# Taula de derivades

En el procés de càlcul de derivades o diferenciació, es pot obtenir la derivada de qualsevol funció elemental emprant les regles de derivació i la taula de derivades de les funcions base a partir de les quals es construeixen la resta de funcions elementals.
Les derivades d'aquestes funcions base s'obtenen normalment a partir de la definició de derivada, aplicant les propietats de cada funció i amb les tècniques de càlcul de límits.

## Taula de derivades

| Funció F: primitiva de f | Funció f: derivada de F |
| Funcions elementals ||
| $f(x)=k\,$ | $f'(x)=0\,$ |
| $f(x)=x\,$ | $f'(x)=1\,$ |
| $f(x)=x^{n}\,$ | $f'(x)=nx^{n-1}\,$ |
| $f(x)={\sqrt {x}}\,$ | $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\,$ |
| $f(x)=e^{x}\,$ | $f'(x)=e^{x}\,$ |
| $f(x)=\ln(x)\,$ | $f'(x)={\frac {1}{x}}\,$ |
| $f(x)=a^{x}\quad {\text{(amb }}a>0)\,$ | $f'(x)=a^{x}\ln(a)\,$ |
| $f(x)=\log _{b}(x)\,$ | $f'(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}\,$ |
| $f(x)={\frac {1}{x^{n}}}=(x^{n})^{-1}=x^{-n}\,$ | $f'(x)=-nx^{-n-1}\,$ |
| Funcions trigonomètriques ||
| $f(x)=\sin(x)\,$ | $f'(x)=\cos(x)\,$ |
| $f(x)=\cos(x)\,$ | $f'(x)=-\sin(x)\,$ |
| $f(x)=\operatorname {tg} (x)\,$ | $f'(x)=\sec ^{2}(x)\,$ |
| $f(x)=\sec(x)\,$ | $f'(x)=\sec(x)\operatorname {tg} (x)\,$ |
| $f(x)=\operatorname {cosec} (x)\,$ | $f'(x)=-\operatorname {cosec} (x)\operatorname {cotg} (x)\,$ |
| $f(x)=\operatorname {cotg} (x)\,$ | $f'(x)=-\operatorname {cosec} ^{2}(x)\,$ |
| $f(x)=\arcsin(x)\,$ | $f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,$ |
| $f(x)=\arccos(x)\,$ | $f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,$ |
| $f(x)=\operatorname {arctg} (x)\,$ | $f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\,$ |
| Funcions hiperbòliques ||
| $f(x)=\sinh x\,$ | $f'(x)=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\,$ |
| $f(x)=\operatorname {arsinh} \,x\,$ | $f'(x)={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}\,$ |
| $f(x)=\cosh x\,$ | $f'(x)=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\,$ |
| $f(x)=\operatorname {arcosh} \,x\,$ | $f'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,$ |
| $f(x)=\operatorname {tgh} \,x\,$ | $f'(x)={\operatorname {sech} ^{2}\,x}\,$ |
| $f(x)=\operatorname {artgh} \,x\,$ | $f'(x)={1 \over 1-x^{2}}\,$ |
| $f(x)=\operatorname {sech} \,x\,$ | $f'(x)=-\operatorname {tgh} \,x\,\operatorname {sech} \,x\,$ |
| $f(x)=\operatorname {arsech} \,x\,$ | $f'(x)=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}\,$ |
| $f(x)=\operatorname {cosech} \,x\,$ | $f'(x)=-\,\operatorname {cotgh} \,x\,\operatorname {cosech} \,x\,$ |
| $f(x)=\operatorname {arcosech} \,x$ | $f'(x)=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}\,$ |
| $f(x)=\operatorname {cotgh} \,x\,$ | $f'(x)=-\,\operatorname {cosech} ^{2}\,x\,$ |
| $f(x)=\operatorname {arcotgh} \,x\,$ | $f'(x)={1 \over 1-x^{2}}\,$ |

### Funcions especials

* Funció Gamma
* $(\Gamma (x))'=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt$
* $(\Gamma (x))'=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)=\Gamma (x)\psi (x)$
* Funció zeta de Riemann
* $(\zeta (x))'=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!$
* $(\zeta (x))'=-\sum _{p{\text{ primer}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ primer}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!$

## Demostracions
### Derivada d'una constant

En el cas de la funció constant la seva gràfica és una recta horitzontal i, per tant, té pendent zero a tot arreu, aquest resultat també s'obté directament en aplicar la definició de derivada a la funció constant: f(x)=c.
    $f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {c-c}{h}}=0$.

