# Anàlisi de la covariància

L'anàlisi de la covariància o ANCOVA, acrònim de l'anglès analysis of covariance, és un model lineal general amb una variable quantitativa i un o més factors. El ANCOVA és una fusió del ANOVA i de la regressió lineal múltiple. És un procediment estadístic que permet eliminar l'heterogeneïtat causada en la variable d'interès (variable dependent) per la influència d'una o més variables quantitatives (covariables). Bàsicament, el fonament del ANCOVA és un ANOVA a qui a la variable dependent se li ha eliminat l'efecte predit per una o més covariables per regressió lineal múltiple. La inclusió de covariables pot augmentar la potència estadística perquè sovint redueix la variabilitat.

## Equacions
### ANCOVA d'un factor

L'anàlisi d'un factor és apropiat quan es disposa de tres o més grups; k grups. El factor (variable categòrica) té k nivells. En els dissenys equilibrats, cada grup té el mateix nombre de dades (individus), els quals idealment han estat assignats a l'atzar a cada grup a partir d'una mostra original preferiblement homogènia.

### Calculant la suma de les desviacions al quadrat per a la variable independent X i la variable dependent Y

La suma de les desviacions al quadrat (SS): $SST_{y}$, $SSTr_{y}$, i $SSE_{y}$ ha de ser calculada usant les següents equacions per a la variable dependent, Y . La SS per la covariància també ha de ser calculada, els dos valors necessaris són $SST_{x}$ i $SSE_{x}$.
La suma de quadrats total defineix una la variabilitat del total d'individus $n_{T}$:
    $SST_{y}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)^{2}}{n_{T}}}$
La suma de quadrats per als tractaments defineix la variabilitat entre les poblacions o grups. $n_{k}$ representa el nombre de grups.
    $SSTr_{y}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}}{n_{k}}}\right)-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)^{2}}{n_{T}}}$
La suma de quadrats de l'error defineix la variabilitat residual dins de cada grup. $n_{n}$ representa el nombre d'individus en un grup donat:
    $SSE_{y}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}-\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}}{n_{k}}}\right)$
La suma de quadrats total és igual a la suma de quadrats dels tractaments i la suma de quadrats de l'error (propietat d'additivitat de les sumes de quadrats i dels graus de llibertat, característica de l'ANOVA).
    $SST_{y}=SSTr_{y}+SSE_{y}.\,$

### Càlcul de la covariància de X i Y

La suma de les covariàncies defineix la covariància de X i Y .
    $SCT=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}X_{ij}Y_{ij}-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}X_{ij}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)}{n_{T}}}$
    $SCE=\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{ij}Y_{ij}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{ij}Y_{ij})}{n_{n}}}\right)$

### Ajust de SST $_i$

La correlació entre X i Y és $r_{T}^{2}$.
    $R_{T}^{2}={\frac {SCT^{2}}{SST_{x}SST_{y}}}$
    $R_{n}^{2}={\frac {SCE^{2}}{SSE_{x}SSE_{y}}}$
La proporció de covariància és sostreta de la dependent, valors de $SS_{y}$:
    $SST_{yadj}=SST_{y}-r_{T}^{2}\,$
    $SSE_{yadj}=SSE_{y}-r_{n}^{2}\,$
    $SSTr_{yadj}=SST_{yadj}-SSE_{yadj}\,$

### Ajust de les mitjanes de cada grup k

La mitjana de cada grup és ajustada de la manera següent:
    $M_{y_{i}adj}=m_{y_{i}}-{\frac {SCE_{y}}{SCE_{x}}}(m_{x_{i}}-m_{x_{T}})$

### Anàlisi usant els valors de la suma de quadrats

Finalment obtenim la variància dels tractaments lliure de la covariància, on $df_{Tr}$ (graus de llibertat) és igual a $N_{T}-k-1$. Pot apreciar que cada covariable elimina un grau de llibertat.
    $MSTr={\frac {SSTr}{df_{Tr}}}$
    $MSE={\frac {SSE}{df_{E}}}$
E estadístic F és:
    $F_{df_{E},df_{\mathrm {Tr} }}={\frac {\mathrm {MSTr} }{\mathrm {MSE} }}.$

## Enllaços externs (anglès)

* One-Way Analysis of Covariance for Yndependent Samples Arxivat 2005-11-24 a Wayback Machine.