# Nombres d'Stirling del segon tipus

En matemàtiques, particularment en combinatòria, un nombre d'Stirling del segon tipus (o nombre de partició d'Stirling) és el nombre de maneres de dividir un conjunt de n objectes en k subconjunts no buits i es denota per $S(n,k)$ o https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac552d368788269c5efc1e80e92dea8049141a3e. Els nombres de Stirling del segon tipus es produeixen en el camp de les matemàtiques anomenat combinatòria i l'estudi de les particions. Reben el nom de James Stirling.
Els nombres de Stirling del primer i del segon tipus es poden entendre com a inversos els uns dels altres quan es consideren matrius triangulars. Aquest article està dedicat a les especificitats dels números de Stirling del segon tipus. Les identitats que vinculen els dos tipus apareixen a l'article sobre els números d'Stirling.

## Definició

Els nombres de Stirling del segon tipus, escrits $S(n,k)$ o $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace$ o amb altres anotacions, compta el nombre de maneres de particionar un conjunt $n$ objectes etiquetats en $k$ subconjunts no buits sense etiquetar. De manera equivalent, compten amb precisió el nombre de relacions d'equivalència diferents $k$ classes d'equivalència que es poden definir en un $n$ conjunt d'elements. De fet, hi ha una bijecció entre el conjunt de particions i el conjunt de relacions d'equivalència en un conjunt determinat. Òbviament,
$\left\{{n \atop n}\right\}=1$ per a n ≥ 0, i $\left\{{n \atop 1}\right\}=1$ per a n ≥ 1,
ja que l'única manera de dividir un conjunt d'n elements en n parts és posar cada element del conjunt en la seva pròpia part, i l'única manera de dividir un conjunt no buit en una part és posar tots els elements a la mateixa part.. A diferència dels nombres de Stirling del primer tipus, es poden calcular mitjançant una fórmula d'una suma:
$\left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}i^{n}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-i}i^{n}}{(k-i)!i!}}.$
Els nombres de Stirling del primer tipus es poden caracteritzar com els nombres que sorgeixen quan s'expressa potències d'una x indeterminada en termes de factorials descendents
$(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).$
(En particular, ( x ) $_0$ = 1 perquè és un producte buit).
Els nombres de Stirling del segon tipus satisfan la relació
$\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}.$

## Propietats
### Relació de recurrència

Els nombres de Stirling del segon tipus obeeixen a la relació de recurrència
$\left\{{n+1 \atop k}\right\}=k\left\{{n \atop k}\right\}+\left\{{n \atop k-1}\right\}\quad {\mbox{for}}\;0<k<n$

### Fórmula explícita

Els nombres de Stirling del segon tipus es donen per la fórmula explícita:
$\left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}=\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}j^{n}}{(k-j)!j!}}.$

### Funcions generadores

Per a un nombre enter fix n, la funció de generació ordinària dels nombres de Stirling del segon tipus $\left\{{n \atop 0}\right\},\left\{{n \atop 1}\right\},\ldots$ està donat per
$\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}=T_{n}(x),$
on $T_{n}(x)$ són polinomis de Touchard.

## Taula de valors

A continuació es mostra una matriu triangular de valors per als nombres de Stirling del segon tipus (seqüència A008277) de l'OEIS):
| k | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 3 | 1 |
| 4 | 0 | 1 | 7 | 6 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 |
| 6 | 0 | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 |
| 7 | 0 | 1 | 63 | 301 | 350 | 140 | 21 | 1 |
| 8 | 0 | 1 | 127 | 966 | 1701 | 1050 | 266 | 28 | 1 |
| 9 | 0 | 1 | 255 | 3025 | 7770 | 6951 | 2646 | 462 | 36 | 1 |

## Aplicacions
### Moments de la distribució de Poisson

Si X és una variable aleatòria amb una distribució de Poisson amb valor esperat λ, aleshores el seu moment n és és
$E(X^{n})=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\lambda ^{k}.$
En particular, el moment n -è de la distribució de Poisson amb el valor esperat 1 és precisament el nombre de particions d'un conjunt de mida n, és a dir, és l' ésimo nombre de Bell (aquest fet és la fórmula de Dobiński).

### Moments de punts fixos de permutacions aleatòries

Sigui la variable aleatòria X el nombre de punts fixos d'una permutació aleatòria distribuïda uniformement d'un conjunt finit de mida m. Aleshores, el moment n de X és
$E(X^{n})=\sum _{k=0}^{m}\left\{{n \atop k}\right\}.$

### Esquemes de rimes

Els nombres de Stirling del segon tipus poden representar el nombre total d'esquemes de rima per a un poema de n línies. $S(n,k)$ dóna el nombre d'esquemes de rima possibles per a n línies utilitzant k síl·labes de rima úniques. Com a exemple, per a un poema de 3 línies, hi ha 1 esquema de rima que utilitza només una rima (aaa), 3 esquemes de rima amb dues rimes (aab, aba, abb) i 1 esquema de rima amb tres rimes (abc).

## Referències

* ↑ «Stirling Numbers of the Second Kind» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2025].
* ↑ Rennie, B. C.; Dobson, A. J. «On stirling numbers of the second kind». Journal of Combinatorial Theory, 7, 2, 01-09-1969, pàg. 116–121. DOI: 10.1016/S0021-9800(69)80045-1. ISSN: 0021-9800.
* ↑ «Stirling Numbers of the Second Kind, Theorem 3.4.1» (en anglès).
* ↑ Weisstein, Eric W. «Stirling Number of the Second Kind» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2025].