# N-esfera

En matemàtiques, una n-esfera o hiperesfera és una generalització n-dimensional del cercle 1-dimensional i de l'esfera 2-dimensional a qualsevol nombre n enter no negatiu.
El cercle es considera unidimensional i l'esfera bidimensional, perquè les superfícies en si són unidimensionals i bidimensionals, respectivament, no perquè existeixin com a formes a l'espai unidimensional i bidimensional. Com a tal, la n-esfera es la configuració per a la geometria esfèrica n-dimensional.
* Esquelet d'una 2-esfera com a projecció ortogonal
* De la mateixa manera que una projecció estereogràfica pot projectar la superfície d'una esfera a un pla, també pot projectar una 3-esfera en 3-espai. Aquesta imatge mostra tres direccions de coordenades projectades a 3 espais: paral·lels (vermell), meridians (blau) i hipermeridians (verd). A causa de la propietat conforme de la projecció estereogràfica, les corbes es tallen ortogonalment (en els punts grocs) com en 4D. Totes les corbes són cercles: les corbes que es tallen (0,0,0,1) tenen un radi infinit (= línia recta)
Considerada extrínsecament, com una hipersuperfície incrustada en un espai euclidià de (n+1)-dimensions, una n-esfera és el lloc geomètric dels punts que es troben a la mateixa distància (el radi) d'un punt central (el centre) donat. El seu interior, format per tots els punts més propers al centre que al radi, és una bola de (n+1)-dimensions. En particular:
* La 0-esfera és el parell de punts als extrems d'un segment lineal (1-bola).
* La 1-esfera és un cercle, la circumferència d'un disc (2-bola) en el pla bidimensional.
* La 2-esfera, sovint anomenada simplement esfera, és el límit d'una 3-bola en l'espai tridimensional.
* La 3-esfera és el límit d'una 4-bola en un espai de quatre dimensions.
Donat un sistema de coordenades cartesianes, la n-esfera unitat de radi 1 es pot definir com:
    $S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\},$
i una n-esfera de radi r es pot definir com
    $S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}.$
Considerat intrínsecament, quan n≥1, la n-esfera és una varietat de Riemann de curvatura constant positiva i és orientable. La geodèsica de la n-esfera s'anomenen cercles màxims.
La projecció estereogràfica mapeja la n-esfera sobre n-espai amb un únic punt adjunt a l'infinit; sota la mètrica així definida, $\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}$ és un model per a la n-esfera.
En el context més general de la topologia, qualsevol espai topològic que sigui homeomòrfic a la unitat n-esfera s'anomena una n-esfera. Sota projecció estereogràfica inversa, la n-esfera és la compactació d'un punt de n-espai. Les n-esferes admeten diverses altres descripcions topològiques: per exemple, es poden construir enganxant dos n-espais dimensionals junts, identificant el límit d'un n-cub amb un punt, o (inductivament) formant la suspensió d'una (n − 1)-esfera. Quan n ≥ 2 està simplement connectat; la 1-esfera (cercle) no està simplement connectada; la 0-esfera ni tan sols està connectada, que consta de dos punts discrets.
Per a n ≥ 2, les n-esferes que són varietats diferenciables es poden caracteritzar (llevat d'un difeomorfisme) com les varietats n-dimensionals simplement connectades de curvatura positiva constant. Les n-esferes admeten diverses altres descripcions topològiques: per exemple, es poden construir enganxant dos espais euclidians n-dimensionals, identificant el límit d'un n-cub amb un punt o (inductivament) formant la suspensió d'una (n − 1)-esfera. La 1-esfera és la 1-varietat que és un cercle, que no està simplement connectat. La 0-esfera és la 0-varietat, que ni tan sols està connectada, que consta de dos punts.

## Descripció

Per a qualsevol nombre natural n, una n-esfera de radi r es defineix com el conjunt de punts de l'espai euclidià (n + 1)-dimensional que es troben a la distància r d'algun punt fix c, on r pot ser qualsevol nombre real positiu i on c pot ser qualsevol punt de l'espai (n + 1)-dimensional. En particular:
* una 0-esfera és un parell de punts {c − r, c + r}, i és el límit d'un segment lineal (1-bola).
* una 1-esfera és un cercle de radi r centrat en c i és el límit d'un disc (2-bola).
* una 2-esfera és una esfera ordinària de 2 dimensions en un espai euclidià de 3 dimensions, i és el límit d'una bola ordinària (3-bola).
* una 3-esfera és una esfera de 3 dimensions en un espai euclidià de 4 dimensions.

### Coordenades euclidianes al (n+1)-espai

El conjunt de punts del (n+1)-espai, (x$_1$, x$_2$, ..., x$_{n+1}$), que defineixen una n-esfera, $S^{n}(r)$, es representa per l'equació:
    $r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},$
on c = (c$_1$, c$_2$, ..., cn+1) és un punt central i r és el radi.
La n-esfera anterior existeix a l'espai euclidià de (n + 1)-dimensions i és un exemple d'una n-varietat. La forma de volum ω d'una n-esfera de radi r ve donada per
    $\omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr$
on ∗ és l'operador estrella de Hodge; vegeu Flanders (1989, §6.1) per a una discussió i demostració d'aquesta fórmula en el cas r = 1. Com a resultat,
    $dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.$

### n-bola

L'espai tancat per una n-esfera s'anomena (n + 1)-bola. Una (n + 1)-bola està tancada si inclou la n-esfera, i està oberta si no inclou la n-esfera.
Concretament:
* Una 1-bola, un segment de línia, és l'interior d'una 0-esfera.
* Una 2-bola, un disc, és l'interior d'un cercle (1-esfera).
* Una 3-bola, una bola ordinària, és l'interior d'una esfera (2-esfera).
* Una 4-bola és l'interior d'una 3-esfera, etc.

