# Llei de Walras

La Llei de Walras és, en la teoria de l'equilibri general, un principi que estableix que la suma de la demanda (o demanda agregada) (D) ha d'igualar, tenint en compte els preus (p), a la suma de l'oferta (S). És a dir, ΣpD - ΣpS = 0.
De l'anterior, segueixen dos corol·laris:
* Si en un sistema de n mercats hi ha equilibri en n−1 mercats, el n-èsim mercat estarà en equilibri.
* Si en un sistema de mercats hi ha un excés de demanda positiu en algun sector, aleshores hi ha d'haver almenys algun altre sector en què hi ha un excés de demanda negatiu.

## Origen i hipòtesis

El principi és així anomenat en honor de Léon Walras, qui ho divulgà en les seves càtedres a la Universitat de Lausana, formalitzant una proposta anterior (Al seu torn derivada de la Llei de Say) de John Stuart Mill en els seus Essays on Some Unsettled Questions of Political Economy (1844).
Walras generalitza a partir del procés de tempteig walrasià o subhasta per tempteig en economies en les quals hi ha molts productors i cap pot controlar directament el preu. És a dir, assumeix competència perfecta. Walras postula que tots els béns presents en aquest mercat pertanyen a la categoria de bé desitjable i qualsevol bé amb excés d'oferta és sempre un bé gratuït.
Addicionalment, Walras assumeix explícitament que tots els ingressos dels participants als mercats només s'originen de la venda de béns que ells posseeixen (cosa que implica que el treball és considerat una mercaderia) i que la totalitat d'aquests ingressos seran utilitzats directament i immediatament al mercat (és a dir, no hi ha estalvis).
Des d'aquest punt de vista, Walras considera que tots els participants al mercat són productors (incloent-hi els individus o les llars, que “produeixen feina”) i, conseqüentment, tots són “acceptadors de preu” (“preneurs de prix” en francès; “price takers” en anglès) en la mesura que tots estan subjectes als efectes de la demanda.
Hi ha també una varietat d'assumpcions implícites que són objecte de debat (vegeu més avall)

## Formulació

En termes formals la llei de Walras s'expressa generalment de la següent manera: per a qualsevol sistema econòmic, estigui o no en equilibri, hi ha un conjunt de preus reals (vector en el llenguatge formal) tal que la suma dels preus totals de tot allò ofert equival a la suma de la demanda mesurada en diners, conseqüentment, la sostracció d'ambdues quantitats és zero i tot el posat al mercat es ven, el que porta al buidament del mercat.
* $\ {\overrightarrow {p}}\sum _{i=1}^{n}[d({\overrightarrow {p}})-s({\overrightarrow {p}})]=0$
En la qual d és la demanda, s és l'oferta (de l'anglès supply) i$\ {\overrightarrow {p}}$ és el vector de preus.
Una formulació alternativa, seguint la terminologia walrasiana, que considera que tota oferta es pot considerar demanda per algun altre bé (veure llei de Say) és:
$\sum _{i=1}^{n}p_{i}E_{i}=0$
La qual estableix que si definim l'excés de demanda (E) sobre un bé “i” (d'un univers “n” de béns), $E_{i}$, i assumim que tot allò comprat iguala (monetàriament) tot allò venut o tots els ingressos equivalen a totes les vendes, segueix que tot el que els individus poden comprar (demandar) és igual a tots els preus del venut. Segueix que la suma de qualsevol putatiu excés de demanda és zero (o que els excessos en un sector del mercat han d'equivaler exactament, en termes monetaris, a les deficiències en un altre sector).
L'aproximació conceptual a l'anterior és intuïtiva: si assumim que els ingressos només provenen de la venda -incloent-hi venda de treball- tot el comprat s'ha d'igualar exactament a tot allò venut i no hi poden haver excedents monetaris de cap tipus. Això encara és més clar si no prenem els diners en consideració i concebem les compravendes com a intercanvis d'un bé per l'altre (Llei de Say). (Noteu que l'anterior no estableix que els mercats estiguin en equilibri, només que, en principi, no hi pot haver un excés o manca de demanda). Una aproximació alternativa emfatitza alguns dels elements de la problemàtica de la proposta: És el cas que en una economia qualsevol tot allò venut ha d'equivaler exactament a tot allò comprat. Aquesta situació no equival necessàriament a l'equilibri tal com Walras ho defineix. Això estableix un univers o conjunt d'interrelacions de preus tals que tots porten a la venda de tot allò que s'ha produït.
Hi ha una varietat de demostracions formals de l'anterior.
Addicionalment Walras postula que d'aquest univers de preus hi ha un conjunt específic (vector) que porta a aquest equilibri.
La demostració més general que hi ha un vector de preus tal que condueix a l'equilibri és molt més complexa i es deriva del treball de John von Neumann que, alhora, es basa en el Teorema del punt fix de Brouwer i la seva generalització, el Teorema del punt fix de Kakutani. Aquestes propostes van donar origen a una varietat de demostracions econòmiques, com ara el Teorema d'Equivalència d'Uzawa que estableix que “l'existència d'equilibri walrasià és equivalent al teorema del punt fix de Brouwer, és a dir, l‟existència d‟un punt fix per a qualsevol funció contínua d‟un símplex n-dimensional a si mateix“. Potser la demostració més accessible es troba a l'obra de Hal Varian.
Una aproximació alternativa simplement assumeix l‟existència d‟equilibri i es concentra a demostrar que aquest equilibri és estable. Això es basa en l'existència de béns substitutius i l'ús de les matrius de diagonal dominant (veure mètode de Jacobi). Aquesta aproximació va ser introduïda per Lionel Mckenzie.
La demostració dels corol·laris és trivial.

