# Problema del quadrat inscrit

La Conjectura de Toeplitz o problema del quadrat inscrit és un problema matemàtic del camp de la geometria encara sense resoldre. La seva formulació és la següent: Totes les corbes tancades simples del pla contenen els quatre vèrtexs d'un quadrat? Se sap que això és cert si la corba és convexa o per trams suau i en altres casos especials. El problema va ser proposat per Otto Toeplitz el 1911. Alguns resultats positius inicials van ser obtinguts per Arnold Emch i Lev Schnirelmann.

## Descripció

Sigui C una corba de Jordan, es diu que un polígon P està inscrit en C si tots els vèrtexs de P pertanyen a C. El problema quadrat inscrit, es pregunta:
    Tota corba de Jordan admet un quadrat inscrit?
No cal que els vèrtexs del quadrat apareguin al llarg de la corba en un ordre particular.
Algunes figures, com el cercle i el quadrat, admeten un nombre infinit de quadrats inscrits, mentre que si C és un triangle obtús llavors admet exactament un quadrat inscrit.
El resultat més encoratjador fins ara es deu a Walter Stromquist, que va demostrar que cada corba simple d'un pla local monòton admet un quadrat inscrit. La condició és que per a qualsevol punt p, la corba C pot ser representada localment com un graf de la funció y = f(x). Més concretament, per a qualsevol punt p en C hi ha una zona propera U(p) tal que cap corda de C en aquesta zona és paral·lela a una direcció fixa n(p) (la direcció de la l'eix y). Les corbes localment monòtones inclouen totes les corbes convexes tancades i tots els trossos de la corba C ¹ sense cúspides.
La resposta afirmativa és també coneguda per les corbes centralment simètriques.

## Variants i generalitzacions

Hom es pot preguntar si altres formes poden ser inscrites en una corba de Jordan arbitrària. Se sap que per a qualsevol triangle T i una corba de Jordan C, hi ha un triangle semblant a T inscrit en C. A més, el conjunt de vèrtex d'aquests triangles és dens en C. No només això, sinó que a més el conjunt de vèrtexs d'aquests triangles és dens a C. En particular, hi ha sempre un triangle equilàter inscrit. També es coneix que qualsevol corba de Jordan admet un rectangle inscrit.
Algunes generalitzacions del problema del quadrat inscrit consideren polígons inscrits en corbes i altres objectes continus en espais euclidians de dimensions superiors. Per exemple, Walter Stromquist va demostrar que tota corba tancada contínua C en R $^n$ que satisfaci la condició que no hi ha dos cordes de C perpendiculars en una zona propera, admet un quadrilàter inscrit amb costats iguals i diagonals iguals. Aquesta classe de corbes inclou totes les corbes C ². Jackob Nielsen i Steven Wright van demostrar que un continu simètric K en R $^n$ conté molts rectangles inscrits. I finalment, Heinrich W Guggenheimer va demostrar que cada hipersuperficie C $^3$-difeomorfa a l'esfera S$^{n-1}$ conté 2 $^n$ vèrtexs d'un cub n regular euclidià.

## Referències

* ↑ Emch, Arnold «On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs». American Journal of Mathematics, 38, 1, 1916, p. 6–18. DOI: 10.2307/2370541.
* ↑ Stromquist, Walter «Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves». Mathematika, 36, 2, 1989, p. 187–197. DOI: 10.1112/S0025579300013061.
* ↑ Nielsen, Mark J.; Wright, S. E. «Rectangles inscribed in symmetric continua». Geometriae Dedicata, 56, 3, 1995, p. 285–297. DOI: 10.1007/BF01263570.
* ↑ Meyerson, Mark D. «Equilateral triangles and continuous curves». Fundamenta Mathematicae, 110, 1, 1980, p. 1–9.
* ↑ Kronheimer, E. H.; Kronheimer, P. B. «The tripos problem». The Journal of the London Mathematical Society, 24, 1, 1981, p. 182–192. DOI: 10.1112/jlms/s2-24.1.182.
* ↑ Nielsen, Mark J. «Triangles inscribed in simple closed curves». Geometriae Dedicata, 43, 3, 1992, p. 291–297. DOI: 10.1007/BF00151519.
* ↑ Guggenheimer, H. «Finite sets on curves and surfaces». Israel Journal of Mathematics, 3, 1965, p. 104–112. DOI: 10.1007/BF02760036.

## Bibliografia addicional

* Victor Klee i Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, The Dolciani Mathematical Expositions, Number 11, Mathematical Association of America, 1991

## Enllaços externs

* Mark J. Nielsen, Figures Inscribed in Curves. A short tour of an old problem
* Inscribed squares: Denne speaks al blog de Jordan Ellenberg