# Cua d'una distribució de probabilitat

En teoria de probabilitats i en estadística, la cua d'una distribució de probabilitat és el comportament de la distribució de probabilitat a l'àrea lluny del seu valor central.
En un vocabulari més estadístic, és habitual parlar de cua d'una distribució.

## Història i relació amb la curtosi

La cua d'una distribució està lligada a la seva curtosi. Aquest coeficient de curtosi dona la concentració dels valors al voltant del valor central de la distribució i, per tant, la concentració dels valors extrems, és a dir, lluny de la mediana. Per a la curtosi zero, es diu que la corba es mesocúrtica i és equivalent a la de la distribució normal. Per a la curtosi negativa, es diu que la corba és platicúrtica i la cua és lleugera (de fet, més lleugera que la distribució normal); mentre que per a una curtosi positiva es diu que la corba és leptocúrtica i la cua és pesada (més pesada que la distribució normal).
* Corba leptocúrtica (curtosi positiu)
* Corba mesocúrtica (curtosi zero)
* Corba platicúrtica (curtosi negatiu
L'any 1908, com a dispositiu mnemotècnic, William Gosset va dibuixar dos dibuixos amb un ornitorrinc per a les corbes platicúrtiques i dos cangurs per a les corbes leptocúrtiques. El terme cua (tail en anglès) prové de les cues d'aquests dos animals.

## Definicions

Considereu una llei de probabilitat $\mathbb {P}$, la funció de distribució del qual ve donada per$F(x)=\mathbb {P} (X\leq x)$.
La «funció de cua» de la distribució $\mathbb {P}$ és la funció ${\bar {F}}(x)=1-F(x)=\mathbb {P} (X>x)$.
La distribució $\mathbb {P}$ es diu que té una «propietat de cua» si la funció F té una propietat que només depèn del conjunt de valors $\{{\bar {F}}(x){\text{ per }}x\geq x_{0}\}$ per a tot $x_{0}$ finit.
És possible comparar les cues de dues distribucions de probabilitat. Es diu que dues lleis de les respectives funcions de distribució F i G tenen «cues equivalents» si:
    ${\frac {{\bar {F}}(x)}{{\bar {G}}(x)}}\rightarrow c\in ]0,\infty [$ quan $x\rightarrow +\infty$

## Tipus de cues
### Distribució de cua gruixuda

Es diu que una distribució de probabilitat és «cua gruixuda» o de «cua pesada» si la seva funció de distribució verifica:
    $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{\lambda x}\mathrm {d} {\overline {F}}(x)=\infty$ per a tot $\lambda >0$.
En cas contrari la distribució s'anomena de «cua fina» o de «cua lleugera».

### Distribució de cua llarga

Es diu que una distribució de probabilitat té una «cua llarga» o una «cua arrossegada» si el suport de la seva funció de distribució no està acotat i si per a tot y > 0
    ${\frac {{\bar {F}}(x+y)}{{\bar {F}}(x)}}\rightarrow 1$ per a tot $x\rightarrow +\infty$.
Les distribucions de cua llarga són les mateixes distribucions de cua pesada.

## Referències

* 1 2 3 4 Bellos, 2011.
* 1 2 Foss, 2011, p. 1.
* ↑ Klüppelberg, 1998, p. 132-141.
* 1 2 3 Foss, 2011, p. 2.

## Bibliografia

* Bellos, Alex. Alex au pays des chiffres (en francès). Éditions Robert Laffont.
* Bogaert, Patrick. Probabilités pour scientifiques et ingénieurs. Introduction au calcul des probabilités (en francès). París: Éditions De Boeck, 2006.
* Foss, Sergey. An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distributions (en anglès). Springer, 2011.
* Klüppelberg, Claudia «Subexponential Distributions and Integrated Tails» (en anglès). Journal of Applied Probability, 25(1), 1988, pàg. 132-141.