# Equivalència lògica

En lògica i matemàtiques, enunciats $p$ i $q$ es diu que són lògicament equivalents si són demostrables entre si sota un conjunt d’axiomes, o tenen el mateix valor de veritat en tots els models. L'equivalència lògica de $p$ i $q$ de vegades s'expressa com $p\equiv q$, $p::q$, ${\textsf {E}}pq$, o $p\iff q$, en funció de la notació que s'utilitzi. No obstant això, aquests símbols també s'utilitzen per a l'equivalència material, de manera que la interpretació adequada dependria del context. L'equivalència lògica és diferent de l'equivalència material, tot i que els dos conceptes estan intrínsecament relacionats.

## Equivalències lògiques

En lògica, existeixen moltes equivalències lògiques comunes i sovint es llisten com a lleis o propietats. Les següents taules il·lustren algunes d’aquestes.

### Equivalències lògiques generals

| $p\wedge \top \equiv p$ $p\vee \bot \equiv p$ | Lleis d’identitat |
| $p\vee \top \equiv \top$ $p\wedge \bot \equiv \bot$ | Lleis de dominació |
| $p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$ | Lleis idempotents o de tautologia |
| $\neg (\neg p)\equiv p$ | Llei de doble negació |
| $p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$ | Lleis commutatives |
| $(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$ | Lleis associatius |
| $p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$ | Lleis distributives |
| $\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$ | Lleis de De Morgan |
| $p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$ | Lleis d’absorció |
| $p\vee \neg p\equiv \top$ $p\wedge \neg p\equiv \bot$ | Lleis de negació |

### Equivalències lògiques que impliquen enunciats condicionals

* $p\implies q\equiv \neg p\vee q$
* $p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p$
* $p\vee q\equiv \neg p\implies q$
* $p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)$
* $\neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q$
* $(p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)$
* $(p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)$
* $(p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r$
* $(p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r$

### Equivalències lògiques que impliquen bicondicionals

* $p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)$
* $p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q$
* $p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$
* $\neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q$

## Exemples
### En lògica

Les següents afirmacions són lògicament equivalents:
* Si Lisa és a Dinamarca, llavors és a Europa (una declaració del formulari $d\implies e$).
* Si Lisa no és a Europa, llavors no és a Dinamarca (una declaració del formulari $\neg e\implies \neg d$).
Sintàcticament, (1) i (2) són derivables entre si mitjançant les regles de contraposició i doble negació. Semànticament, (1) i (2) són certes exactament en els mateixos models (interpretacions, valoracions); és a dir, aquells en què Lisa és a Dinamarca és falsa o Lisa és a Europa és cert.
(Cal tenir en compte que en aquest exemple, se suposa la lògica clàssica. Algunes lògiques no clàssiques no consideren que (1) i (2) siguin lògicament equivalents.)

### En matemàtiques

En matemàtiques, dos enunciats $p$ i $q$ Se sol dir que són lògicament equivalents, si es poden demostrar entre si donant un conjunt d’axiomes i pressupòsits. Per exemple, la declaració " $n$ és divisible per 6 "es pot considerar equivalent a l'enunciat" $n$ és divisible per 2 i 3 ", ja que es pot demostrar el primer a partir del segon (i viceversa) utilitzant alguns coneixements de la teoria bàsica de números.

## Relació amb l'equivalència material

L'equivalència lògica és diferent de l'equivalència material. Fórmules $p$ i $q$ són lògicament equivalents si i només si l'enunciat de la seva equivalència material ($p\iff q$) és una tautologia.
L'equivalència material de $p$ i $q$ (sovint escrit com $p\leftrightarrow q$) és en si mateixa una altra afirmació en el mateix llenguatge objecte que $p$ i $q$. Aquesta afirmació expressa la idea "' $p$ si i només si $q$ '". En particular, el valor de veritat de $p\leftrightarrow q$ pot canviar d’un model a un altre.
D'altra banda, l'afirmació que dues fórmules són lògicament equivalents és una afirmació en metallenguatge, que expressa una relació entre dues afirmacions $p$ i $q$. Les afirmacions són lògicament equivalents si, en cada model, tenen el mateix valor de veritat.

## Referències

* ↑ «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Equivalent Claim» (en anglès americà). Math Vault, 01-08-2019. [Consulta: 24 novembre 2019].
* ↑ Mendelson, Elliott. Introduction to Mathematical Logic. 2a edició, 1979, p. 56.
* 1 2 «Mathematics | Propositional Equivalences» (en anglès americà). GeeksforGeeks, 22-06-2015. [Consulta: 24 novembre 2019].
* ↑ «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Equivalent Claim» (en anglès americà). Math Vault, 01-08-2019. [Consulta: 24 novembre 2019].
* ↑ Copi, Irving. Introduction to Logic. New International. Pearson, 2014, p. 348.

## Vegeu també

* Conseqüència
* Lògica combinacional
* Si i només si

## Enllaços externs

* Combinational Logic & Systems Tutorial Guide by D. Belton, R. Bigwood.