### Derivada d'una potència entera

En cas que $f(x)=x^{n}$, s'obté:
    $f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}$.
Aplicant la fórmula del binomi de Newton, agrupant els termes que tenen h elevada a una potència superior a 2 i traient h² factor comú d'aquests termes, resulta:
    $f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(x^{n}+nhx^{n-1}+h^{2}R)-x^{n}}{h}}$
A partir d'aquí, operant s'obté:
    $f'(x)=\lim _{h\to 0}nx^{n-1}+hR=nx^{n-1}+\lim _{h\to 0}hR=nx^{n-1}+0$.

### Derivada d'una potència real

Pel càlcul de la derivada d'una potència real primer es transforma l'expressió:
    $x^{r}=e^{r\ln \left(x\right)}$
Llavors s'aplica la regla de la cadena:
    $D\left(f\circ g\right)=\left[\left(Df\right)\circ g\right]Dg$
Amb
    $f=e^{x}\quad g=r\ln \left(x\right)$
D'aquí, operant, i tenint en compe la derivada de la funció exponencial (vegeu més endavant) resulta:
    ${\begin{aligned}Dx^{r}&=De^{r\ln \left(x\right)}\\&=\left[\left(e^{x}\right)\circ r\ln \left(x\right)\right]{\frac {r}{x}}\\&={\frac {r}{x}}e^{r\ln \left(x\right)}\\&={\frac {r}{x}}x^{r}\\&=rx^{r-1}\end{aligned}}$
Aquesta expressió, és formalment idèntica al cas de la potència entera.
Pel cas particular de $r=1/2$ resulta:
    ${\begin{aligned}f\left(x\right)&={\sqrt {x}}\\&=x^{1/2}\end{aligned}}$
Per tant: ${\begin{aligned}{f}'\left(x\right)&={\frac {1}{2}}x^{\left({\frac {1}{2}}-1\right)}\\&={\frac {1}{2}}x^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}\\&={\frac {1}{2x^{1/2}}}\\&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\end{aligned}}$

### Derivada de la funció logaritme

Sigui $x>0$, aleshores es defineix la funció logaritmica com $f\left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)$, aplicant la definició de derivada i ficant els termes dins de la funció logaritme s'obté:
    ${\begin{aligned}{f}'\left(x\right)&={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\log _{a}\left(x+h\right)-\log _{a}\left(x\right)}{h}}\\&={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\log _{a}\left({\frac {x+h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\\&={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\log _{a}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\end{aligned}}$
Aquesta expressió es pot transformar de la següent manera:
    ${\begin{aligned}{f}'\left(x\right)&={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\log _{a}\left[\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\right]^{\frac {1}{x}}\\&={\frac {1}{x}}{\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\log _{a}\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}{\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}\end{aligned}}$
Però quant $h$ tendeix a zero $x/h$ tendeix a infinit (si $x>0$, cosa que hem imposat al principi), per tant el límit es pot calcular tenint en compte la definició del nombre e:
    ${\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\left(1+{\frac {1}{\frac {x}{h}}}\right)^{\frac {x}{h}}={\underset {y\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,\left(1+{\frac {1}{y}}\right)^{y}=e$
Per tant, la derivada de la funció logaritme és:
    ${f}'\left(x\right)={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(e\right)$
O cosa que és el mateix:
    ${f}'\left(x\right)={\frac {1}{\ln \left(a\right)}}{\frac {1}{x}}$
tenint en compte que:
    $\log _{a}\left(e\right)={\frac {1}{\ln \left(a\right)}}$
Com es pot comprovar plantejant:
    ${\begin{aligned}a^{\log _{a}\left(e\right)\ln \left(a\right)}&=\left(a^{\log _{a}\left(e\right)}\right)^{\ln \left(a\right)}\\&=e^{\ln \left(a\right)}\\&=a\\\Rightarrow \log _{a}\left(e\right)\ln \left(a\right)&=1\\\Rightarrow \log _{a}\left(e\right)&={\frac {1}{\ln \left(a\right)}}\end{aligned}}$
En el cas particular del logaritme natural:
    $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)\Rightarrow {f}'\left(x\right)={\frac {1}{x}}\ln \left(e\right)={\frac {1}{x}}$
Si en comptes de la funció $f(x)=\log _{a}(x)$ definim la funció $F(x)=\log _{a}(f(x))$ (de la mateixa manera que abans imposàvem que $x>0$, ara s'ha de complir que $f(x)>0$)
Podem aplicar la regla de la cadena per calcular $F'(x)$:
    $F'(x)={\frac {d}{dx}}F(x)={\frac {dF(x)}{df(x)}}\cdot {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}{\frac {1}{\ln a}}\cdot f'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)\ln a}}$
I, en concret si $F(x)=\ln {\bigf(x){\big )}$
    $F'(x)={\frac {d}{dx}}F(x)={\frac {dF(x)}{df(x)}}\cdot {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}{\frac {1}{\ln e}}\cdot f'(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$

