# Equació de Kepler

Kepler va descobrir les lleis que regeixen el moviment dels planetes al voltant del Sol. Els planetes giren en una òrbita el·líptica, un dels focus F l'ocupa el Sol, però no ho fan amb un moviment uniforme, sinó segons la llei de les àrees escombrant el radi vector Sol-Planeta àrees iguals en temps iguals. El plasmat matemàtic d'aquesta llei és l'Equació de Kepler:
          $M=E-e\,\mathrm {sin} \,E$
on:
* M és l'anomalia mitjana o angle que recorreria un planeta fictici que es mogués amb moviment uniforme por la circumferència principal,
* $e\ (0\leq e<1)$ és l'excentricitat de l'el·lipse i
* E és l'anomalia excèntrica.
Va ser derivada per primera vegada per Johannes Kepler el 1609 en el capítol 60 de la seva Astronomia nova, i en el llibre V del seu Epitome Astronomiae Copernicanae (1621) Kepler va proposar una solució iterativa a l'equació. L'equació ha tingut un paper important en la història de la física i les matemàtiques, en particular en la mecànica celeste clàssica.

## Moviment mitjà

Suposem que el planeta dona una volta al Sol en un temps anomenat període T.
El moviment mitjà n és l'angle girat en la unitat de temps suposant moviment uniforme n = 360/T en graus/dia si el període s'expressa en dies. Usant la 3 $^a$ llei de Kepler
          ${\frac {GMT^{2}}{a^{3}}}=4\pi ^{2}$ és:
          $N={\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {GM}{a^{3}}}}$ en radiants/dia sent a l'semieix major de l'òrbita.
S'obté n en radiants/dia o en º/dia si a s'expressa en ua mitjançant:
          $N={\frac {k}{a^{\frac {3}{2}}}}$
on $k$ és la constant de Gauss, o el moviment mitjà diari de la Terra el valor és 0,01720209895 radians/dia o 0,9856076686 graus/dia.
Si t $_0$ és l'instant de pas pel periheli P, l'anomalia mitjana en un instant t és:
          $M=n\times (t-t_{0})$

## Demostració de l'Equació de Kepler

El semieix major de l'òrbita és $a$, i el semieix menor és $b$. L'excentricitat de l'òrbita és $e$, i l'estrella ocupa un dels focus $F$, a una distància $c=ae$ del centre $C$ de l'el·lipse. El planeta està en el periheli En $P$ en moment $t=0$ o més en general en el moment $t_{0}$. Pretenem trobar el temps $T=t-t_{0}$ que tarda el planeta en arribar $S$.
La circumferència principal té una relació d'afinitat entre els seus ordenades i les ordenades de l'el·lipse, ja que són més grans en un factor $a/b$. Per a qualsevol punt donat $S$ de l'el·lipse pot traçar al punt corresponent punt $R$ en la circumferència principal. L'angle $PCR$ és l'anomalia excèntrica (l'angle $E$) mentre que l'angle $PFS$ és l'anomalia veritable.
Sabem que per la segona llei de Kepler les àrees escombrades pel radi vector del planeta en temps iguals són iguals. L'àrea $PFR$ és l'homòloga de l'àrea $PFS$ escombrada pel planeta:
    $PFR={\frac {a}{b}}PFS$
Sabem que, en el temps del període orbital $\tau$, el planeta escombra l'àrea sencera de l'el·lipse $\pi ab$. Per això en un temps $T/\tau$ l'àrea escombrada serà:
    $PFS={\frac {T}{\tau }}\pi ab$
i substituint aquesta expressió en l'anterior:
    $PFR={\frac {T}{\tau }}\pi a^{2}$
Però l'àrea $PFR$ és la resta de les àrees $PCR$ e $FCR$:
    $PFR=PCR-FCR\;$
L'àrea $PCR$ és el sector circular l'angle central és E. Com el cercle té una àrea total $\pi a^{2}$ i la fracció és $E/2\pi$, tenim:
    $PCR={\frac {a^{2}}{2}}E$
Mentre que l'àrea $FCR$ és un triangle la base és la semi-distància focal $FC$ de longitud $c=ae$, i l'alçada és $a\,\mathrm {sin} \,E$:
    $FCR={\frac {a^{2}}{2}}e\,\mathrm {sin} \,E$
Per la qual cosa:
    $PFR={\frac {T}{\tau }}\pi a^{2}={\frac {a^{2}}{2}}E-{\frac {a^{2}}{2}}e\,\mathrm {sin} \,E$
Dividint per $a^{2}/2$:
    ${\frac {2\pi }{\tau }}T=E-e\,\mathrm {sin} \,E$
Però $n=2\pi /\ {\tau }$ és el moviment mitjà i si multipliquem per T obtenim l'anomalia mitjana $M=n\,T=n\,(t-t_{0})$ el que ens dona l'equació de Kepler:
    $M=E-e\,\mathrm {sin} \,E\;$
Nota: Per entendre la importància d'aquesta fórmula, consideri que és una fórmula anàloga que dona l'angle $\theta$ girat en un moviment circular i uniforme (velocitat angular constant) $n$:
    $N\,T=\theta \;$

## Mètodes de resolució de l'Equació de Kepler

Per a un temps t donat, M és conegut, amb la qual queda una equació transcendent en E la resolució anem a abordar.

