# Impedància acústica

La impedància acústica i la impedància acústica específica són mesures de la resistència que un sistema presenta a la fluïdesa acústica resultant d'una pressió acústica aplicada a un sistema. La unitat del SI de la impedància acústica és el pascal segon per metre cúbic (Pa·s/m³) o el rayl per metre quadrat (rayl/m²), mentre que per la impedància acústica és el pascal segon per metre (Pa·s/m) o el rayl. En aquest article el símbol rayl denota el MKS rayl.
Existeix una analogia directa amb la impedància elèctrica, la qual mesura la resistència que un sistema presenta a una corrent elèctrica resultant d'un voltatge elèctric aplicat al sistema.

## Definicions matemàtiques
### Impedància acústica

Per sistemes lineals invariants en el temps, la relació entre la pressió acústica aplicada al sistema i el flux volumètric a través d'una superfície perpendicular a la direcció d'aquesta pressió al punt d'aplicació és donada per:
$p(t)=[R*Q](t)$,
o equivalentment:
$Q(t)=[G*p](t)$,
on
* p és la pressió acústica;
* Q és el flux volumètric acústic;
* $*$ és l'operació de convolució;
* R és la resistència acústica en el domini temporal;
* G=R$^{−1}$ és la conductància acústica en el domini temporal (R$^{-1}$ és la convolució inversa de R).
La impedància acústica, denotada Z, és la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representació analítica del domini temporal de la resistència acústica:
$Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},$
$Z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {F}}[R](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},$
$Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),$
on
* ${\mathcal {L}}$ és l'operador de la transformada de Laplace;
* ${\mathcal {F}}$ és l'operador de la transformada de Fourier;
* subíndex "a" és la representació analítica de l'operador;
* Q$^{−1}$ és la convolució inversa de Q.
La resistència acústica, denotada R, i la reactància acústica, denotada X, són la part real i la part imaginària de la impedància acústica, respectivament.
    $Z(s)=R(s)+iX(s),$
    $Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),$
    $Z(t)=R(t)+iX(t),$
on
* i és la unitat imaginària;
* a Z(s), R(s) no és la transformada de Laplace del domini temporal de la resistència acústica R(t), la Z(s) l'és;
* a Z(ω), R(ω) no és la transformada de Fourier del domini temporal de la resistència acústica R(t), la Z(ω) l'és;
* a Z(t), R(t) és el domini temporal de la resistència acústica i X(t) és la transformada de Hilbert del domini temporal de la resistència acústica R(t), segons la definició de la representació analítica.
Reactància acústica inductiva, denotada X$_L$, i la reactància acústica capacitiva, denotada X$_C$, són les parts positives i parts negatives de la reactància acústica, respectivament:
    $X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),$
    $X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),$
    $X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).$
L'admissió acústica, denotada Y, és la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representació analítica del domini temporal de la conductància acústica:
    $Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},$
    $Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},$
    $Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),$
on
* Z$^{−1}$ és la convolució inversa de Z;
* p$^{−1}$ és la convolució inversa de p.
La conductància acústica, denotada G, i la susceptibilitat acústica, denotada B, són la part real i la part imaginària de l'admissió acústica respectivament:
    $Y(s)=G(s)+iB(s),$
    $Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),$
    $Y(t)=G(t)+iB(t),$
on
* a Y(s), G(s) no és la transformada de Laplace del domini temporal de la conductància acústica G(t), la Y(s) l'és;
* a Y(ω), G(ω) no és la transformada de Fourier del domini temporal de la conductància acústica G(t), la Y(ω) l'és;
* a Y(t), G(t) és el domini temporal de la conductància acústica i B(t) és la transformada de Hilbert del domini temporal de la conductància acústica G(t), segons la definició de la representació analítica.
La resistència acústica representa la transferència d'energia d'una ona acústica. La pressió i el moviment estàn en fase, per tant es treballa en el medi que hi ha enfront l'ona; també representa la pressió que està desfasada amb el moviment i que no provoca cap transferència d'energia mitjana. Per exemple, una bombeta tancada connectada a un tub d'orga tindrà una certa pressió, però al estar en contrafase no s'hi transmetrà energia neta. Mentre la pressió augmenta, l'aire es mou endins, i mentre decau, l'aire es mou enfora, però la mitjana de pressió quan l'aire es mou endins és el mateix que quan es mou enfora, per tant la potència fluctua anant i tornant, però sense transferència mitjana temporal d'energia. Una altra analogia elèctrica és un condensador connectat a través d'una línia elèctrica: el corrent flueix a través del condensador però està desfasat amb el voltatge, per tant no s'hi transmet potència neta.

