# Polinomis de Jacobi

En matemàtiques, polinomis de Jacobi (ocasionalment anomenats polinomis hipergeomètrics ) $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ són una classe de polinomis ortogonals clàssics. Són ortogonals respecte al pes $(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$ a l'interval $[-1,1]$. Els polinomis de Gegenbauer, i per tant també els polinomis de Legendre, Zernike i Chebyshev, són casos especials dels polinomis de Jacobi.
Els polinomis de Jacobi van ser introduïts per Carl Gustav Jacob Jacobi.

## Definicions
### Mitjançant la funció hipergeomètrica

Els polinomis de Jacobi es defineixen mitjançant la funció hipergeomètrica de la següent manera:
$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),$
on $(\alpha +1)_{n}$ és el símbol de Pochhammer (per al factorial de caiguda). En aquest cas, la sèrie de la funció hipergeomètrica és finita, per tant s'obté la següent expressió equivalent:
$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.$

### Fórmula de Rodrigues

Una definició equivalent ve donada per la fórmula de Rodrigues:
$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.$
Si $\alpha =\beta =0$, llavors es redueix als polinomis de Legendre :
$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.$

### Expressió alternativa per a l'argument real

De veritat $x$ el polinomi de Jacobi es pot escriure alternativament com
$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{n-s}$
i per a nombre sencer $n$
${z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}$
on $\Gamma (z)$ és la funció gamma.
En el cas especial que les quatre quantitats $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$, $n+\alpha +\beta$ són nombres enters no negatius, el polinomi de Jacobi es pot escriure com
    $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.$         (1)
La suma s'estén sobre tots els valors enters de $s$ per als quals els arguments dels factorials no són negatius.

## Aplicacions
### Matriu d de Wigner

L'expressió (1) permet l'expressió de la matriu d de Wigner $d_{m',m}^{j}(\phi )$ (per a $0\leq \phi \leq 4\pi$ ) en termes de polinomis de Jacobi:
$d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-m}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),$
on $M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)$.

## Referències

* ↑ «Jacobi Polynomials - an overview | ScienceDirect Topics» (en anglès). [Consulta: 15 gener 2025].
* ↑ «3.2 Jacobi Polynomials» (en anglès). [Consulta: 15 gener 2025].
* ↑ Weisstein, Eric W. «Jacobi Polynomial» (en anglès). [Consulta: 15 gener 2025].
* ↑ Biedenharn, L.C.. Angular Momentum in Quantum Physics (en anglès). Reading: Addison-Wesley, 1981.