# Trapezi

Un trapezi és un quadrilàter simple i convex amb com a mínim dos costats paral·lels. Aquests costats paral·lels s'anomenen les bases del trapezi, i els costats no paral·lels (si n'hi ha) són els costats o arestes laterals.

## Classificació

Els trapezis solen classificar-se segons diversos criteris, en general no excloents.

### Segons els angles

Un trapezi té quatre angles interiors, la suma dels quals és sempre 2π (i.e. 360°).
* Si té dos angles rectes adjacents, s'anomena trapezi rectangle. Si té un tercer angle també recte, aleshores el quart angle també ho és i el trapezi és un rectangle.
* Si té dos angles obtusos no adjacents (i, per tant, també dos angles aguts no adjacents), s'anomena trapezi obtusangle.
* Si té dos angles aguts adjacents (i com a resultat també dos angles obtusos adjacents), s'anomena trapezi acutangle. En aquest cas, els angles aguts sempre seran a banda i banda de la base major del trapezi i els obtusos a banda i banda de la base menor.

### Segons els costats

* Si no hi ha cap parell de costats de la mateixa longitud, s'anomena trapezi escalè.
* Si els dos costats paral·lels tenen la mateixa longitud, s'anomena trapezi isòsceles. En aquest cas, els seus angles són iguals dos a dos (els dos angles d'una mateixa base són iguals entre ells). A més, les seves dues diagonals tenen la mateixa longitud. Els trapezis isòsceles són sempre acutangles. El grup de simetria d'un triangle isòsceles és sempre el grup diedral D₂.Trapezi tangencial. El dibuix mostra la circumferència inscrita (línia discontínua), els vèrtexs, els punts de tangència i l'incentre.
** En particular, si un tercer costat té la mateixa longitud que els costats paral·lels s'anomena trapezoide trisòsceles o trapezoide trilateral.
* Si tots els seus costats són iguals, és un quadrat.

### Altres classificacions

* Si el trapezi té els seus costats paral·lels dos a dos, s'anomena paral·lelogram.
* Si existeix una circumferència inscrita al trapezi (és a dir, una circumferència tangent a tots els costats del trapezi) s'anomena trapezi tangencial.

## Caracterització

Donat un quadrilàter convex Q, les següents afirmacions són equivalents:
* Q és un trapezi.
* Q té dos angles adjacents que són suplementaris.
* L'angle entre un costat i una diagonal és igual a l'angle entre el costat oposat i la mateixa diagonal.
* Traçant les dues diagonals de Q, els dos triangles que no tenen cap dels costats en un dels costats paral·lels de Q tenen la mateixa àrea.
* El producte de les àrees dels triangles formats en partir Q per una diagonal és independent de la diagonal triada.
* Siguin T$_1$ T₂ dos triangles oposats d'entre els obtinguts en tallar Q per les dues diagonals. Es compleix ${\sqrt {{\text{Àrea}}(Q)}}={\sqrt {{\text{Àrea}}(T_{1})}}+{\sqrt {{\text{Àrea}}(T_{2})}}$
* El punt mitjà de cadascun de dos costats oposats i el punt de tall de les diagonals estan alineats.
* Siguin α, β, γ i δ els quatre angles interiors de Q de manera que α i γ són oposats, es compleix $\sin {\alpha }\sin {\gamma }=\sin {\beta }\sin {\delta }$
* La suma dels cosinus de dos angles adjacents és zero, i la suma dels cosinus dels dos altres angles adjacents també és zero.
* La suma de les cotangents de dos angles adjacents és zero, i la suma de les cotangents dels dos altres angles adjacents també és zero.
* Existeix una bimediana que parteix Q en dos quadrilàters d'àrees iguals.

