# Independència condicional

En teoria de la probabilitat, dos esdeveniments aleatoris $A$ i $B$ són condicionalment independents donat un tercer esdeveniment $C$ precisament si l'ocurrència d' $A$ i l'ocurrència de $B$ són esdeveniments independents en la seva distribució de probabilitat condicional donada $C$. En altres paraules, $A$ i $B$ són independents condicionalment donat $C$ si i només si, tenint en compte que $C$ es produeix, se sap que si es produeix $A$ no proporciona informació sobre la probabilitat que es produeixi $B$, i el coneixement de si es produeix $B$ no proporciona informació sobre la probabilitat que es produeixi $A$.
El concepte d'independència condicional es pot estendre des d'esdeveniments aleatoris a variables aleatòries i vectors aleatoris.

## Independència condicional dels esdeveniments
### Definició

En la notació estàndard de la teoria de la probabilitat, $A$ i $B$ són condicionalment independents $C$ si i només si $\Pr(A\cap B\mid C)=\Pr(A\mid C)\Pr(B\mid C)$. La independència condicional de $A$ i $B$ donat $C$ es denota com $(A\perp \!\!\!\perp B)\mid C$. Formalment:
| $(A\perp \!\!\!\perp B)\mid C\quad \iff \quad \Pr(A\cap B\mid C)=\Pr(A\mid C)\Pr(B\mid C)$ | (Eq.1) |
o de forma equivalent,
    $(A\perp \!\!\!\perp B)\mid C\quad \iff \quad \Pr(A\mid B\cap C)=\Pr(A\mid C)\quad {\text{o}}\quad \Pr(B\mid C)=1.$

### Exemples

La discussió sobre StackExchange proporciona un parell d'exemples útils (vegeu la referència).

#### Caselles de colors

Cada casella representa un possible resultat. Els esdeveniments $\color {red}R$, $\color {blue}B$ i $\color {gold}Y$ estan representats per les zones pintades de vermell, blau i groc respectivament. La intersecció entre els esdeveniments $\color {red}R$ i $\color {blue}B$ es pinta de porpra.
* Aquests són dos exemples que il·lustren la independència condicional
Les probabilitats d'aquests esdeveniments són zones ombrejades respecte a l'àrea total. En els dos exemples $\color {red}R$ i $\color {blue}B$ són condicionalment independents donat $\color {gold}Y$ perquè:
    $\Pr({\color {red}R}\cap {\color {blue}B}\mid {\color {gold}Y})=\Pr({\color {red}R}\mid {\color {gold}Y})\Pr({\color {blue}B}\mid {\color {gold}Y})$
però no són condicionalment independents donat $\left[{\text{no }}{\color {gold}Y}\right]$ perquè:
    $\Pr({\color {red}R}\cap {\color {blue}B}\mid {\text{no }}{\color {gold}Y})\not =\Pr({\color {red}R}\mid {\text{no }}{\color {gold}Y})\Pr({\color {blue}B}\mid {\text{no }}{\color {gold}Y})$

#### Clima i retards

Sigui dos esdeveniments que siguin les probabilitats que les persones $A$ i $B$ tornin a casa a temps per sopar i el tercer esdeveniment $C$ és que una tempesta de neu afecti a la ciutat. Si tant $A$ com $B$ tinguessin una menor probabilitat d'arribar a casa a temps per sopar, aquestes probabilitats inferiors encara seran independents les unes de les altres. És a dir, el coneixement que $A$ arriba tard no indica si $B$ arribarà tard (poden viure a diferents barris, recórrer distàncies diferents i utilitzar diferents mitjans de transport). Tanmateix, si es té informació que viuen al mateix barri, utilitzen el mateix transport i treballen al mateix lloc, aleshores els dos esdeveniments NO són condicionalment independents si es veuen afectats per la tempesta de neu.