## Crítica i desenvolupaments posteriors

La crítica més usual a la llei de Walras és tant el fet que l'equilibri no s'observa a la pràctica, així com l'alt nivell de demandes o supòsits que el model imposa per aconseguir-lo, el que ha portat alguns a suggerir que la proposta és poc realista: "No obstant, no s'ha aconseguit demostrar que les forces del mercat que procedeixen per temptejos o aproximacions successives, cosa que Walras va anomenar tâtonnements, condueixin a l'equilibri, ni que aquest sigui únic i estable. En aquest ordre d'idees, H. Sonnenschein va establir que les funcions de demanda neta que resulten del "model Arrow-Debreu" poden tenir qualsevol forma. Així, l'anomenada "Llei de la Demanda" resulta poc versemblant i, en canvi, sembla més probable que operi la inestabilitat dels tâtonnements walrasians. Gerard Debreu, el 2001, va assenyalar la impossibilitat de poder demostrar que l'equilibri econòmic general fos únic i estable, llevat que es recorregués a hipòtesis extremadament restrictives molt allunyades de la realitat.”.
Això ha portat a diverses temptatives de millora.
D'una banda, el desfasament entre la predicció central del model (que els preus de mercat evolucionarien a un preu d'equilibri) i la realitat observada (vegeu, per exemple, diagrama de nous allotjaments a l'Illa de França) ha portat a diverses propostes. Potser la més important és el model de la teranyina.
De l'altra, el relaxament de les condicions que el model demana, en la tradició d'Arrow i Debreu i Lionel W. McKenzie porta al conegut Teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu, que estableix, en relació amb allò que ens interessa, que no només hi ha més que un sol “vector de preus” que condueix al buidament del mercat i que, per tant, no es pot postular, en una mà, que hi hagi un procés tal com el tempteig que condueixi a un equilibri únic i estable sinó també que aquest equilibri pot adoptar qualsevol forma, la qual cosa és una manera de dir que hi ha nombrosos punts (interrelacions de preus) que poden ser considerats d'equilibri.
Si bé això és considerat negatiu o desil·lusionant per als teòrics de l'equilibri, tal relaxament ofereix també diversos avantatges i estableix les bases de molts dels desenvolupaments de les teories modernes del desequilibri dinàmic, les teories no walrasianas i les bases per a les aproximacions que busquen proveir microfonaments per a la macroeconomia. (veure Nova economia clàssica i Nova Economia Keynesiana).
Hi ha també algunes crítiques a la demostració d'Uzawa. Per exemple, Benetti et al. argumenten que la demostració basada en els teoremes del punt fix són matemàticament convenients, però no tenen significat econòmic: el procés descrit pel teorema no correspon a cap procés realista de variacions de preus.
En aquesta línia d'argumentació es destaca la contribució de K. Vela Velupillai, que suggereix que el model estàndard del càlcul de l'equilibri (basat en els teoremes del punt fix) no és computable ni constructiu en el sentit matemàtic. És a dir, a la pràctica econòmica, no es pot calcular un punt d'equilibri putatiu. Velupillai no nega ni la conveniència d'assumir tal punt com la seva realitat, però suggereix que el mètode utilitzat no és suficient per aconseguir-lo.
Això ha donat lloc a diverses temptatives alternatives de demostrar el "teorema d'existència" (especialment el problema de la convergència dels preus al punt d'equilibri), tot i que aquest enfocament ha demostrat ser més eficaç que els mètodes de punt fix, la convergència no s'ha demostrat teòricament».

