# Òptica hamiltoniana

L'òptica hamiltoniana i l'òptica lagrangiana són dues formulacions d'òptica geomètrica que comparteixen gran part del formalisme matemàtic amb la mecànica hamiltoniana i la mecànica lagrangiana.

## Principi de Hamilton

En física, el principi de Hamilton estableix que l'evolució d'un sistema $\left(q_{1}{\left(\sigma \right)},\dots ,q_{N}{\left(\sigma \right)}\right)$ descrit per $N$ coordenades generalitzades entre dos estats especificats en dos paràmetres especificats σ $_A$ i σ $_B$ és un punt estacionari (un punt on la variació és zero) de la funcional d'acció, o$\delta S=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(q_{1},\cdots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{N},\sigma \right)\,d\sigma =0$ on ${\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma$ i $L$ és el Lagrangià. Condició $\delta S=0$ és vàlid si i només si es compleixen les equacions d'Euler-Lagrange, és a dir, ${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0$ amb $k=1,\dots ,N$.
L'impuls es defineix com $p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$ i les equacions d'Euler-Lagrange es poden reescriure com a ${\dot {p}}_{k}={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}$ on ${\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma$.
Un enfocament diferent per resoldre aquest problema consisteix a definir un hamiltonià (prenent una transformada de Legendre del lagrangià) com $H=\sum _{k}{{\dot {q}}_{k}}p_{k}-L$ per a la qual cosa es pot derivar un nou conjunt d'equacions diferencials observant com la diferencial total del Lagrangià depèn del paràmetre σ, posicions $q_{i}$ i els seus derivats ${\dot {q}}_{i}$ relatiu a σ. Aquesta derivació és la mateixa que en la mecànica hamiltoniana, només amb el temps t ara substituït per un paràmetre general σ. Aquestes equacions diferencials són les equacions de Hamilton ${\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial \sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\,.$ amb $k=1,\dots ,N$. Les equacions de Hamilton són equacions diferencials de primer ordre, mentre que les equacions d'Euler-Lagrange són de segon ordre.

## Òptica lagrangiana

Els resultats generals presentats anteriorment per al principi de Hamilton es poden aplicar a l'òptica. A l'espai euclidià 3D, les coordenades generalitzades són ara les coordenades de l'espai euclidià.

### Principi de Fermat

El principi de Fermat estableix que la longitud òptica del camí seguit per la llum entre dos punts fixos, A i B, és un punt estacionari. Pot ser un màxim, un mínim, constant o un punt d'inflexió. En general, a mesura que viatja la llum, es mou en un medi d'índex de refracció variable que és un camp escalar de posició a l'espai, és a dir, $n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ a l'espai euclidià 3D. Suposant ara que la llum viatja al llarg de l'eix x $_3$, el camí d'un raig de llum es pot parametritzar com $s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)$ començant en un punt $\mathbf {A} =\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)$ i acaba en un punt $\mathbf {B} =\left(x_{1}\left(x_{3B}\right),x_{2}\left(x_{3B}\right),x_{3B}\right)$. En aquest cas, en comparació amb el principi de Hamilton anterior, les coordenades $x_{1}$ i $x_{2}$ assumir el paper de les coordenades generalitzades $q_{k}$ mentre $x_{3}$ pren el paper de paràmetre $\sigma$, és a dir, el paràmetre σ = x $_3$ i N =2.
En el context del càlcul de variacions això es pot escriure com $\delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}n{\frac {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}L\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0$ on ds és un desplaçament infinitesimal al llarg del raig donat per ds=√(dx$_1$$^2$+dx$_2$$^2$+dx$_3$$^2$){\textstyle ds={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}} i $L=n{\frac {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}$ és el Lagrangià i òptic ${\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}$.
La longitud del camí òptic (OPL) es defineix com $S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }L\,dx_{3}$ on n és l'índex de refracció local en funció de la posició al llarg del camí entre els punts A i B.

## Aplicacions

Se suposa que la llum viatja al llarg de l'eix x $_3$, segons el principi de Hamilton anterior, coordenades $x_{1}$ i $x_{2}$ assumir el paper de les coordenades generalitzades $q_{k}$ mentre $x_{3}$ pren el paper de paràmetre $\sigma$, és a dir, el paràmetre σ = x $_3$ i N =2.

### Refracció i reflexió

Si el pla x $_1$ x $_2$ separa dos medis d'índex de refracció n $_A$ per sota i n $_B$ per sobre, l'índex de refracció ve donat per una funció de pas. $n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\text{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\text{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}$ i a partir de les equacions de Hamilton ${\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0$ i, per tant, ${\dot {p}}_{k}=0$ o $p_{k}={\text{Constant}}$ per a k = 1, 2 .
Un raig de llum entrant té moment p $_A$ abans de la refracció (per sota del pla x $_1$ x $_2$ ) i moment p $_B$ després de la refracció (sobre el pla x $_1$ x $_2$ ). El raig de llum forma un angle θ $_A$ amb l'eix x $_3$ (la normal a la superfície de refracció) abans de la refracció i un angle θ $_B$ amb l'eix x $_3$ després de la refracció. Com que les components p $_1$ i p $_2$ del moment són constants, només p $_3$ canvia de p $_{3A}$ a p $_{3B}$ .

### Raigs i fronts d'ones

A partir de la definició de la longitud del camí òptic S=∫Ldx$_3${\textstyle S=\int L\, dx_{3}}${\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}$
amb k =1,2 on les equacions d'Euler-Lagrange $\partial L/\partial x_{k}=dp_{k}/dx_{3}$ amb k = 1,2 es van utilitzar. També, de l'última de les equacions de Hamilton $\partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3}$ i des de $H=-p_{3}$ a dalt ${\frac {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}$ combinant les equacions per a les components de la quantitat de moviment p resulta $\mathbf {p} =\nabla S$

### Espai de fases

La figura "Espai de fase 2D" mostra a la part superior alguns raigs de llum en un espai bidimensional. Aquí x $_2$ = 0 i p $_2$ = 0, de manera que la llum viatja sobre el pla x $_1$ x $_3$ en direccions de valors creixents de x $_3$ . En aquest cas $p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}$ i la direcció d'un raig de llum està completament especificada per la component p $_1$ del moment $\mathbf {p} =(p_{1},p_{3})$ ja que p $_2$ = 0. Si es dóna p $_1$, es pot calcular p $_3$ (donat el valor de l'índex de refracció n ) i, per tant, p $_1$ és suficient per determinar la direcció del raig de llum. L'índex de refracció del medi pel qual viatja el raig ve determinat $\|\mathbf {p} \|=n$ .

## Referències

* ↑ «Hamiltonian Formulation of Geometric Optics—C.E. Mungan, Fall 2005» (en anglès). [Consulta: 29 setembre 2024].
* ↑ «Lecture 11: The Hamiltonian formulation; introduction to waves | Optics | Mechanical Engineering» (en anglès). [Consulta: 29 setembre 2024].
* ↑ Pegis, R. J.. I The Modern Development of Hamiltonian Optics (en anglès). 1. Elsevier, 1961, p. 1–29.
* ↑ Chaves, Julio. Introduction to Nonimaging Optics, Second Edition (en anglès). CRC Press, 2015. ISBN 978-1482206739.