#### Suma de daus

La independència condicional depèn de la naturalesa del tercer esdeveniment. Si es llancen dos daus ($A$ i $B$), es pot suposar que els dos daus es comporten independentment l'un del altre. Si ens fixem en els resultats d'una matriu, no té relació amb l'altra matriu (és a dir, els dos daus són independents). Però si el primer resultat és 3, i algú us explica un tercer esdeveniment $C$ (per exemple, que la suma dels dos resultats sigui parell), aquesta informació addicional restringeix les opcions del segon resultat per a un nombre senar. És a dir, els dos esdeveniments poden ser independents, però NO condicionalment independents.

#### Alçada i vocabulari dels nens

L'alçada $A$ i el vocabulari $B$ són independents; però no són condicionalment independents si s'afegeix l'edat $C$.

## Independència condicional de variables aleatòries

Dues variables aleatòries $X$ i $Y$ són independents condicionals donada una tercera variable aleatòria $Z$ si i només si són independents en la distribució de probabilitats condicionals que dona $Z$. Això és, $X$ i $Y$ són condicionalment independents donat $Z$ si i només si, donat qualsevol valor de $Z$, la distribució de probabilitats de $X$ és el mateix per a tots els valors de $Y$ i la distribució de probabilitats de $Y$ és el mateix per a tots els valors de$X$. Formalment:
| $(X\perp \!\!\!\perp Y)\mid Z\quad \iff \quad F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=F_{X\,\mid \,Z\,=\,z}(x)\cdot F_{Y\,\mid \,Z\,=\,z}(y)\quad {\text{per a tot }}x,y,z$ | (Eq.2) |
on $F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=\Pr(X\leq x,Y\leq y\mid Z=z)$ és la funció de distribució acumulada condicional de $X$ i $Y$ donat $Z$.
Dos esdeveniments $R$ i $B$ són condicionalment independents donada una σ-àlgebra $\Sigma$ si
    $\Pr(R\cap B\mid \Sigma )=\Pr(R\mid \Sigma )\Pr(B\mid \Sigma ){\text{ a.s.}}$
on $\Pr(A\mid \Sigma )$ denota l'esperança condicional de la funció indicatriu de l'esdeveniment $A$, $\chi _{A}$, donada la σ-àlgebra $\Sigma$. Això és,
    $\Pr(A\mid \Sigma ):=\operatorname {E} [\chi _{A}\mid \Sigma ].$
Dues variables aleatòries $X$ i $Y$ són condicionalment independents donada una σ-àlgebra $\Sigma$ si l'equació anterior es manté per a tots $R$ en $\sigma (X)$i $B$ en $\sigma (Y)$.
Dues variables aleatòries $X$ i $Y$ són condicionalment independents donada una variable aleatòria $W$ si són independents, donat $\sigma (W)$: la σ-àlgebra generada per $W$. Això s'escriu comunament:
    $X\perp \!\!\!\perp Y\mid W$ o
    $X\perp Y\mid W$
Això es llegeix «$X$ és independent de $Y$, donat $W$»; el condicionament s'aplica a tota la declaració: «($X$ és independent de $Y$) donat $W$».
    $(X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W$
Si $W$ assumeix un conjunt de valors comptable, que equival a la independència condicional de $X$ i $Y$ per als esdeveniments de la forma $[W=w]$.
La independència condicional de més de dos esdeveniments, o de més de dues variables aleatòries, es defineix de manera analògica.
Els dos exemples següents mostren que$X\perp \!\!\!\perp Y$ ni implica ni està implicada per $(X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W$.
* Primer, suposem que $W=0$ amb la probabilitat 0,5 i en cas contrari 1. Quan $W=0$ agafa $X$ i $Y$ per ser independents, cadascun té el valor 0 amb la probabilitat 0,99 i el valor 1 en cas contrari. Quan $W=1$, $X$ i $Y$ tornen a ser independents, però aquesta vegada prenen el valor 1 amb la probabilitat 0,99. Aleshores $(X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W$. Pero $X$ i $Y$ són dependents, perquè $Pr(X=0)<Pr(X=0|Y=0)$. Això és perquè $Pr(X=0)=0.5$, però si $Y=0$ llavors és molt probable que això $W=0$ i així això $X=0$ és també així $Pr(X=0|Y=0)>0.5$.
* Per al segon exemple, suposem que $X\perp \!\!\!\perp Y$, cadascuna prenent els valors 0 i 1 amb probabilitat 0,5. Fem que $W$ sigui el producte $X\cdot Y$. Llavors quan $W=0$, $Pr(X=0)=2/3$, però $Pr(X=0|Y=0)=1/2$, com $(X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W$ és fals.
Consulteu el tutorial de Kevin Murphy on $X$ i $Y$ agafa els valors «mentals» i «esportius».

