# Distribució binomial

En Teoria de la probabilitat i en estadística, una variable aleatòria $X$ es diu que té una distribució binomial de paràmetres $n$ i $p$ si representa el nombre d'èxits en $n$ repeticions independents d'una prova que té probabilitat d'èxit $p$. Per exemple, tirem 10 vegades un dau ordinari i comptem quantes vegades surt un 6; en aquest cas l'èxit és "treure un 6", i la variable que compta el nombre de sisos té una distribució binomial de paràmetres $n=10$ i $p=1/6$.
La distribució binomial és la base de la popular prova binomial de significació estadística.
Va ser proposada pel matemàtic i físic suís Jacob Bernoulli.

## Distribució de Bernoulli

Les distribucions binomials s'inscriuen en el marc de referència de les distribucions de Bernoulli. S'anomena experiència de Bernoulli aquell experiment aleatori del qual només s'estudia la verificació o no d'un esdeveniment $A$ que pot donar-se amb probabilitat $P(A)=p.$ La realització de l'esdeveniment $A$ s'anomena èxit. S'acostuma a representar la probabilitat del complementari (no $A$), la realització del qual s'anomena fracàs, per $P({\text{no}}\ A)=q;$ és clar que $p+q=1.$
Així, un experiment o experiència de Bernoulli es caracteritza per ser dicotòmic, és a dir, només són possibles dos resultats: èxit o fracàs.
Exemples d'experiències de Bernoulli
* Es llança una moneda, l'esdeveniment A podria ser "que surti cara".
* En una bossa hi ha boles blanques, negres i vermelles. traiem una bola i mirem si és de color blanc o no. L'esdeveniment A podria ser "treure bola blanca".
* En un referèndum amb possibles respostes Sí o No, l'esdeveniment A podria ser "que surti Sí".

## Distribució binomial

La distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta que fa el recompte del nombre de vegades que es verifica l'èxit (realització de l'esdeveniment $A$) quan es repeteix $n$ vegades, de forma independent i en les mateixes condicions, una experiència de Bernouilli.
Per n = 1, la distribució binomial és una distribució de Bernoulli.
Designem per X la variable aleatòria que mesura el nombre d'èxits que s'han produït en els n experiments. Per indicar que segueix una distribució binomial de paràmetres n i p , s'escriu:
    $X\sim B(n,p)\,$

### Exemples

Les següents situacions són exemples d'experiments que poden modelitzar per aquesta distribució:
* Es llança un dau deu vegades i es compta el nombre de sisos obtinguts: X ~ B(10, 1/6)
* Es llança una moneda dues vegades i es compta el nombre de cares obtingudes, tenim $B(2,0'5).$
* Una partícula es mou unidimensionalment amb probabilitat $q$ de moure's una unitat de distància cap enrere i $p=1-q$ de moure's una unitat cap endavant. Després de $n$ moviments, el nombre de vegades que s'ha mogut cap endavant és una variable binomial $B(n,p)$ .

## Propietats característiques
### Mitjana i Variància

Sigui $X\sim B(n,p)\,$ una variable aleatòria binomial de paràmetres $n$ i $p$.
    $\mathbb {E} [X]=np\,$
Això es dedueix per la linealitat de l'esperança, ja que X és la suma de n variables aleatòries de Bernoulli idèntiques, cadascuna d'elles amb esperança p. És a dir, si $X_{1},\ldots ,X_{n}$ són variables aleatòries iguals (i independents) de Bernoulli amb paràmetre p, aleshores$X=X_{1}+\cdots +X_{n}$ i, atès que $E[X_{i}]=p\cdot 1+q\cdot 0=p,\ i=1,\dots ,n,$tindrem que $\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.$D'altra banda, per a una variable de Bernoulli, $E[X_{i}^{2}]=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p,$d'on ${\text{Var}}(X_{i})=p-p^{2}=p(1-p),\ i=1,\dots ,n.$Llavors, de la independència de $X_{1},\dots ,X_{n}$, es dedueix que
    ${\text{Var}}[X]=np(1-p).$

### Funció de probabilitat

Sigui $X$ una variable aleatòria binomial de paràmetres $n$ i $p$. Aleshores la probabilitat d'obtenir exactament $k\,\!$ èxits en $n\,\!$ repeticions (proves) independents de Bernouilli és:
$P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,\dots ,n.$on $\!{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,\!$ és el coeficient binomial.
Així, la funció de probabilitat de $X$ és $f(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,\dots ,n.$

### Funció de distribució

    $F(x)=\Pr(X\leq x)={\begin{cases}0,&{\text{si}}\,x<0,\\\displaystyle {\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}},&{\text{si}}\,x\in [0,n],\\1,&{\text{si}}\,x>n.\end{cases}}$
on $[x]$ denota la part entera de $x$.

