# Equilibri transitori

A la física nuclear, l'equilibri transitori és una situació en què un equilibri és assolit per un parell d'isòtops radioactius pare-fill, on la vida mitjana del fill és més curta que la vida mitjana del pare. Contràriament a l'equilibri secular, la vida mitjana dels fills no és insignificant en comparació de la vida mitjana dels pares.
Un exemple d'això és un generador de molibdè 99 que produeix tecneci 99 per als procediments de diagnòstic de medicina nuclear. Un generador d'aquest tipus es coneix de vegades amb el nom de «vaca», ja que el producte fill, en aquest cas el tecneci 99, és «munyit» a intervals regulars. L'equilibri transitori es produeix després de quatre vides mitjanes.

## Lleis d'evolució

Sigui $P$ («pare») un nucli radioactiu de constant radioactiva $\lambda _{P}$, i $F$ («fill») el nucli resultant de la seva descomposició amb una constant radioactiva $\lambda _{F}$ (>> $\lambda _{P}$). Designem $[P]$ i $[F]$ el nombre de nuclis $P$ i $F$ present en una mostra, o les seves concentracions molars (expressades, per exemple, en mol / kg).
* Si el pare no és radiogènic, la seva taxa de creació és zero, i la seva taxa de destrucció també es dona per la llei de la descomposició radioactiva:
    ${\frac {\mathrm {d[P]} }{\mathrm {d} t}}=-\lambda _{\mathrm {P} }[P]$.
* La taxa de creació de $F$ és $\lambda _{P}[P]$, i la seva taxa de destrucció és $\lambda _{F}[F]$, d'aquí el balanç:
    ${\frac {\mathrm {d[F]} }{\mathrm {d} t}}=\lambda _{\mathrm {P} }[P]-\lambda _{\mathrm {F} }[F]$.
* En el cas d'una cadena de desintegració, tenim el mateix, per a un descendent intermedi $D_{n}$ (fill de $D_{n-1}$ i pare de $D_{n+1}$) :
    ${\frac {\mathrm {d[D} _{n}]}{\mathrm {d} t}}=\lambda _{n-1}[\mathrm {D} _{n-1}]-\lambda _{n}[\mathrm {D} _{n}]$.

## Activitat en equilibri transitori

L'activitat del pare és donat per l'equació de Bateman:
    $A_{d}=A_{P}(0){\frac {\lambda _{d}}{\lambda _{d}-\lambda _{P}}}\times (e^{-\lambda _{P}t}-e^{-\lambda _{d}t})\times BR+A_{d}(0)e^{-\lambda _{d}t},$
on $A_{P}$ i $A_{d}$ són l'activitat del pare i del fill, respectivament. $T_{P}$ i $T_{d}$ són les vides mitjanes (les inverses de les velocitats de reacció $\lambda$ en l'equació anterior mòdul ln(2)) del pare i fill, respectivament, i BR és la relació de ramificació.
En l'equilibri transitori, l'equació de Bateman no es pot simplificar assumint que la vida mitjana dels fills és insignificant en comparació amb la vida mitjana dels pares. La proporció d'activitat fill/pare es dona per:
    ${\frac {A_{d}}{A_{P}}}={\frac {T_{P}}{T_{P}-T_{d}}}\times BR.$

## Temps d'activitat màxima del fill

En l'equilibri transitori, l'activitat del fill augmenta i, finalment, arriba a un valor màxim que pot superar l'activitat del pare. El temps d'activitat màxima es dona per:
    $t_{\max }={\frac {1.44\times T_{P}T_{d}}{T_{P}-T_{d}}}\times \ln {\frac {T_{P}}{T_{d}}},$
on $T_{P}$ i $T_{d}$ són les vides mitjanes del pare i fill, respectivament. En el cas del generador ${\ce {^{99\!m}Tc-^{99}Mo}}$, el temps d'activitat màxima ($t_{\max }$) és d'aproximadament 24 hores, cosa que el fa convenient per a ús mèdic.

## Referències

* ↑ Johnson, Thomas E.; Birky, Brian K.; Shleien, Bernard. Health physics and radiological health (en anglès). 4. Philadelphia: Wolters Kluwer Health/Lippincott Williams & Wilkins, 2012, p. 1205. ISBN 9781609134198.
* ↑ Cherry, S.R.; Sorenson, J.A.; Phelps, M.E.. Physics in Nuclear Medicine (en anglès). 3. A Saunders Title, 2003. ISBN 0-7216-8341-X.