# Integral singular

En matemàtiques, les integrals singulars són fonamentals per a l'anàlisi harmònica i estan íntimament connectades amb l'estudi de les equacions en derivades parcials. En termes generals, una integral singular és un operador integral
$T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,$
la funció del nucli K : R$^n$ × R$^n$ → R és singular al llarg de la diagonal x = i. Concretament, la singularitat és tal que |K(x , i)| és de mida |x − i|$^{−n}$ asimptòticament com |x − i| → 0. Com que aquestes integrals poden no ser, en general, absolutament integrables, una definició rigorosa les ha de definir com el límit de la integral sobre |y − x| > ε com ε → 0, però a la pràctica això és un tecnicisme. Normalment calen més hipòtesis per obtenir resultats com ara la seva limitació a L$^p$(R$^n$).

## La transformada de Hilbert

L'operador integral singular arquetípic és la transformada de Hilbert H. Està donat per convolució contra el nucli K ( x ) = 1/(π x ) per a x a R. Més precisament,
$H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.$
Els anàlegs de dimensió superior més senzills d'aquests són les transformades de Riesz, que substitueixen K ( x ) = 1/ x amb
$K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}$
on i = 1,... , n i $x_{i}$ és l' i -è component de x a R$^n$. Tots aquests operadors estan limitats a L$^p$ i satisfan el tipus feble (1, 1) estimacions.

## Integrals singulars de tipus convolució

Una integral singular de tipus de convolució és un operador T definit per convolució amb un nucli K que és integrable localment en R $^n$ \{0}, en el sentit que
$T(f)(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y-x|>\varepsilon }K(x-y)f(y)\,dy.$ (1)
Suposem que el nucli compleix:
* La condició de mida de la transformada de Fourier de K
* La condició de suavitat : per a alguns C > 0,
    $\sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.$
Aleshores es pot demostrar que T està acotada a L$^p$(R$^n$) i satisfà un tipus feble (1, 1) estimació.
Propietat 1. es necessita per assegurar que la convolució (1) amb la distribució temperada p.v.K donada per la integral del valor principal
$\operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx$
és un multiplicador de Fourier ben definit sobre L$^2$. Cap de les propietats 1. o 2. és necessàriament fàcil de verificar i hi ha una varietat de condicions suficients. Normalment, a les aplicacions, també hi ha una condició de cancel·lació
$\int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0$
que és bastant fàcil de comprovar. És automàtic, per exemple, si K és una funció senar. Si, a més, s'assumeix 2. i la següent condició de mida

## Integrals singulars de tipus no convolucional

Aquests són encara operadors més generals. Tanmateix, com que els supòsits són tan febles, no és necessàriament el cas que aquests operadors estiguin limitats a L$^p$.

### Nuclis de Calderón–Zygmund

Una funció K : R$^n$×R$^n$ → R es diu que és un nucli de Calderón – Zygmund si compleix les condicions següents per a algunes constants C > 0 i δ > 0.
    $|K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}$
    $|K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|x-x'|^{\delta }}{{\bigl|x-y|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ sempre que }}|x-x'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl|x-y|,|x'-y|{\bigr )}$
    $|K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|y-y'|^{\delta }}{{\bigl|x-y|+|x-y'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ sempre que }}|y-y'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl|x-y'|,|x-y|{\bigr )}$

## Referències

* ↑ Maity, Arup; Mondal, Shyam Swarup «A note on singular integral» (en anglès). Analysis, 43, 3, 01-08-2023, pàg. 209–213. DOI: 10.1515/anly-2022-1107. ISSN: 2196-6753.
* ↑ «On Singular Integral Operators» (en anglès). [Consulta: 13 gener 2025].
* ↑ Estrada, Ricardo; Kanwal, Ram P. «Singular Integral Equations» (en anglès). SpringerLink, 2000. DOI: 10.1007/978-1-4612-1382-6.
* ↑ Weisstein, Eric W. «Singular Integral» (en anglès). [Consulta: 12 gener 2025].