# Constant de Viswanath

La constant de Viswanath (${\mathit {K}}$) és una constant matemàtica relacionada amb la seqüència de Fibonacci de manera similar al nombre d'or, però aplicant un component d'atzar a la seqüència. Per fer-ho, cada nombre de la seqüència és calculat a partir dels dos nombres anteriors (igual que en la successió de Fibonacci normal), però no n'és la suma, sinó que en pot ser o bé la suma o bé la resta amb probabilitat 1/2.
Segons un teorema descrit per Harry Kesten i Hillel Furstenberg, seqüències amb atzar recurrent d'aquest tipus creixen a un ritme exponencial, però és difícil trobar-ne la taxa de creixement. L'any 1999, Divakar Viswanath va demostrar que tot i el component d'atzar, al llarg de suficients iteracions la divisió entre un nombre i l'anterior en la seqüència de Fibonacci amb component atzarós tendeix a una constant, que rep el nom de constant de Viswanath.

## Taula comparativa

| | Fibonacci | Fibonacci amb component atzarós |
| Seqüència definitòria | $f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}$ | $f_{n}=f_{n-1}\pm f_{n-2}$ |
| Descripció matricial | ${\binom {f_{n-1}}{f_{n}}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}{\binom {f_{n-2}}{f_{n-1}}}$ | ${\binom {f_{n-1}}{f_{n}}}={\begin{pmatrix}0&1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}{\binom {f_{n-2}}{f_{n-1}}}$ |
| Taxa de creixement | $\varphi$ | ${\mathit {K}}$ |
$\varphi$
${\mathit {K}}$

## Curiositats

En termes matemàtics, la fórmula de Fibonacci amb component atzarós gairebé segur que tendeix a una taxa de creixement igual a la constant ${\mathit {K}}$. Aquest terme s'utilitza així perquè tot i que al aplicar l'atzar el que s'observa és aquesta particularitat, es poden buscar casos tècnicament possibles on això no passa.
Per exemple, el cas gairebé impossible (però tècnicament possible) de que en tots els casos l'opció obtinguda sigui sempre la suma, la seqüència resultant és la fórmula de Fibonacci normal, i la seva taxa de creixement és el nombre d'or, no la constant de Viswanath.
Similarment, si la seqüència segueix un ordre alternat constant (-, +, -, +, -, +, ...) la seqüència és una repetició infinita de (1, 1, 0) i, per tant, no creix.

## Referències

* ↑ S. R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge, 2003, Section 1.2.4.
* ↑ Viswanath, D. «Random Fibonacci sequences and the number 1.13198824....». Mathematics of Computation, 69, 231, 2000, pàg. 1131-1155. DOI: 10.1090/S0025-5718-99-01145-X.
* ↑ Devlin, K. How Recreational Mathematics Can Save The World. Puzzler's Tribute. MA: Ed. D. Wolfe & T. Rodgers, 2002, p. 351-9.
* ↑ K. Devlin, «New mathematical constant discovered Arxivat 2020-03-22 a Wayback Machine.».

## Bibliografia

* Bai, Zai-Qiao «On the cycle expansion for the Lyapunov exponent of a product of random matrices». J. Phys. A: Math. Theo., 40, 2007, pàg. 8315-8328. DOI: 10.1088/1751-8113/40/29/008.
* Embree, M.; Trefethen, L.N. «Growth and decay of random Fibonacci sequences». Roy. Soc. London Proc. Ser. A, Math. Phys. Eng. Sci., 455, 1999, pàg. 2471-2485. JSTOR: 53482.
* Hare, Kevin; Saunders, J.C. «Random Fibonacci sequences from balancing words». Cornell University, 455. arXiv: 1910.07824.
* Brian Hayes, «The Vibonacci Numbers». JSTOR 27857864
* Makover, E.; McGowan, J. «An elementary proof that random Fibonacci sequences grow exponentially». Cornell University, 2005. arXiv: math/0510159.
* McLellan, Karyn «Periodic coefficients and random Fibonacci sequences». Electronic Journal of Combinatorics, 20, 4, 2013, pàg. #P32.
* Oliveira, J.B.; Figueiredo, L.H. «Interval computation of Viswanath's constant». Reliable Computing, 8, 2, 2002, pàg. 131-138.
* B. Rittaud, «On the Average Growth of Random Fibonacci Sequences», Journal of Integer Sequences, 10, 2007, Article 07.2.4.

## Enllaços externs

* Pàgina oficial de Divakar Viswanath
* I. Peterson; Fibonacci at random & Stepping Beyond Fibonacci Numbers.
* Eric Weisstein's World of Mathematics, Random Fibonacci Sequence & Random Matrix