# El mètode de Laplace

En matemàtiques, el mètode de Laplace, que rep el nom de Pierre-Simon Laplace, és una tècnica utilitzada per aproximar integrals de la forma
$\int _{a}^{b}e^{Mf(x)}\,dx,$
on $f(x)$ és una funció diferenciable dues vegades, M és un nombre gran i els extrems a i b possiblement poden ser infinits. Aquesta tècnica es va presentar originalment a Laplace (1774).
En l'estadística bayesiana, l'aproximació de Laplace pot referir-se a l'aproximació de la constant de normalització posterior amb el mètode de Laplace o a l'aproximació de la distribució posterior amb un gaussià centrat en l'estimació a posteriori màxima. Les aproximacions de Laplace tenen un paper central en el mètode integrat d'aproximacions de Laplace imbricades per a una inferència bayesiana aproximada ràpida.

## La idea del mètode de Laplace

Suposem la funció $f(x)$ té un màxim global únic a x$_0$. Deixar $M>0$ sigui una constant i consideri les dues funcions següents:
${\begin{aligned}g(x)&=Mf(x)\\h(x)&=e^{Mf(x)}\end{aligned}}$
Tingueu en compte que x $_0$ serà el màxim global de $g$ i $h$ també. Ara observeu:
${\begin{aligned}{\frac {g(x_{0})}{g(x)}}&={\frac {Mf(x_{0})}{Mf(x)}}={\frac {f(x_{0})}{f(x)}}\\[4pt]{\frac {h(x_{0})}{h(x)}}&={\frac {e^{Mf(x_{0})}}{e^{Mf(x)}}}=e^{M(f(x_{0})-f(x))}\end{aligned}}$
A mesura que M augmenta, la relació per $h$ creixerà exponencialment, mentre que la proporció per $g$ no canvia. Així, les contribucions significatives a la integral d'aquesta funció vindran només dels punts x en un entorn de x$_0$, que després es poden estimar.

## Teoria general del mètode de Laplace

Per afirmar i motivar el mètode, necessitem diverses hipòtesis. Suposarem que x$_0$ no és un punt final de l'interval d'integració, que els valors $f(x)$ no pot estar molt a prop $f(x_{0})$ tret que x sigui proper a x$_{0.}$
Ens podem ampliar $f(x)$ al voltant de x$_0$ pel teorema de Taylor,
$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+R$
on $R=O\left((x-x_{0})^{3}\right)$ (vegeu: notació O gran).
Des que $f$ té un màxim global a x $_0$, i com que x $_0$ no és un punt final, és un punt estacionari, és a dir $f'(x_{0})=0$. Per tant, el polinomi de Taylor de segon ordre s'aproxima $f(x)$ és
$f(x)\approx f(x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}$
Aleshores només necessitem un pas més per obtenir la nostra distribució gaussiana. Des que $x_{0}$ és un màxim global de la funció $f$ podem dir, per definició de la segona derivada, que $f''(x_{0})<0$, que ens permet escriure
$f(x)\approx f(x_{0})-{\frac {1}{2}}|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}$
per x proper a x$_0$. Aleshores la integral es pot aproximar amb:
$\int _{a}^{b}e^{Mf(x)}\,dx\approx e^{Mf(x_{0})}\int _{a}^{b}e^{-{\frac {1}{2}}M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}}\,dx$
(vegeu la imatge de la dreta). Aquesta darrera integral és una integral gaussiana si els límits d'integració van de −∞ a +∞ (cosa que es pot suposar perquè l'exponencial decau molt ràpidament lluny de x$_0$), i així es pot calcular. Trobem
$\int _{a}^{b}e^{Mf(x)}\,dx\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{M|f''(x_{0})|}}}e^{Mf(x_{0})}{\text{ quan }}M\to \infty .$

## Referències

* ↑ «Laplace’s Method of Integration» (en anglès). [Consulta: 18 febrer 2024].
* ↑ Tierney, Luke; Kadane, Joseph B. J. Amer. Statist. Assoc., 81, 1986, pàg. 82–86. DOI: 10.1080/01621459.1986.10478240.
* ↑ Amaral Turkman, M. Antónia. «Methods Based on Analytic Approximations». A: Computational Bayesian Statistics: An Introduction (en anglès). Cambridge University Press, 2019, p. 150–171. ISBN 978-1-108-70374-1.
* ↑ «laplace’s method for integrals» (en anglès). [Consulta: 18 febrer 2024].