# Identitat de Beltrami

La identitat de Beltrami, que porta el nom del matemàtic italià Eugenio Beltrami, és un cas especial de les equacions d'Euler-Lagrange en el càlcul de variacions.
Les equacions d'Euler-Lagrange serveixen per extremar l'acció de les funcions de la forma
    $I[u]=\int _{a}^{b}L[x,u(x),u'(x)]\,dx\,,$
on $a$ i $b$ són constants, i $u'(x)={\frac {du}{dx}}$.
Si ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$, llavors les equacions d'Euler-Lagrange es redueixen a la identitat de Beltrami,
    $L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,,$
on C és una constant.

## Derivació

La següent derivació de la identitat de Beltrami comença amb l'equació d'Euler-Lagrange,
    ${\frac {\partial L}{\partial u}}={\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,.$
Multiplicant els dos costats per u′,
    $u'{\frac {\partial L}{\partial u}}=u'{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,.$
Segons la regla de la cadena,
    ${dL \over dx}={\partial L \over \partial u}u'+{\partial L \over \partial u'}u''+{\partial L \over \partial x}\,,$
on $u''={\frac {du'}{dx}}={\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$.
Reordenant això es produeixen
    $u'{\partial L \over \partial u}={dL \over dx}-{\partial L \over \partial u'}u''-{\partial L \over \partial x}\,.$
Per tant, substituint aquesta expressió per $u'{\frac {\partial L}{\partial u}}$ en la segona equació d'aquesta derivació,
    ${dL \over dx}-{\partial L \over \partial u'}u''-{\partial L \over \partial x}-u'{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}=0\,.$
Segons la regla del producte, l'últim terme es reexpressa com a
    $u'{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial L}{\partial u'}}u'\right)-{\frac {\partial L}{\partial u'}}u''\,,$
i reordenant,
    ${d \over dx}\left({L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}}\right)={\partial L \over \partial x}\,.$
Per al cas de ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$, això es redueix a
    ${d \over dx}\left({L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}}\right)=0\,,$
de manera prenen els resultats de l'antiderivada en la identitat de Beltrami,
    $L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,,$
on C és una constant.

## Aplicacions
### Solució al problema de la braquistòcrona

Un exemple d'aplicació de la identitat de Beltrami és el problema de la braquistòcrona, que consisteix a trobar la corba $y=y(x)$ que minimitza la integral
    $I[y]=\int _{0}^{a}{\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}dx\,.$
L'integrand
    $L(y,y')={\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}$
no depèn explícitament de la variable d'integració $x$, de manera que s'aplica la identitat de Beltrami,
    $L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=C\,.$
Substituint per $L$ i simplificant,
    $y(1+y'^{\,2})=1/C^{2}~~{\text{(constant)}}\,,$
que es pot resoldre amb el resultat posat en forma d'equacions paramètriques
    $x=A(\phi -\sin \phi )$
    $y=A(1-\cos \phi )$
amb $A$ sent la meitat de la constant anterior, ${\frac {1}{2C^{2}}}$, i $\phi$ essent una variable. Aquestes són les equacions paramètriques per a una cicloide.

## Notes

* ↑ Per tant, la transformada de Legendre del lagrangià, del hamiltonià, és constant al llarg del camí dinàmic.
* ↑ Aquesta derivació de la identitat de Beltrami correspon a la de Weisstein, Eric W. «Beltrami Identity» (en anglès). MathWorld.
* ↑ Aquesta solució del problema de la braquistòcrona correspon a la de Mathews, Jon; Walker, RL. Mathematical Methods of Physics (en anglès). New York: W. A. Benjamin, Inc., 1965, p. 307-309.

## Referències

* ↑ Courant, R; Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics (en anglès). I. Nova York: Interscience Publishers, Inc., 1953. ISBN 978-0471504474.
* ↑ Weisstein, Eric W. «Euler-Lagrange Differential Equation» (en anglès). MathWorld.