# Potencial de Riesz

En matemàtiques, el potencial de Riesz és un potencial que porta el nom del seu descobridor, el matemàtic hongarès Marcel Riesz. En cert sentit, el potencial de Riesz defineix una inversa per a una potència de l'operador de Laplace a l'espai euclidià. Generalitzen a diverses variables les integrals de Riemann-Liouville d'una variable.

## Definició

Si 0 < α < n, aleshores el potencial de Riesz I$_α$ f d'una funció integrable localment f sobre R$^n$ és la funció definida per
$(I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y$
on la constant ve donada per
${\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).$
Aquesta integral singular està ben definida sempre que f decaï prou ràpidament a l'infinit, concretament si f ∈ L$^p$ (R$^n$) amb 1 ≤ pàg < n / α. De fet, per a qualsevol 1 ≤ p ( p >1 és clàssic, a causa de Sobolev, mentre que per a p =1 vegeu (Schikorra, Spector & Van Schaftingen 2014) , la taxa de decadència de f i la de I$_α$ f es relacionen en forma d'una desigualtat (la desigualtat Hardy–Littlewood–Sobolev)
$\|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},$
on $Rf=DI_{1}f$ és la transformada de Riesz amb valors vectorials. De manera més general, els operadors I$_α$ estan ben definits per al complex α tal que 0 < Re α < n.
El potencial de Riesz es pot definir de manera més general en un sentit feble com la circumvolució
$I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }$
on K $_α$ és la funció localment integrable:
$K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.$
Per tant, el potencial de Riesz es pot definir sempre que f sigui una distribució suportada de manera compacta. En aquest sentit, el potencial de Riesz d'una mesura positiva de Borel μ amb suport compacte és principalment d'interès en la teoria del potencial perquè I$_α$ μ és aleshores una funció subharmònica (continua) fora del suport de μ, i és inferior semicontinua en tot R$^n$.
La consideració de la transformada de Fourier revela que el potencial de Riesz és un multiplicador de Fourier. De fet, un té
${\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }$
i per tant, pel teorema de la convolució,
$c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.$
Els potencials de Riesz satisfan la següent propietat del semigrup en, per exemple, funcions contínues que disminueixen ràpidament
$I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }$
proporcionat
$0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.$
A més, si 0 < Re α < n–2, aleshores
$\Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }.$
També es té, per a aquesta classe de funcions,
$\lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).$

## Referències

* ↑ «A Physical Interpretation of Riesz Potential» (en anglès). [Consulta: 12 gener 2025].
* ↑ «1 Riesz Potential and Enbeddings Theorems» (en anglès). [Consulta: 12 gener 2025].
* ↑ «Composition of Riesz potentials» (en anglès). [Consulta: 12 gener 2025].
* ↑ Haran, Shai «Riesz potentials and explicit sums in arithmetic» (en anglès). Inventiones mathematicae, 101, 1, 01-12-1990, pàg. 697–703. DOI: 10.1007/BF01231521. ISSN: 1432-1297.