# Teorema de Schrödinger-HJW

En teoria de la informació quàntica i òptica quàntica, el teorema de Schrödinger-HJW és un resultat sobre la realització d'un estat mixt d'un sistema quàntic com un conjunt d'estats quàntics purs i la relació entre les purificacions corresponents dels operadors de densitat. El teorema rep el nom dels físics i matemàtics Erwin Schrödinger, Lane P. Hughston, Richard Jozsa i William Wootters. El resultat també va ser trobat de manera independent (encara que parcialment) per Nicolas Gisin, i per Nicolas Hadjisavvas basant-se en el treball d'Ed Jaynes, mentre que una part significativa d'ell també va ser descoberta independentment per N. David Mermin. Gràcies a la seva complicada història, també és conegut amb altres noms com ara el teorema GHJW, el teorema HJW i el teorema de purificació.

## Purificació d'un estat quàntic mixt

Deixa ${\mathcal {H}}_{S}$ ser un espai de Hilbert complex de dimensions finites i considerar un estat quàntic genèric (possiblement mixt). $\rho$ definit a ${\mathcal {H}}_{S}$ i admetent una descomposició de la forma $\rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|$ per a una col·lecció d'estats (no necessàriament mútuament ortogonals). $|\phi _{i}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}$ i coeficients $p_{i}\geq 0$ tal que ∑$_i$p$_i$=1{\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}. Tingueu en compte que qualsevol estat quàntic es pot escriure d'aquesta manera per a alguns $\{|\phi _{i}\rangle \}_{i}$ i $\{p_{i}\}_{i}$.
Qualsevol tal $\rho$ es pot purificar, és a dir, representat com la traça parcial d'un estat pur definit en un espai de Hilbert més gran. Més precisament, sempre és possible trobar un espai de Hilbert (de dimensions finites). ${\mathcal {H}}_{A}$ i un estat pur $|\Psi _{SA}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}$ tal que $\rho =\operatorname {Tr} _{A}{\big|\Psi _{SA}\rangle \langle \Psi _{SA}|{\big )}$. A més, els estats $|\Psi _{SA}\rangle$ satisfer això són tots i només els de la forma $|\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle$ per alguna base ortonormal $\{|a_{i}\rangle \}_{i}\subset {\mathcal {H}}_{A}$. L'estat $|\Psi _{SA}\rangle$ llavors s'anomena "purificació de $\rho$ ". Com que l'espai auxiliar i la base es poden triar arbitràriament, la purificació d'un estat mixt no és única; de fet, hi ha infinites purificacions d'un estat mixt determinat. Perquè tots admeten una descomposició en la forma indicada anteriorment, donat qualsevol parell de purificacions $|\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}$, sempre hi ha alguna operació unitària $U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}$ tal que $|\Psi '\rangle =(I\otimes U)|\Psi \rangle .$

## Teorema

Cal considerar un estat quàntic mixt $\rho$ amb dues realitzacions diferents com a conjunt d'estats purs com ρ=∑$_i$p$_i$|ϕ$_i$⟩⟨ϕ$_i$|{\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|} i ρ=∑$_j$q$_j$|φ$_j$⟩⟨φ$_j$|{\textstyle \rho =\sum _{j}q_{j}|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|}. Aquí tots dos $|\phi _{i}\rangle$ i $|\varphi _{j}\rangle$ no se suposa que són mútuament ortogonals. Hi haurà dues purificacions corresponents de l'estat mixt $\rho$ lectura de la següent manera:
    Purificació 1: $|\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle$ ;
    Purificació 2: $|\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes |b_{j}\rangle$.
Els conjunts $\{|a_{i}\rangle \}$ i $\{|b_{j}\rangle \}$ són dues col·leccions de bases ortonormals dels respectius espais auxiliars. Aquestes dues purificacions només es diferencien per una transformació unitària que actua sobre l'espai auxiliar, és a dir, existeix una matriu unitària $U_{A}$ tal que $|\Psi _{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U_{A})|\Psi _{SA}^{2}\rangle$. Per tant, |Ψ$_{SA}$$^1$⟩=∑$_j$√(q$_j$)|φ$_j$⟩⊗U$_A$|b$_j$⟩{\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }, el que significa que podem realitzar els diferents conjunts d'un estat mixt només fent diferents mesures sobre el sistema de purificació.

## Referències

* ↑ Schrödinger, Erwin Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 32, 3, 1936, pàg. 446–452. Bibcode: 1936PCPS...32..446S. DOI: 10.1017/S0305004100019137.
* ↑ Hughston, Lane P.; Jozsa, Richard; Wootters, William K. Physics Letters A, 183, 1, 11-1993, pàg. 14–18. Bibcode: 1993PhLA..183...14H. DOI: 10.1016/0375-9601(93)90880-9. ISSN: 0375-9601.
* ↑ Hadjisavvas, Nicolas Letters in Mathematical Physics, 5, 4, 1981, pàg. 327–332. Bibcode: 1981LMaPh...5..327H. DOI: 10.1007/BF00401481.
* ↑ Jaynes, E. T. Physical Review, 108, 1957, pàg. 171–190. Bibcode: 1957PhRv..108..171J. DOI: 10.1103/PhysRev.108.171.
* ↑ Fuchs, Christopher A. Coming of Age with Quantum Information: Notes on a Paulian Idea (en anglès). Cambridge: Cambridge University Press, 2011. ISBN 978-0-521-19926-1. OCLC 535491156.
* ↑ Mermin, N. David Foundations of Physics, 29, 4, 1999, pàg. 571–587. arXiv: quant-ph/9807055. Bibcode: 1998quant.ph..7055M. DOI: 10.1023/A:1018864225930.
* ↑ Watrous, John. The Theory of Quantum Information (en anglès). Cambridge: Cambridge University Press, 2018. DOI 10.1017/9781316848142. ISBN 978-1-107-18056-7.
* ↑ Kirkpatrick, K. A. Foundations of Physics Letters, 19, 1, 2-2006, pàg. 95–102. arXiv: quant-ph/0305068. Bibcode: 2006FoPhL..19...95K. DOI: 10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN: 0894-9875.