# Seqüència de Recamán

En matemàtiques, la seqüència de Recamán és una seqüència d'enters definida per una relació de recurrència, és a dir, cada element és definit sobre la base dels elements anteriors de la seqüència mitjançant recursivitat. Va ser descrita pel matemàtic colombià Bernardo Recamán Santos, i el matemàtic Neil Sloane (creador de la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS), li va posar aquest nom en honor seu.
Neil Sloane també va conjecturar que cada nombre enter apareix a la seqüència almenys una vegada, però no ha estat demostrat.

## Definició

El valor inicial de la seqüència és 0. A partir d'aquest, la seqüència és definida de la següènt manera:
$R_{n}={\begin{cases}R_{n-1}-n&&{\text{si aquest}}>0{\text{ i si encara no es troba a }}R\\R_{n-1}+n&&{\text{en cas contrari}}\end{cases}}$
Degut a aquesta fórmula definitòria, la seqüència satisfà dues propietats:
    $R_{n}\geq 0$
    $|R_{n}-R_{n-1}|=n$
La seqüència de Recamán no és una permutació dels nombres enters, ja que alguns nombres apareixen més d'una vegada a la seqüència.

## Variants

La seqüència de Recamán ha estat la base d'un grup extens de seqüències similars, algunes d'elles amb propietats addicionals interessants.

### Versió amb constant definida

$R_{n}={\begin{cases}R_{n-1}-(n+K)&&{\text{si aquest}}>0{\text{ i si encara no es troba a }}R\\R_{n-1}+(n+K)&&{\text{en cas contrari}}\end{cases}}$
on $K$ és un valor constant. El resultat és molt similar a la seqüència original.
$K\!=\!-1$
$K\!=\!1$
$K\!=\!2$

### Transformació iterativa

$R_{n}={\begin{cases}R_{n-1}-n&&{\text{si aquest}}>0{\text{ i si encara no es troba a }}R\\R_{n-1}+n+i&&{\text{en cas contrari}}\end{cases}}$
on $i$ és el primer nombre major o igual a 0 al qual $R_{n-1}+n+i$ encara no ha aparegut.
La part interessant d'aquesta variant és que després permet afegir una variable addicional $s$ amb el qual obtenim un altre subgrup de variants. La variable $s$ té un valor inicial de 1 i augmenta $1$ en el primer cas, o $i+1$ en el segon:
$R_{n}={\begin{cases}R_{n-1}-s&&{\text{si aquest}}>0{\text{ i si encara no es troba a }}R\\R_{n-1}+s+i&&{\text{en cas contrari}}\end{cases}}$

### Transformació permutativa

$R_{n}={\begin{cases}R_{n-1}-(n+k)&&{\text{si aquest}}>0{\text{ i si encara no es troba a }}R\\R_{n-1}+(n+k)&&{\text{si aquest}}>0{\text{ i si encara no es troba a }}R\\{\mathsf {\text{(transformar i repetir)}}}&&{\text{en cas contrari }}\\\end{cases}}$
El valor inicial de $k$ és 1, i es reinicia per cada $R_{n}$ nova a definir. Per cada iteració (transformar i repetir), $k$ augmenta 1 i es torna a provar, fins que finalment es pot definir $R_{n}$.
${\mathsf {mod}}\,n$
Aquesta versió s'anomena permutativa perquè no pot contenir valors repetits, i si es demostrés que tots els valors hi surten això implicaria que és una forma de reordenar tots els valors enters i, per tant, es tracta d'una permutació.
$kn$
$n+k$

### Combinació amb altres funcions

$R_{n}={\begin{cases}R_{n-1}-f(n)&&{\text{si aquest}}>0{\text{ i si encara no es troba a }}R\\R_{n-1}+f(n)&&{\text{en cas contrari}}\end{cases}}$
On $f(n)$ és una funció descrita, per exemple el quadrat $n^{2}$ o l'n-èssim nombre primer $p(n)$.
$n^{2}$
$p(n)$
Per la funció $f(n)$ també s'ha utilitzat la successió de Fibonacci, però en aquest cas cal considerar no només el valor anterior en la seqüència sinó el dos anteriors.
$R_{n}={\begin{cases}m&&{\text{si }}n\leq 2\\R_{n-1}+R_{n-2}-F(n)&&{\text{si aquest}}>0{\text{ i si encara no es troba a }}R\\R_{n-1}+R_{n-2}+F(n)&&{\text{en cas contrari}}\end{cases}}$
$m=n$
$m=1$

### Versió amb paritat acumulativa

En aquest cas es fa un plantejament bastant diferent, similar al de la successió de Fibonacci amb component atzarós on es defineix la paritat en cada cas segons algun altre factor, probabilitat o funció:
$R_{n}=\sum _{i\rightarrow n}c(i)f(i)$
on la paritat $c(i)$ en cada cas es defineix:
$c(i)={\begin{cases}1&&{\text{si }}R_{i-1}\leq f(i)\\-1&&{\text{en cas contrari}}\end{cases}}$
$p(i)$

## Referències

* 1 2 3 Sloane, N. J. A. "My Favorite Integer Sequences." In Sequences and Their Applications (Proceedings of SETA '98) (Ed. C. Ding, T. Helleseth, and H. Niederreiter). London: Springer-Verlag, pp. 103-130, 1999.
* ↑ Guy, R. K. and Nowakowski, R. J. "Monthly Unsolved Problems, 1696-1995." Amer. Math. Monthly 102, 921-926, 1995.

## Enllaços externs

* OEIS Recaman's Sequence Output - Llista amb els primers 100000 nombres de la seqüència
* OEIS: Section Rea - Llista de seqüències relacionades i variants de la seqüència de Recamán
* Rosetta Code, Recaman's Sequence - Col·lecció de codis per recrear la seqüència en +30 llenguatges de programació (anglès)
* Weisstein, Eric W.; Wolfram Mathworld, Recaman's Sequence - Descripció de la seqüència (anglès)