# Pla inclinat

Un pla inclinat és una porció de sòl que forma un cert angle amb l'horitzontal sense arribar a ser vertical, és a dir, essent l'angle 0° < a < 90°.
El pla inclinat, una de les màquines simples, permet reduir la força que s'ha de realitzar per a elevar una càrrega respecte a si ho féssim verticalment.
Imaginem que volem arrossegar el pes P des d'una altura 1 fins a 2; sent les posicions 1 i 2 a les que ens referim les del centre de gravetat del bloc representat a la figura.
El pes del bloc, que com sabem és una magnitud vectorial (vertical i cap avall), pot descompondre's en dues components, H i V, paral·lela i perpendicular al pla inclinat respectivament:
    $H=P\cdot sin(a)$
    $V=P\cdot cos(a)$
Com, a més, el bloc es desplaça per la superfície del pla inclinat, existirà en general una força de fregament F$_R$ del bloc contra la superfície que també haurem de vèncer per a poder desplaçar-lo. Aquesta força és:
    $F_{R}=\mu \cdot V=\mu \cdot P\cdot cos(a)$
sent µ el coeficient de fregament.
De l'observació de la figura, és immediat que per a aconseguir desplaçar el bloc, la força F que haurem de realitzar, serà:
    F = H + F$_R$ = P·sin(a) + µ·P·cos(a) = [sin(a) + µ·cos(a)]·P
Resulta evident que si en compte del pla inclinat, tractàrem d'alçar el bloc sense més ajuda que els nostres propi músculs, la força G que hauríem de realitzar seria simplement la del pes del bloc a causa de l'actuació de la gravetat, és a dir
    $G=P$
La qüestió és: en quines condicions serà avantatjosa la utilització del pla inclinat?

## Visió general

Un pla inclinat és una superfície de suport plana inclinada en angle, amb un extrem més alt que l'altre, que s'utilitza com a ajuda per pujar o baixar una càrrega. El pla inclinat és una de les sis màquines simples clàssiques definides pels científics del Renaixement. S'utilitzen molt per moure càrregues pesades sobre obstacles verticals; els exemples varien des d'una rampa utilitzada per carregar mercaderies en un camió, fins a una persona que camina per una rampa per a vianants, fins a un automòbil o un tren que puja un pendent.
Moure un objecte per un pla inclinat requereix menys força que aixecar-ho cap amunt, a costa d'un augment en la distància recorreguda. El seu avantatge mecànic, el factor pel qual es redueix la força, és igual a la relació entre la longitud de la superfície inclinada i l'altura que salva. A causa del principi de conservació de l'energia, cal la mateixa quantitat d'energia mecànica (treball) per aixecar un objecte donat una distància vertical donada, sense tenir en compte les pèrdues per fricció, però el pla inclinat permet realitzar el mateix treball amb una força menor exercida sobre una distància major.
L'angle de fricció, també anomenat de vegades angle de repòs, és l'angle màxim en el qual una càrrega pot romandre immòbil en un pla inclinat a causa de la fricció, sense lliscar-se cap avall. Aquest angle és igual a l'arctangent del coeficient de fricció μ$_s$ entre les superfícies.
Sovint es considera que altres dues màquines simples es deriven del pla inclinat. El wedge es pot considerar un pla inclinat en moviment o dos plans inclinats connectats a la base. El cargol consisteix en un pla inclinat estret embolicat al voltant d'un cilindre.
El terme també pot referir-se a una aplicació específica, com en el cas d'una rampa recta excavada en un vessant empinat per permetre el transport de mercaderies cap amunt i cap avall. Pot incloure vagons sobre rails o tirats per un sistema de cables; un funicular o ferrocarril per cable, com el pla Inclinat de Johnstown.
Les lleis que regeixen el comportament dels cossos en un pla inclinat van ser enunciades per primera vegada pel matemàtic Simon Stevin, en la segona meitat del segle XVI.
Per analitzar les forces existents sobre un cos situat sobre un pla inclinat, cal tenir en compte l'existència de diversos orígens en elles.
* En primer lloc s'ha de considerar l'existència d'una força de gravetat, també coneguda com pes, que és conseqüència de la massa (M) que posseeix el cos recolzat en el pla inclinat i té una magnitud de M.g amb una adreça vertical i representada en la figura per la lletra G.
* Existeix a més una força normal (N), també coneguda com la força de reacció exercida sobre el cos pel pla com a conseqüència de la tercera llei de Newton, es troba en una adreça perpendicular al pla i té una magnitud igual per força exercida pel pla sobre el cos. En la figura apareix representada per N i té la mateixa magnitud que F₂= M.g.cos α i sentit oposat a la mateixa.
* Existeix finalment una força de fregament, també coneguda com a força de fricció (F$_R$), que sempre s'oposa al sentit del moviment del cos respecte a la superfície, i la magnitud de la qual depèn tant del pes com de les característiques superficials del pla inclinat i la superfície en contacte del cos que proporcionen un coeficient de fregament. Aquesta força ha de tenir un valor igual a F$_1$=M.g.sin α, perquè el cos es mantingui en equilibri. En el cas en què F$_1$ fos major que la força de fregament el cos es lliscaria cap avall pel pla inclinat. Per tant, per pujar el cos s'ha de realitzar una força amb una magnitud que iguali o superi la suma de F$_1$ + F$_R$.

