov. Cim. B 116 (2001) 1291.
* ↑ López, José L. Physical Review E, 69, 2, 2004, pàg. 026110. Bibcode: 2004PhRvE..69b6110L. DOI: 10.1103/PhysRevE.69.026110. ISSN: 1539-3755. PMID: 14995523.
* ↑ Zloshchastiev, K. G. Gravitation and Cosmology, 16, 4, 2010, pàg. 288–297. arXiv: 0906.4282. Bibcode: 2010GrCo...16..288Z. DOI: 10.1134/S0202289310040067. ISSN: 0202-2893.
* ↑ Zloshchastiev, Konstantin G. Physics Letters A, 375, 24, 2011, pàg. 2305–2308. arXiv: 1003.0657. Bibcode: 2011PhLA..375.2305Z. DOI: 10.1016/j.physleta.2011.05.012. ISSN: 0375-9601.
* ↑ Zloshchastiev, K.G. Acta Physica Polonica B, 42, 2, 2011, pàg. 261–292. arXiv: 0912.4139. Bibcode: 2011AcPPB..42..261Z. DOI: 10.5506/APhysPolB.42.261. ISSN: 0587-4254.
* ↑ Scott, T.C.; Zhang, Xiangdong; Mann, Robert; Fee, G.J. Physical Review D, 93, 8, 2016, pàg. 084017. arXiv: 1605.03431. Bibcode: 2016PhRvD..93h4017S. DOI: 10.1103/PhysRevD.93.084017.
* ↑ Avdeenkov, Alexander V; Zloshchastiev, Konstantin G Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 44, 19, 2011, pàg. 195303. arXiv: 1108.0847. Bibcode: 2011JPhB...44s5303A. DOI: 10.1088/0953-4075/44/19/195303. ISSN: 0953-4075.
* ↑ Zloshchastiev, Konstantin G. Int. J. Mod. Phys. B, 33, 17, 2019, pàg. 1950184. arXiv: 2001.04688. Bibcode: 2019IJMPB..3350184Z. DOI: 10.1142/S0217979219501844.
* ↑ Rosen, Gerald Physical Review, 183, 5, 1969, pàg. 1186–1188. Bibcode: 1969PhRv..183.1186R. DOI: 10.1103/PhysRev.183.1186. ISSN: 0031-899X.
* ↑ Scott, T. C.; Zloshchastiev, K. G. Low Temperature Physics, 45, 12, 2019, pàg. 1231–1236. arXiv: 2006.08981. Bibcode: 2019LTP....45.1231S. DOI: 10.1063/10.0000200.
* ↑ Zloshchastiev, Konstantin International Journal of Modern Physics B, 36, 20, 2022, pàg. 2250121. arXiv: 2211.10570. Bibcode: 2022IJMPB..3650121Z. DOI: 10.1142/S0217979222501211.
* ↑ Shertzer, J.; Scott, T.C. J. Phys. Commun., 4, 6, 2020, pàg. 065004. Bibcode: 2020JPhCo...4f5004S. DOI: 10.1088/2399-6528/ab941d [Consulta: free].