# Fórmula de Sylvester

En teoria de matrius, la fórmula de Sylvester o teorema de matrius de Sylvester (en honor al matemàtic anglès J. J. Sylvester) o la interpolació de Lagrange−Sylvester expressa una funció analítica f(A) d'una matriu A com el polinomi en A, en termes dels valors propis i vectors propis de A. Diu el següent
       $f(A)=\sum _{i=1}^{k}f(\lambda _{i})~A_{i}~,$
on les λ$_i$ són els valors propis de A, i les matrius
       $A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}I)$
són els covariants de Frobenius corresponents a A, que són la matriu (projecció) dels polinomis de Lagrange de A.

## Condicions

La fórmula de Sylvester es pot aplicar en matrius diagonalitzables A amb k valors propis diferents, λ$_1$, …, λ$_k$, i amb qualsevol funció f definida en algun subconjunt dels nombres complexos tal que f(A) estigui ben definida. Aquesta darrera condició significa que tot valor propi λ$_i$ es troba en el domini de f, i que tot valor propi λ$_i$ amb multiplicitat m$_i$ > 1 es troba a l'interior del domini, sent f (m$_i$ — 1) vegades diferenciable en λ$_i$.$^{:Def.6.4}$

## Exemple

Consideri's la matriu 2 per 2
    $A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.$
Aquesta matriu té 2 valors propis: 5 i −2. Els seus covariants de Frobenius són
    ${\begin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}={\frac {A+2I}{5-(-2)}}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}={\frac {A-5I}{-2-5}}.\end{aligned}}$
La fórmula de Sylvester és doncs
    $f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}.\,$
Per exemple, si f és definit com f(x) = x$^{−1}$, llavors la fórmula de Sylvester expressa la inversa de la matriu f(A) = A$^{−1}$ com
    ${\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2&0.3\\0.4&-0.1\end{bmatrix}}.$

## Generalització

La fórmula de Sylvester només és vàlida per matrius diagonalitzables. Una extensió atribuïda a A. Buchheim, basada en polinomis d'interpolació de Hermite, cobreix el cas general:
    $f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!}}\phi _{i}^{(j)}(\lambda _{i})(A-\lambda _{i}I)^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}(A-\lambda _{j}I)^{n_{j}}\right]$,
on $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}(t-\lambda _{j})^{n_{j}}$.
Schwerdtfeger va donar-ne una forma concisa
    $f(A)=\sum _{i=1}^{s}A_{i}\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {f^{(j)}(\lambda _{i})}{j!}}(A-\lambda _{i}I)^{j}$,
on A$_i$ són els covariants de Frobenius corresponents a A

## Vegeu també

* Matriu d'adjunts
* Càlcul funcional holomorf
* Resolvent

## Referències

* 1 2 Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
* ↑ Jon F. Claerbout (1976), Sylvester's matrix theorem, a section of Fundamentals of Geophysical Data Processing. Online version at sepwww.stanford.edu, accessed on 2010-03-14.
* ↑ Sylvester, J.J. «XXXIX. On the equation to the secular inequalities in the planetary theory» (en anglès). The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 16, 100, 1883, pàg. 267–269. DOI: 10.1080/14786448308627430. ISSN: 1941-5982.
* ↑ Buchheim, A. «On the Theory of Matrices» (en anglès). Proceedings of the London Mathematical Society, s1-16, 1, 1884, pàg. 63–82. DOI: 10.1112/plms/s1-16.1.63. ISSN: 0024-6115.
* ↑ Schwerdtfeger, Hans. Les fonctions de matrices: Les fonctions univalentes. I, Volume 1. París, France: Hermann, 1938.

## Bibliografia

* F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) ISBN 0-8218-1376-5, pp 101-103
* Higham, Nicholas J. Functions of matrices: theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2008. ISBN 9780898717778. OCLC 693957820.
* Merzbacher, E «Matrix methods in quantum mechanics». Am. J. Phys., 36, 9, 1968, pàg. 814–821. DOI: 10.1119/1.1975154.