# Geometria analítica

La geometria analítica o geometria cartesiana és la part de les matemàtiques que fa ús de l'àlgebra per descriure i analitzar figures geomètriques.
La geometria analítica s'utilitza en física i enginyeria, i també en aviació, coets, ciència espacial i vol espacial. És la base de la majoria dels camps moderns de la geometria, incloent l'algebraica, la diferencial, la discreta i la computacional.
En el següent exemple tenim l'expressió:
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
que representa, en la geometria analítica plana, una el·lipse centrada en l'origen d'un sistema de coordenades cartesianes, que té el valor a com semieix major i el valor b com semieix menor. L'eix major és l'eix de les abscisses X.
En un sistema de coordenades cartesianes, un punt del pla queda determinat per dos nombres reals, que són l'abscissa i l'ordenada del punt. D'aquesta manera, a qualsevol punt del pla li corresponen sempre dos nombres reals ordenats (abscissa i ordenada) i, recíprocament, a un parell ordenat de nombres reals ordenats, correspon un únic punt del pla.
Conseqüentment, en el sistema cartesià s'estableix una correspondència biunívoca entre un concepte geomètric com és un punt del pla i un concepte algebraic com és un parell de nombres ordenat. Aquesta correspondència constitueix el fonament de la geometria analítica.
Els raonaments anteriors són tanmateix vàlids per un punt a l'espai i una terna ordenada de nombres.

## Història
### Antiga Grècia

El matemàtic grec Menecme va resoldre problemes i va demostrar teoremes utilitzant un mètode que s'assemblava molt a l'ús de coordenades i de vegades s'ha sostingut que va introduir la geometria analítica.
Apol·loni de Perge, a Διωρωσμένη Τομή (Secció determinada), tractava els problemes d'una manera que es pot anomenar geometria analítica d'una dimensió; amb la qüestió de trobar punts en una recta que estiguessin en una proporció amb les altres. Apol·loni a Coniquès va desenvolupar encara més un mètode tan semblant a la geometria analítica que de vegades el seu treball es pensava que havia anticipat l'obra de Descartes en uns 1800 anys. La seva aplicació de línies de referència, un diàmetre i una tangent no és essencialment diferent del nostre ús modern d'un marc de coordenades, on les distàncies mesurades al llarg del diàmetre des del punt de tangència són les abscisses i els segments paral·lels a la tangent i interceptats entre l'eix i la corba són les ordenades. Va desenvolupar encara més relacions entre les abscisses i les ordenades corresponents que són equivalents a equacions retòriques (expressades amb paraules) de corbes. Tanmateix, tot i que Apol·loni va estar a prop de desenvolupar la geometria analítica, no ho va aconseguir, ja que no va tenir en compte les magnituds negatives i en tots els casos el sistema de coordenades es va sobreposar a una corba donada a posteriori en comptes de a priori. És a dir, les equacions estaven determinades per corbes, però les corbes no estaven determinades per equacions. Les coordenades, les variables i les equacions eren nocions subsidiàries aplicades a una situació geomètrica específica.

### Pèrsia

El matemàtic persa del segle xi Omar Khayyam va veure una forta relació entre la geometria i l'àlgebra i s'estava movent en la direcció correcta quan va ajudar a tancar la bretxa entre l' i l'àlgebra geomètrica amb la seva solució geomètrica de l'equació cúbica general, però el pas decisiu va arribar després amb Descartes. A Omar Khayyam se li atribueix la identificació dels fonaments de la geometria algebraica, i el seu llibre Tractat sobre la demostració de problemes d'àlgebra (1070), que va establir els principis de la geometria analítica, forma part del cos de les matemàtiques perses que finalment es va transmetre a Europa. A causa del seu enfocament geomètric exhaustiu de les equacions algebraiques, Khayyam es pot considerar un precursor de Descartes en la invenció de la geometria analítica.

