# Teorema de Fubini

El teorema de Fubini permet calcular una integral doble mitjançant una integral iterada i també intercanviar l'ordre d'integració en les integrals iterades. És un resultat fonamental en Anàlisi matemàtica i en Teoria de la probabilitat. En veurem dues versions, una per a integrals de Riemann, que és la que s'utilitza en molts càlculs, i una altra en espais de mesura generals, on també s'anomena Teorema de Fubini-Tonelli.

## Teorema de Fubini per a integrals de Riemann

En aquesta secció totes les integrals són en sentit de Riemann, i l'expressió integrable vol dir integrable Riemann. Tots els resultats que segueixen es troben a Marsden
Teorema 1. (i) Sigui $f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R}$ una funció contínua. Aleshores $\int _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}{\Big\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy{\Big )}dx=\int _{c}^{d}{\Big\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx{\Big )}dy,\qquad (1)$on $\int _{a}^{b}{\Big\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy{\Big )}\,dx$vol dir que primer considerem la variable $x\in [a,b]$ fixada i calculem la integral de la funció ${\begin{aligned}f(x,\cdot ):[c,&d]\to \mathbb {R} \\&y\mapsto f(x,y)\end{aligned}}\qquad (2)$que designem per $\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy$. Després calculem la integral de la funció ${\begin{aligned}&[c,d]\to \mathbb {R} \\&\quad x\mapsto \int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\end{aligned}}$
(ii) Sigui $f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R}$ una funció integrable, tal que per cada $x$ la la funció donada per (2) sigui integrable. Llavors, $\int _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}{\Big\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy{\Big )}\,dx.$Un resultat anàleg s'obté suposant que la funció $x\mapsto f(x,y)$ és integrable per a cada $y\in [c,d]$ fix.
Comentaris.
* La integral de l'esquerra de (1) és una integral de Riemann doble. Alguns autors en lloc d'escriure $\int _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dx\,dy$ utilitzen alguna altra expressió, com $\iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,d\omega$ .
* Sovint es suprimeixen els parèntesis de les integrals iterades i s'escriu $\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx$, on l'ordre d'integració és, en aquest cas, primer la integral respecte $y$ . Si és convenient, s'especifiquen les integrals de la següent manera, .$\int _{x=a}^{b}\int _{y=c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx$
* Alguns autors escriuen el teorema mitjançant les següents funcions auxiliars: per a cada $x\in [a,b]$ fixada, sigui $f_{x}:[c,d]\to \mathbb {R}$ definida per $f_{x}(y)=f(x,y),$ i, anàlogament, per a cada $y\in [c,d]$ fixada, sigui $f^{y}:[a,b]\to \mathbb {R}$ definida per $f^{y}(x)=f(x,y).$Aleshores la fórmula (1) s'escriu $\int _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}{\Big\int _{c}^{d}f_{x}(y)\,dy{\Big )}\,dx=\int _{c}^{d}{\Big\int _{a}^{b}f^{y}(x)\,dx{\Big )}\,dy.$
Exemple. Sigui $f:[0,\pi /2]\times [0,1]\to \mathbb {R}$ definida per $f(x,y)=x\cos(xy),$que és una funció contínua.
Aleshores $\int _{[0,\pi /2]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{0}^{\pi /2}{\Big\int _{0}^{1}x\cos(xy)\,dy{\Big )}dx=\int _{0}^{\pi /2}x{\Big{\frac {\sin(xy))}{x}}{\Big ]}_{y=0}^{1}\,dx=\int _{0}^{\pi /2}\sin x\,dx=1.$Cal notar que que l'elecció de l'ordre d'integració pot ser important. En aquest exemple, la integral iterada que hem calculat és més senzilla que $\int _{0}^{1}{\Big\int _{0}^{\pi /2}x\cos(xy)\,dx{\Big )}dy.$

