# Període de Pisano

En teoria de nombres, el període de Pisano $\pi (n)$ essent n qualsevol nombre enter, és la funció periòdica resultant d'aplicar un mòdul n a la successió de Fibonacci. Rep el nom de Leonardo Pisano, més conegut com a Fibonacci, i va ser descrit per Joseph Louis Lagrange l'any 1774.

## Definició

La successió de Fibonacci és la seqüència d'enters resultant d'aplicar la següent relació de recurrència:
    $F_{0}=0$
    $F_{1}=1$
    $F_{i}=F_{i-1}+F_{i-2}.$
Per tot nombre enter n, s'obté una seqüència periòdica després d'aplicar el mòdul n a tots els valors de la successió de Fibonacci. El període en aquesta seqüència s'anomena període de Pisano. Per exemple, la seqüència resultant d'aplicar el mòdul 3 comença:
    0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, ... (successió A082115 a l'OEIS)
Aquesta seqüència té període 8, per tant $\pi (3)=8$.
$\pi (n)$
No es coneix cap fórmula generalitzada que permeti obtenir la llargada del període a partir de n, tot i que se sap que aquesta depèn estretament de la factorització del divisor.

## Propietats

A excepció de $\pi (2)=3$, el període de Pisano $\pi (n)$ sempre és parell. Una prova senzilla d'això es pot donar observant que $\pi (n)$ és igual a l'ordre de la matriu de Fibonacci
    $\mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}$
en el grup lineal general GL₂(ℤ$_n$) de les matrius de 2x2 invertibles en l'anell finit ℤ$_n$ dels enters del mòdul n. Com que el determinant de Q és -1, el determinant de Q$^{π(n)}$ és (-1)$^{π(n)}$, i com que aquest ha d'equivaldre a 1 en ℤ$_n$, llavors $\pi (n)$ és parell per tot n major de 2.
Si m divideix n, que es representa $m\,|\,n$, llavors $\pi (m)\,|\,\pi (n)$. Per aquest motiu, si m i n són coprimers, llavors $\pi (mn)$ és el mínim comú múltiple de $\pi (m)$ i $\pi (n)$, segons el teorema xinès del residu. Per exemple, $\pi (3)=8$ i $\pi (4)=6$ impliquen que $\pi (12)=24$. Per tant, l'estudi dels períodes de Pisano es pot reduir al dels períodes de Pisano de potències de primers $q=p^{k}$ per k majors o iguals que 1.
Si p és primer, $\pi (p^{k})$ divideix $p^{k-1}\pi (p)$. Això implica que l'estudi dels períodes de Pisano es pot reduir encara més a l'estudi dels períodes de Pisano primers, amb dos primers anòmals; $\pi (2)$ pel fet d'obtenir un període senar, i $\pi (5)$ perquè té un període relativament més llarg que el de qualsevol altre primer. La resta de primers es troben en residus de classe $p\equiv \pm 1\,{\text{(mod 10)}}$ o bé $p\equiv \pm 3\,{\text{(mod 10)}}$. Si p és un primer diferent de 2 ó 5, llavors el mòdul p anàleg a la fórmula de Binet implica que $\pi (p)$ és l'ordre multiplicatiu d'una arrel de $x^{2}-x-1\,{\text{(mod }}p{\text}}$. Si $p\equiv \pm 1\,{\text{(mod 10)}}$, aquestes arrels formen part de $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ per reciprocitat quadràtica. Per tant, el seu ordre, $\pi (p)$ és un divisor de p - 1. En canvi, si $p\equiv \pm 3\,{\text{(mod 10)}}$ les arrels del mòdul p de l'equació quadràtica no formen part de $\mathbb {F} _{p}$, sinó del cos finit $\mathbb {F} _{p}[x]/(x^{2}-x-1)$.
Com que l'endomorfisme de Frobenius $x\mapsto x^{p}$ intercanvia aquestes arrels, denotant-les r i s, es dedueix que $r^{p}=s$ i, per tant, $r^{p+1}=-1$. S'obté $r^{2(p+1)}=1$, i el període de Pisano, que és l'ordre de r, és el quocient de 2(p+1) per un divisor senar. Aquest quocient és sempre múltiple de 4. Seguint aquests resultats, obtenim que si $n=p^{k}$ és una potència senar de primers tal que $\pi (n)$ és major que n, llavors $\pi (n)/4$ és un nombre enter que no és major que n. La propietat multiplicativa dels períodes del Pisano implica que $\pi (n)$ és més petit o igual que 6n, essent exactament 6n si i només si $n=2\cdot 5^{r}$ per r major o igual que 1.
S'anomenen punts fixos aquells valors de n on $\pi (n)=n$. Concretament, això passa quan $n=24\cdot 5^{k}$.