### Europa Occidental

La geometria analítica va ser inventada independentment per René Descartes i Pierre de Fermat, tot i que de vegades se li concedeix l'únic crèdit a Descartes. Geometria cartesiana, el terme alternatiu utilitzat per a la geometria analítica, rep el nom per Descartes.
Descartes va fer un progrés significatiu amb els mètodes en un assaig titulat La Géométrie (La Geometria), un dels tres assajos (apèndixs) que l'acompanyen publicats el 1637 juntament amb el seu Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences (Discurs del mètode per conduir bé la raó i cercar la veritat a les ciències), comunament denominat Discurs del mètode. La Géométrie, escrit en francès, i els seus principis filosòfics, van proporcionar una base per al càlcul a Europa. Inicialment el treball no va ser ben rebut, a causa, en part, de les nombroses llacunes en els arguments i les complicades equacions. Només després de la traducció al llatí i de l'addició de comentaris de van Schooten el 1649 (i posteriors treballs posteriors) l'obra mestra de Descartes va rebre el degut reconeixement.
Pierre de Fermat també va ser pioner en el desenvolupament de la geometria analítica. Encara que no es va publicar en vida, una forma manuscrita d'Ad locos planos et solidos isagoge (Introducció al pla i als llocs sòlids) circulava a París el 1637, just abans de la publicació del Discurs de Descartes. Clarament escrit i ben rebut, la Introducció també va establir les bases per a la geometria analítica. La diferència clau entre els tractaments de Fermat i de Descartes és una qüestió de punt de vista: Fermat sempre començava amb una equació algebraica i després descrivia la corba geomètrica que la satisfeia, mentre que Descartes va començar amb corbes geomètriques i va produir les seves equacions com una de les diverses propietats de les corbes. Com a conseqüència d'aquest enfocament, Descartes va haver de fer front a equacions més complicades i va haver de desenvolupar els mètodes per treballar amb equacions polinomials de grau superior. Va ser Leonhard Euler qui va aplicar per primer cop el mètode de coordenades en un estudi sistemàtic de les corbes i superfícies espacials.

## Coordenades

En geometria analítica, al pla se li dóna un sistema de coordenades, pel qual cada punt té un parell de coordenades en nombres reals. De la mateixa manera, a l'espai euclidià se li donen coordenades on cada punt té tres coordenades. El valor de les coordenades depèn de l'elecció del punt d'origen inicial. S'utilitzen diversos sistemes de coordenades, però els més comuns són els següents:

### Coordenades cartesianes (en un pla o espai)

El sistema de coordenades més comú que s'utilitza és el sistema de coordenades cartesià, on cada punt té una coordenada x que representa la seva posició horitzontal, i una coordenada y que representa la seva posició vertical. Normalment s'escriuen com un parell ordenat $(x,y)$. Aquest sistema també es pot utilitzar per a la geometria tridimensional, on cada punt de l'espai euclidià està representat per un triple ordenat de coordenades $(x,y,z)$.

### Coordenades polars (en un pla)

En coordenades polars, cada punt del pla es representa per la seva distància r des de l'origen i el seu angle θ, amb θ normalment mesurat en sentit contrari a les agulles del rellotge des de l'eix x positiu. Amb aquesta notació, els punts s'escriuen normalment com un parell ordenat (r, θ). Es pot transformar d'anada i tornada entre coordenades cartesianes i polars bidimensionals utilitzant aquestes fórmules: $x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).$ Aquest sistema es pot generalitzar a l'espai tridimensional mitjançant l'ús de coordenades cilíndriques o esfèriques.

### Coordenades cilíndriques (en un espai)

En coordenades cilíndriques, cada punt de l'espai es representa per la seva alçada z, el seu radi r des de l'eix z i l'angle θ la seva projecció sobre el pla xy es refereix a l'eix horitzontal.

### Coordenades esfèriques (en un espai)

En coordenades esfèriques, cada punt de l'espai es representa per la seva distància ρ des de l'origen, l'angle θ la seva projecció sobre el pla xy es refereix a l'eix horitzontal, i l'angle φ que forma respecte a l'eix z. Els noms dels angles sovint s'inverteixen en física.