## Diagonalització

El teorema del punt fix de Brouwer especifica una funció sobre un conjunt acotat unitari.
* $\ f(x)=x\Rightarrow f(x)-x=0$
Traduït a termes econòmics x són les quantitats. L'agent arriba al mercat i fa unes compres, és a dir, l'individu demanda unes quantitats de producte a un preu. Aquesta demanda és f(x). El sumatori de les demandes menys el sumatori de les ofertes ha de ser igual a zero, segons la Llei de Walras. El valor de les quantitats demanades ha de ser igual al valor de les quantitats ofertes. Quan el preu és unitari
* $\ f(x)=x\Rightarrow f(x)-x=0$
Però també podrem utilitzar una matriu diagonalitzable. La diagonalització consisteix a trobar una base de vectors propis associat a valors propis. En aquest cas, la matriu a diagonalitzar serà A i en representa les quantitats. El valor o valors propis representen el preu.
* $\ f(px)=px\Rightarrow {\begin{vmatrix}A-p\end{vmatrix}}x=0$
Evidentment, totes les matrius no són diagonalitzables i els vectors quantitats tampoc no podran ser linealment dependents. S'han de produir subespais espectrals per a tots els preus la suma dels quals de les seves dimensions coincideixi amb el rang de la matriu de quantitats.
${\begin{vmatrix}A-p\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1,1}-p&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}-p&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}-p\end{vmatrix}}$
Matemàticament el mercat es pot, o no, buidar.