### Fites de les cues

Per k ≤ np, es poden derivar fites superiors per la cua inferior de la funció de distribució acumulada $F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)$, la probabilitat que hi hagi com a màxim k successos. Com que $\Pr(X\geq k)=F(n-k;n,1-p)$, també es poden interpretar aquestes fites per a la cua superior de la funció de distribució per k ≥ np.
La desigualtat de Hoeffding dóna la fita simple
    $F(k;n,p)\leq \exp \left(-2n\left(p-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right),\!$
que no és, tanmateix, gaire forta. En particular, quan p = 1, s'obté F(k;n,p) = 0 (per a k i n fixes amb k < n), però la fita de Hoeffding dóna una constant positiva.
S'obté una fita més exacta mitjançant la fita de Chernoff:
    $F(k;n,p)\leq \exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right)$
on D(a || p) és l'entropia relativa (o divergència Kullback-Leibler) entre una moneda-ai una moneda-p (és a dir entre Bernoulli(a) i Bernoulli(p) distribution):
    $D(a\parallel p)=(a)\log {\frac {a}{p}}+(1-a)\log {\frac {1-a}{1-p}}.\!$
Asimptòticament, aquesta fita és raonablement exacta; vegi's per més detalls.
També es poden obtenir fites inferiors de la cua $F(k;n,p)$, conegudes com fites anti-concentració. Aproximant el coeficient binomial amb l'aproximació de Stirling es pot demostrar que
    $F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {8n{\tfrac {k}{n}}(1-{\tfrac {k}{n}})}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right),$
que implica la fita més simple però menys exacta:
    $F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {2n}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right).$
Per p = 1/2 i k ≥ 3n/8 amb n parell, es pot fer que el denominador sigui constant:
    $F(k;n,{\tfrac {1}{2}})\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-16n\left({\frac {1}{2}}-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right).\!$

#### Exemple

Suposem que tenim una moneda trucada amb probabilitat 0.3 que surti cara. La probabilitat que surtin 4 cares en 6 llançaments és
    $f(4)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.$

## Aproximació de la distribució binomial per les distribucions de Poisson i normal

Si $n$ tendeix a infinit i $p_{n}\,\!$ és tal que $\lim _{n\to \infty }n\,p_{n}=\lambda$, llavors la distribució d'una variable aleatòria binomial de paràmetres $n$ i $p_{n}$tendeix a una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda$.
D'altra banda, pel teorema central del límit, quan n és gran (normalment s'exigeix que $n\geq 30$) la distribució binomial es pot aproximar mitjançant la distribució normal.

## Distribucions relacionades
### Suma de binomials

Si X ~ B(n, p) i Y ~ B(m, p) són variables binomials independents amb la mateixa probabilitat p, llavors X + Y és també una variable binomial; la seva distribució és Z = X \+ Y ~ B(n + m, p):
    ${\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}$
Es pot considerar una variable aleatòria distribuïda de forma binomial X ~ B(n, p) com la suma de n variables aleatòries distribuïdes segons Bernoulli. Així doncs, la suma de les variables aleatòries binomials X ~ B(n, p) i Y ~ B(m, p) és equivalent a la suma de n + m variables aleatòries de Bernoulli, és a dir Z = X + Y ~ B(n + m, p). També es pot demostrar això directament utilitzant la regla de la suma.
No obstant això, si X i Y no tenen la mateixa probabilitat p, llavors la variància de la suma serà més petita que la variància de la variable binomial distribuïda com B(n + m, p).

### Distribució binomial de Poisson

La distribució binomial és un cas particular de la distribució binomial de Poisson, que és la distribució de una suma de n assajos de Bernoulli independents i no idèntics B(p$_i$).

### Ràtio de dues distribucions binomials

Aquest resultat va ser derivat per primer cop per Katz i coautors l'any 1978.
Siguin X ~ B(n, p$_1$) i Y ~ B(m, p$_2$) independents. Sigui T = (X/n) / (Y/m).
Llavors log(T) està distribuït aproximadament de forma normal amb mitjana log(p$_1$/p$_2$) i variància ((1/p$_1$) − 1)/n + ((1/p$_2$) − 1)/m.