## Història

S'han utilitzat plans inclinats des de temps prehistòrics per moure objectes pesats. Els camins inclinats i els pedraplens construïts per civilitzacions antigues com els romans són exemples dels primers plans inclinats que han sobreviscut i mostren que van entendre el valor d'aquest dispositiu per moure càrregues costa amunt. Es creu que les pedres pesades utilitzades en estructures de pedra antigues com Stonehenge es van moure i van col·locar en el seu lloc usant plans inclinats fets de terra, encara que és difícil trobar evidència de tals rampes de construcció temporals. Les piràmides d'Egipte es van construir utilitzant plans inclinats, i rampes de setge van permetre als exèrcits antics superar les muralles de les fortaleses. Els antics grecs van construir una rampa pavimentada de 6 km de llarg, el Diolkos, per arrossegar vaixells per terra a través de l'istme de Corint.
No obstant això, el pla inclinat va ser l'última de les sis màquines simples clàssiques a ser reconeguda com a tal. Això probablement es degui al fet que és un dispositiu passiu i immòbil (la càrrega és la part mòbil), i també al fet que es troba en la naturalesa en forma de pendents i pujols. Encara que van entendre el seu ús per aixecar objectes pesats, els filòsofs de l'antiga Grècia que van definir les altres cinc màquines simples, no van incloure el pla inclinat. Aquest punt de vista va persistir entre alguns científics posteriors; i en una data tan tardana com 1826 Karl von Langsdorf va escriure que un pla inclinat "... no és més una màquina que el pendent d'una muntanya". El problema de calcular la força requerida per empènyer un pes cap amunt en un pla inclinat (el seu avantatge mecànic) va ser analitzat pels filòsofs grecs Heró d'Alexandria (c. 10 - 60 dC) i Papos d'Alexandria (c. 290 - 350 dC), però tots dos es van equivocar en la seva resolució.
No va ser fins al Renaixement quan el pla inclinat es va resoldre matemàticament i es va classificar amb les altres màquines simples. La primera anàlisi correcta del pla inclinat va aparèixer en l'obra de l'enigmàtic autor del segle xiii Jordanus Nemorarius, encara que la seva solució del problema aparentment no va ser comunicada a altres filòsofs de l'època. Gerolamo Cardano (1570) va proposar la solució incorrecta que la força a aplicar és proporcional a l'angle del pla. Posteriorment, a finals del segle xvi, Michael Varro (1584), Simon Stevin (1586) i Galileo Galilei (1592) van publicar tres solucions correctes al llarg de deu anys. Encara que no va ser la primera, la deducció de l'enginyer flamenc Simon Stevin és la més coneguda, per la seva originalitat i l'ús d'un collaret de comptes (vegeu el requadre). En 1600, el científic italià Galileu va incloure el pla inclinat en la seva anàlisi de màquines simples en Le Meccaniche («Sobre la mecànica»), mostrant la seva similitud subjacent amb les altres màquines com un amplificador de força.
Les primeres regles elementals per lliscar objectes amb fricció sobre un pla inclinat van ser descobertes per Leonardo da Vinci (1452-1519), però van quedar inèdites en els seus quaderns. Van ser redescobertes per Guillaume Amontons (1699) i Charles-Augustin de Coulomb (1785) les va desenvolupar encara més. Leonhard Euler (1750) va demostrar que la tangent de l'angle de fregament intern en un pla inclinat és proporcional a la fricció.