## Equacions i corbes

En geometria analítica, qualsevol equació que inclogui les coordenades especifica un subconjunt del pla, és a dir, el conjunt de solucions per a l'equació, o lloc geomètric. Per exemple, l'equació $y=x$ correspon al conjunt de tots els punts del pla en què la coordenada x i la coordenada y són iguals. Aquests punts formen una recta, i es diu que $y=x$ és l'equació d'aquesta recta. En general, les equacions lineals que impliquen x i y especifiquen línies, les equacions quadràtiques especifiquen les seccions còniques i les equacions més complicades descriuen figures més complicades.
Normalment, una sola equació correspon a una corba en el pla. No sempre és així: l'equació trivial $x=x$ especifica tot el pla, i l'equació $x^{2}+y^{2}=0$ només especifica el punt únic (0, 0). En tres dimensions, una sola equació normalment dóna una superfície, i una corba s'ha d'especificar com la intersecció de dues superfícies, o com a un sistema d'equacions paramètriques. L'equació $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ és l'equació de qualsevol cercle centrat a l'origen (0, 0) amb un radi de r.

### Línies i plans

Les rectes en un pla cartesià, o més generalment, en coordenades afins, es poden descriure algebraicament mitjançant equacions lineals. En dues dimensions, l'equació per a les línies no verticals es dóna sovint en la forma d'intercepció de pendent: $y=mx+b$ on:
* m és el pendent o gradient de la línia.
* b és la intercepció en y de la línia.
* x és la variable independent de la funció $y=f(x)$.
D'una manera anàloga a com es descriuen les línies en un espai bidimensional utilitzant una forma de pendent de punt per a les seves equacions, els plans d'un espai tridimensional tenen una descripció natural utilitzant un punt en el pla i un vector ortogonal a aquest (el vector normal) per indicar la seva "inclinació".
Concretament, sigui $\mathbf {r} _{0}$ el vector de posició d'algun punt $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$, i sigui $\mathbf {n} =(a,b,c)$ un vector diferent de zero, el pla determinat per aquest punt i vector consta d'aquests punts $P$, amb el vector de posició $\mathbf {r}$, de manera que el vector extret de $P_{0}$ a $P$ és perpendicular a $\mathbf {n}$. Recordant que dos vectors són perpendiculars si i només si el seu producte escalat és zero, es dedueix que el pla desitjat es pot descriure com el conjunt de tots els punts $\mathbf {r}$ de manera que $\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.$ (El punt aquí significa un producte puntual, no una multiplicació escalar.) Ampliat això esdevé $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$ que és la forma punt-normal de l'equació d'un pla. Això és només una equació lineal: $ax+by+cz+d=0,{\text{ on }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).$ Per contra, es demostra fàcilment que si a, b, c i d són constants i a, b i c no són tots zero, llavors la gràfica de l'equació $ax+by+cz+d=0,$ és un pla que té el vector $\mathbf {n} =(a,b,c)$ com a normal. Aquesta equació familiar per a un pla s'anomena forma general de l'equació del pla.
En tres dimensions, les línies no es poden descriure mitjançant una única equació lineal, de manera que sovint es descriuen mitjançant equacions paramètriques: $x=x_{0}+at$ $y=y_{0}+bt$ $z=z_{0}+ct$ on:
* x, y i z són totes funcions de la variable independent t que oscil·la sobre els nombres reals.
* $(x_{0},y_{0},z_{0})$ és qualsevol punt de la línia.
* a, b i c estan relacionats amb el pendent de la recta, de manera que el vector $(a,b,c)$ és paral·lel a la recta.

### Secció cònica

En el sistema de coordenades cartesià, la gràfica d'una equació quadràtica en dues variables és sempre una secció cònica, encara que pot ser degenerada, i totes les seccions còniques sorgeixen d'aquesta manera. L'equació serà de la forma $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ amb }}A,B,C{\text{ no tot zero.}}$ Com que l'escala de les sis constants produeix el mateix lloc geogràfic de zeros, es poden considerar les còniques com a punts de l'espai projectiu de cinc dimensions $\mathbf {P} ^{5}.$
Les seccions còniques descrites per aquesta equació es poden classificar utilitzant el discriminant
$B^{2}-4AC.$ Si la cònica no és degenerada, aleshores:
* si $B^{2}-4AC<0$, l'equació representa una el·lipse;
** si $A=C$ i $B=0$, l'equació representa un cercle, que és un cas especial d'el·lipse;
* si $B^{2}-4AC=0$, l'equació representa una paràbola;
* si $B^{2}-4AC>0$, l'equació representa una hipèrbola;
** si també tenim $A+C=0$, l'equació representa una hipèrbola rectangular.