### Integració sobre regions no rectangulars

El teorema anterior s'estén sense dificultat al cas que integrem sobre una regió del pla delimitada per corbes contínues:
Propietat: Siguin $\varphi ,\phi :[a,b]\to \mathbb {R}$ dues funcions contínues tals que $\phi (x)\leq \varphi (x)$ , per a tot $x\in [a,b]$ i considerem la regió del pla $A={\big \(x,y):\ x\in [a,b]\ {\text{i}}\ y\in [\varphi (x),\phi (x)]{\big \}}.$Sigui $f:A\to \mathbb {R}$ contínua. Aleshores, $\int _{A}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}{\Big\int _{\phi (x)}^{\varphi (x)}f(x,y)\,dy{\Big )}\,dx.$Vegeu la Figura 1.
Naturalment, si la regió està limitada verticalment per corbes, es poden intercanviar els papers de $x$ i de $y$ .
Exemple. Considerem el triangle $T$ de vèrtexs els punts (0,0),(1,0) i (0,2), vegeu la Figura 2. Volem integrar la funció $f:T\to \mathbb {R}$ definida per $f(x,y)=x^{2}+y.$El triangle $T$ és el conjunt $T={\big \(x,y):\ x\in [0,1]\ {\text{i}}\ y\in [0,2x]{\big \}}.$Aleshores $\int _{T}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{2x}(x^{2}+y)\,dy\,dx=\int _{x=0}^{1}{\Bigx^{2}y+{\frac {y^{2}}{2}}{\Big ]}_{y=0}^{2x}\,dx=\int _{0}^{1}(2x^{3}+2x^{2})\,dx={\Big{\frac {x^{4}}{2}}+{\frac {2x^{3}}{3}}{\Big ]}_{x=0}^{1}={\frac {7}{6}}.$
En aquest exemple, el triangle també està definit per $T={\big \(x,y):\ y\in [0,1]\ {\text{i}}\ x\in [0,y/2]{\big \}},$i podríem haver calculat l'altra integral iterada.
Exemple. En aquest exemple veurem que a vegades és convenient canviar l'ordre d'integració per calcular una integral iterada. Volem calcular la integral iterada $\int _{x=0}^{1}\int _{y=x}^{1}e^{y^{2}}\,dy\,dx$
Però la integral $\int e^{y^{2}}\,dy$ no es pot expressar en termes de funcions elementals (polinomis, funcions exponencials, funcions trigonomètriques,...). Aleshores el que farem serà intercanviar l'ordre d'integració mitjançant el Teorema de Fubini. La integral iterada correspon a integrar la funció $e^{y^{2}}$ en el triangle $T={\big \(x,y):\ x\in [0,1]\ {\text{i}}\ y\in [x,1]{\big \}}.$Vegeu la Figura 3.
Però tenim que també$T={\big \(x,y):\ y\in [0,1]\ {\text{i}}\ x\in [0,y]{\big \}}.$Pel teorema de Fubini, $\int _{x=0}^{1}\int _{y=x}^{1}e^{y^{2}}\,dy\,dx=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{y}e^{y^{2}}\,dx\,dy=\int _{y=0}^{1}{\Bigxe^{y^{2}}{\Big ]}_{x=0}^{y}\,dy=\int _{0}^{1}ye^{y^{2}}\,dy={\Big{\frac {1}{2}}e^{y^{2}}{\Big ]}_{y=0}^{1}={\frac {1}{2}}(e-1).$