## Independència condicional de vectors aleatoris

Dos vectors aleatoris $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{l})^{\mathrm {T} }$ i $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{m})^{\mathrm {T} }$ són condicionalment independents donat un tercer vector aleatori $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }$ si i només si són independents en la seva distribució acumulada condicional donada $\mathbf {Z}$. Formalment:
| $(\mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} )\mid \mathbf {Z} \quad \iff \quad F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} |\mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=F_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {y} )\quad {\text{ per a tot }}\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z}$ | (Eq.3) |
on $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{l})^{\mathrm {T} }$, $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{m})^{\mathrm {T} }$ i $\mathbf {z} =(z_{1},\ldots ,z_{n})^{\mathrm {T} }$ i les distribucions acumulatives condicionals es defineixen de la manera següent.
    ${\begin{aligned}F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{l}\leq x_{l},Y_{1}\leq y_{1},\ldots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\\[6pt]F_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{l}\leq x_{l}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\\[6pt]F_{\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {y} )&=\Pr(Y_{1}\leq y_{1},\ldots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\end{aligned}}$

## Usos en inferència bayesiana

Sigui p la proporció de votants que votaran «sí» en un proper referèndum. En fer una enquesta d'opinió, es tria n votants a l'atzar entre la població. Per a i = 1, ..., n, fem X$_i$ = 1 o 0 corresponent, respectivament, a si el votant escollit votarà o no votarà «sí».
En un enfocament de freqüència d'inferència estadística, no s'atribuiria cap distribució de probabilitats a p (tret que les probabilitats es poguessin interpretar d'alguna manera com a freqüències relatives d'ocurrència d'algun esdeveniment o com a proporcions d'alguna població) i es diria que X$_1$, ..., X$_n$ són variables aleatòries independents.
Per contra, en un enfocament bayesià d'inferència estadística, es podria assignar una distribució de probabilitats a p independentment de la inexistència d'alguna interpretació d'aquest tipus de «freqüència», i es deuria interpretar les probabilitats com a graus de creença que p es troba en qualsevol interval a que s'assigna una probabilitat. En aquest model, les variables aleatòries X$_1$, ..., X$_n$ no són independents, però són condicionalment independents atès el valor de p. En particular, si s'observa que un gran nombre de X són iguals a 1, això implicaria una alta probabilitat condicional, atès que l'observació, que p és a prop d'1 i, per tant, una alta probabilitat condicional, donada aquesta observació, que la següent. X a observar serà igual a 1.

## Les normes de la independència condicional

De la definició bàsica s'han derivat un conjunt de regles que regulen les declaracions d'independència condicional.
* Nota: ja que aquestes implicacions contenen qualsevol espai de probabilitat, es continuaran mantenint si es considera un subunivers que condiciona tot sobre una altra variable, $K$. Per exemple, $X\perp \!\!\!\perp Y\Rightarrow Y\perp \!\!\!\perp X$ també voldria dir això $X\perp \!\!\!\perp Y\mid K\Rightarrow Y\perp \!\!\!\perp X\mid K$.
* Nota: a continuació, la coma es pot llegir com una «i».

