# Oscil·lació de Rabi al buit

Una oscil·lació Rabi al buit és una oscil·lació amortida d'un àtom inicialment excitat acoblat a un ressonador o cavitat electromagnètica en la qual l'àtom emet alternativament fotó (s) en una cavitat electromagnètica monomode i els reabsorbeix. L'àtom interacciona amb un camp monomode confinat a un volum limitat V en una cavitat òptica. L'emissió espontània és una conseqüència de l'acoblament entre l'àtom i les fluctuacions del buit del camp de la cavitat.

## Tractament matemàtic

Una descripció matemàtica de l'oscil·lació Rabi al buit comença amb el model de Jaynes-Cummings, que descriu la interacció entre un sol mode d'un camp quantificat i un sistema de dos nivells dins d'una cavitat òptica. L'hammiltonià per a aquest model en l'aproximació d'ona rotatòria és
${\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+\hbar g\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)$
on ${\hat {\sigma _{z}}}$ és l'operador d'espín z de Pauli per als dos estats propis $|e\rangle$ i $|g\rangle$ del sistema aïllat de dos nivells separats en energia per $\hbar \omega _{0}$ ; ${\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|$ i ${\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|$ són els operadors de pujada i baixada del sistema de dos nivells; ${\hat {a}}^{\dagger }$ i ${\hat {a}}$ són els operadors de creació i aniquilació de fotons d'energia $\hbar \omega$ en el mode de cavitat; i
$g={\frac {\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathcal {E}}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}}$
és la força de l'acoblament entre el moment dipolar $\mathbf {d}$ del sistema de dos nivells i el mode de cavitat amb volum $V$ i el camp elèctric polaritzat al llarg ${\hat {\mathcal {E}}}$. Els valors propis i els estats propis d'energia d'aquest model són
$E_{\pm }(n)=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}=\hbar \omega _{n}^{\pm }$
$|n,+\rangle =\cos \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle +\sin \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle$
$|n,-\rangle =\sin \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle -\cos \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle$
on $\delta =\omega _{0}-\omega$ és la desafinació i l'angle $\theta _{n}$ es defineix com
$\theta _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {g{\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right).$
Donats els estats propis del sistema, l'operador d'evolució temporal es pot escriure en la forma
${\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }&=\sum _{|n,\pm \rangle }\sum _{|n',\pm \rangle }|n,\pm \rangle \langle n,\pm |e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|n',\pm \rangle \langle n',\pm |\\&=~e^{i(\omega -{\frac {\omega _{0}}{2}})t}|g,0\rangle \langle g,0|\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}|e,n\rangle )(\cos {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\sin {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )(-\sin {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\cos {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\\end{aligned}}.$
Si el sistema comença a l'estat $|g,n+1\rangle$, on l'àtom es troba en l'estat fonamental del sistema de dos nivells i n'hi ha $n+1$ fotons en el mode de cavitat, l'aplicació de l'operador d'evolució temporal produeix
${\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle &=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )+e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle -\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )\\&=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}+e^{-i\omega _{n}^{-}t})\cos {(2\theta _{n})}|g,n+1\rangle +(e^{-i\omega _{n}^{+}t}-e^{-i\omega _{n}^{-}t})\sin {(2\theta _{n})}|e,n\rangle \\&=e^{-i\omega _{c}(n+{\frac {1}{2}})}{\Biggr\cos {{\biggr{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr{\frac {\delta ^{2}-4g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|g,n+1\rangle +\sin {{\biggr{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|e,n\rangle {\Biggr ]}\end{aligned}}.$
La probabilitat que el sistema de dos nivells estigui en estat excitat $|e,n\rangle$ en funció del temps $t$ és aleshores
${\begin{aligned}P_{e}(t)&=|\langle e,n|e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle |^{2}\\&=\sin ^{2}{{\biggr{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}\\&={\frac {4g^{2}(n+1)}{\Omega _{n}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr{\frac {\Omega _{n}t}{2}}{\bigr )}}\end{aligned}}$
on $\Omega _{n}={\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}$ s'identifica com la freqüència de Rabi. Per al cas que no hi hagi camp elèctric a la cavitat, és a dir, el nombre de fotons $n$ és zero, la freqüència de Rabi esdevé $\Omega _{0}={\sqrt {4g^{2}+\delta ^{2}}}$. Aleshores, la probabilitat que el sistema de dos nivells passi del seu estat fonamental al seu estat excitat en funció del temps $t$ és
$P_{e}(t)={\frac {4g^{2}}{\Omega _{0}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr{\frac {\Omega _{0}t}{2}}{\bigr )}.}$
Per a una cavitat que admet un únic mode perfectament ressonant amb la diferència d'energia entre els dos nivells d'energia, la desintonització $\delta$ desapareix, i $P_{e}(t)$ es converteix en una sinusoide al quadrat amb unitat d'amplitud i període ${\frac {2\pi }{g}}.$

## Referències

* ↑ Hiroyuki Yokoyama & Ujihara K. Spontaneous emission and laser oscillation in microcavities (en anglès). Boca Raton: CRC Press, 1995, p. 6. ISBN 0-8493-3786-0.
* ↑ Kerry Vahala. Optical microcavities (en anglès). Singapore: World Scientific, 2004, p. 368. ISBN 981-238-775-7.
* ↑ Rodney Loudon. The quantum theory of light (en anglès). Oxford UK: Oxford University Press, 2000, p. 172. ISBN 0-19-850177-3.
* ↑ Marlan O. Scully, M. Suhail Zubairy. Quantum Optics (en anglès). Cambridge University Press, 1997, p. 5. ISBN 0521435951.