# Caràcter d'un grup finit

En Matemàtiques, un caràcter d'un grup finit és una noció associada a la Teoria de grups.
Un caràcter d'un grup finit G és un morfisme del grup G en C$^*$ el grup dels nombres complexos no nuls.
Aquest concepte permet definir el grup dual de G, compost pel conjunt dels caràcters de G. És a la base de l'anàlisi harmònica sobre els grups finits.
Aquesta noció correspon a un cas particular de caràcter d'una representació d'un grup finit.

## Definicions i exemples
### Definicions i primeres propietats

A tot l'article, G designa un grup finit d'ordre g, C el cos dels nombres complexos i C$^*$ el conjunt dels nombres complexos no nuls. Excepte menció contrària, el grup es nota multiplicativament i l'invers d'un element s de G es nota s$^{-1}$. El conjugat d'un nombre complex z es nota z$^*$.
   * Un caràcter de G és un morfisme del grup G en C$^*$.
Un caràcter correspon a un cas particular de representació d'un grup finit, aquell on l'espai vectorial de la representació és el dels nombres complexos. En aquest context, un caràcter és també el caràcter d'una representació en el sentit de la traça.
   * Un caràcter χ de G pren els seus valors en les arrels g-èsimes de la unitat i verifica la igualtat següent:
$\forall s\in G\quad \chi (s^{-1})=\chi (s)^{*}\;$
En efecte, el teorema de Lagrange indica que si s és un element de G, llavors s$^g$ = 1, se'n dedueix que la imatge de s per χ és una arrel g-èsima de la unitat i tota arrel g-èsima de la unitat admet per inversa el seu conjugat.
   * El conjunt dels caràcters de G s'anomena grup dual de G i generalment es nota $\scriptstyle {\widehat {G}}$.
El dual de G està proveït de manera natural d'una multiplicació, la de les funcions amb valor en C:
   * La multiplicació confereix al dual de G una estructura de Grup abelià finit.
En efecte, el dual de G és no buit, ja que conté almenys l'aplicació que a tot element de G li associa la unitat, aquest caràcter és l'element neutre del grup. La propietat associativa és una propietat general de la multiplicació de les funcions. Si és un caràcter, l'aplicació que a tot element de G associa el conjugat de χ és un caràcter que correspon a l'invers de χ, tot element del dual posseeix per tant un simètric. Finalment el cos dels nombres complexos és commutatiu, el que implica el caràcter abelià del dual de G.
Un caràcter és una aplicació d'un conjunt de sortida finit i la seva imatge, contingut en el grup de les arrels g-èsimes de la unitat també és finit, el que demostra que el dual és un grup finit.

### Primers exemples

Es considera el cas on G és el Grup simètric d'índex n. L'aplicació signatura és un caràcter amb valor en {-1, 1}.
Si G és igual a Z/2.Z on Z designa el conjunt dels naturals, llavors existeixen dos caràcters, el que a la classe d'1 associa 1 i el que associa -1.
Si G és igual a Z/3.Z , llavors existeixen tres caràcters, definit pels tres valors que poden prendre la imatge de la classe d'1 : 1, j o j$^*$. Aquí j designa l'arrel cúbica de la unitat que té una part imaginària positiva.

## Cas commutatiu

En el cas en què G és commutatiu, el grup dual posseeix una propietat interessant, és isomorf amb G, el que permet simplement construir una anàlisi harmònica sobre G.