### Superfícies quadríques

Una quàdrica, o superfície quàdrica, és una superfície bidimensional en un espai tridimensional definida com el lloc de zeros d'un polinomi quadrat. En les coordenades x$_1$, x$_2$,x$_3$, la quàdrica general es defineix per l'equació algebraica
$\sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.$
Les superfícies quàdriques inclouen el·lipsoides (incloent l'esfera), paraboloides, hiperboloides, cilindres, cons , i plans.

## Distància i angles

En geometria analítica, nocions geomètriques com ara la mesura de la distància i l'angle es defineixen mitjançant fórmules. Aquestes definicions estan dissenyades per ser coherents amb la geometria euclidiana subjacent. Per exemple, utilitzant coordenades cartesianes al pla, la distància entre dos punts $(x_{1},y_{1})$ i $(x_{2},y_{2})$ es defineix per la fórmula $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},$ que es pot veure com una versió del teorema de Pitàgores. De la mateixa manera, l'angle que forma una línia amb l'horitzontal es pot definir mitjançant la fórmula $\theta =\arctan(m),$ on m és el pendent de la línia.
En tres dimensions, la distància ve donada per la generalització del teorema de Pitàgores: $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},$ mentre que l'angle entre dos vectors ve donat pel producte escalar. El producte escalar de dos vectors euclidians A i B es defineix per $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,$ on θ és l'angle entre A i B.

