# Cub

Un cub, hexàedre regular o hexaedre regular és un políedre regular format per sis cares quadrades en el qual en cada vèrtex hi coincideixen tres arestes perpendiculars entre si. El seu volum es calcula segons la fórmula a³, on a és la longitud d'una aresta.
El cub és l'únic hexàedre regular i forma part dels cinc sòlids platònics. Té 6 cares, 8 vèrtexs i 12 arestes. També és un paral·lelepípede quadrat i un cuboide equilateral. És un prisma quadrat regular en tres orientacions i un trapezoedre trigonal en quatre orientacions. És el dual de l'octàedre i té simetria octaèdrica o cúbica. Finalment, és l'únic políedre convex que té totes les cares quadrades.

## Geometria i fórmules

Donat un cub regular d'aresta $a$:
| Àrea de la superfície | $6a^{2}\,$ | Volum | $a^{3}\,$ |
| Diagonal facial | ${\sqrt {2}}a$ | Diagonal espacial | √3a{\textstyle {\sqrt {3}}a} |
| Radi de l'esfera circumscrita | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ | Radi de l'esfera tangent a les arestes | ${\frac {a}{\sqrt {2}}}$ |
| Radi de l'esfera inscrita | ${\frac {a}{2}}$ | Angles entre cares (en radians) | ${\frac {\pi }{2}}$ |
Com que el volum del cub és la potència tercera de les seves arestes ($a\times a\times a$), les potències terceres s'anomenen «cub» per analogia a «quadrat» i les potències segones.
El cub té el volum més gros entre tots els cuboides amb una mateixa àrea superficial. A més a més, el cub també té el volum més gros entre els cuboides amb la mateixa longitud d'aresta total (amplada + llargada + alçada).

### Simetria

Un hexaedre regular (o cub) té quinze eixos de simetria d'ordre quatre: les rectes perpendiculars a cada parell de cares paral·leles pel seu punt mitjà; quatre eixos de simetria d'ordre dos: les rectes que uneixen els centres d'arestes oposades; nou plans de simetria; tres paral·lels a cada parell de cares paral·leles pel punt mitjà de les arestes que les uneixen, i sis formats pels parells d'arestes oposades; i un centre de simetria. Això fa que aquest cos tingui un ordre de simetria total de 48: 2x(3x4+6x2).
Els elements de simetria anteriors defineixen un dels grups de simetria octaèdrics, el denominat O$_h$ segons notació de Schöenflies.

### Punt en l'espai

Per un cub l'esfera circumscrita del qual tingui radi R, i per un punt donat del seu espai tridimensional amb distàncies d$_i$ respecte els vuit vèrtexs del cub, s'obté:
    ${\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}}{8}}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}}{8}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.$

## Coordenades cartesianes i equació en l'espai tridimensional
### Coordenades cartesianes

Per un cub centrat en l'origen, amb arestes paral·leles als eixos i amb una longitud d'aresta de 2, les coordenades cartesianes dels vèrtexs són:
    (±1, ±1, ±1)
Mentre que l'interior consisteix en tots els punts (x$_0$, x$_1$, x₂) amb −1 < x$_i$ < 1 per tot i.

### Equació en l'espai tridimensional

En geometria analítica, la superfície d'un cub amb centre (x$_0$, y$_0$, z$_0$) i llargada d'aresta 2a és el locus de tots els punts (x, y, z) tals que
    $\max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.$

## Projeccions ortogonals

El cub té quatre projeccions ortogonals especials: centrada en un vèrtex, aresta o cara, i normal a la seva figura de vèrtex. La primera i tercera corresponen als plans de Coxeter A₂ and B₂.
Projeccions ortogonals :
| Centratge per | Cara | Vèrtex |
| Plans de Coxeter | B₂ | A₂ |
| Simetria projectiva | [4] | [6] |
| Vistes laterals | | |

## Políedre esfèric

El cub també es pot representar com un políedre esfèric i ser projectat sobre el pla per mitjà d'una projecció estereogràfica. Aquesta projecció és conforme, és a dir, preserva els angles però no pas les àrees o llargades. Les línies rectes de l'esfera es projecten com a arcs circulars sobre el pla.
| Projecció ortogràfica | Projecció estereogràfica |

## En la cultura

Des d'anys passats, i en nombroses cultures, el cub és la forma més utilitzada per donar forma als daus, utilitzats en molts llocs. En els jocs de rol l'anotació escrita en el dau de sis cares és «D6».
En teologia, els cubs apareixen a les religions abrahàmiques. La Kaaba de la Meca n'és un exemple, ja que significa justament «cub» en àrab. També apareixen al judaisme: teffilin i Nova Jerusalem al Nou Testament són descrits com a cubs.
El cub representa simbòlicament la veritat. I s'associava amb Hermes.

### En espectacles de fira

* La caixa cúbica "màgica".
* Cub sòlid i caixa cúbica.

### Acústica
## Referències

* ↑ «Cub». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
* ↑ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Arxivat 2016-10-10 a Wayback Machine.
* ↑ Klein, F.; Beman, W.W.; Smith, D.E.. Famous Problems of Elementary Geometry: The Duplication of the Cube; the Trisection of an Angle; the Quadrature of the Circle; an Authorized Translation of F. Klein's Vorträge Über Ausgewählte Fragen Der Elementargeometrie, Ausgearbeitet Von F. Tägert. Ginn & Company, 1897 [Consulta: 9 agost 2023].
* ↑ Jeans, J.H.; Barroso, M.H.. Historia de la física: Hasta mediados del siglo XX (en castellà). FCE - Fondo de Cultura Económica, 2016, p. 37. ISBN 978-607-16-4483-1 [Consulta: 9 agost 2023].
* ↑ «Como hacer un cubo en torno». [Consulta: 9 agost 2023].
* ↑ «Symbolism of the Cube • Eve Out of the Garden», 30-10-2020.
* ↑ Mackey, A.G.. The Symbolism of Freemasonry (Esprios Classics). Blurb, Incorporated, 1882, p. 114. ISBN 978-1-388-97266-0 [Consulta: 9 agost 2023].
* ↑ Frikell, W. Hanky Panky: A Book of Conjuring Tricks. Chatto & Windus, 1875, p. 194 [Consulta: 9 agost 2023].
* ↑ A Collection of Amazing Magic and Card Tricks. Read Books Limited, 2015, p. 24. ISBN 978-1-4733-9536-7 [Consulta: 9 agost 2023].
* ↑ Salatino, A. La Sabiduría de Los Cristales (en castellà). Editorial Kier, 2010, p. 35. ISBN 978-950-17-3405-8 [Consulta: 9 agost 2023].
* ↑ Kuleyev, I.G.; Kuleyev, I.I.; Bakharev, S.M.; Ustinov, V.V.. Phonon Focusing and Phonon Transport: In Single-Crystal Nanostructures. De Gruyter, 2020, p. 8. ISBN 978-3-11-067050-9 [Consulta: 9 agost 2023].

## Vegeu també

* Cub Soma
* Sòlid platònic
Viccionari