# Procés de Cauchy

En teoria de la probabilitat, un procés de Cauchy és un tipus de procés estocàstic. Hi ha formes simètriques i asimètriques del procés de Cauchy. El terme no especificat "procés de Cauchy" s'utilitza sovint per referir-se al procés de Cauchy simètric.
El procés de Cauchy té diverses propietats:
* És un procés Lévy
* És un procés estable
* És un procés de salt pur
* Els seus moments són infinits.
El procés simètric de Cauchy es pot descriure mitjançant un moviment brownià o un procés de Wiener subjecte a un subordinador de Lévy. El subordinador de Lévy és un procés associat a una distribució de Lévy amb un paràmetre de localització de $0$ i un paràmetre d'escala de $t^{2}/2$. La distribució de Lévy és un cas especial de la distribució gamma inversa. Per tant, utilitzant $C$ per representar el procés de Cauchy i $L$ per representar el subordinador de Lévy, el procés simètric de Cauchy es pot descriure com:
$C(t;0,1)\;:=\;W(L(t;0,t^{2}/2)).$
La distribució de Lévy és la probabilitat del primer temps d'impacte per a un moviment brownià i, per tant, el procés de Cauchy és essencialment el resultat de dos processos de moviment brownià independents.
La representació de Lévy-Khintchine per al procés de Cauchy simètric és un triplet amb deriva zero i difusió zero, donant un triplet de Lévy-Khintchine de $(0,0,W)$, on $W(dx)=dx/(\pi x^{2})$.
La funció característica marginal del procés de Cauchy simètric té la forma:
$\operatorname {E} {\Bige^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t|\theta |}.$
La distribució de probabilitat marginal del procés de Cauchy simètric és la distribució de Cauchy la densitat de la qual és
$f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right].$

## Referències

* ↑ Kovalenko, I.N.. Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers (en anglès). CRC Press, 1996, p. 210–211. ISBN 9780849328701.
* ↑ Engelbert, H.J., Kurenok, V.P. & Zalinescu, A.. «On Existence and Uniqueness of Reflected Solutions of Stochastic Equations Driven by Symmetric Stable Processes». A: Kabanov, Y.. From Stochastic Calculus to Mathematical Finance: The Shiryaev Festschrift (en anglès). Springer, 2006, p. 228. ISBN 9783540307884.
* ↑ Winkel, M.. «Introduction to Levy processes» (en anglès) p. 15–16. [Consulta: 7 febrer 2013].
* ↑ Jacob, N.. Pseudo Differential Operators & Markov Processes: Markov Processes And Applications, Volume 3 (en anglès). Imperial College Press, 2005, p. 135. ISBN 9781860945687.
* ↑ Bertoin, J.. «Some elements on Lévy processes». A: Shanbhag, D.N.. Stochastic Processes: Theory and Methods (en anglès). Gulf Professional Publishing, 2001, p. 122. ISBN 9780444500144.
* ↑ Kovalenko, I.N.. Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers (en anglès). CRC Press, 1996, p. 210–211. ISBN 9780849328701.
* ↑ Engelbert, H.J., Kurenok, V.P. & Zalinescu, A.. «On Existence and Uniqueness of Reflected Solutions of Stochastic Equations Driven by Symmetric Stable Processes». A: Kabanov, Y.. From Stochastic Calculus to Mathematical Finance: The Shiryaev Festschrift (en anglès). Springer, 2006, p. 228. ISBN 9783540307884.
* ↑ Kroese, D.P.. Handbook of Monte Carlo Methods (en anglès). John Wiley & Sons, 2011, p. 214. ISBN 9781118014950.
* 1 2 Applebaum, D.. «Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes» (en anglès) p. 37–53. University of Sheffield.
* ↑ Applebaum, D.. «Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes» (en anglès) p. 37–53. University of Sheffield.
* ↑ Cinlar, E.. Probability and Stochastics (en anglès). Springer, 2011, p. 332. ISBN 9780387878591.
* ↑ Kovalenko, I.N.. Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers (en anglès). CRC Press, 1996, p. 210–211. ISBN 9780849328701.
* ↑ Cinlar, E.. Probability and Stochastics (en anglès). Springer, 2011, p. 332. ISBN 9780387878591.
* ↑ Cinlar, E.. Probability and Stochastics (en anglès). Springer, 2011, p. 332. ISBN 9780387878591.
* ↑ Itô, K.. Essentials of Stochastic Processes (en anglès). American Mathematical Society, 2006, p. 54. ISBN 9780821838983.