### Derivada de la funció exponencial

Com que la funció exponencial és la inversa de la funció logaritme, s'aplica la regla de la derivada de la funció inversa:
    $\left[f^{-1}\right]^{\prime }\left(x\right)={\frac {1}{{f}'\left[f^{-1}\left(x\right)\right]}}$
Amb:
    $f\left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)\quad {f}'\left(x\right)={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(e\right)\quad f^{-1}\left(x\right)=a^{x}$
Substituint i operant resulta:
    ${\begin{aligned}\left[a^{x}\right]^{\prime }&={\frac {1}{\left[{\frac {1}{x}}\log _{a}\left(e\right)\right]\circ \left[a^{x}\right]}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{a^{x}}}\log _{a}\left(e\right)}}\\&={\frac {a^{x}}{\log _{a}\left(e\right)}}\end{aligned}}$
O cosa que és el mateix:
    $\left[a^{x}\right]^{\prime }=\ln \left(a\right)a^{x}$
Pel cas particular de què $a=e$ resulta:
    $\left[e^{x}\right]^{\prime }={\frac {e^{x}}{\ln \left(e\right)}}={\frac {e^{x}}{1}}=e^{x}$
De nou, aplicant la regla de la cadena podem trobar la derivada de la funció $F(x)=a^{f(x)}$
    $F'(x)={\frac {d}{dx}}F(x)={\frac {dF(x)}{df(x)}}\cdot {\frac {df(x)}{dx}}=a^{f(x)}\ln a\cdot f'(x)$
I, en concret si $F(x)=e^{f(x)}$
    $F'(x)={\frac {d}{dx}}F(x)={\frac {dF(x)}{df(x)}}\cdot {\frac {df(x)}{dx}}=e^{f(x)}\ln e\cdot f'(x)=e^{f(x)}f'(x)$

### Derivada de la funció $f(x)^{g(x)}$

Si $f$ i $g$ són funcions derivables i $f(x)>0$ podem resumir totes les derivades anteriors en una sola derivada utilitzant només les derivades de les funcions $e^{f(x)}$ i $\ln f(x)$, la derivada de la funció $F(x)=f(x)^{g(x)}$
Tenint en compte que podem escriure $f(x)^{g(x)}$ com $e^{g(x)\cdot \ln f(x)}$, aleshores
    $F'(x)=e^{g(x)\cdot \ln f(x)}{\frac {d}{dx}}{\bigg(x)\cdot \ln f(x){\big )}=f(x)^{g(x)}{\Bigg'(x)\ln f(x)+g(x){\frac {d}{dx}}{\big\ln f(x){\big )}{\Big ]}=f(x)^{g(x)}{\biggg'(x)\ln f(x)+g(x){\frac {f'(x)}{f(x)}}{\bigg ]}$
Veiem que efectivament aquesta derivada ens condueix a:
    ${\frac {d}{dx}}(x^{r})=x^{r}{\biggr'\ln x+r{\frac {x'}{x}}{\bigg ]}=x^{r}{\bigg0+r{\frac {1}{x}}{\bigg ]}=r{\frac {x^{r}}{x}}=rx^{r-1}$
    ${\frac {d}{dx}}(a^{x})=a^{x}{\biggx'\ln a+x{\frac {a'}{a}}{\bigg ]}=a^{x}{\bigg1\ln a+0{\bigg ]}=a^{x}\ln a$
Cal notar que la primera expressió només està definida quan $x>0$ i la segona només ho està quan $a>0$. Tot i així, pels valors de $r$ pels quals podem definir $(-1)^{r}$ (valors enters o racionals amb denominador senar), si $x<0$ podem escriure $x^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}$
    ${\frac {d}{dx}}(x^{r})=(-1)^{r}{\frac {d}{dx}}(-x)^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}{\biggr'\ln(-x)+r{\frac {(-x)'}{-x}}{\bigg ]}=x^{r}{\bigg0+r{\frac {1}{x}}{\bigg ]}=r{\frac {x^{r}}{x}}=rx^{r-1}$
Generalitzant així la equació per a tot valor de $x$.
Les altres expressions es poden trobar de manera similar o aplicant la derivada de la funció inversa.

