# Distribució de Weibull

En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució de Weibull (batejada en honor de Waloddi Weibull) és una distribució de probabilitat contínua.
La distribució de Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduir exactament la distribució exponencial quan k=1. Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.
La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:

## Caracterització
### Funció de densitat de probabilitat

La seva funció de densitat de probabilitat és
    $f(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,$
per a $x\geq 0$ i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on $k>0$ és el paràmetre de forma i $\lambda >0$ és el paràmetre d'escala.

### Funció de distribució

La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.
$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$

### Funció de risc

$h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.$

## Propietats

Mitjana: $\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$
Mediana: $\lambda \ln(2)^{1/k}\,$
Moda: $\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,$ if $k>1$
Variància: $\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,$
Asimetria: ${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
Moment d'ordre n: $m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma (1+n/k)\,$, on $\Gamma$ és la funció Gamma.

## Generalització

Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de densitat de probabilitat és:
    $f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,$
per a $x\geq \theta$ i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on $k>0$ és el paràmetre de forma, $\lambda >0$ és el paràmetre d'escala i $\theta$ és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.
La funció de distribució és
    $F(x;k,\lambda ,\theta )=1-e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}$
per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.

## Generació de valors aleatoris

Donada una observació aleatòria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores
    $X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,$
segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.

## Distribucions relacionades

* $X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )$ és una distribució exponencial si $X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =1,\lambda ^{-1})$.
* $X\sim \mathrm {Rayleigh} (\beta )$ és una distribució de Rayleigh si $X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =2,{\sqrt {2}}\beta )$.
* $\lambda (-\ln(X))^{1/k}\,$ segueix una distribució de Weibull si $X\sim \mathrm {Uniform} (0,1)$.
* Si X segueix una distribució de Weibull, 1/X segueix una distribució de Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat $f(x;k,\lambda )=(k/\lambda )(\lambda /x)^{(k+1)}e^{-(\lambda /x)^{k}}$
* Vegeu també la distribució generalitzada del valor extrem.

## Referències

* ↑ Weibull, W. (1951) "A statistical distribution function of wide applicability" J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18(3), 293-297