# Efecte Voigt

L'efecte Voigt és un fenomen magneto-òptic que gira i el·liptitza la llum polaritzada linealment enviada a un medi òpticament actiu. L'efecte rep el nom del científic alemany Woldemar Voigt que el va descobrir en vapors. A diferència de molts altres efectes magneto-òptics com l'efecte Kerr o Faraday que són linealment proporcionals a la magnetització (o al camp magnètic aplicat per a un material no magnetitzat), l'efecte Voigt és proporcional al quadrat de la magnetització (o quadrat de el camp magnètic) i es pot veure experimentalment amb incidència normal. També hi ha altres denominacions per a aquest efecte, utilitzades indistintament en la literatura científica moderna: l'efecte Cotton-Mouton (en referència als científics francesos Aimé Cotton i Henri Mouton que van descobrir el mateix efecte en líquids uns anys més tard) i la birrefringència magnètica-lineal., amb aquest últim reflectint el significat físic de l'efecte.
Per a una ona incident electromagnètica polaritzada linealment ${\vec {E_{i}}}=(\cos \beta ,\,\sin \beta ,\,0)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ i una mostra polaritzada en el pla ${\vec {m}}=(\cos \phi ,\,\sin \phi ,\,0)$, l'expressió de la rotació en la geometria de reflexió és $\delta \beta$ és: $\delta \beta _{r}={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )]$ i en la geometria de la transmissió: $\delta \beta _{t}={\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}},$ on Δn=n$_∥$−n$_⊥$/2 {\textstyle \Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}} és la diferència dels índexs de refracció en funció del paràmetre de Voigt $Q=Q_{i}+iQ_{r}$ (igual que per a l'efecte Kerr), $n_{0}$ els índexs de refracció del material i $B_{1}$ el paràmetre responsable de l'efecte Voigt i així proporcional al $M^{2}$ o $(\mu _{0}H)^{2}$ en el cas d'un material paramagnètic
Els càlculs detallats i una il·lustració es donen a les seccions següents.

## Teoria

Igual que amb els altres efectes magneto-òptics, la teoria es desenvolupa de manera estàndard amb l'ús d'un tensor dielèctric efectiu a partir del qual es calculen els valors propis dels sistemes i els vectors propis. Com és habitual, a partir d'aquest tensor, els fenòmens magneto-òptics es descriuen principalment pels elements fora de la diagonal.
Aquí, es considera una polarització incident que es propaga en la direcció z: ${\vec {E_{i}}}=(\cos \beta ,\,\sin \beta ,\,0)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ el camp elèctric i una mostra magnetitzada homogèniament en el pla ${\vec {m}}=(\cos \phi ,\,\sin \phi ,\,0)$ on $\phi$ es compta des de la direcció cristal·logràfica [100]. L'objectiu és calcular ${\vec {E_{r}}}=(\cos \beta +\delta \beta ,\,\sin \beta +\delta \beta ,\,0)e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ on $\delta \beta$ és la rotació de la polarització deguda a l'acoblament de la llum amb la magnetització. Observem-ho $\delta \beta$ és experimentalment una petita quantitat de l'ordre de mrad. ${\vec {m}}$ és el vector de magnetització reduït definit per ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$, $M_{s}$ la magnetització a la saturació. Hem destacat amb el fet que és perquè el vector de propagació de la llum és perpendicular al pla de magnetització que és possible veure l'efecte Voigt.