## Teorema de Fubini en espais de mesura

Les referències d'aquest apartat són Hewitt-Stromberg i Folland
Siguin $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ i $(Y,{\mathcal {B}},\nu )$ dos espais de mesura. En el conjunt producte $X\times Y$ es defineix la $\sigma$-àlgebra producte ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ com la mínima $\sigma$-àlgebra que conté tots els rectangles de la forma $A\times B$, amb $A\in {\mathcal {A}}$ i $B\in {\mathcal {B}}$ , i es construeix la mesura producte $\mu \times \nu$ en ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ a partir de $\mu \times \nu (A\times B)=\mu (A)\nu (B),\ A\in {\mathcal {A}}\ {\text{i}}\ B\in {\mathcal {B}}.$En Teoria de la mesura és convenient treballar amb funcions que poden prendre els valors $+\infty$ o $-\infty$ . Escriurem $[0,+\infty ]=[0,+\infty )\cup \{+\infty \}$ i ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}$. Recordem que totes les seccions d'una funció mesurable de dues variable són mesurables, concretament sigui $f:X\times Y\to {\overline {\mathbb {R} }}$ una funció ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$-mesurable. Aleshores per a tot $x\in X$, la funció ${\begin{aligned}f(x,\cdot ):&Y\to {\overline {\mathbb {R} }}\\&y\mapsto f(x,y)\end{aligned}}$és ${\mathcal {\mathcal {B}}}$-mesurable, i per a tot $y\in Y$, ${\begin{aligned}f(\cdot ,y):&X\to {\overline {\mathbb {R} }}\\&x\mapsto f(x,y)\end{aligned}}$és ${\mathcal {A}}$-mesurable. També cal recordar que si una funció mesurable és no negativa, la seva integral sempre està definida però pot donar $\infty$. Teorema.Siguin $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ i $(Y,{\mathcal {B}},\nu )$ dos espais de mesura $\sigma$-finits.
(i) Cas no negatiu. Sigui $f:X\times Y\to [0,\infty ]$ una funció ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$-mesurable no-negativa. Aleshores les funcions ${\begin{aligned}&X\to [0,\infty ]\\&x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\,d\nu (y)\end{aligned}}\qquad {\text{i}}\qquad {\begin{aligned}&Y\to [0,\infty ]\\&y\mapsto \int _{Y}f(x,y)\,d\mu (x)\end{aligned}}$són ${\mathcal {A}}$-mesurable i ${\mathcal {B}}$ -mesurable respectivament, i $\int _{X\times Y}f\,d(\mu \times \nu )=\int _{X}{\Big\int _{Y}f(x,y)\,d\nu (y){\Big )}d\mu (x)=\int _{Y}{\Big\int _{X}f(x,y)\,d\mu (x){\Big )}d\nu (y),\qquad (3)$(ii) Cas integrable. Sigui $f:X\times Y\to {\overline {\mathbb {R} }}$ una funció ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$-mesurable i $\mu \times \nu$-integrable. Aleshores $\mu$-quasi per tot $x\in X$, la funció ${\begin{aligned}f(x,\cdot ):&Y\to {\overline {\mathbb {R} }}\\&y\mapsto f(x,y)\end{aligned}}$és $\nu$-integrable. A més, la funció (definida $\mu$-quasi per tot $x\in X$)${\begin{aligned}&X\to {\overline {\mathbb {R} }}\\&x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\,d\nu (y)\end{aligned}}$és $\mu$ -integrable. Anàlogament, $\nu$-quasi per tot $y\in Y$, la funció $x\mapsto f(x,y)$ és $\mu$-integrable i la funció $y\mapsto \int _{Y}f(x,y)\,d\mu (x)$ és $\nu$ -integrable, i val la fórmula (3).
El cas (i) s'anomena Teorema de Tonelli i el cas (ii) Teorema de Fubini, i conjuntament Teorema de Fubini-Tonelli.