## Notes i referències

* ↑ John Stuart Mill (1844): «És ben conegut que la quantitat de qualsevol mercaderia que pot ser venuda varia amb el preu. Com més alt sigui el preu menys seran els compradors i menor la quantitat venuda. Com més baix sigui el preu més gran serà, en general, el nombre de compradors i més gran serà la quantitat venuda. Aquest és el cas de gairebé tots els productes, siguin quins siguin: encara que alguns productes per disminuir el consum en qualsevol grau requeriria un augment molt més gran del preu que en altres.» «Qualsevol que sigui la mercaderia — estant donada l'oferta a qualsevol mercat, hi ha algun preu en què el conjunt de l'oferta trobarà exactament compradors i no més. Aquest, sigui quin sigui, és el preu al qual, per l'efecte de la competència, la mercaderia serà venuda. Si el preu és més alt, el conjunt de l'oferta no serà venuda, i els venedors, per la seva competència, faran baixar el preu. Si el preu és menor, hi haurà compradors per a una oferta més gran, i la competència d'aquests compradors elevarà el preu.», «Això, llavors, és el que volem dir quan diem que el preu o valor de canvi depèn de l'oferta i la demanda. Expressaríem el principi amb més precisió, si diguéssim, que el preu es regula de manera que la demanda serà exactament suficient per absorbir el subministrament.», disponible en Essays on some unsettled Questions of Political Economy Esay I: OF THE LAWS OF INTERCHANGE BETWEEN NATIONS; AND THE DISTRIBUTION OF THE GAINS OF COMMERCE AMONG THE COUNTRIES OF THE COMMERCIAL WORLD.
* ↑ John Stuart Mill (1844): "No hi pot haver mai, es diu, una manca de compradors de tots els productes, perquè qui ofereix un producte per a la venda, vol obtenir una mercaderia a canvi d'ella i, per tant, és un comprador pel sol fet de ser un venedor. Els venedors i els compradors, prenent tots els productes en conjunt, deuen, per la necessitat metafísica del cas, estar en un equilibri exacte entre si, i si hi ha més venedors que compradors d'una cosa, hi ha d'haver més compradors que venedors d'altres." "Aquest argument està, evidentment, fundat en la suposició d'una situació de bescanvi, i, atès aquest supòsit, és perfectament incontestable. Quan dues persones fan un acte de bescanvi, cadascun és alhora un venedor i un comprador. Ell no pot vendre sense comprar. A menys que opti per comprar productes duna altra persona, no ven el seu." "A fi que l'argument de la impossibilitat d'un excés de tots els productes sigui aplicable al cas en què s'empra un mitjà de circulació, els diners han de ser considerats com una mercaderia. S'ha de, sens dubte, admetre que no pot ser haver-hi un excés de totes les altres mercaderies i un excés de diners, al mateix temps."...." És, però de summa importància observar que l'excés de totes les mercaderies, en l'únic sentit en què és possible, només significa una caiguda temporal en el valor relativament als diners, suposar que els mercats de tots els productes podrien, en algun sentit que no sigui aquest, tenir un excés implica l'absurd que els productes poden caure en un valor relativament a si mateixos, o que de dos productes, cadascú pot caure en preu relativament a l'altre, A convertint-se en equivalent a B-x i B a A-x al mateix temps. I és potser raó suficient per no utilitzar frases d'aquesta classe que suggereixen la idea d'una producció excessiva. Una manca de mercat per a un article pot derivar-se d'una excessiva producció d'aquest article, però quan les mercaderies en general es tornen invendibles, és per una causa molt diferent, no hi pot haver una excessiva producció de mercaderies en general." en Essays on some unsettled Questions of Political Economy ESSAY II. OF THE INFLUENCE OF CONSUMPTION ON PRODUCTION.
* ↑ Per a una anàlisi més detallada, veure Lefteris Tsoulfidis; Competing Schools of Economic Thought p. 173 y ss
* ↑ Hal R. Varian: “La llei de Walras diu una cosa força obvia: si cada un dels individus satisfà la seva restricció pressupostària, de manera que el valor del seu excés de demanda és nul, el valor de la suma dels excessos de demanda ha de ser nul. És important adonar-se que aquesta llei estableix que el valor de l'excés de demanda és idènticament igual a zero sigui quin sigui el preu” en Análisis microeconómico p. 372
* ↑ Ronald Wendner General Equilibrium: Positive Theory
* ↑ Hak Choi (2008): The Proof of the Original Walras' Law. Profitable Economics Working Paper, available at SSRN
* ↑ Hal R. Varian: Análisis microeconómico p. 372.
* ↑ ALVARO J. RIASCOS V El Análisis de Walras
* ↑ Robert Dixon (2000): A Formal Proof of Walras Law
* ↑ Ramón J. Torregrosa: Apuntes Equilibrio General p. 4.
* ↑ Wing Suen: General Equilibrium.
* ↑ Sam Bucovetsky: What is an Equilibrium Price Vector? Arxivat 2010-12-14 a Wayback Machine.
* ↑ Malgrat els seus esforços, Walras no va demostrar formalment que el tattonnement, entès com a mecanisme teòric, funcionés (local o globalment).... Samuelson va ser el primer que va plantejar explícitament el tatonnement com un sistema d'equacions diferencials.” en OBSERVACIONES SOBRE LA TEORIA DEL TATONNEMENT DE WALRAS p. 192.