## Patrons dins del cicle

Si es defineix un bloc com un subperíode que comença amb zero, tots els períodes de Pisano es divideixen en 1, 2 o 4 blocs de la mateixa llargada.
Sigui $T_{i}$ el nombre de vegades que apareix el valor i a la seqüència, s'anomenen seqüències simètriques aquelles on per tot i major que 0 i menor que n, es compleix $T_{i}=T_{n-i}$. Tots els períodes amb 4 zeros són simètrics, tots els períodes amb 1 zero són asimètrics, i els períodes amb 2 zeros poden ser dels dos tipus.
Per exemple, quan n = 30 s'obté una seqüència de 120 i amb 2 zeros, per tant dos blocs de 60. Si es fa un recompte de tot valor i de 0 fins a n-1, es pot observar que aquesta seqüència és simètrica (s'ha subratllat el 4, corresponent al punt central):
    (2), { 5, 3, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 3, 5 }
Es postula que si un període n és asimètric, tots els períodes kn també ho són. També s'ha observat que en períodes de la forma 5k, el resultat d'aquest recompte es pot dividir en 5 grups iguals.
Tornant a mirar l'exemple per n = 30, els grups resultants són:
    [ 2, 5, 3, 4, 3, 5 ], [ 2, 5, 3, 4, 3, 5 ], [ 2, 5, 3, 4, 3, 5 ], [ 2, 5, 3, 4, 3, 5 ], [ 2, 5, 3, 4, 3, 5 ]

## Notes

* ↑ De fet, es desconeix si $\pi (p^{k})=p^{k-1}\pi (p)$ per tot primer p i per tot k major que 1. Tot primer que servís de contraexemple hauria de ser un primer de Wall-Sun-Sun, i alhora tot primer de Wall-Sun-Sun seria un contraexemple, però encara no se'n coneix cap.
* ↑ Si $n=2^{k}$, llavors $\pi (n)=\pi (2)\cdot 2^{k-1}=3\cdot 2^{k-1}=(3\cdot 2^{k})/2=3n/2$.
* ↑ Si $n=5^{k}$, llavors $\pi (n)=\pi (5)\cdot 5^{k-1}=20\cdot 5^{k-1}=(20\cdot 5^{k})/5=4n$. De fet, tots els valors de 0 a n-1 apareixen exactament 4 vegades al període.
* 1 2 Noti's que per la propietat multiplicativa dels dos casos anteriors, si $n=2\cdot 5^{k}$, $\pi (n)=6n$. Aquí, tots els parells de 0 a n-1 apareixen 4 cops, i tots els senars 8 cops.
* ↑ Per exemple, $\pi (11)=11-1=10$, i $\pi (29)=(29-1)/2=14$.
* ↑ Els primers exemples als quals $\pi (p)$ és menor que 2(p+1) són $\pi (47)=2(47+1)/3=32$, $\pi (107)=2(107+1)/3=72$, i $\pi (113)=2(113+1)/3=76$.
* 1 2 No en tots els casos de 2 zeros i amb seqüència simètrica s'obté una representació cíclica amb simetria vertical.

## Referències

* ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001175: graph". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
* ↑ Weisstein, Eric W., «Pisano Period» a MathWorld (en anglès).
* ↑ On Arithmetical functions related to the Fibonacci numbers. Acta Arithmetica XVI (1969). Retrieved 22 September 2011.
* ↑ Vella, D.; Vella, A. «Notes 88.52: Some Properties of finite Fibonacci Sequences». Mathematical Gazette, 88, 2004, pàg. 494-499.
* ↑ A Theorem on Modular Fibonacci Periodicity. Theorem of the Day (2015). Retrieved 7 January 2016.
* ↑ Renault, Mark. «The Fibonacci Sequence Modulo m». [Consulta: 28 setembre 2021].
* ↑ Wall, D. D. «Fibonacci series modulo m». Amer. Math. Montly, 67, 6, 1960, pàg. 525-532. DOI: 10.2307/2309169. JSTOR: 2309169.
* ↑ Freyd, Peter; Brown, Kevin S. «Problems and Solutions: Solutions: E3410». Amer. Math. Monthly, 99, 3, 1992, pàg. 278–279. DOI: 10.2307/2325076. JSTOR: 2325076.
* 1 2 Rae, Emily. «Number-Theoretic Properties of the Fibonacci Numbers and Related Sequences» (PDF). [Consulta: 28 setembre 2021].
* 1 2 Fulton, J. D.; Morris, W. L. «On arithmetical functions related to the Fibonacci numbers». Acta Arithmetica, 16, 1969, pàg. 105-110.
* ↑ Flanagan P., Renault M., Updike J. «Symmetries of Fibonacci points, mod m» (PDF). Fibonacci Quarterly, 2014. [Consulta: 28 setembre 2021].

## Enllaços externs

* Jacob Yatsko, "A New Way to Look at Fibonacci Numbers" a YouTube, amb versió interactiva disponible. [Consulta: 1 octubre 2021]
* Mark Renault. «The Fibonacci Sequence modulo m», 2002. Arxivat de l'original el 2 desembre 2013. [Consulta: 1 octubre 2021]