### Mètode gràfic

* Exemple:
Suposem el planeta Mart el any sideri = 686,98 dies i volem calcular l'anomalia excèntrica 80 dies després que el planeta passi pel periheli
El moviment mitjà a = 0,524033 º/dia i l'anomalia mitjana: $M=n\times (t-t_{0})$ = 41 º, 9226
Per resoldre l'equació de Kepler, en el gràfic de dibuixa una sinusoide. Sobre l'eix x es mesura M = OP i es dibuixa una recta amb inclinació sobre l'eix x tal que:
          $cotg(\alpha )=i$.
Llavors $PQ=e\times \sin E$ amb el que $OQ=OP+PQ=M+e\times \sin E$
Aplicada per Mart T = 686,98 dies, i = 0,09341 i 80 dies després del pas pel periheli. L'anomalia mitjana val M = 41,9226 i la a. excèntrica surt E = 49,8 quan hauria de sortir 45,75.

### Mètode de les aproximacions successives

S'escriu l'equació de Kepler en la forma:
          $E=M+e\times \sin E$
Com normalment la excentricitat i és petita pot menysprear i l'aproximació inicial E $_0$ = M. Ara s'aplica l'equació de Kepler per obtenir un nou valor:
          $E_{1}=M+e\times \sin E_{0}$ i en general
          $E_{i}=M+e\times \sin E_{i-1}$
es iter el càlcul les vegades necessàries fins que la diferència entre E $_{i-1}$ i E $_i$ és menor que una quantitat prefixada o error.
Un script de Java que fa això és:
       with (Math){
          n = 2 * PI/P;
          M = n * T;
          E0 = M;
          E1 = M+ex * sin (E0);
          while (abs (E1-E0)> 0.0001){
                E0 = E1;
                E1 = M+ex * sin (E0);
S'ha usat l'estructura de while (condició) i així mentre es compleixi la condició seguirà iterada.
Nota important:
L'equació es pot resoldre en radiants o graus en aquest darrer cas cal fer homogenis els dos sumands convertint radians a graus:
          $E_{i}=M+{\frac {180}{\pi }}\times e\times \sin E_{i-1}$
En l'applet es resol en radiants.
* Exemple:
Suposem que volem calcular l'anomalia excèntrica del planeta Mart, 80 dies després que el planeta passi pel periheli i amb un error menor que 0,00001. La següent taula resumeix els resultats de les diferents iteracions:
| Iteració | Ei | Diferència |
| 0 | 41,92260 | |
| 1 | 45,49841 | 3,57581 |
| 2 | 45,73981 | 0,24140 |
| 3 | 45,75558 | 0,01577 |
| 4 | 45,75661 | 0,00103 |
| 5 | 45,75668 | 0,00007 |
| 6 | 45,75668 | 0,000004 |
Amb només 6 iteracions es pot veure que E = 45,75668 amb totes les seves xifres exactes.
Nota: Quan l'excentricitat s'acosta a 1 es necessiten moltes més iteracions per aconseguir el mateix error.

### Mètode de Newton

El mètode de Newton consisteix a calcular una arrel d'una equació f (x) = 0 mitjançant l'expressió:
    $X_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.$
Per a això n'hi ha prou amb escriure l'equació de Kepler com
          $E-e\times \sin E-M=0$
i aplicar aquest mètode.

## Moviment el·líptic

* Veure article principal de Moviment el·líptic
Quan ja s'han calculat l'anomalia mitjana M, i mitjançant la resolució de l' Equació de Kepler l'anomalia excèntrica E i després l'anomalia veritable V, encara queden moltes relacions de tractar. A tall d'exemple:
* Posició cartesiana (x, y) del planeta respecte a l'estrella:
** En funció anomalia excèntrica:
          $X=a\times (\cos E-e)$
          $I=a\times {\sqrt {1-i^{2}}}\times \sin E$
** En funció anomalia veritable:
          $X=r\times \cos V$
          $I=r\times \sin V$
* Ràdio vector
** En funció anomalia excèntrica
          $R=a\times (1-e\times \cos E)$
** En funció anomalia veritable:
          $R={\frac {a\times (1-e^{2})}{1+e\times \cos V}}$
* Desenvolupaments en sèrie de potències de i d'E, V ir:
          $E=M+e\times \sin M+{\frac {i^{2}}{2}}\times \sin(2\times M)+...$
          $V=M+2\times e\times \sin M+{\frac {5i^{2}}{4}}\times \sin(2\times M)+...$
          $R=a\times (1-e\times \cos M+{\frac {i^{2}}{2}}\times (1-\cos(2\times M)))+...$
on s'han desenvolupat fins a 2n ordre.

## Nota final

Mentre que la llei de les àrees és general no només per a cossos atrets per la Llei de Newton o llei de la inversa del quadrat de la distància, sinó per a totes les forces centrals, la direcció està en la línia que uneix les partícules. L'Equació de Kepler és vàlida només per a cossos que es mouen en una òrbita tancada el·líptica amb 0 ≤ i <1 .
Per òrbites obertes amb i> 1 (Hipèrbola) la mateixa llei de les àrees porta a una formulació lleugerament diferent. (Resolució del moviment hiperbòlic)

## Referències

* ↑ Kepler, Johannes. «LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. argumentum falsæ hypotheseos». A: Astronomia Nova Aitiologētos, Seu Physica Coelestis, tradita commentariis De Motibus Stellæ Martis, Ex observationibus G. V. Tychonis Brahe (en llatí), 1609, p. 299–300.
* ↑ Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. Springer, 2001, p. 146–147. ISBN 9780387951362.
* ↑ Kepler, Johannes. «Libri V. Pars altera.». A: Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ (en llatí), 1621, p. 695–696.
* ↑ Swerdlow, N. M. «Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation». Journal for the History of Astronomy, 31, 2000, pàg. 339–341. Bibcode: 2000JHA....31..339S.

## Vegeu també

* Anomalia mitjana
* Anomalia excèntrica
* Anomalia veritable