### Distribució de Bernoulli

La distribució de Bernoulli és un cas particular de la distribució binomial, amb n = 1. Simbòlicament, X ~ B(1, p) té el mateix significat que X ~ Bernoulli(p). En canvi, la distribució binomial, B(n, p), és la distribució de la suma de n assajos de Bernoulli independents, Bernoulli(p), cadascun amb la mateixa probabilitat p.

### Aproximació de Poisson

La distribució binomial convergeix a la distribució de Poisson a mesura que el nombre d'assajos tendeix a infinit mentre que el producte np convergeix a un límit finit. Per tant, es pot utilitzar una distirbució de Poisson amb paràmetre λ = np per aproximar B(n, p) de la distribució binomial si n és prou gran i p és prou petit. Segons la regla del polze, aquesta aproximació és bona si n ≥ 20 i p ≤ 0.05 tal que np ≤ 1, o si n > 50 i p < 0.1 tal que np < 5, o si n ≥ 100 i np ≤ 10.
Sobre la precisió de l'aproximació de Poisson, vegi's Novak, capítol 4, i les referències que s'hi citen.

## Propietats reproductives

Donades m variables binomials independents $X_{i}$, i = 1, ..., m, de paràmetres $n_{i}$ i $p_{i}$, respectivament, la seva suma S és també una variable binomial, de paràmetres $n_{1}+\cdots +n_{m}$ i $p$, és a dir,
    $S=\sum _{i=1}^{m}X_{i}\sim B\left(\sum _{i=1}^{m}n_{i},p\right).$

## Referències

* ↑ Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statistica & Probability Letters. 23 21-25.
* ↑ Westland, J. Christopher. Audit Analytics: Data Science for the Accounting Profession. Chicago, IL, USA: Springer, 2020, p. 53. ISBN 978-3-030-49091-1.
* ↑ Cervigon, Francesc La-Roca. Estadística aplicada a les ciències socials. Universitat de València, 2011-11-28, p. 191. ISBN 978-84-370-8650-7.
* 1 2 Arratia, R.; Gordon, L. «Tutorial on large deviations for the binomial distribution». Bulletin of Mathematical Biology, vol. 51, 1, 1989, pàg. 125–131. DOI: 10.1007/BF02458840. PMID: 2706397.
* ↑ Robert B. Ash. Information Theory. Dover Publications, 1990, p. 115. ISBN 9780486665214.
* ↑ Matoušek, J.; Vondrak, J. «The Probabilistic Method». lecture notes. Arxivat de l'original el 2022-10-09.
* ↑ Dekking, F.M.; Kraaikamp, C.; Lopohaa, H.P. [et al.].. A Modern Introduction of Probability and Statistics. 1. Springer-Verlag London, 2005. ISBN 978-1-84628-168-6.
* ↑ Wang, Y. H. «On the number of successes in independent trials». Statistica Sinica, vol. 3, 2, 1993, pàg. 295–312.
* ↑ Katz, D.; Baptista, J.; Azen, S. P.; Pike, M. C. «Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies». Biometrics, vol. 34, 3, 1978, pàg. 469–474. DOI: 10.2307/2530610. JSTOR: 2530610.
* ↑ Taboga, Marco. «Lectures on Probability Theory and Mathematical Statistics». statlect.com. [Consulta: 18 desembre 2017].
* ↑ «12.4 – Approximating the Binomial Distribution | STAT 414», 28-03-2023. Arxivat de l'original el 2023-03-28. [Consulta: 8 octubre 2023].
* ↑ Chen, Zac. H2 mathematics handbook. 1. Singapore: Educational publishing house, 2011, p. 348. ISBN 9789814288484.
* ↑ NIST/SEMATECH, "6.3.3.1. Counts Control Charts", e-Handbook of Statistical Methods.
* ↑ «The Connection Between the Poisson and Binomial Distributions», 13-03-2023. Arxivat de l'original el 2023-03-13. [Consulta: 8 octubre 2023].
* ↑ Novak S.Y. (2011) Extreme value methods with applications to finance. London: CRC/ Chapman & Hall/Taylor & Francis. ISBN 9781-43983-5746.

## Vegeu també

* Distribució hipergeomètrica
* Distribució multinomial