# Teorema de Donsker

En teoria de probabilitat, el teorema de Donsker (també conegut com principi d'invariància de Donsker, o teorema del límit central funcional), que du el nom del matemàtic estatunidenc Monroe D. Donsker, és una extensió funcional del teorema del límit central.
Sigui $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ una seqüència de variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes (i.i.d.) amb mitjana 0 i variància 1. Sigui $S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ Es coneix com ruta aleatòria al procés estocàstic $S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Defineixi's la ruta alelatòria escalada difusivament (procés de suma parcial) com
    $W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].$
El teorema del límit central afirma que $W^{(n)}(1)$ convergeix en distribució a una variable aleatòria gaussiana estàndard $W(1)$ a mesura que $n\to \infty$. El principi d'invariància de Donsker estén aquesta convergència a la funció sencera $W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}$. Més concretament, en la seva forma moderna, el principi d'invariància de Donsker afirma que: com que les variables aleatòries prenen valors en l'espai de Skorokhod ${\mathcal {D}}[0,1]$, la funció aleatòria $W^{(n)}$ convergeix en distribució al moviment brownià estàndard $W:=(W(t))_{t\in [0,1]}$ a mesura que $n\to \infty .$

## Història

Sigui Fn la funció de distribució empírica de la seqüència de variables aletòries i.i.d. $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ amb funció de distribució F. Defineixi's la versió centrada i escalada de Fn com
    $G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))$
indexada per x ∈ R. Segons el teorema del límit central clàssic, per una x fixada, la variable aleatòria G$_n$(x) convergeix en distribució a un variable aleatòria gaussiana (normal) G(x) amb mitjana zero i variància F(x)(1 − F(x)) a mesura que la mida de la mostra n creix.
Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogórov) La seqüència de Gn(x), en tant que formada per elements dins de l'espai de Skorokhod ${\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )$, convergeix en distribució a un procés gaussià G amb mitjana igual a zero i covariància donada per
    $\operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)$${F}(t).$
El procés G(x) pot ser escrit com B(F(x)) on B és un pont brownià estàndard en l'interval unitat.
Kolmogórov (1933) va demostrar que quan F és contínua, el suprem $\scriptstyle \sup _{t}G_{n}(t)$ i el suprem del valor absolut $\scriptstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|$, convergeixen en distribució a les lleis d'iguals funcionals del pont brownià B(t), vegeu la prova de Kolmogórov–Smirnov. L'any 1949, Doob es va preguntar si la convergència en distribució també aplicava per a funcionals més generals i, per tant, va formular un problema de convergència dèbil de funcions aleatòries en un espai funcional adequat.
L'any 1952, Donsker va afirmar i va demostrar (no del tot correctament) una extensió general pel plantejament heurístic de Doob–Kolmogórov. En l'article original, Donsker va demostrar que la convergència en llei de G$_n$ al pont brownià és correcte en distribucions uniformes en l'interval [0,1] respecte a la convergència uniforme en t en l'interval [0,1].
Tanmateix la formulació de Donsker no era ben bé correcta a causa del problema de la mesurabilitat dels funcionals de processos discontinus. L'any 1956 Skorokhod i Kolmogórov van definir una mètrica separable d, anomenada la mètrica de Skorokhod, en l'espai de funcions càdlàg en l'interval [0,1], tal que la convergència en d a una funció contínua és equivalent a la convergència de la norma sup, i va demostrar que G$_n$ convergeix en llei en ${\mathcal {D}}[0,1]$ amb el pont brownià.
Més tard, Dudley va reformular el resultat de Donsker per evitar el problema de la mesurabilitat i la necessitat de la mètrica de Skorokhod. Es pot demostrar que existeix X$_i$, uniforme i iid en [0,1] i una seqüència de ponts brownians continus en mostra B$_n$, tals que
    $\|G_{n}-B_{n}\|_{\infty }$
és mesurable i convergeix en probabilitat a 0. Una versió millorada d'aquest resultat, que proporcionar més detall sobre el ritme de convergència, és l'aproximació de Komlós–Major–Tusnády.

## Vegeu també

* Prova de Kolmogórov-Smirnov

## Referències

* ↑ Donsker, M.D. Memoirs of the American Mathematical Society, 6, 1951.
* 1 2 Donsker, M. D. Annals of Mathematical Statistics, 23, 2, 1952, pàg. 277–281. DOI: 10.1214/aoms/1177729445 [Consulta: free].
* ↑ Doob, Joseph L. Annals of Mathematical Statistics, 20, 3, 1949, pàg. 393–403. DOI: 10.1214/aoms/1177729991 [Consulta: free].
* 1 2 Dudley, R.M.. Uniform Central Limit Theorems. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-46102-3.