# Grup de Klein

En àlgebra, el grup de Klein o 4-grup de Klein (de vegades designat V perquè el seu introductor, el matemàtic alemany Felix Klein l'anomenà Vierergruppe «4-grup») és un grup abelià de quatre elements isomorf a C₂ × C₂, el producte directe de dues còpies del grup cíclic d'ordre dos.
El grup de Klein és el grup d'ordre (és a dir cardinalitat) més petit que no és cíclic. De fet hi ha dos grups no isomorfs d'ordre quatre: El de Klein i C₄, el cíclic d'ordre quatre. Quatre és l'ordre més petit per al qual això passa. Podeu veure-ho a la llista de grups petits.
Si designem els elements de V com V = { e, a, b, c } la taula del grup és la següent:
       ∗ e a b c e eabc a aecb b bcea c cbae
On observem que e és l'element neutre de l'operació del grup, que hem designat per ∗.
A la taula hi podem, a més, observar les següents propietats:
* La taula és simètrica i el grup és abelià.
* Sigui x un element qualsevol del grup es compleix x∗x = e.
** Així doncs per a qualsevol element de V, el seu simètric per l'operació ∗ és ell mateix.
** A més, els elements x que no són el neutre x≠e, tenen ordre dos. Com que no n'hi ha cap d'ordre quatre el grup no és cíclic.
A més a més es coneixen altres propietats del grup de Klein:
       $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ={\bigl \{\bar {0}},{\bar {1}}{\bigr \}}$
    com és habitual, llavors l'isomorfisme entre el grup V i ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ només cal que porti l'element neutre e a l'element neutre $({\bar {0}},{\bar {0}})$ de ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ. La taula del grup queda així:
       ${\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline +&({\bar {0}},{\bar {0}})&({\bar {1}},{\bar {0}})&({\bar {1}},{\bar {1}})&({\bar {0}},{\bar {1}})\\\hline ({\bar {0}},{\bar {0}})&({\bar {0}},{\bar {0}})&({\bar {1}},{\bar {0}})&({\bar {1}},{\bar {1}})&({\bar {0}},{\bar {1}})\\({\bar {1}},{\bar {0}})&({\bar {1}},{\bar {0}})&({\bar {0}},{\bar {0}})&({\bar {0}},{\bar {1}})&({\bar {1}},{\bar {1}})\\({\bar {1}},{\bar {1}})&({\bar {1}},{\bar {1}})&({\bar {0}},{\bar {1}})&({\bar {0}},{\bar {0}})&({\bar {1}},{\bar {0}})\\({\bar {0}},{\bar {1}})&({\bar {0}},{\bar {1}})&({\bar {1}},{\bar {1}})&({\bar {1}},{\bar {0}})&({\bar {0}},{\bar {0}})\\\hline \end{array}}$
* Com hem observat anteriorment, els tres elements d'ordre dos del grup de Klein són intercanviables. El grup d'automorfismes de V és el grup simètric de les permutacions d'aquests tres elements.
* Sabem pel teorema de Cayley que hom pot veure el grup de Klein com a subgrup del grup simètric S₄. En concret, (usant la notació de cicles com apareix a l'article grup simètric) és
       V = { Id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) }
    En aquesta forma és de fet un subgrup normal del grup alternat A₄ i, per tant, també de S₄. De fet, és el kernel d'un epimorfisme que va de S₄ a S₃.
En teoria de Galois, l'existència d'aquest subgrup de S₄ justifica la resolubilitat de l'equació quàrtica per radicals.
* En dues dimensions és el grup de simetries d'un rectangle o d'un rombe. Aquest grup també s'anomena grup dièdric d'ordre quatre i es denota D₂ o D$_{2,2}$.
* El grup de Klein és isomorf al grup multiplicatiu de les unitats de ℤ/8ℤ, format per
    $(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\ast }=\{{\bar {1}},{\bar {3}},{\bar {5}},{\bar {7}}\}.$