### Impedància acústica específica

Per sistemes lineals invariants en el temps, la relació entre la pressió acústica aplicada al sistema i la velocitat resultant de les partícules en la direcció d'aquesta pressió en el seu punt d'aplicació ve donada per:
$p(t)=[r*v](t),$
o equivalentment:
$v(t)=[g*p](t),$
on
* p és la pressió acústica;
* v és la velocitat de les partícules;
* r és la resistència acústica específica en el domini temporal;
* g = r$^{−1}$ és la conductància acústica específica en el domini temporal (r$^{−1}$ és la convolució inversa de r).
La impedància acústica específica, denotada z és la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representació analítica del domini temporal de la resistència acústica específica:
    $z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},$
    $z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},$
    $z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),$
on v$^{-1}$ és la convolució inversa de v.
La resistència acústica específica, denotada r, i la reactància acústica específica, denotada x, són la part real i la part imaginària de la impedància acústica específica, respectivament:
    $z(s)=r(s)+ix(s),$
    $z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),$
    $z(t)=r(t)+ix(t),$
on
* a z(s), r(s) no és la transformada de Laplace del domini temporal de la resistència acústica r(t), la z(s) l'és;
* a z(ω), r(ω) no és la transformada de Fourier del domini temporal de la resistència acústica r(t), la z(ω) l'és;
* a z(t), r(t) és el domini temporal de la resistència acústica i x(t) és la transformada de Hilbert del domini temporal de la resistència acústica r(t), segons la definició de la representació analítica.
La reactància inductiva acústica específica, denotada x$_L$, i la reactància capacitativa acústica específica, denotada x$_C$, són la part positiva i la part negativa de la reactància acústica específica, respectivament:
    $x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),$
    $x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),$
    $x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).$
L'admissió acústica específica, denotada y, és la transformada de Laplace, o la transformada de Fourier, o la representació analítica del domini temporal de la conductància acústica:
    $y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},$
    $y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},$
    $y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),$
on
* z$^{−1}$ és la convolució inversa de z;
* p$^{−1}$ és la convolució inversa de p.
La conductància acústica específica, denotada g, i la susceptibilitat acústica específica, denotada b, són la part real i la part imaginària de l'admissió acústica específica respectivament:
    $y(s)=g(s)+ib(s),$
    $y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),$
    $y(t)=g(t)+ib(t),$
on
* a y(s), g(s) no és la transformada de Laplace del domini temporal de la conductància acústica g(t), la y(s) l'és;
* a y(ω), g(ω) no és la transformada de Fourier del domini temporal de la conductància acústica g(t), la y(ω) l'és;
* a y(t), g(t) és el domini temporal de la conductància acústica i b(t) és la transformada de Hilbert del domini temporal de la conductància acústica g(t), segons la definició de la representació analítica.
La impedància acústica especifica z és una propietat intensiva d'un medi particular (per exemple la z de l'aire o l'aigua pot ser especificada); per altra banda, la impedància acústica Z és una propietat extensa d'un medi i una geometria particular (per exemple la Z d'un conducte particular omplert d'aire pot ser especificat).

