# Equació de Hicks

En dinàmica de fluids, l'equació de Hicks (de vegades també anomenada equació de Bragg-Hawthorne o equació de Squire-Long) és una equació diferencial parcial que descriu la distribució de la funció de corrent per al fluid no viscòs simètric a l'eix, que rep el nom de William Mitchinson Hicks, qui va ser el primer en derivar-la el 1898. L'equació també va ser derivada per Stephen Bragg i William Hawthorne el 1950, per Robert R. Long el 1953, i per Herbert Squire el 1956. L'equació de Hicks sense remolí va ser introduïda per primera vegada per George Gabriel Stokes el 1842. L'equació de Grad-Shafranov que apareix a la física del plasma també adopta la mateixa forma que l'equació de Hicks.
Representant $(r,\theta ,z)$ com a coordenades en el sentit del sistema de coordenades cilíndriques amb els components de velocitat de flux corresponents denotats per $(v_{r},v_{\theta },v_{z})$, la funció de corrent $\psi$ que defineix el moviment meridional es pot definir com
    $rv_{r}=-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad rv_{z}={\frac {\partial \psi }{\partial r}}$
que satisfà automàticament l'equació de continuïtat dels fluxos simètrics a l'eix. L'equació de Hicks ve donada per
    ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}$
on
    $H(\psi )={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2}),\quad \Gamma (\psi )=rv_{\theta }$
on $H(\psi )$ és el cap total i $2\pi \Gamma$ és la circulació, conservant-se ambdues al llarg de les línies del corrent. Aquí, $p$ és la pressió i $\rho$ és la densitat del fluid. Les funcions $H(\psi )$ i $\Gamma (\psi )$ són funcions conegudes, generalment prescrites en un dels límits.

## Derivació

Considerem el flux de l'eix simètric en el sistema de coordenades cilíndriques $(r,\theta ,z)$ amb components de velocitat $(v_{r},v_{\theta },v_{z})$ i els components de vorticitat $(\omega _{r},\omega _{\theta },\omega _{z})$. A partir de $\partial /\partial \theta =0$ en els fluxos simètrics a l'eix, els components de la vorticitat són
    $\omega _{r}=-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}},\quad \omega _{\theta }={\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}},\quad \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv_{\theta })}{\partial r}}$.
L'equació de continuïtat permet definir una funció de flux $\psi (r,z)$ de tal manera que
    $v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad v_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}$
(Tingueu en compte que els components de la vorticitat $\omega _{r}$ i $\omega _{z}$ estan relacionats amb $rv_{\theta }$ exactament de la mateixa manera que $v_{r}$ i $v_{z}$ estan relacionats amb $\psi$). Per tant, es converteix en el component azimutal de la vorticitat
    $\omega _{\theta }=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right).$
Les equacions del momentum no viscòs $\partial {\boldsymbol {v}}/\partial t-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}=-\nabla H$, on $H={\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2})+{\frac {p}{\rho }}$ és la constant de Bernoulli, $p$ és la pressió del fluid i $\rho$ és la densitat del fluid, quan s'escriu per al camp de flux simètric a l'eix, es converteix en
    ${\begin{aligned}v_{\theta }\omega _{z}-v_{z}\omega _{\theta }-{\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial r}},\\v_{z}\omega _{r}-v_{r}\omega _{z}-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}&=0,\\v_{r}\omega _{\theta }-v_{\theta }\omega _{r}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial z}}\end{aligned}}$
en què la segona equació també es pot escriure com $D(rv_{\theta })/Dt=0$, on $D/Dt$ és la derivada material. Això implica que la circulació $2\pi rv_{\theta }$, que arrodoneix una corba de material en forma de cercle centrat en l'eix $z$, és constant.
Si el moviment del fluid és constant, la partícula del fluid es mou al llarg d’una corrent lineal, és a dir, es mou en la superfície donada per $\psi =$constant. Es dedueix, doncs, que $H=H(\psi )$ i $\Gamma =\Gamma (\psi )$, on $\Gamma =rv_{\theta }$. Per tant, el component radial i azimutal de la vorticitat són
    $\omega _{r}=v_{r}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }},\quad \omega _{z}=v_{z}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}$.
Els components de ${\boldsymbol {v}}$ i ${\boldsymbol {\omega }}$ són localment paral·lels. Les expressions anteriors es poden substituir en les equacions de momentum radial o axial (després d’eliminar el terme derivat del temps) per a resoldre $\omega _{\theta }$. Per exemple, substituint l'expressió anterior per $\omega _{r}$ a l'equació del momentum axial condueix a
    ${\begin{aligned}{\frac {\omega _{\theta }}{r}}&={\frac {v_{\theta }\omega _{r}}{rv_{r}}}+{\frac {1}{rv_{r}}}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\\&={\frac {\Gamma }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}.\end{aligned}}$
Però $\omega _{\theta }$ es pot expressar en termes de $\psi$ tal com es mostra al començament d’aquesta derivació. Quan $\omega _{\theta }$ s'expressa en termes de $\psi$, obtenim
    ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}.$
Això completa la derivació necessària.

## Referències

* ↑ Hicks, W. M «Researches in vortex motion. Part III. On spiral or gyrostatic vortex aggregates» ( PDF) (en anglès). Royal Society of London, 62(379–387), 1898, pàg. 332–338.
* ↑ Hicks, W. M «Researches in vortex motion; Part III. On spiral or gyrostatic vortex aggregates» ( PDF) (en anglès). Royal Society of London, 192, 1899), pàg. 33–99.
* ↑ Smith, S. G. L; Hattori, Y «Axisymmetric magnetic vortices with swirl» (en anglès). Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17(5), 2012, pàg. 2101–2107.
* ↑ Bragg, S. L; Hawthorne, W. R «Some exact solutions of the flow through annular cascade actuator discs» (en anglès). Journal of the Aeronautical Sciences, 17(4), 1950, pàg. 243–249.
* ↑ Long, R. R «Steady motion around a symmetrical obstacle moving along the axis of a rotating liquid» (en anglès). Journal of Meteorology, 10(3), 1953, pàg. 197–203.
* ↑ Squire, H. B. Rotating fluids. Surveys in Mechanics. A collection of Surveys of the present position of Research in some branches of Mechanics, written in Commemoration of the 70th Birthday of Geoffrey Ingram Taylor (en anglès). G. K. Batchelor and R. M. Davies, 1956, p. 139–169.
* ↑ Stokes, G «On the steady motion of incompressible fluids» (en anglès). Trans. Camb. Phil. Soc., VII, 1842, pàg. 349.
* ↑ Lamb, H. Hydrodynamics (en anglès). Cambridge university press, 1993.
* 1 2 Batchelor, G. K. «Section 7.5». A: An introduction to fluid dynamics (en anglès). Cambridge university press, 1967, p. 543-545.