Observació. El teorema anterior també és cert per a funcions amb valors en $[0,\infty )$ o $\mathbb {R}$, ja que també són mesurables com a funcions a valors en ${\overline {\mathbb {R} }}$ , vegeu a les condicions de mesurabilitat respecte la $\sigma$-àlgebra de Borel a ${\overline {\mathbb {R} }}$ (vegeu també).
Exemple (Billingsley): Considerem un espai de probabilitat $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ i sigui $Z:\Omega \to [0,\infty )$ una variable aleatòria no negativa. Aleshores $E[Z]=\int _{0}^{\infty }P\{Z>t\}\,dt=\int _{0}^{\infty }P\{Z\geq t\}\,dt.$Prova. En aquesta demostració utilitzarem la funció indicador d'un conjunt $C$ (en Anàlisi matemàtica s'anomena funció característica d'un conjunt): ${\boldsymbol {1}}_{C}(x)={\begin{cases}1,&{\text{si}}\ x\in C,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$També utilitzarem que si $z\geq 0$, llavors $z=\int _{0}^{z}dt=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {1}}_{[0,z]}(t)\,dt.$(Integral de Lebesgue). Aleshores podem escriure l'esperança de $Z$ de la següent forma: $E[Z]=\int _{\Omega }Z(\omega )\,dP(\omega )=\int _{\Omega }{\Big\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {1}}_{[0,Z(\omega )]}(t){\Big )}dP(\omega ).$Però $1_{[0,Z(\omega )]}(t)$ és la secció per $\omega$ (és a dir, amb $\omega$ fixada) de la funció ${\begin{aligned}&\Omega \times [0,\infty )\to [0,\infty )\\&\qquad (\omega ,t)\longmapsto 1_{\{Z(\omega )\geq t\}}\end{aligned}}\qquad (4)$La secció d'aquesta funció per $t$ és $\omega \mapsto 1_{\{Z\geq t\}}(\omega )$. Per tant, pel Teorema de Fubini (de fet, Teorema de Tonelli), $E[Z]=\int _{\Omega }{\Big\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {1}}_{[0,Z(\omega )]}(t)\,dt{\Big )}dP(\omega )=\int _{\Omega \times [0,\infty )}{\boldsymbol {1}}_{\{Z\geq t\}}(\omega ,t)\,dP(\omega )\times dt=\int _{0}^{\infty }{\Big\int _{\Omega }{\boldsymbol {1}}_{\{Z\geq t\}}(\omega )dP(\omega ){\Big )}dt=\int _{0}^{\infty }P\{Z\geq t\}\,dt$Per tant, només ens cal comprovar que la funció definida a (4) és ${\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$-mesurable. Però aquesta propietat es dedueix de què la funció ${\begin{aligned}&\Omega \times [0,\infty )\to [0,\infty )^{2}\\&\quad (\omega ,t)\longmapsto (Z(\omega ),t)\end{aligned}}$és ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{2})$-mesurable i la funció ${\begin{aligned}&[0,\infty )^{2}\to [0,\infty )\\&\ (z,t)\longmapsto {\boldsymbol {1}}_{\{z>t\}}\end{aligned}}$és mesurable.
Finalment, la igualtat$\int _{0}^{\infty }P\{Z>t\}\,dt=\int _{0}^{\infty }P\{Z\geq t\}\,dt$es dedueix del fet que la funció $t\mapsto P\{Z>t\}$ és decreixent, i aleshores només tindrà un nombre numerable de punts de discontinuïtat , que seran aquells punts on $P\{Z=t\}\neq 0$ (és anàleg al cas de les funcions de distribució: de fet, $P\{Z>t\}=1-F_{Z}(t)$on $F_{Z}(t)$ és la funció de distribució de $Z$). Llavors, $P\{Z>t\}=P\{Z\geq t\},$excepte, com a màxim, en un nombre numerable de punts. Per tant, la integral d'ambdues funcions és la mateixa.
Aquesta propietat s'escriu en termes de la funció de distribució de $Z$: $E[Z]=\int _{0}^{\infty }{\big1-F_{Z}(t){\big )}dt.$