### Simetria

    $X\perp \!\!\!\perp Y\quad \Rightarrow \quad Y\perp \!\!\!\perp X$

### Decomposició

    $X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \Rightarrow \quad {\text{ i }}{\begin{cases}X\perp \!\!\!\perp A\\X\perp \!\!\!\perp B\end{cases}}$
Prova:
* $p_{X,A,B}(x,a,b)=p_{X}(x)p_{A,B}(a,b)$ (significat de $X\perp \!\!\!\perp A,B$)
* $\int _{B}\!p_{X,A,B}(x,a,b)\,db=\int _{B}\!p_{X}(x)p_{A,B}(a,b)\,db$ (ignora la variable $B$ integrant-la)
* $p_{X,A}(x,a)=p_{X}(x)p_{A}(a)$
Una prova similar mostra la independència de $X$ i $B$.

### Unió feble

    $X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \Rightarrow \quad {\text{ i }}{\begin{cases}X\perp \!\!\!\perp A\mid B\\X\perp \!\!\!\perp B\mid A\end{cases}}$
Prova:
* Per definició, $\Pr(X)=\Pr(X\mid A,B)$.
* A causa de la propietat de la descomposició $X\perp \!\!\!\perp B$, $\Pr(X)=\Pr(X\mid B)$.
* Combinant les dues igualitats anteriors dona $\Pr(X\mid B)=\Pr(X\mid A,B)$, que estableix $X\perp \!\!\!\perp A\mid B$.
La segona condició es pot demostrar de manera semblant.

### Contracció

    $\left.{\begin{aligned}X\perp \!\!\!\perp A\mid B\\X\perp \!\!\!\perp B\end{aligned}}\right\$
Prova: Aquesta propietat es pot comprovar escrivint $\Pr(X\mid A,B)=\Pr(X\mid B)=\Pr(X)$, cada igualtat de les quals són afirmades per $X\perp \!\!\!\perp A\mid B$ i $X\perp \!\!\!\perp B$, respectivament.

### Contracció - unió feble - descomposició

Combinant els tres anteriors, tenim:
    $\left.{\begin{aligned}X\perp \!\!\!\perp A\mid B\\X\perp \!\!\!\perp B\end{aligned}}\right\$

### Intersecció

Per a les distribucions de probabilitats estrictament positives, també es manté el següent:
    $\left.{\begin{aligned}X\perp \!\!\!\perp A\mid C,B\\X\perp \!\!\!\perp B\mid C,A\end{aligned}}\right\$
Les cinc regles anteriors es van anomenar «Axiomes dels grafoides» de Pearl i Paz, perquè contenen gràfics, si $X\perp \!\!\!\perp A\mid B$ s'interpreta com «Tots els camins de $X$ a $A$ són interceptats pel conjunt $B$».

## Notes

* ↑ Per veure que és així, cal adonar-se’n que Pr(R ∩ B | Y) és la probabilitat que superposa R i B (la zona ombrejada de pòrpora) a l'àrea Y. Ja que, a la imatge de l'esquerra, hi ha dos quadrats on R i B es solapen dins de l'àrea Y, i l'àrea Y té dotze quadrats, Pr(R ∩ B | Y) = 2/12 = 1/6. De manera semblant, Pr(R | Y) = 4/12 = 1/3 i Pr(B | Y) = 6/12 = 1/2

## Referències

* ↑ «Could someone explain conditional independence?» (en anglès).
* ↑ Murphy, Kevin. «A Brief Introduction to Graphical Models and Bayesian Networks» (en anglès), 1998.
* ↑ Dawid, A. P. «Conditional Independence in Statistical Theory» (en anglès). Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 41(1), 1979, pàg. 1–31. JSTOR: 2984718.
* 1 2 Pearl, J. Causality: Models, Reasoning, and Inference (en anglès). Cambridge University Press, 2000.
* ↑ Pearl, Judea; Paz, Azaria. Graphoids: A Graph-Based Logic for Reasoning About Relevance Relations (en anglès), 1985.
* ↑ Pearl, Judea. Probabilistic reasoning in intelligent systems: networks of plausible inference (en anglès). Morgan Kaufmann, 1988.

## Vegeu també

* Teorema de Finetti