## Aplicacions

Els plans inclinats s'utilitzen molt en forma de "rampes" per carregar i descarregar mercaderies en camions, vaixells i avions. Les rampes per a cadires de rodes s'utilitzen per permetre que les persones amb mobilitat reduïda superin obstacles verticals sense excedir la seva força. Les escales mecàniques i les cintes transportadores inclinades també són formes de pla inclinat. En un funicular o ferrocarril per cable, un vagó de ferrocarril es puja per un pla inclinat amb cables. Els plans inclinats també permeten que tant persones com a objectes pesats i fràgils salvin de forma segura un desnivell vertical utilitzant la força normal del pla per distribuir l'efecte de la gravetat. Les rampes d'evacuació de les aeronaus permeten que les persones aconsegueixin el sòl de forma ràpida i segura des de l'altura del compartiment de passatgers d'un avió comercial.
Altres plans inclinats es construeixen en estructures permanents. Les carreteres per a vehicles i els ferrocarrils tenen plans inclinats en forma de pendents graduals, rampes i pedraplens per permetre que els vehicles superin obstacles verticals com a pujols sense perdre tracció en la superfície de la carretera. De manera similar, les senderes per a vianants i les voreres disposen de rampes suaus per limitar el seu pendent, amb la finalitat de garantir que els vianants puguin mantenir les condicions de tracció necessàries. Els plans inclinats també s'utilitzen com a entreteniment perquè les persones es llisquin cap avall de forma controlada, en tobogans, rampes aquàtiques, esquí alpí i pistes de patinatge.