## Referències

* ↑ «analytic geometry | Britannica» (en anglès). Arxivat de l'original el 2024-09-05. [Consulta: 16 novembre 2022].
* ↑ «ANALITICA, GEOMETRIA in "Enciclopedia Italiana"» (en italià). Arxivat de l'original el 2024-09-05. [Consulta: 16 novembre 2022].
* ↑ «What is Analytic Geometry? - Definition from Techopedia» (en anglès). Arxivat de l'original el 2022-11-18. [Consulta: 18 novembre 2022].
* ↑ «What does analytic geometry mean?». Arxivat de l'original el 2022-11-18. [Consulta: 18 novembre 2022].
* ↑ «Analytical Geometry - Definition, Formulas, Types, Examples» (en anglès). Arxivat de l'original el 2022-11-18. [Consulta: 18 novembre 2022].
* ↑ «Analytic Geometry (Coordinate Geometry) - Definition, Formulas, Examples» (en anglès). Arxivat de l'original el 2024-09-05. [Consulta: 20 agost 2024].
* ↑ Boyer, Carl B. «The Age of Plato and Aristotle». A: A History of Mathematics. Second. John Wiley & Sons, Inc., 1991, p. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. «Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry.»
* ↑ Boyer, Carl B. «Apollonius of Perga». A: A History of Mathematics. Second. John Wiley & Sons, Inc., 1991, p. 142. ISBN 0-471-54397-7. «The Apollonian treatise On Determinate Section dealt with what might be called an analytic geometry of one dimension. It considered the following general problem, using the typical Greek algebraic analysis in geometric form: Given four points A, B, C, D on a straight line, determine a fifth point P on it such that the rectangle on AP and CP is in a given ratio to the rectangle on BP and DP. Here, too, the problem reduces easily to the solution of a quadratic; and, as in other cases, Apollonius treated the question exhaustively, including the limits of possibility and the number of solutions.»
* ↑ Boyer, Carl B. «Apollonius of Perga». A: A History of Mathematics. Second. John Wiley & Sons, Inc., 1991, p. 156. ISBN 0-471-54397-7. «The method of Apollonius in the Conics in many respects are so similar to the modern approach that his work sometimes is judged to be an analytic geometry anticipating that of Descartes by 1800 years. The application of references lines in general, and of a diameter and a tangent at its extremity in particular, is, of course, not essentially different from the use of a coordinate frame, whether rectangular or, more generally, oblique. Distances measured along the diameter from the point of tangency are the abscissas, and segments parallel to the tangent and intercepted between the axis and the curve are the ordinates. The Apollonian relationship between these abscissas and the corresponding ordinates are nothing more nor less than rhetorical forms of the equations of the curves. However, Greek geometric algebra did not provide for negative magnitudes; moreover, the coordinate system was in every case superimposed a posteriori upon a given curve in order to study its properties. There appear to be no cases in ancient geometry in which a coordinate frame of reference was laid down a priori for purposes of graphical representation of an equation or relationship, whether symbolically or rhetorically expressed. Of Greek geometry we may say that equations are determined by curves, but not that curves are determined by equations. Coordinates, variables, and equations were subsidiary notions derived from a specific geometric situation; [...] That Apollonius, the greatest geometer of antiquity, failed to develop analytic geometry, was probably the result of a poverty of curves rather than of thought. General methods are not necessary when problems concern always one of a limited number of particular cases.»
* 1 2 Boyer. «The Arabic Hegemony». A: A History of Mathematics, 1991, p. 241–242. ISBN 9780471543978. «Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."»
* ↑ Cooper, 2003, p. 248–249.
* ↑ Cooper, 2003, p. 248.
* ↑ Stillwell, John. «Analytic Geometry». A: Mathematics and its History. Second. Springer Science + Business Media Inc., 2004, p. 105. ISBN 0-387-95336-1. «the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments.»
* ↑ Boyer 2004
* ↑ Cooke, Roger. «The Calculus». A: The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience, 1997, p. 326. ISBN 0-471-18082-3. «The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era.»
* ↑ Boyer 2004
* 1 2 Katz, 1998, p. 442.
* ↑ Katz, 1998, p. 436.
* ↑ Pierre de Fermat, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, France: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge," pp. 91–103. Arxivat 2015-08-04 a Wayback Machine.
* ↑ "Eloge de Monsieur de Fermat" Arxivat 2015-08-04 a Wayback Machine. (Eulogy of Mr. de Fermat), Le Journal des Scavans, 9 febrer 1665, p. 69–72. Des de la p. 70: "Une introduction aux lieux, plans & solides; qui est un traité analytique concernant la solution des problemes plans & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet." (Una introducció als llocs, plans i sòlids, que és un tractat analític sobre la solució de problemes plans i sòlids, que es va veure abans que el Sr. des Cartes hagués publicat res sobre aquest tema.)
* 1 2 Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8
* ↑ Percey Franklyn Smith, Arthur Sullivan Gale (1905)Introduction to Analytic Geometry, Athaeneum Press
* ↑ William H. McCrea, Analytic Geometry of Three Dimensions Courier Dover Publications, 27 gener 2012
* ↑ Vujičić, Milan & Sanderson, Jeffrey (2008), Linear Algebra Thoroughly Explained, Springer, p. 27, ISBN 978-3-540-74637-9, DOI 10.1007/978-3-540-74639-3
* ↑ Fanchi, John R. John Wiley and Sons. Math refresher for scientists and engineers, 2006, p. 44–45. ISBN 0-471-75715-2. , Secció 3.2, pàgina 45
* ↑ Silvio Levy Quadrics Arxivat 2018-07-18 a Wayback Machine. a "Geometry Formulas and Facts", extret de la 30a edició de CRC Standard Mathematical Tables and Formulas, CRC Press, de The Geometry Center a Universitat de Minnesota
* ↑ M.R. Spiegel. Vector Analysis (Schaum's Outlines). 2nd. McGraw Hill, 2009. ISBN 978-0-07-161545-7.

## Bibliografia

* Boyer, Carl B. History of Analytic Geometry (en anglès). Dover Publications, 2004. ISBN 978-0486438320.
* Cooper, Glen M. «Review: Omar Khayyam, the Mathmetician by R. Rashed, B. Vahabzadeh» (en anglès). Journal of the American Oriental Society, 123, 2003. DOI: 10.2307/3217882. JSTOR: 3217882.
* Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.) (en anglès). Reading: Addison Wesley Longman, 1998. ISBN 0-321-01618-1.

## Vegeu també

* Descartes
* Espai vectorial
* Geometria euclidiana
* Matemàtiques aplicades