# Principi d'invariància de LaSalle

El principi d'invariància de LaSalle (també conegut com el principi d'invariància, el principi de Barbaixin-Krassovski-LaSalle, o el principi de Krassovski-LaSalle) és un criteri per a l'estabilitat asimptòtica d'un sistema dinàmic autònom (possiblement no lineal).

## Versió global

Suposi's un sistema representat per
    ${\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)$
on $\mathbf {x}$ és el vector de variables, amb
    $f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .$
Si es pot trobar una funció $C^{1}$(és a dir, diferenciable) $V(\mathbf {x} )$ tal que
    ${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0$ per tot $\mathbf {x}$ (semi-definida negativa),
llavors el conjunt de punts d'acumulació de qualsevol trajectòria es troba contingut dins de ${\mathcal {I}}$ on ${\mathcal {I}}$ és la unió de trajectòries completes contingudes completament en el conjunt $\{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}$.
Si, a més, es té que la funció $V$ és definida positiva, és a dir
    $V(\mathbf {x} )>0$, per tot $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$
    $V(\mathbf {0} )=0$
i si ${\mathcal {I}}$ no conté cap trajectòria del sistema excepte la trajectòria trivial $\mathbf {x} (t)=\mathbf {0}$ per $t\geq 0$, llavors l'origen és asimptòticament estable.
A més, si $V$ és fitat radialment, és a dir, si
    $V(\mathbf {x} )\to \infty$, a mesura que $\Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty$
llavors l'origen és globalment asimptòticament estable.

## Versió local

Si
    $V(\mathbf {x} )>0$, quan $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$
    ${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0$
és vàlid per $\mathbf {x}$ en algun veïnat $D$ de l'origen, i el conjunt
    $\{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\cap D$
no conté cap trajectòria del sistema més enllà de la trajectòria $\mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0$, llavors la versió local del principi d'invariància afirma que l'origen és localment asimptòticament estable.

## Relació amb la teoria de Liapunov

Si ${\dot {V}}(\mathbf {x} )$ és una funció negativa, l'estabilitat asimptòtica global de l'origen és una conseqüència del segon teorema de Liapunov. El principi d'invariància dona un criteri per a l'estabilitat asimptòtica en el cas que ${\dot {V}}(\mathbf {x} )$ és només no positiva.

## Exemple: el pèndol amb fricció

En aquesta secció s'aplicarà el principi d'invariància per establir l'estabilitat asimptòtica local d'un sistema simple, el pèndol amb fricció. Es pot modelar el sistema amb l'equació diferencial
    $ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}$
on $\theta$ és l'angle que el pèndol fa amb la normal vertical, $m$ és la massa del pèndol, $l$ és la longitud del pèndol, $k$ és el coeficient de fricció, i $g$ és l'acceleració deguda a la gravetat.
Així mateix, això es pot escriure com el sistema d'equacions
    ${\dot {x}}_{1}=x_{2}$
    ${\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}$
Utilitzant el principi d'invariància, es pot demostrar que totes les trajectòries que pertanyen a una bola d'una certa mida al voltant de l'origen $x_{1}=x_{2}=0$ convergeixen asimptòticament a l'origen. Es defineix $V(x_{1},x_{2})$ com
    $V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}$
Aquesta funció $V(x_{1},x_{2})$ és simplement l'energia escalada del sistema . Clarament, $V(x_{1},x_{2})$ és definida positiva en la bola oberta de radi $\pi$ al voltant de l'origen. Calculant la derivada,
    ${\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}$
S'observa que $V(0)={\dot {V}}(0)=0$. Si fos veritat que ${\dot {V}}<0$, es podria concloure que tota trajectòria s'apropa a l'origen pel segon teorema de Liapunov. Malauradament, ${\dot {V}}\leq 0$ i ${\dot {V}}$ és només semi-definida negativa ja que $x_{1}$ pot no ser zero quan ${\dot {V}}=0$. Tanmateix, el conjunt
    $S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}$
que és simplement el conjunt
    $S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}$
no conté cap trajectòria del sistema, excepte de la trajectòria trivial x = 0. En efecte, si en algun instant de temps $t$, $x_{2}(t)=0$, llavors com que $x_{1}$ ha de ser menor que $\pi$ lluny de l'origen, $\sin x_{1}\neq 0$ i ${\dot {x}}_{2}(t)\neq 0$. Com a resultat, la trajectòria no es romandrà en el conjunt $S$.
Se satisfan totes les condicions de la versió local del principi d'invariància i es pot concloure que tota trajectòria que comenci en algun veïnat de l'origen convergirà a l'origen a mesura que $t\rightarrow \infty$.
* REDIRECCIÓ Nom de la pàgina destinació

## Història

El resultat general va ser descobert independentment per Joseph P. LaSalle i per Nikolai Krassovski, que van publicar-lo l'any 1960 i 1959 respectivament. Així com LaSalle va ser el primer autor occidental a publicar el teorema general l'any 1960, un cas especial del teorema va ser anunciat l'any 1952 per Barbaixin i Krassovski, seguit per una publicació del resultat general l'any 1959.

## Articles originals

* LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF Arxivat 2019-04-30 a Wayback Machine.)
* Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krassovski (en russian) Doklady Akademii Nauk SSSR, 86, 1952, pàg. 453–456.
* Krassovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

## Bibliografia

* LaSalle; Lefschetz. Stability by Liapunov's direct method. Academic Press, 1961.
* Haddad; Chellaboina. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press, 2008. ISBN 9780691133294.
* Teschl. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0.
* Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. 2a edició. Springer Verlag, 2003. ISBN 0-387-00177-8.

## Referències

* ↑ Khalil, Hasan. Nonlinear Systems. 3rd. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall, 2002.
* ↑ Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press, 2008.
* ^ Lecture notes on nonlinear control, University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
* ^ ibid.
* ^ Lecture notes on nonlinear analysis, National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
* ^ Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.