# Espai prehilbertià

Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell $(V,\langle \cdot |\cdot \rangle )$, on $V\,$ és un espai vectorial sobre un cos $\mathbb {K}$ i $\langle \cdot |\cdot \rangle$ és un producte escalar en $V\,$.
L'espai prehilbertià és un tipus d'espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet és un espai de Hilbert o hilbertià. Si és de dimensió finita i definit sobre el cos dels nombres reals, aleshores és un espai euclidià.
Una condició necessària perquè un espai prehilbertià sigui un espai de Hilbert és que el cos base $\mathbb {K}$ siguin els nombres reals $\mathbb {R}$ o els nombres complexos $\mathbb {C}$. Així, cap espai prehilbertià sobre els nombres racionals $\mathbb {Q}$ pot ser un espai de Hilbert.

## Definició

Formalment, un espai prehilbertià és un espai vectorial V sobre un cos $\mathbb {K}$ (Pot ser $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$), el qual té una operació definida amb la següent funció:
    $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbf {K}$
anomenada producte escalar, que satisfà certs axiomes:
* Hermítica:
       $\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.$
    Si K = R, la propietat de hermítica és la simetria ordinària:
       $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle .$
    Aquesta condició implica que $\langle x,x\rangle \in \mathbb {R}$ per a tot $x\in V$, perquè $\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$.
* Sesquilineal:
       $\forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle .$
       $\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle .$
    Combinant aquesta propietat amb la de ser hermítica:
       $\forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle ={\overline {b}}\langle x,y\rangle .$
       $\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .$
    En el cas que el cos sigui $\mathbb {R}$ aquesta propietat implica que el producte escalar és bilineal.
* Definida positiva:
       $\forall x\in V,\ \langle x,x\rangle \geq 0.$ (Té sentit, ja que $\langle x,x\rangle \in \mathbb {R}$ per a tot $x\in V$.)
    A més, l'únic vector que en fer el producte escalar amb ell mateix és zero, és el vector nul. Això s'expressa així:
       $\langle x,x\rangle =0\;{\mbox{ si }}x=0.$

## Normes en espais prehilbertians

En els espais amb producte escalar es defineix una norma
    $\|X\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$
La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per si mateix un nombre real més gran o igual que zero. A espais euclidians defineix la "longitud" del vector x. A més es tracta d'una norma per complir les condicions:
* $\|X\|$ és sempre positiva i val zero si i només si x val zero.
* Homogeneïtat: per a tot vector x i r un escalar:
       $\|r\cdot x\|=|r|\cdot \|x\|.$
* Desigualtat triangular: per a tot vector x i y
       $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$
Usant els axiomes ja esmentats es poden demostrar els següents teoremes:
* Desigualtat de Cauchy-Schwarz: per x i y elements de V
       $|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|$
    La igualtat es compleix si i només si x i i són linealment dependents
    Aquesta és una de les més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la literatura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz
    La prova d'aquest teorema i les seves aplicacions poden trobar al article sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz
* Llei del paral·lelogram:
       $\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.$
* Teorema de Pitàgores: siguin x i y vectors ortogonals, aleshores
       $\|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.$
    Aquestes últimes dues identitats només requereixen expressar la definició de la norma en termes del producte intern, fer les operacions i usar els axiomes de norma.
    Una generalització fàcil del teorema pitagòric que pot ser provada per inducció és la següent:
* Si x $_1$, ..., x $_n$ són vectors ortogonals, o sigui, < x $_j$, x $_k$> = 0 per a tot j , k diferent, llavors
       $\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.$

## Exemples

* Un exemple trivial són els nombres reals amb la multiplicació estàndard com a producte intern.
    $\langle x,y\rangle :=xy$
* Més generalment, qualsevol espai euclidià R$^n$ amb el producte escalar és un espai amb producte intern.
    $\langle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$
    Es té la norma:
       $\|X\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

## Referències

* ↑ Kato, T. A Short Introduction to Perturbation Theory for Linear Operators. Nova York: Springer-Verlag, 1982, p. 49. ISBN 0-387-90666-5.

## Bibliografia

* Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 2a edició. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.
* Emch, Gerard G.. Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory. Wiley-Interscience, 1972. ISBN 978-0-471-23900-0.
* Young, Nicholas. An introduction to Hilbert space. Cambridge University Press, 1988. ISBN 978-0-521-33717-5.

## Vegeu també

* Espai
* Espai de Hilbert
* Estructura lineal dual
* Producte vectorial

## Enllaços externs

* Michiel Hazewinkel (ed.). Pre-Hilbert space. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.