# Equació de Laplace

En càlcul vectorial, l'equació de Laplace és una equació en derivades parcials de segon ordre de tipus el·líptic, que rep aquest nom en honor del físic i matemàtic Pierre-Simon Laplace.
Introduïda per les necessitats de la mecànica newtoniana, l'equació de Laplace apareix en moltes altres branques de la física teòrica com l'astronomia, l'electroestàtica, la mecànica de fluids o la mecànica quàntica.

## Definició

L'equació de Laplace es defineix com:
    $\Delta u=0$
on $\Delta$ és l'operador laplacià i u són funcions reals o complexes.
L'equació de Laplace es tracta d'un cas particular de l'equació de Poisson:
    $\Delta u=f$ quan la funció f és zero.
A les funcions solucions de l'equació de Laplace se'ls anomena funcions harmòniques.

## Condicions inicials

El problema de Cauchy per l'equació de Laplace s'anomena un problema plantejat no correctament , ja que la solució no depèn contínuament de les dades del problema. Aquests problemes mal definits no són usualment satisfactoris per a les aplicacions físiques.

## Condicions de frontera
### Problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet consisteix a trobar una funció harmònica donats els seus valors a la frontera d'un domini acotat. Això és:
trobar una funció o amb primera i segona derivades contínues en D i continua a la frontera de D
    $\Delta u=0$ en D
    $U=\varphi$ a la frontera de D
per certa funció $\varphi$ contínua a la frontera de D.
Com a conseqüència del principi fort del màxim de les funcions harmòniques s'ha de la solució del problema de Dirichlet si existeix és única.

## Equació de Laplace tridimensional

A coordenades cartesianes, en un espai euclidià de tres dimensions, el problema consisteix a trobar totes les funcions de tres variables reals $u(x,y,z)\,\!$ que verifiquen l'equació en derivades parcials de segon ordre:
    ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\ =\ 0$
Per simplificar l'escriptura, s'introdueix l'operador diferencial $\Delta \,\!$ (operador laplacià) tal que l'equació ens queda:
    $\Delta u\ =\ 0$

## Equació de Laplace bidimensional

A coordenades cartesianes, en un espai euclidià de dues dimensions, el problema consisteix a trobar totes les funcions de dues variables reals $u(x,y)$ que verifiquen:
    ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\ =\ 0$
    ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\ =\ 0$

### Problema de Dirichlet
#### Problema de Dirichlet en el cercle unitat

Per la fórmula integral de Poisson tenim que la solució al problema en un cercle (expressant la solució en coordenades polars) és:
    $u(r,\theta )={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1+r^{2}-2r\cos(\theta -t)}o(1,t)\,dt\;$

#### Problema de Dirichlet en el semiplà superior

S'obté la coneguda com fórmula integral de Schwartz :
    $u(x,y)={i \over \pi }\int _{-\infty }^{\infty }{u(s,0) \over (x-s)^{2}+y^{2}}\,Ds\;$

## Referències

* ↑ E. Boyce, William; C. DiPrima, Richard. Elementary Differential Equation and Boundary Value Problem (en anglès). 10a. JohnWiley & Sons, Inc, 2012, p. 658. ISBN 978-0-470-45831-0.

## Vegeu també

* Equació de Poisson
* Funció harmònica