### Relació

Per a una ona unidimensional que travessa una obertura amb àrea A, el flux volumètric acústic Q és el volum del medi que passa per segon a través de l'obertura; si el flux acústic es mou a una distància dx = v dt, llavors el volum del medi passant a través és dV = A dx, per tant:
$Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.$
Sempre i quan l'ona sigui només unidimensional:
    $Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},$
    $Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},$
    $Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.$

## Característiques de la impedància acústica

La llei constitutiva de l'acústica lineal no dispersiva en una dimensió aporta una relació entre tensió i deformació:
$p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},$
on
* p és la pressió acústica al medi;
* ρ és la densitat volumètrica de la massa del medi;
* c és la velocitat de les ones del so viatjant a través del medi;
* δ és el desplaçament de partícula.
* x és l'espai variable al llarg de la direcció de propagació de les ones sonores.
Aquesta equació és vàlida tan per fluids i sòlids. Per
* fluids, ρc² = K (K correspon als mòduls de compressibilitat);
* solids, ρc² = K + 4/3 G (G correspon als mòduls de cisallament) per a ones longitudinals and ρc² = G for ones transversals.
La segona llei de Newton aplicada localment al medi dona:
$\rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.$
Combinant aquesta equació amb l'anterior produeix l'equació d'ones unidimensionals:
${\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.$
Les ones planes
$\delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)$
les quals són solucions d'aquesta equació d'ona estàn compostes per la suma de dues ones planes progressives viatjant a través x amb la mateixa velocitat en direccions oposades:
$\delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$
de cada una se'n pot derivar
$v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\bigf'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},$
$p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\bigf'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.$
Per ones planes progressives:
${\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}$
o
${\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}$
Finalment, la impedància acústica específica z és
    $z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,$
    $z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,$
    $z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.$
El valor absolut d'aquesta impedància acústica és anomenada usualment, impedància acústica específica característica i denotada z$_0$:
$z_{0}=\rho c.$
Les equacions també mostren que
${\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.$

### Efecte de la temperatura

La temperatura afecta a la velocitat del so i a la densitat de la massa i aquestes, a la impedància acústica específica.
Efecte de la temperatura en les propietats de l'aire :
| Temperatura, T (°C) | Velocitat del so, c (m/s) | Densitat de l'aire, ρ (kg/m$^3$) | Característiques impedància acústica específica, z$_0$ (Pa·s/m) |
| 35 | 351.88 | 1.1455 | 403.2 |
| 30 | 349.02 | 1.1644 | 406.5 |
| 25 | 346.13 | 1.1839 | 409.4 |
| 20 | 343.21 | 1.2041 | 413.3 |
| 15 | 340.27 | 1.2250 | 416.9 |
| 10 | 337.31 | 1.2466 | 420.5 |
| 5 | 334.32 | 1.2690 | 424.3 |
| 0 | 331.30 | 1.2922 | 428.0 |
| -5 | 328.25 | 1.3163 | 432.1 |
| -10 | 325.18 | 1.3413 | 436.1 |
| -15 | 322.07 | 1.3673 | 440.3 |
| -20 | 318.94 | 1.3943 | 444.6 |
| -25 | 315.77 | 1.4224 | 449.1 |

### Impedància acústica característica

Per a ones unidimensionals passant a través d'un obertura amb àrea A, Z = z/A, per tant si l'ona és plana progressiva:
    $Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},$
    $Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},$
    $Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.$
El valor absolut d'aquesta impedància acústica és usualment anomenada impedància acústica característica, i és denotada Z$_0$:
$Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.$
i la impedància acústica específica característica és
${\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.$
Si l'obertura amb l'àrea A és l'inici d'un tub i una ona plana és enviada dins d'aquest tub, l'ona passant a través de l'obertura és una ona plana progressiva en absència de reflexos, i els reflexos generalment de l'altre extrem, sigui obert o tancat, són la suma de les ones viatjant d'un extrem a l'altre. (És possible no tenir reflexos quan el tub és molt llarg, perquè s'atenuen amb les parets del tub perquè tarden molt en arribar d'una punta a l'altre). Aquests reflexos i les ones estacionàries resultants són molt importants en el disseny i la utilització d'instruments musicals de vent.

## Vegeu també

* Atenuació acústica
* Analogia d'impedància
* Ohm acústic
* Bomba sísmica

## Referències

* 1 2 3 4 5 Fundamentals of acoustics. 4th ed, 1999. ISBN 0-471-84789-5.

## Enllaços externs

* What Is Acoustic Impedance and Why Is It Important?
* The Wave Equation for Sound