# Fractal de Vicsek

En matemàtiques, el fractal de Vicsek, també anomenat caixa fractal i floc de neu de Vicsek, és un fractal proposat per Tamás Vicsek. Té una construcció semblant a la de la catifa de Sierpinski i la seva dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx és $log(5)/log(3)\approx 1,46497$. Es fa servir en les antenes, particularment en les de telefonia mòbil.
El terme box fractal també fa referència a diversos fractals iterats a partir d'una quadrícula, on a cada iteració s'eliminen diversos quadres, i els presents o bé els absents tenen la imatge anterior reduïda i dibuixada al seu interior. El triangle de Sierpinski pot ser aproximat per un box fractal de 2x2 eliminant una cantonada, i la catifa de Sierpinski amb un de 3x3 i eliminant el quadre del mig.

## Construcció

Per construir el fractal de Vicsek en forma de creu se segueixen els següents passos:
* La construcció comença amb un quadrat.
* El quadrat es divideix en 9 quadrats iguals (quadrícula 3x3) i s'eliminen els quatre quadrats dels vèrtexs.
* Es repeteix indefinidament el pas anterior en cadascun dels quadrats no eliminats al pas anterior.
Passos per construir el fractal en forma intercalada:
* La construcció comença amb un quadrat.
* El quadrat es divideix en nou quadrats iguals (quadrícula 3x3) i es conserven els quadrats dels vèrtexs i el central i s'eliminen els quatre quadrats restants.
* Es repeteix indefinidament el pas anterior en cadascun dels quadrats no eliminats al pas anterior.
Les dues construccions produeixen corbes idèntiques al límit, però una està inclinada 45 graus respecte a l'altra.
* Autosimilitud del fractal en forma en creu.
* Autosimilitud del fractal en forma intercalada.

## Propietats

* El fractal de Vicsek (ambdues versions) presenta autosimilitud exacta.
* Al pas $n$ de la construcció del fractal en forma intercalada (començant per $n=0$), l'àrea del conjunt és $(5/9)^{n}$ i, per tant, l'àrea del fractal ($n\rightarrow \infty$) és igual a 0. A més a més, el perímetre al pas $n$ és $4\cdot (5/3)^{n}$ i, per tant, el perímetre del fractal és infinit.
* La dimensió fractal i dimensió de Hausdorff-Besicovitch del fractal de Vicsek coincideixen pel fet de ser l'atractor d'un sistema de funcions iterades contractives amb raó 1/3.
* El límit del fractal de Vicsek és la corba de Koch quadràtica de tipus 1.

## Anàlegs en dimensions superiors

Existeix un anàleg tridimensional del fractal de Vicsek. Es construeix mitjançant la subdivisió d'un cub en 27 cubs més petits, i l'eliminació de tots excepte la "creu central" (el cub central i els sis cubs adjacents). La seva dimensió de Hausdorff és $log(7)/log(3)\approx 1,7712$.
De forma similar al fractal bidimensional, aquesta figura té un volum igual a 0. En cada iteració es conserven 7 cubs de cada 27, el que significa un volum de $(7/27)^{n}$ en la n-èssima iteració, que s'aproxima a 0 quan $n\rightarrow \infty$.
Existeix un nombre infinit de seccions de creu que produeixen el fractal bidimensional de Vicsek.
* Animació tridimensional equivalent al fractal de Vicsek.
* Relació entre el fractal de Vicsek i el Dosser fractal.

## Vegeu també

* Catifa de Sierpinski
* Antena fractal
* Triangle de Sierpiński
* Fractal

## Referències

* ↑ Shan Fuqi; Gu Hongming; Gao Baoxin «Analysis of a vicsek fractal patch antenna». ICMMT 4th International Conference On, Proceedings Microwave and Millimeter Wave Technology, 2004.. IEEE [Beijing, China], 2004, pàg. 98–101. DOI: 10.1109/ICMMT.2004.1411469.
* ↑ Weisstein, Eric W., «Box Fractal» a MathWorld (en anglès).
* ↑ «Fractal de Vicsek (box fractal)» (en castellà). [Consulta: 27 febrer 2019].
* ↑ «Fractales autosemejantes» (en castellà). [Consulta: 27 febrer 2019].