### Grup cíclic

En aquest paràgraf el grup cíclic d'ordre g es nota C$_g$ i designa una arrel primitiva g-èsima de la unitat, és a dir un generador del grup de les arrels g-èsimes de la unitat. El símbol 1$_C$ designa aquí un generador del grup C$_g$ i si s és un enter compres entre 0 i g - 1, llavors s$_C$ designa el valor s.1$_C$.
Un cas simple d'anàlisi del grup dual correspon al grup cíclic, es descriu per les proposicions següents:
   * Per a tot caràcter χ de C$_g$, existeix un enter i comprès entre 1 i g - 1 tal que la igualtat següent es verifica:
$\forall s_{C}\in C_{g}\quad \chi (s_{C})=\omega ^{i.s}\;$
   * Recíprocament, si i és un enter comprès entre 1 i g - 1 i si $_i$ és l'aplicació definida per la igualtat següent, llavors χ$_i$ és un caràcter de C$_g$.
$\forall s_{C}\in C_{g}\quad \chi _{i}(s_{C})=\omega ^{i.s}\;$
   * Si i és un enter comprès entre 1 i g - 1, llavors l'aplicació de C$_g$ en el seu dual, que a i$_C$ associa χ$_i$ és un isomorfisme de grup.
   * Per a tot caràcter χ de C$_g$, existeix un enter i comprès entre 1 i g - 1 tal que la igualtat següent es verifica:
$\forall s_{C}\in C_{g}\quad \chi (s_{C})=\omega ^{i.s}\;$
χ(1$_C$) és una arrel de la unitat i ω és una arrel primitiva, existeix per tant un enter i comprès entre 1 i g - 1 tal que χ(1$_C$) és igual a ω$^i$. Les propietats de morfisme de χ mostren la igualtat següent, el que permet concloure:
$\forall segon\in [0,g-1]\quad \chi (s_{C})=\chi (s.1_{C})=\chi (1_{C})^{s}=\omega ^{i.s}\;$
   * Si i és un enter comprès entre 1 i g - 1 i si χ$_i$ és l'aplicació definida per la igualtat següent, llavors χ$_i$ és un caràcter de C$_g$.
$\forall s_{C}\in C_{g}\quad \chi _{i}(s_{C})=\omega ^{i.s}\;$
N'hi ha prou amb verificar que χ$_i$ és un morfisme de grup. Aquesta propietat es desprèn de les igualtats següents:
$\forall s_{C},t_{C}\in C_{g}\quad \chi _{i}(s_{C}.t_{C})=\chi _{i}(st.1_{C})=\omega ^{i.st}=\chi _{i}(s_{C}).\chi _{i}(t_{C})\;$
   * Si i és un enter comprès entre 1 i g - 1, llavors l'aplicació φ de C$_g$ en el seu dual, que a i$_C$ associa χ$_i$ és un isomorfisme de grup.
Verificació de que l'aplicació és un morfisme:
$\forall i,j\in [0,g-1]\quad \forall s_{C}\in C_{g}\quad \varphi (i_{C}+j_{C})(s_{C})=\chi _{i_{C}+j_{C}}(s_{C})=\omega ^{(i+j)s}=\omega ^{is}.\omega ^{js}=\chi _{i}(s_{C}).\chi _{j}(s_{C})=\varphi (i_{C})(s_{C}).\varphi (j_{C})(s_{C})\;$

### Grup abelià

Els resultats del paràgraf precedent es generalitzen a tots els grups abelians finits:
   * El dual d'un grup abelià finit G és isomorf a G.
Aquest resultat es desprèn del fet que un grup abelià finit és un producte de grups cíclics i de la proposició següent:
   * Siguin H i K dos grups abelians, el dual del producte directe de H i de K és isomorf al producte dels duals de H i de K.
   * Siguin H i K dos grups abelians, el dual del producte directe de H i de K és isomorf al producte dels duals de H i de K.
E nota i$_H$ (resp. i$_K$) el morfisme canònic de H (resp. K) en HxK. Es considera llavors el morfisme ψ del dual de HxK el producte dels duals definit per:
$\forall \chi \in {\widehat {H\times K}}\quad \psi (\chi )=(\chi \circ i_{H},\chi \circ i_{K})\;$
L'aplicació ψ és un morfisme injectiu, siguin χ$_H$, χ$_K$ dos elements dels duals de H i de K. S'observa que l'aplicació χ$_{HxK}$ de HxK en C$^*$ definida per:
$\forall (h,k)\in H\times K\quad \chi _{H\times K}(h,k)=\chi _{H}(h).\chi _{K}(k)\;$
és un caràcter de HxK antecedent de (χ$_H$, χ$_K$). L'aplicació ψ és per tant exhaustiva. El que clou la demostració.
   * El dual d'un grup abelià finit G és isomorf a G.