### Tensor dielèctric

Seguint la notació d'Hubert, el tensor cúbic dielèctric generalitzat $\varepsilon _{r}$ prendre la forma següent: $(1)\qquad \varepsilon _{r}=\epsilon {\begin{bmatrix}1&0&iQm_{y}\\0&1&-iQm_{x}\\-iQm_{y}&iQm_{x}&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}m_{x}^{2}&B_{2}m_{x}m_{y}&0\\B_{2}m_{x}m_{y}&B_{1}m_{y}^{2}&0\\0&0&B_{1}m_{z}^{2}\end{bmatrix}}$ on $\varepsilon$ és la constant dielèctrica del material, $Q$ el paràmetre Voigt, $B_{1}$ i $B_{2}$ dues constants cúbiques que descriuen efecte magneto-òptic en funció de $m_{i}^{2}$. $m_{i}$ és la reducció $m_{i}=M_{i}/M_{s}$. El càlcul es fa en l'aproximació esfèrica amb $B_{1}=B_{2}$. En el moment actual, no hi ha evidència que aquesta aproximació no sigui vàlida, ja que l'observació de l'efecte Voigt és rara perquè és extremadament petita respecte a l'efecte Kerr.

### Valors propis i vectors propis

Per calcular els valors propis i els vectors propis, considerem l'equació de propagació derivada de les equacions de Maxwell, amb la convenció ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ : $(2)\qquad n^{2}{\vec {E}}-{\vec {n}}({\vec {n}}\cdot {\vec {E}})=\varepsilon {\vec {E}}$Quan la magnetització és perpendicular al vector d'ona de propagació, al contrari de l'efecte Kerr,
${\vec {E}}$ pot tenir els seus tres components iguals a zero, fent que els càlculs siguin més complicats i que les equacions de Fresnel ja no siguin vàlides. Una manera de simplificar el problema consisteix a utilitzar el vector de desplaçament del camp elèctric ${\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}$. Des de ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ i ${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ tenim ${\vec {D}}=(D_{x},D_{y},0)$. El tensor dielèctric invers pot semblar complicat de manejar, però aquí el càlcul es va fer per al cas general. Es pot seguir fàcilment la demostració considerant $\phi =0$.
Els valors propis i els vectors propis es troben resolent l'equació de propagació ${\vec {D}}$ que dóna el següent sistema d'equacions: $(3)\quad {\begin{cases}(\varepsilon _{xx}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{x}+\epsilon _{xy}^{-1}D_{y}=0\\\\\varepsilon _{yx}^{-1}D_{x}+(\varepsilon _{yy}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{y}=0\end{cases}}$ on $\varepsilon _{ij}^{-1}$ representa la inversa $ij$ element del tensor dielèctric $\varepsilon _{r}$, i $n^{2}=\varepsilon$. Després d'un càlcul senzill del determinant del sistema, s'ha de fer un desenvolupament en segon ordre a $Q$ i primer ordre de $B_{1}$. Això va conduir als dos valors propis corresponents als dos índexs de refracció: $n_{\parallel }^{2}=\varepsilon +B_{1}$$n_{\perp }^{2}=\varepsilon (1-Q^{2})$Els vectors propis corresponents per ${\vec {D}}$ i per ${\vec {E}}$ són:
$(4)\qquad {\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}\cos(\phi )\\\sin(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}-\sin(\phi )\\\cos(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\parallel }=\varepsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\phi )}{B_{1}+\varepsilon }}\\{\frac {\sin(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\perp }=\varepsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}{\frac {\sin(\phi )}{(Q^{2}-1)\epsilon }}\\{\frac {\cos(\phi )}{(1-Q^{2})\epsilon }}\\{\frac {-iQ}{(1-Q^{2})\epsilon }}\end{pmatrix}}$

## Referències

* ↑ Halpern, John «Quantum Theory of Interband Faraday and Voigt Effects». Physical Review, 134, 1A, 1964, pàg. A140–A153. DOI: 10.1103/PhysRev.134.A140.
* ↑ «The theory of the Voigt effect in ferromagnetic materials» (en anglès). [Consulta: 27 desembre 2024].
* ↑ «The theory of the Voigt effect in ferromagnetic materials» (en anglès). [Consulta: 27 desembre 2024].
* ↑ Kankare, Jouko J.; Stephens, Roger «Signal-to-noise ratio characteristics of the atomic Voigt effect». Spectrochimica Acta Part B: Atomic Spectroscopy, 38, 10, 01-01-1983, pàg. 1301–1309. DOI: 10.1016/0584-8547(83)80074-3. ISSN: 0584-8547.