# Equació de Fokker-Planck

En mecànica estadística i teoria de la informació, l'equació de Fokker-Planck és una equació diferencial parcial que descriu l'evolució temporal de la funció de densitat de probabilitat de la velocitat d'una partícula sota la influència de les forces d'arrossegament i les forces aleatòries, com en el moviment brownià. L'equació també es pot generalitzar a altres observables. L'equació de Fokker-Planck té múltiples aplicacions en teoria de la informació, teoria de grafs, ciència de dades, finances, economia, etc.
Porta el nom d'Adriaan Fokker i Max Planck, que el van descriure el 1914 i el 1917. També es coneix com l'equació directa de Kolmogorov, del matemàtic Andrei Kolmogórov, que la va descobrir de manera independent el 1931. Quan s'aplica a distribucions de posició de partícules, és més coneguda com l'equació de Smoluchowski (del matemàtic Marian Smoluchowski), i en aquest context és equivalent a l'equació de convecció-difusió. Quan s'aplica a la posició de partícules i distribucions de moment, es coneix com l'equació de Klein-Kramers. El cas amb difusió zero és l'equació de continuïtat. L'equació de Fokker – Planck s'obté a partir de l'equació mestra mitjançant l'expansió de Kramers-Moyal.
La primera derivació microscòpica consistent de l'equació de Fokker-Planck en l'esquema únic de la mecànica clàssica i quàntica va ser realitzada per Nikolay Bogooliubov i Nikolay Krylov.
En una dimensió espacial x, per a un procés Itô impulsat pel procés estàndard de Wiener $W_{t}$ i descrit per l'equació diferencial estocàstica (SDE)$dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}$amb deriva $\mu (X_{t},t)$ i coeficient de difusió $D(X_{t},t)=\sigma ^{2}(X_{t},t)/2$, l'equació de Fokker-Planck per a la densitat de probabilitat $p(x,t)$ de la variable aleatòria $X_{t}$ és
    ${\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu (x,t)p(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right].$

## Dimensions superiors

De manera més general, si$d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,d\mathbf {W} _{t},$on $\mathbf {X} _{t}$ i ${\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)$ són vectors aleatoris N-dimensionals, ${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)$ és un $N\times M$ matriu i $\mathbf {W} _{t}$ és un procés de Wiener estàndard M-dimensional, la densitat de probabilitat $p(\mathbf {x} ,t)$ per $\mathbf {X} _{t}$ satisfà l'equació de Fokker-Planck
    ${\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right],$
amb vector de deriva ${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})$ i tensor de difusió D=1/2 σσ$^T${\textstyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}}, és a dir$D_{ij}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).$

## Referències

* ↑ Leo P. Kadanoff. Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization (en anglès). World Scientific, 2000. ISBN 978-981-02-3764-6.
* ↑ Fokker, A. D. Ann. Phys., 348, 4. Folge 43, 1914, pàg. 810–820. Bibcode: 1914AnP...348..810F. DOI: 10.1002/andp.19143480507.
* ↑ Planck, M. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 24, 1917, pàg. 324–341.
* ↑ Kolmogorov, Andrei (en alemany) Mathematische Annalen, 104, 1, 1931, pàg. 415–458 [pp. 448–451]. DOI: 10.1007/BF01457949.
* ↑ Dhont, J. K. G.. An Introduction to Dynamics of Colloids (en anglès). Elsevier, 1996, p. 183. ISBN 978-0-08-053507-4.
* ↑ Paul, Wolfgang. «A Brief Survey of the Mathematics of Probability Theory». A: Stochastic Processes (en anglès). Springer, 2013, p. 17–61 [esp. 33–35]. DOI 10.1007/978-3-319-00327-6_2. ISBN 978-3-319-00326-9.