## Àlgebra del grup

Aquí G designa un grup finit qualsevol, C[G] designa l'àlgebra complexa del grup G i (e$_s$) la base canònica de l'àlgebra indexada pels elements s de G.
L'àlgebra del grup G, notat aquí C[G] és un espai vectorial de base canònica indexada per G. Un element del grup dual de G es perllonga linealment en un element del dual de C[G] considerat com un espai vectorial. Per tant, es pot identificar el grup dual de G com una subclasse de l'espai dual de C[G].
Si C[G] està proveït del producte hermitià canònic < | >, definit per la fórmula següent, llavors el dual de C[G] s'identifica amb l'àlgebra del grup, el grup dual s'identifica per tant amb una subclasse de C[G]:
$\forall x,y\in \mathbb {C} [G]\quad \exists (x_{s})_{s\in G},(y_{t})_{t\in G}\in \mathbb {C} ^{G}\quad <x|y>=<\sum _{s\in G}x_{s}.e_{s}|\sum _{t\in G}y_{t}.e_{t}>={\frac {1}{g}}\sum _{s,t\in G}x_{s}^{*}.y_{s}\;$
   * El grup dual de G és una família Ortonormal.
   * El grup dual de G és element del centre de l'àlgebra del grup G.
   * El grup dual de G és una base de l'àlgebra del grup G si i només si G és un grup abelià.
Aquestes tres proposicions corresponen a casos particulars de la teoria de les representacions d'un grup finit, es demostren simplement en el cas present:
   * El grup dual de G és una família ortonormal.
Sigui χ un caràcter del grup G, llavors χ$^*$.χ = χ$^{-1}$.χ = 1$_{C[G]}$ on 1$_{C[G]}$ designa l'element neutre de l'àlgebra del grup. Se'n dedueix:
$\forall \chi \in {\widehat {G}}\quad <\chi |\chi >={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\chi ^{-1}(s).\chi (s)={\frac {g}{g}}=1$
Si χ$_1$ i χ₂ són dos caràcters diferents de G. E nota χ el caràcter χ$_1$$^{-1}$.χ₂ llavors:
$\forall t\in G\quad \chi (t)<\chi _{1}|\chi _{2}>={\frac {1}{g}}\chi (t).\sum _{s\in G}\chi _{1}^{-1}(s).\chi _{2}(s)={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\chi (st)={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}\chi (s)=<\chi _{1}|\chi _{2}>$
Si t s'escull de tal manera que χ(t) sigui diferent d'1, llavors se'n dedueix que χ$_1$ i χ₂ són ortogonals.
   * El grup dual de G està inclòs en el centre de l'àlgebra del grup G.
N'hi ha prou per això amb fixar-se que tot caràcter del grup és una funció central i que el conjunt de les funcions centrals és el centre de l'àlgebra.
   * El grup dual de G és una base de l'àlgebra del grup G si i només si G és un grup abelià.
El grup dual és una família ortogonal, és per tant lliure. Si el grup G és abelià, el grup dual posseeix el mateix cardinal que el grup G per tant el seu ordre és el de la dimensió de l'àlgebra del grup.

## Bidual

En el cas on el grup G és abelià, i de manera anàloga a l'Àlgebra lineal, existeix un isomorfisme canònic entre G i el seu bidual (és a dir el dual del seu dual).
   * L'aplicació φ, definida per la igualtat següent, és un isomorfisme entre G i el seu bidual:
$\forall s\in G\quad \forall \chi \in {\widehat {G}}\quad \varphi (s)(\chi )=\chi (s)\;$
En efecte, l'aplicació és un morfisme injectiu, la igualtat dels cardinals d'un grup abelià i del seu dual demostra l'exhaustivitat i clou la demostració.

## Aplicacions
### Anàlisi harmònica sobre un grup abelià finit

En el marc d'un grup abelià finit, és possible definir la Transformada de Fourier i la convolució. La teoria de l'anàlisi harmònica és equivalent a la del cos dels reals. Es demostra la igualtat de Parseval, el Teorema de Plancherel, la dualitat de Pontryagin i la fórmula del sumatori de Poisson.

## Referències

* Michel Demazure Cours d'algèbre. Primalité, divisibilité, codes Cassini 1997
* Serre, Jean-Pierre. Cours d'arithmétique (en francès).
* A. Warusfel Structures algébriques finies Hachette 1971
* G. Peyré L'algèbre discrète de la transformée de Fourier Ellipses Marketing 2004

## Enllaços externs

* (francès) Dual d'un grup Arxivat 2006-10-11 a Wayback Machine. per G. Peyre
* (francès) Matemàtiques discretes de la transformada de Fourier C. Bachoc Universitat de Bordeaux I