### Derivada de les funcions trigonomètriques

Les derivades de les funcions sinus i cosinus es troben a partir de la definició de derivada, aplicant les identitats trigonomètriques de la suma de raons trigonomètriques
    $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \,$
    $\cos(\alpha +\beta )=\cos \left(\beta \right)\cos \left(\alpha \right)-\sin \left(\beta \right)\sin(\alpha )$
i les identitats trigonomètriques
    $\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1$
    $\lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}=0\,$
Un cop s'han trobat les derivades del sinus i del cosinus la derivada de la tangent es calcula aplicant la regla del quocient a la identitat trigonomètrica:
    $\operatorname {tg} (x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$
A partir d'aqui es troben les derivades de les funcions cotangent, secant i cosecant aplicant la Regla de la raó inversa d'una funció a les identitats:
    $\operatorname {cotg} (x)={\frac {1}{\operatorname {tg} (x)}}\quad \sec(x)={\frac {1}{\cos \left(x\right)}}\quad i\quad \operatorname {cosec} (x)={\frac {1}{\sin(x)}}$
Els detalls de tot el procés es troben a l'article Derivació de les funcions trigonomètriques

### Derivada de les funcions inverses de les funcions trigonomètriques

La derivada de les inverses de les funcions trigonomètriques es calculen aplicant la regla de la funció inversa a cada una de les funcions trigonomètriques i simplificant el resultat.

### Derivada de les funcions hiperbòliques

Les derivades de les funcions hiperbòliques s'obtenen a partir de les seves definicions emprant la derivada de la funció $F(x)=e^{f(x)}$

#### $(\sinh x)'$

    ${\frac {d}{dx}}\sinh x={\frac {d}{dx}}{\bigg{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\bigg )}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cosh x$

#### $(\cosh x)'$

    ${\frac {d}{dx}}\cosh x={\frac {d}{dx}}{\bigg{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\bigg )}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=\sinh x$

#### $(\tanh x)'$

    ${\frac {d}{dx}}\tanh x={\frac {d}{dx}}{\bigg{\frac {\sinh x}{\cosh x}}{\bigg )}={\frac {(\sinh x)'(\cosh x)-(\sinh x)(\cosh x)'}{\cosh ^{2}x}}={\frac {\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x}{\cosh ^{2}x}}=1-{\frac {\sinh ^{2}x}{\cosh ^{2}x}}=1-\tanh ^{2}x$
O, utilitzant la relació $\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$
    ${\frac {d}{dx}}\tanh x={\frac {\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x}{\cosh ^{2}x}}={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}={\hbox{sech}}^{2}x$
Per les funcions hiperbòliques inverses fem servir la regla de la funció inversa.

#### $({\hbox{arcsinh}}x)'$

Denotem $y={\hbox{arcsinh}}(x)\Longrightarrow x=\sinh y$, la regla de la funció inversa ens diu que
    ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{dx/dy}}$
    ${\frac {d}{dx}}{\hbox{arcsinh}}(x)={\frac {1}{d/dy(\sinh y)}}={\frac {1}{\cosh y}}={\frac {1}{\cosh({\hbox{arcsinh}}(x))}}$
Com que $\cosh x={\sqrt {1+\sinh ^{2}x}}$
    ${\frac {d}{dx}}{\hbox{arcsinh}}(x)={\frac {1}{\cosh({\hbox{arcsinh}}(x))}}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}(({\hbox{arcsinh}}(x)))}}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

#### $({\hbox{arccosh}}x)'$

Sigui $y={\hbox{arccosh}}(x)\Longrightarrow x=\cosh y$, la regla de la funció inversa ens diu que
    ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{dx/dy}}$
    ${\frac {d}{dx}}{\hbox{arccosh}}(x)={\frac {1}{d/dy(\cosh y)}}={\frac {1}{\sinh y}}={\frac {1}{\sinh({\hbox{arccosh}}(x))}}$
Com que $\sinh x={\sqrt {\cosh ^{2}(x)-1}}$
    ${\frac {d}{dx}}{\hbox{arccosh}}(x)={\frac {1}{\sinh({\hbox{arccosh}}(x))}}={\frac {1}{\sqrt {\cosh ^{2}(({\hbox{arccosh}}(x)))-1}}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

#### $({\hbox{arctanh}}x)'$

Sigui $y={\hbox{arctanh}}(x)\Longrightarrow x=\tanh y$, la regla de la funció inversa ens diu que
    ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{dx/dy}}$
    ${\frac {d}{dx}}{\hbox{arctanh}}(x)={\frac {1}{d/dy(\tanh y)}}={\frac {1}{1-\tanh ^{2}y}}={\frac {1}{1-\tanh ^{2}({\hbox{arctanh}}(x))}}={\frac {1}{1-x^{2}}}$

## Vegeu també

* Regla de la cadena
* Derivació de les funcions trigonomètriques
* Derivada de la funció inversa

## Referències

http://www.edicionsupc.cat/virtuals/caplln/ME01007X.htm#%5BEnllaç+no+actiu%5D

## Enllaços externs

* Taula de derivades