## Mesures elementals

Donat un trapezi de bases $a$ i $b$, amb $a\leq b$, i costats laterals $c$ i $d$, es tenen els valors següents: L'altura $h$ es pot calcular com:
    $h={\frac {\sqrt {4(a-c)^{2}d^{2}-[d^{2}+(a-c)^{2}-b^{2}]^{2}}}{2(a-c)}}$
L'àrea $A$ es pot trobar a partir de la fórmula:
    $A={\frac {(a+b)h}{2}}$
La longitud del segment mitjà $m$ del trapezi (el segment que uneix els punts mitjans dels costats laterals, i que, per tant, és paral·lel a les bases) es calcula amb la fórmula següent:
    $m={\frac {a+b}{2}}$
El baricentre o centre de massa del trapezi de bases està situat en el segment que uneix els punts mitjans de les seves bases, a una distància perpendicular $l$ expressada per:
    $l={\frac {h}{3}}\cdot {\frac {2a+b}{a+b}}$

## Diagonals

Donat un trapezi de bases $a$ i $b$, amb $a<b$, i de costats laterals $c$ i $d$. Les longituds de les seves diagonals són:
    ${L}_{1}={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}},$
    ${L}_{2}={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}$
A més, sigui $O$ la intersecció entre les dues diagonals, siguin $A$ i $B$ els vèrtexs d'una de les bases i siguin $C$ i $D$ els vèrtexs de l'altra es compleix sempre que:
    ${\text{Àrea}}(AOD)={\text{Àrea}}(BOC)$
Amb la mateixa nomenclatura de punts esmentada, sigui $M$ el segment inscrit al trapezi i paral·lel a les bases que passa per $O$, es compleix que la longitud de $M$ és la mitjana harmònica dels costats laterals, és a dir que
    ${\frac {1}{\lVert M\rVert }}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\lVert AD\rVert }}+{\frac {1}{\lVert BC\rVert }}\right)$

## Aplicacions

Diversos fenòmens i formes de la natura són modelitzables a partir d'un trapezi. A més, el trapezi es fa servir àmpliament en enginyeria i arquitectura. D'entre les aplicacions esmentades en destaquen, per àrea, les següents:

### Anatomia humana

En anatomia humana prenen el nom del trapezi, per la seva forma, un os de la mà i un múscul de les extremitats superiors.

### Arquitectura

En arquitectura, el terme es fa servir per referir-se a portes, finestres i edificis simètrics construïts més amples a la base, afilant-se cap a la part superior, a l'estil egipci. Si aquests tenen costats rectes i cantonades angulars, les seves formes solen ser trapezis isòsceles. Aquesta forma apareix ja en l'arquitectura de l'Antiguitat, i era per exemple l'estil estàndard per a les portes i finestres de l'arquitectura inca.

### Astronomia

El cúmul del Trapezi, al centre de la nebulosa d'Orió, que pren el nom de l'asterisme de quatre estrelles relativament brillants que conté —en una forma que recorda a un trapezi.

### Biologia

Més enllà dels usos en anatomia ja esmentats, àrees de la biologia com la morfologia, la taxonomia i altres disciplines descriptives usen el terme en situacions diverses. En taxonomia en trobem com a exemples la subfamília dels trapezitins, el gènere dels trapezites o la família trapèzids. En morfologia, elements com el protòrax d'alguns insectes es presenten en formes similars a trapezis.

### Enginyeria

En enginyeria, i especialment en arquitectura de computadors, els trapezis s'empren per a representar els multiplexors.

### Teoria de nombres

En la branca matemàtica de la teoria de nombres s'anomenen nombres trapezoïdals aquells nombres naturals que es poden escriure com la suma de dos o més nombres naturals majors que u.

## Referències

Viccionari
* ↑ «trapezi». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
* ↑ Weisstein, Eric W. «Right Trapezoid» (en anglès). [Consulta: 27 gener 2023].
* ↑ Weisstein, Eric W. «Isosceles Trapezoid» (en anglès). [Consulta: 27 gener 2023].
* ↑ Josefsson, Martin. Characterizations of Trapezoids (tesi) (en anglès).
* ↑ «Centroid, Area, Moments of Inertia, Polar Moments of Inertia, & Radius of Gyration of a General Trapezoid». [Consulta: 7 febrer 2023].
* 1 2 Weisstein, Eric W. «Trapezoid» (en anglès). [Consulta: 27 gener 2023].
* ↑ «Math Education Geometry Problem 747: Trapezoid, Diagonals, Parallel, Bases, Midpoint, Similarity, Harmonic Mean. Level: High School, Honors Geometry, College, Mathematics Education. Distance learning.». [Consulta: 3 febrer 2023].
* ↑ «Machu Picchu Lost City of the Incas - Inca Geometry.». [Consulta: 13 febrer 2018].