# Transformada binomial

En combinatòria, la transformació binomial és una transformació de seqüències (és a dir, una transformació d'una seqüència) que calcula les seves diferències directes. Està estretament relacionada amb la transformada d'Euler, que és el resultat d'aplicar la transformada binomial a la seqüència associada a la seva funció generadora ordinària.

## Definició

La transformada binomial, T, d'una seqüència, {a$_n$}, és la seqüència {s$_n$} definida per
$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.$
Formalment, es pot escriure
$s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{n}T_{nk}a_{k}$
per a la transformació, on T és un operador de dimensions infinites amb elements matricials T$_{nk}$. La transformació és una involució, és a dir,
$TT=1$
o, utilitzant la notació d'índex,
$\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}$
on $\delta _{nm}$ és el delta de Kronecker. La sèrie original es pot recuperar per
$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.$
La transformada binomial d'una seqüència és només l'enèsima diferències directes de la seqüència, amb diferències senars que porten un signe negatiu, és a dir:
${\begin{aligned}s_{0}&=a_{0}\\s_{1}&=-(\Delta a)_{0}=-a_{1}+a_{0}\\s_{2}&=(\Delta ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=(-1)^{n}(\Delta ^{n}a)_{0}\end{aligned}}$
on Δ és l'operador de diferència directa.
Alguns autors defineixen la transformada binomial amb un signe extra, de manera que no sigui autoinversa:
$t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}$
la inversa de la qual és
$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}.$
En aquest cas, la primera transformada s'anomena transformada binomial inversa, i la segona només és transformada binomial. Aquest és un ús estàndard, per exemple, a l'Enciclopèdia en línia de seqüències d'entiers.

## Exemple

Les dues versions de la transformada binomial apareixen a les taules de diferències. Considereu la següent taula de diferències:
| | 1 | | 10 | | 63 | | 324 | |
| 1 | | 9 | | 53 | | 261 | | 1161 |
| | 8 | | 44 | | 208 | | 900 |
| | | 36 | | 164 | | 692 |
| | | | 128 | | 528 |
| | | | | 400 |
Cada línia és la diferència de la línia anterior. (L' n -è nombre de la m -a línia és a$_m$$_{,n}$ = 3$^{n−2}$ (2$^{m+1}$ n$^2$ + 2$^m$ (1+6 m) ) n + 2$^{m-1}$ 9 m$^2$), i es compleix l'equació de diferència a $_{m+1,n}$ = a $_{m,n+1}$ - a $_{m,n}$.)
La línia superior llegida d'esquerra a dreta és {a$_n$} = 0, 1, 10, 63, 324, 1485,... La diagonal amb el mateix punt de partida 0 és { t $_n$ } = 0, 1, 8, 36, 128, 400,... { t$_n$} és la transformada binomial no involutiva de {a$_n$}.
La línia superior llegida de dreta a esquerra és { b $_n$ } = 1485, 324, 63, 10, 1, 0,... La diagonal creuada amb el mateix punt de partida 1485 és {s$_n$} = 1485, 1161, 900, 692, 528, 400,... {s$_n$} és la transformada binomial involutiva de {b$_n$}.

## Funció generadora ordinària

La transformada connecta les funcions generadores associades a la sèrie. Per a la funció de generació ordinària, sigui
$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$
i
$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}$
aleshores
$g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {-x}{1-x}}\right).$

## Referències

* ↑ «The binomial transformation» (en anglès). [Consulta: 13 gener 2025].
* ↑ Weisstein, Eric W. «Binomial Transform» (en anglès). [Consulta: 13 gener 2025].
* ↑ Chen, Kwang-Wu «Identities from the binomial transform». Journal of Number Theory, 124, 1, 01-05-2007, pàg. 142–150. DOI: 10.1016/j.jnt.2006.07.015. ISSN: 0022-314X.
* ↑ «Binomial transform and the backward difference» (en anglès). [Consulta: 13 gener 2025].