# Factorió

Una factorió és un nombre natural que equival a la suma dels factorials dels seus dígits. Per exemple, $145$ és una factorió perquè $1!+4!+5!=1+24+120=145$.
Només hi ha quatre factorions (en base 10) i són $1$, $2$, $145$ i $40.585$ (successió A014080 a l'OEIS).
«Factorió» és un terme creat per Clifford A. Pickover, autor del llibre Keys to Infinity, al capítol 22 del llibre titulat The Loneliness of Factorions (La solitud dels factorions).

## Límit superior (en base 10)

Si $n$ és un nombre natural de $d$ dígits que és un factorió, llavors $10^{d-1}\leq n\leq 9!d$. Això no es manté per $d\geq 8$, per tant, $n$ té com a màxim set dígits, i el primer límit superior és $9.999.999$.
Però la suma màxima dels factorials dels dígits per a un número de set dígits és $9!\times 7=2.540.160$, que estableix el segon límit superior.
Anar més enllà, ja que no hi ha cap número més gran que $2.540.160$, el primer dígit d'un número de set dígits pot ser com a màxim $2$. Per tant, només sis posicions poden variar entre $9$ i $2!+6\times 9!=2.177.282$, que es converteix en un tercer límit superior.
Això implica que si $n$ és un número de set dígits, el segon dígit és $0$ o $1$ o el primer dígit és $1$. Si el primer dígit és $2$ i, per tant, el segon dígit és $0$ o $1$, els nombres estan limitats per $2!+1!+5\times 9!=1.814.403$, una contradicció amb el primer dígit que és $2$. Així, un número de set dígits pot ser com a màxim $1.999.999$, establint el nostre quart límit superior.
Tots els factorials dels dígits, com a mínim $5$, tenen els factors $5$ i $2$ i, per tant, finalitzen en $0$. Fem que $1abcdef$ denoti el nostre número de set dígits. Si tots els dígits $abcdef$ són almenys $5$, la suma dels factorials (que se suposa que és igual a $1abcdef$) finalitzarà en $1$ (que ve del $1$ al principi). Aquesta és una contradicció amb la suposició que $f$ sigui almenys $5$. Així, almenys un dels dígits $abcdef$ pot ser com a màxim $4$, que estableix $1!+4!+5\times 9!=1.814.425$ com el cinquè límit superior.
Suposant que $n$ és un nombre de set dígits, el segon dígit és com a màxim $8$. Hi ha dos casos, si $a$ és almenys $5$, pel mateix argument que un dels dígits restants, $bf$ ha de ser com a màxim $4$. Això implica un límit superior (ja que un és com a màxim $8$) d'$1!+8!+4!+4\times 9!=1.491.865$, una contradicció amb un que sigui almenys $5$. Així, $a$ és com a màxim $4$ i el sisè límit superior és $1.499.999$.
Un ordinador pot comprovar tots els números de $40.585$ a $1.499.999$, verificant que $40.585$ és el factorió més gran de la base 10.

## Altres bases

Si la definició s'amplia per incloure altres bases, hi ha un nombre infinit de factorions. Per veure això, s'ha de tenir en compte que per a qualsevol nombre enter $n>3$ els nombres $n!+1$ i $n!+2$ són factorions en base $(n-1)!$, en què es denoten les cadenes de dos dígits «n1» i «n2». Per exemple, 25 i 26 són factorions a la base 6, en què es denoten per 41$_{(6)}$ i 42$_{(6)}$; 121 i 122 són factoions en la base 24, en què es denoten per 51$_{(24)}$ i 52$_{(24)}$.
Per a $n>2$, $n!+1$ també és un factorió a la base $n!-n+1$, en què es denota mitjançant la cadena de 2 dígits «1n». Per exemple, 25 és una factorió en la base 21, en què es denota 14$_{(21)}$; 121 és una factorió en la base 116, en la qual es denota 15$_{(116)}$.
Tots els enters positius són factorions en la base 1. $1$ i $2$ són factorions en cada base.
La següent taula recull tots els factorions en bases fins a la base 16. (successió A193163 a l'OEIS)
| Base | Nombre màxim de dígits | Factorions (en base n) |
| 1 | Tots els nombres enters positius | 1, 11, 111, 1111,... |
| 2 | 2 | 1, 10 |
| 3 | 2 | 1, 2 |
| 4 | 3 | 1, 2, 13 |
| 5 | 3 | 1, 2, 144 |
| 6 | 4 | 1, 2, 41, 42 |
| 7 | 5 | 1, 2 |
| 8 | 5 | 1, 2 |
| 9 | 6 | 1, 2, 62558 |
| 10 | 7 | 1, 2, 145, 40585 |
| 11 | 8 | 1, 2, 24, 44, 28453 |
| 12 | 8 | 1, 2 |
| 13 | 9 | 1, 2, 83790C5B |
| 14 | 10 | 1, 2, 8B0DD409C |
| 15 | 11 | 1, 2, 661, 662 |
| 16 | 11 | 1, 2, 260F3B66BF9 |

## Referències

* Factorió a Wolfram MathWorld (anglès)

## Bibliografia

* Poole, George D. Integers and the Sum of the Factorials of Their Digits (en anglès). 44. Mathematics Magazine, Novembre de 1971, p. 278-279.
* Gadner, Martin. Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American (en anglès). Nova York: Vintage, 1978, p. Capítol 4: Factorial Oddities.
* Madachy, Joseph S. Madachy's Mathematical Recreations (en anglès), 1979, p. 167.
* Pickover, Clifford A. Keys to Infinity (en anglès). John Wiley & Sons, 1995, p. Capítol 22: The Loneliness of the Factorions.
* Weisstein, Eric W. Factorion (en anglès). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall/CRC, 1999.