# Equació de Helmholtz

La equació de Helmholtz , anomenada així per Hermann von Helmholtz ve donada per:
    $(\nabla ^{2}+k^{2})\phi =0$
on $\nabla ^{2}$ és el laplacià, $k$ és una constant (nombre d'ona), i $\phi$ un camp escalar, és aquest cas, el camp magnètic i elèctric.

## Deducció teòrica de l'equació

Anem a mostrar com es dedueixen les equacions de Helmholtz a partir de les equacions de Maxwell. Per medis no conductors lliures de fonts caracteritzats per $\epsilon$ i $\mu (\sigma =0)$, les equacions de Maxwell es redueixen a:
A : ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}$
B : ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=-\epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$
C : ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0$
D : ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}=0$
Les equacions anteriors A , B , C i D són equacions diferencials de primer grau per als camps ${\vec {E}}$ i ${\vec {H}}$. Podem combinar per produir una equació de segon grau contenint únicament ${\vec {E}}$ o ${\vec {H}}$. Fem servir les equacions A i B i operant s'obté:
${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial ({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}})}{\partial t}}=-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$
Però sabem que: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}$
i utilitzant l'equació C tenim que:
    ${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}$
Per tant, substituint els termes tenim finalment que:
${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$
La velocitat de fase ve donada per:
$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}$
el que significa que: $v_{\mathrm {p} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}$
i per tant, substituint, tenim:
${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0$
Anàlogament podem treure l'equació per ${\vec {H}}$:
${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}=0$
Com podem apreciar, les dues equacions anteriors són les equacions d'ona vectorials homogènies . Descomponent aquestes dues equacions obtingudes en coordenades cartesianes podem descompondre'l en tres equacions d'ones escalars, homogènies i unidimensionals. Cada component del camp elèctric i magnètic ha de satisfer una equació la solució representa una ona. Per camps amb dependència harmònica amb el temps convenientment utilitzada fasors. D'aquesta manera del deduït previ, s'arriba a la conclusió:
${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}+{\frac {\omega ^{2}}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}=0$
o
${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}=0$
Anàlogament trobem la següent equació per al camp electromagnètic:
${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {H_{\mathrm {s} }}}=0$

## Bibliografia

* Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover Publications, 1964. ISBN 0-486-61272-4.
* Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J.. «Chapter 19». A: Mathematical methods for physics and engineering. New York: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-89067-5.
* Riley, K. F.. «Chapter 16». A: Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Sausalito, California: University Science Books, 2002. ISBN 1-891389-24-6.
* Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl. «Chapter 3». A: Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons, 1991, p. 80–107. ISBN 0-471-83965-5.
* Sommerfeld, Arnold. «Chapter 16». A: Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press, 1949. ISBN 0126546568.
* Howe, M. S.. Acoustics of fluid-structure interactions. New York: Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-63320-6.

## Referències

* ↑ Relativitat especial i electrodinàmica clàssica. Edicions Universitat Barcelona, 1998, p. 63–. ISBN 978-84-8338-048-2.
* David K. Cheng "Fonaments d'Electromagnetisme per enginyeria"
* Pozar D.M. "Microwave engineering"