## Referències

* ↑ Tipler, Paul Allen. Física preuniversitaria (en castellà). Reverte, 1991. ISBN 9788429143751 [Consulta: 20 febrer 2018].
* ↑ «Inclined plane | Ramp, Wedge & Lever | Britannica» (en anglès), 29-10-2023. [Consulta: 17 desembre 2023].
* 1 2 Cole, Matthew. Explore science, 2nd Ed.. Pearson Education, 2005, p. 178. ISBN 978-981-06-2002-8.
* ↑ Merriam-Webster's collegiate dictionary, 11th Ed.. Merriam-Webster, 2003, p. 629. ISBN 978-0-87779-809-5. «inclined plane definition dictionary.»
* 1 2 3 4 «The Inclined Plane». Math and science activity center. Edinformatics, 1999. [Consulta: 11 març 2012].
* 1 2 3 Silverman, Buffy. Simple Machines: Forces in Action, 4th Ed.. USA: Heinemann-Raintree Classroom, 2009, p. 7. ISBN 978-1-4329-2317-4.
* 1 2 3 Ortleb, Edward P.; Richard Cadice Machines and Work. Lorenz Educational Press, 1993, p. iv. ISBN 978-1-55863-060-4.
* 1 2 Reilly, Travis. «Lesson 04:Slide Right on By Using an Inclined Plane». Teach Engineering. College of Engineering, Univ. of Colorado at Boulder, 24-11-2011. Arxivat de l'original el 8 maig 2012. [Consulta: 8 setembre 2012].
* ↑ Scott, John S. Dictionary of Civil Engineering. Chapman & Hill, 1993, p. 14. ISBN 978-0-412-98421-1. «angle of friction [mech.] in the study of bodies sliding on plane surfaces, the angle between the perpendicular to the surface and the resultant force (between the body and the surface) when the body begins to slide. angle of repose [s.m.] for any given granular material the steepest angle to the horitzontal at which a heaped surface will stand in stated conditions.»
* 1 2 Ambekar, A. G.. Mechanism and Machine Theory. PHI Learning, 2007, p. 446. ISBN 978-81-203-3134-1. «Angle of repose is the limiting angle of inclination of a plane when a body, place on the inclined plane, just starts sliding down the plane.»
* ↑ Rosen, Joe; Lisa Quinn Gothard. Encyclopedia of Physical Science, Volume 1. Infobase Publishing, 2009, p. 375. ISBN 978-0-8160-7011-4.
* ↑ Ignacio, Ramírez Vargas; Manuel, Palacios Pineda, Luis; E, Rodríguez C., Mario. Estática para ingeniería (en castellà). Grup Editorial Patria. ISBN 9786077442691 [Consulta: 20 febrer 2018].
* 1 2 Fisica Volum i (en castellà). Pearson Educación, 2006. ISBN 9789702607762 [Consulta: 20 febrer 2018].
* ↑ Tipler, Paul Allen; Mosca, Gene. Física para la ciencia y la tecnología (en castellà). Reverte, 2005. ISBN 9788429144116 [Consulta: 20 febrer 2018].
* 1 2 3 Koetsier, Teun (2010). "Simon Stevin and the rise of Archimedean mechanics in the Renaissance". : 94–99, Springer
* ↑ Devreese, Jozef T.; Guido Vanden Berghe 'Magic is no magic': The wonderful world of Simon Stevin. WIT Press, 2008, p. 136–139. ISBN 978-1-84564-391-1.
* 1 2 Feynman, Richard P.; Robert B. Leighton; Matthew Sands The Feynman Lectures on Physics, Vol. I. USA: Califòrnia Inst. of Technology, 1963, p. 4.4-4.5. ISBN 978-0-465-02493-3.
* ↑ E.J.Dijksterhuis: Simon Stevin 1943
* ↑ Therese McGuire, Light on Sacred Stones, in Conn, Marie A.; Therese Benedict McGuire Not etched in stone: essays on ritual memory, soul, and society. University Press of America, 2007, p. 23. ISBN 978-0-7618-3702-2.
* ↑ Dutch, Steven. «Pre-Greek Accomplishments». Legacy of the Ancient World. Prof. Steve Dutch's page, Univ. of Wisconsin at Green Bay, 1999. Arxivat de l'original el 2016-08-21. [Consulta: 13 març 2012].
* ↑ Moffett, Marian; Michael W. Fazio; Lawrence Wodehouse. A world history of architecture. Laurence King Publishing, 2003, p. 9. ISBN 978-1-85669-371-4.
* ↑ Peet, T. Eric. Rough Stone Monuments and Their Builders. Echo Library, 2006, p. 11–12. ISBN 978-1-4068-2203-8.
* ↑ Thomas, Burke. «Transport and the Inclined Plane». Construction of the Gizeh Pyramids. world-mysteries.com, 2005. Arxivat de l'original el 13 de març 2012. [Consulta: 10 març 2012].
* ↑ Isler, Martin. Sticks, stones, and shadows: building the Egyptian pyramids. EUA: University of Oklahoma Press, 2001, p. 211–216. ISBN 978-0-8061-3342-3.
* ↑ Sprague de Camp, L. The Ancient Engineers. EUA: Barnes & Noble, 1990, p. 43. ISBN 978-0-88029-456-0.
* 1 2 Karl von Langsdorf (1826) Machinenkunde, quoted in Reuleaux, Franz. The kinematics of machinery: Outlines of a theory of machines. MacMillan, 1876, p. 604.
* ↑ per exemple, les llistes de màquines senzilles deixades per l'arquitecte romà Vitruvius (c. 80 – 15 BCE) i el filòsof grec Heró d'Alexandria (c. 10 – 70 CE) consten de les cinc màquines simples clàssiques, excloent el pla inclinat. – Smith, William. Dictionary of Greek and Roman antiquities. Londres: Walton and Maberly; John Murray, 1848, p. 722. , Usher, Abbott Payson. A History of Mechanical Inventions. EUA: Courier Dover Publications, 1988, p. 98, 120. ISBN 978-0-486-25593-4.
* ↑ Heath, Thomas Little. A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Regne Unit: The Clarendon Press, 1921, p. 349, 433-434.
* 1 2 3 Egidio Festa and Sophie Roux, The enigma of the inclined plane in Laird, Walter Roy; Sophie Roux. Mechanics and natural philosophy before the scientific revolution. EUA: Springer, 2008, p. 195-221. ISBN 978-1-4020-5966-7.
* 1 2 Meli, Domenico Bertoloni. Thinking With Objects: The Transformation of Mechanics in the Seventeenth Century. JHU Press, 2006, p. 35-39. ISBN 978-0-8018-8426-9.
* 1 2 Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach A History of Mathematics, 3rd Ed.. John Wiley and Sons, 2010. ISBN 978-0-470-63056-3.
* ↑ Usher, Abbott Payson. A History of Mechanical Inventions. Courier Dover Publications, 1988, p. 106. ISBN 978-0-486-25593-4.
* ↑ Machamer, Peter K. The Cambridge Companion to Galileo. Londres: Cambridge University Press, 1998, p. 47–48. ISBN 978-0-521-58841-6.
* 1 2 Armstrong-Hélouvry, Brian. Control of machines with friction. EUA: Springer, 1991, p. 10. ISBN 978-0-7923-9133-3.
* ↑ Meyer, Ernst. Nanoscience: friction and rheology on the nanometer scale. World Scientific, 2002, p. 7. ISBN 978-981-238-062-3.

## Vegeu també

* Falca
* Màquina