* ↑ Bernard Guerrien*: “Von Newmann va ser el primer que va establir un nexe entre la noció d'equilibri i la de punt fix d'una funció, tal com es fa servir en matemàtiques; realment de la mateixa manera que un punt fix x d'una funció f roman constant mentre se li aplica la funció -el punt fix és tan gran que (f(x)=x)-; un equilibri “no es mou”, és fix, quan està sotmès a diferents “forces” de les quals ell és la resultant... (...)... És mitjançant l'ús d'aquesta mena d'analogia que John Nash prova el 1950, que tot joc no cooperatiu, és a dir, aquell en què cadascú només es preocupa pels seus propis guanys, admet almenys un equilibri. A més, la seva demostració es recolza de manera decisiva en el teorema del punt fix, establert el 1910 pel matemàtic Jan Brower, que estableix que tota funció contínua i limitada que “no fa salts” i només pren valors finits, admet almenys un punt fix.” en LA MICROECONOMIA Arxivat 2011-11-25 a Wayback Machine. p. 37-38.
* ↑ Border, Kim C. Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press, 1989.
* ↑ J Geanakoplos (2003): NASH AND WALRAS EQUILIBRIUM VIA BROUWER.
* ↑ Hirofumi Uzawa: Walras's existence theorem and Brouwer’s ﬁxed point theorem, Econ. Stud. Quarterly, 8(1962), 59–62.
* ↑ Hal R. Varian (1992): Análisis microeconómico p. 373 a 377.
* ↑ Giancarlo Gandolfo (1997): Economic dynamics pp. 252-54 y (esp) 414 (“Ara, afirmem sense provar el següent: Lema: Si els preus d'equilibri són tots positius, preval la substituibilitat bruta, i la llei de Walras, juntament amb l'homogeneïtat positiva, es compleix, aleshores... (...)... Substituibilitat bruta, llavors, implica estabilitat global d'equilibri general”.)
* ↑ New School for Social Research Local Multi-market Stability sección (B) Gross Substitution
* ↑ Kenneth J Arrow (1983) General equilibrium p. 125.
* ↑ L.W. McKenzie (1960) «Matrices with Dominant Diagonal in Economic Theory», en Arrow, Karlin y Suppes, editores, Mathematical Methods in the Social Sciences. Stanford: Stanford University Press.
* ↑ Esta critica puede ser trazada en la obra de Robert W Clower -1965. The Keynesian Counter Revolution: A Theoretical Appraisal (esp. pp. 292-4) en Frank.H. Hahn y F.P.R. Brechling, editores: The Theory of Interest Rates. Macmillan. Reimpresión (1987):,"The Keynesian Counter-Revolution: A Theoretical Appraisal," 34-58. esp. pp. 53-55 -. El “relajamiento” de las condiciones se ha transformado en una práctica aceptada en teoría económica. Ver, por ejemplo: Y Balasko et al (1979): Existence of Competitive Equilibrium in a General Overlapping-Generations Model
* ↑ Hortencia Rueda L: Debilidades de la teoría Del equilibrio general p. 110
* ↑ Lex Borghans (1991) The Cobweb Theorem: A Rational Interpretation
* ↑ Kenneth J. Arrow y Gerard Debreu (1954): Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy para un resumen de las condiciones de Arrow y Debreu, ver EconomyProfessor.com, Retrieved 2010-05-23.
* ↑ L.W. McKenzie (1959): On the Existence of General Equilibrium for a Competitive Market (ver también E. ROY WEINTRAUB Lionel W. McKenzie and the Proof of the Existence of a Competitive Equilibrium
* ↑ Para una introducción a este aspecto ver Kenneth J. Arrow and Leonid Hurwicz (1958): On the Stability of the Competitive Equilibrium, I p. 528 y dé atención a nota 19.
* ↑ Marco Lehmann-Waffenschmidt (2007): Economic evolution and equilibrium: bridging the gap p. 41 (Evolution in an Exchange Equilibrium Framework Without Walras' Law and Homogeneity)
* ↑ ver Jean-Pascal Benassy (1975): Neo-Keynesian Disequilibrium Theory in a Monetary Economy; Frank Hahn (1978): On Non-Walrasian Equilibria; Takashi Negishi (1989): Economic Theories in a Non-Walrasian Tradition.
* ↑ JAMES R. RHODES (1984): WALRAS‘ LAW AND CLOWER'S INEQUALITY.
* ↑ Carlo Benetti, Alejandro Nadal y Carlos Salas Páez: The Law of Supply and Demand in the Proof of Existence of General Competitive Equilibrium Arxivat 2011-10-09 a Wayback Machine.
* ↑ Por ejemplo: Velupillai (2005): The Foundations of Computable General Equilibrium Theory.
* ↑ Anna Nagurney (2002): Walrasian Price Equilibrium.

## Bibliografia

* Andreu Mas Colell (1974): Algunes observacions sobre la teoria del tâtonnement de Walras en economies productives
* Michio Morishima (1980):</link>
* Robert L Greenfield (1986): WALRAS'S LAW IN MACROECONOMIC DISEQUILIBRIUM
* Don Patinkin (1987): Walras' Law
* Leland B. Yeager i Alan A. Rabin (1997):</link>
* Lex Borghans (1991)</link>
* Hal Varian (1992): Anàlisi microeconòmica (cap. 17, 1-5)
* Amparo Urbano S: Equilibri Walrasià en Economies d'Intercanvi pur. Model General
* Antonio Carlos Macedo i Silva: From Say's law to Keynes, from Keynes to Walras' law: som ironies in the history of economic thought
* David M. Kreps : Curs de teoria microeconòmica (cap. 6).