# Polinomis de Bessel

En matemàtiques, els polinomis de Bessel són una seqüència ortogonal de polinomis. Hi ha una sèrie de definicions diferents però estretament relacionades. La definició afavorida pels matemàtics ve donada per la sèrie $^{:101}$
$y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}.$
Una altra definició, afavorida pels enginyers elèctrics, es coneix de vegades com els polinomis de Bessel inversos $^{:8}$$^{:15}$
$\theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}(1/x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,{\frac {x^{n-k}}{2^{k}}}.$
Els coeficients de la segona definició són els mateixos que la primera però en ordre invers. Per exemple, el polinomi de Bessel de tercer grau és
$y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1$
mentre que el polinomi de Bessel invers de tercer grau és
$\theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15.$
El polinomi invers de Bessel s'utilitza en el disseny dels filtres electrònics de Bessel.

## Propietats
### Definició en termes de funcions de Bessel

El polinomi de Bessel també es pot definir mitjançant funcions de Bessel de les quals el polinomi treu el seu nom.
    $y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}(1/x)\,$
    $y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(1/x)$
    $\theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)$
on K $_n$ ( x ) és una funció de Bessel modificada del segon tipus, y $_n$ ( x ) és el polinomi ordinari i θ $_n$ ( x ) és el polinomi invers. $^{:7,34}$Per exemple:
$y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}(1/x)$

### Definició com a funció hipergeomètrica

El polinomi de Bessel també es pot definir com una funció hipergeomètrica confluent
$y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).$

### Funció generadora

Els polinomis de Bessel, amb l'índex desplaçat, tenen la funció generadora
$\sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}e^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.$

### Recursió

El polinomi de Bessel també es pot definir mitjançant una fórmula de recursivitat:
    $y_{0}(x)=1\,$
    $y_{1}(x)=x+1\,$
    $y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,$

### Ortogonalitat

Els polinomis de Bessel són ortogonals respecte al pes $e^{-2/x}$ integrat sobre el cercle unitari del pla complex. $^{:104}$En altres paraules, si $n\neq m$ ,
$\int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(e^{i\theta }\right)y_{m}\left(e^{i\theta }\right)ie^{i\theta }\mathrm {d} \theta =0$

## Generalització
### Forma explícita

A la literatura s'ha suggerit una generalització dels polinomis de Bessel de la següent manera:
$y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),$

### Valors particulars

Els polinomis de Bessel $y_{n}(x)$ fins a $n=5$ són
${\begin{aligned}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}$
No es pot factoritzar cap polinomi de Bessel en polinomis de grau inferior amb coeficients racionals. Els polinomis de Bessel inversos s'obtenen invertint els coeficients. De manera equivalent, θ$_k$(x)=x$^k$y$_k$(1/x){\textstyle \theta _{k}(x)=x^{k}y_{k}(1/x)}. Això resulta en el següent:
${\begin{aligned}\theta _{0}(x)&=1\\\theta _{1}(x)&=x+1\\\theta _{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\theta _{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\theta _{4}(x)&=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+105x+105\\\theta _{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+105x^{3}+420x^{2}+945x+945\\\end{aligned}}$

## Referències

* ↑ Krall, H. L.; Frink, O. Trans. Amer. Math. Soc., 65, 1, 1948, pàg. 100-115. DOI: 10.2307/1990516 [Consulta: free].
* ↑ Grosswald, E. Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics) (en anglès). New York: Springer, 1978. ISBN 978-0-387-09104-4.
* ↑ Berg, Christian; Vignat, Christophe Constructive Approximation, 27, 2008, pàg. 15–32. DOI: 10.1007/s00365-006-0643-6 [Consulta: 16 agost 2006].
* ↑ Grosswald, E. Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics) (en anglès). New York: Springer, 1978. ISBN 978-0-387-09104-4.
* ↑ Krall, H. L.; Frink, O. Trans. Amer. Math. Soc., 65, 1, 1948, pàg. 100-115. DOI: 10.2307/1990516 [Consulta: free].
* ↑ Filaseta, Michael; Trifinov, Ognian Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 2002, 550, 02-08-2002, pàg. 125–140. DOI: 10.1515/crll.2002.069.