### Teorema de Fubini-Tonelli en espais de mesura complets

Es diu que un espai de mesura $(S,{\mathcal {S}},\gamma )$ és complet si la $\sigma$-àlgebra ${\mathcal {S}}$ conté tots els subconjunts dels conjunts de mesura 0. Si un espai $(S,{\mathcal {S}},\gamma )$ no és complet, mitjançant un procediment que s'anomena compleció es pot construir una $\sigma$-àlgebra ${\overline {\mathcal {S}}}\supset {\mathcal {S}}$ i una mesura ${\overline {\gamma }}$ en ${\overline {\mathcal {S}}}$ que és una extensió de ${\overline {\gamma }}$, això és, tal que per a qualsevol $A\in {\mathcal {S}}$ tenim que ${\overline {\gamma }}(A)=\gamma (A)$. En el cas d'un producte d'espais mesurables $(X\times Y,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}},\mu \times \nu )$ pot ocórrer que ambdós $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ i $(Y,{\mathcal {B}},\nu )$ siguin complets però que $(X\times Y,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}},\mu \times \nu )$ no ho sigui. Llavors, si necessitem treballar en un espai producte complet, cal utilitzar la compleció $(X\times Y,{\overline {{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}},{\overline {\mu \times \nu }})$. Però el teorema de Fubini-Tonelli que hem vist s'aplica a funcions ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ mesurables, i, per tant no serveix directament per a funcions ${\overline {{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}}$ mesurables; llavors cal fer una adaptació. Concretament tenim:
Teorema. (Espais de mesura complets). Siguin $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ i $(Y,{\mathcal {B}},\nu )$ dos espais de mesura complets $\sigma$ -finits .
(i) Cas no negatiu. Sigui $f:X\times Y\to [0,\infty ]$ una funció ${\overline {{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}}$-mesurable no-negativa. Aleshores $\mu$-quasi per tot $x\in X$, la funció ${\begin{aligned}f(x,\cdot ):&Y\to [0,\infty ]\\&y\mapsto f(x,y)\end{aligned}}$és ${\mathcal {B}}$-mesurable i la funció (definida $\mu$-quasi per tot $x\in X$)${\begin{aligned}&X\to [0,\infty ]\\&x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\,d\nu (y)\end{aligned}}$és ${\mathcal {A}}$ -mesurable. Anàlogament, $\nu$-quasi per tot $y\in Y$, la funció $x\mapsto f(x,y)$ és ${\mathcal {A}}$-mesurable i la funció $y\mapsto \int _{Y}f(x,y)\,d\mu (x)$ és ${\mathcal {B}}$ -mesurable, i $\int _{X\times Y}f\,d\,{\overline {\mu \times \nu }}=\int _{X}{\Big\int _{Y}f(x,y)\,d\nu (y){\Big )}d\mu (x)=\int _{Y}{\Big\int _{X}f(x,y)\,d\mu (x){\Big )}d\nu (y),\qquad (5)$(ii) Cas integrable. Sigui $f:X\times Y\to {\overline {\mathbb {R} }}$ una funció ${\overline {{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}}$-mesurable i ${\overline {\mu \times \nu }}$-integrable. Aleshores $\mu$-quasi per tot $x\in X$, la funció ${\begin{aligned}f(x,\cdot ):&Y\to {\overline {\mathbb {R} }}\\&y\mapsto f(x,y)\end{aligned}}$és ${\mathcal {B}}$-mesurable i $\nu$-integrable. A més, la funció (definida $\mu$-quasi per tot $x\in X$)${\begin{aligned}&X\to {\overline {\mathbb {R} }}\\&x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\,d\nu (y)\end{aligned}}$és ${\mathcal {A}}$-mesurable i $\mu$ -integrable. Anàlogament, per a les funcions $x\mapsto f(x,y)$, i $y\mapsto \int _{Y}f(x,y)\,d\mu (x)$, i val la fórmula (5).

## Aplicacions

L'avaluació de la integral de Gauß és una de les aplicacions del teorema de Fubini. Això és, que es compleix la següent igualtat
    $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

## Vegeu també

* Teorema de Clairaut (o Teorema de Schwarz) sobre la simetria de les segones derivades.

## Referències

* ↑ Marsden, pp. 302-304.
* ↑ Puig Adam, P.. Curso teórico práctico de Cálculo Integral aplicado a la Física y Técnica. 12ª edición. Madrid: Biblioteca Matemática, 1970, p. 192.
* ↑ Bradley, Gerald L.; Smith, Karl J. Calculus. Upper Saddle River, N.J: Prentice Hall, 1995, p. 835. ISBN 978-0-13-178617-2.
* ↑ Hewitt i Stromberg, 1965, Chapter Six.
* ↑ Folland, 1999, Section 2.5.
* ↑ Hewitt i Stromberg, 1965, p.149, Theorem 11.4.
* ↑ Schilling, René L. Measures, integrals and martingales. Cambridge ; New York: Cambridge University Press, 2005, p. 58 i ss.. ISBN 978-0-521-85015-5.
* ↑ Billingsley, Patrick. Probability and measure. 2a edició. New York: Wiley, 1986, p. 282 (21.9). ISBN 978-0-471-80478-9.
* ↑ Folland, 1999, pp. 26-27.

## Bibliografia

* Folland, G. B.. Real analysis: modern techniques and their applications. 2a edició. New York: Wiley, 1999. ISBN 978-0-471-31716-6.
* Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl. Real and abstract analysis: a modern treatment of the theory of functions of a real variable. New York Berlin Paris [etc.]: Springer, 1965. ISBN 978-0-387-90138-1.
* Marsden, Jerrold E. Elementary classical analysis. San Francisco: Freeman, 1974. ISBN 978-0-7167-0452-2.