### Descripció topològica

Topològicament, una n-esfera es pot construir com una compactació d'un punt de l'espai euclidià n-dimensional. Breument, la n-esfera es pot descriure com Sn = ℝ$^n$ ∪ {∞}, que és un espai euclidià n-dimensional més un únic punt que representa l'infinit en totes les direccions.
En particular, si s'elimina un únic punt d'una n-esfera, esdevé homeomorf a ℝ$^n$. Això constitueix la base per a la projecció estereogràfica.

## Volum i superfície

V$_n$(R) i S$_n$(R) són el volum n-dimensional de la n-bola i l'àrea superficial de la n-esfera incrustada a la (n + 1)-dimensió, respectivament, de radi R.
Les constants V$_n$ i S$_n$ (per a R = 1, la bola i l'esfera unitat) estan relacionades per les recurrències:
    ${\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}$
Les superfícies i els volums també es poden donar en forma tancada:
    ${\begin{aligned}S_{n-1}(R)&={\frac {2\,\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}R^{n-1}\\[6pt]V_{n}(R)&={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}\end{aligned}}$
on Γ és la funció gamma. En aquesta secció es donen les derivacions d'aquestes equacions.
En general, el volum de la n-bola a l'espai euclidià n-dimensional i l'àrea de la superfície de la n-esfera a l'espai euclidià (n + 1)-dimensional, de radi R, són proporcionals a l'enèsima potència del radi, R (amb diferents constants de proporcionalitat que varien amb n). Escrivim V$_n$(R) = V$_n$R$^n$ per al volum de la n-bola i S$_n$(R) = S$_n$R$^n$ per a la superfície de la n-esfera, ambdues de radi R, on V$_n$ = V$_n$(1) i S$_n$ = S$_n$(1) són els valors per al cas de radi unitat.
El volum de la n-bola unitat és màxim a la dimensió cinc, on comença a disminuir, i tendeix a zero quan n tendeix a l'infinit. A més, la suma dels volums de n-boles de dimensions parells de radi R es pot expressar en forma tancada:
    $\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(R)=e^{\pi R^{2}}.$
Per analogia, les de dimensions senars,
    $\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n+1}(R)=e^{\pi R^{2}}\operatorname {erf} ({\sqrt {\pi }}R),$
on erf és la funció d'error.

### Exemples

La 0-bola consta d'un sol punt. La mesura de Hausdorff de 0-dimensions és el nombre de punts d'un conjunt. Així,
    $V_{0}=1.$
La 0-esfera consta dels seus dos extrems, {−1,1}. Així,
    $S_{0}=2.$
La 1-bola unitat és l'interval [−1,1] de longitud 2. Per tant,
    $V_{1}=2.$
La 1-esfera unitat és el cercle unitari en el pla euclidià, i aquest té una circumferència (mesura unidimensional)
    $S_{1}=2\pi .$
La regió tancada per la 1-esfera unitat és la 2-bola, o disc unitat, i aquesta té àrea (mesura bidimensional)
    $V_{2}=\pi .$
De manera anàloga, a l'espai euclidià tridimensional, l'àrea superficial (mesura bidimensional) de la 2-esfera unitat ve donada per
    $S_{2}=4\pi .$
i el volum inclòs és el volum (mesura tridimensional) de la 3-bola unitat, donat per
    $V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .$

### Recurrències

L'àrea superficial, o pròpiament el volum n-dimensional, de la n-esfera al límit de la (n + 1)-bola de radi R està relacionada amb el volum de la bola per l'equació diferencial
    $S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}},$
o, de manera equivalent, representar la n-bola unitat com una unió de (n - 1)-corones esfèriques,
    $V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr.$
Llavors,
    $V_{n+1}={\frac {S_{n}}{n+1}}.$
També podem representar la (n + 2)-esfera unitat com una unió de productes d'un cercle (1-esfera) amb una n-esfera. Sigui r = cos θ i r$^2$ + R$^2$ = 1, de manera que R = sin θ i dR = cos θ dθ. Llavors,
    ${\begin{aligned}S_{n+2}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}r\cdot S_{n}R^{n}\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\cos \theta \,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{1}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=S_{1}\int _{0}^{1}S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=2\pi V_{n+1}.\end{aligned}}$
A partir de S$_1$ = 2π V$_0$, l'equació
    $S_{n+1}=2\pi V_{n}$
val per a tots n.
Això completa la derivació de les recurrències:
    ${\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}$

### Formes tancades

Combinant les recurrències, veiem que
    $V_{n+2}=2\pi {\frac {V_{n}}{n+2}}.$
Per tant, és senzill demostrar per inducció a k que,
    ${\begin{aligned}V_{2k}&={\frac {\left(2\pi \right)^{k}}{(2k)!!}}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}\\[6pt]V_{2k+1}&={\frac {2\left(2\pi \right)^{k}}{(2k+1)!!}}={\frac {2k!\left(4\pi \right)^{k}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}$
on !! denota el doble factorial, definit per a nombres naturals senars 2k + 1 per (2k + 1)!! = 1 × 3 × 5 × ... × (2k − 1) × (2k + 1) i de la mateixa manera per als nombres parells (2k)!! = 2 × 4 × 6 × ... × (2k − 2) × (2k).
En general, el volum, en l'espai euclidià n-dimensional, de la n-bola unitat, ve donat per
    $V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}$
on Γ és la funció gamma, que compleix $\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$, Γ(1) = 1, i Γ(x + 1) = xΓ(x), i així Γ(x + 1) = x!, i on definim a la inversa x! = Γ(x + 1) per a tot x.
Multiplicant V$_n$ per R$_n$, diferenciant respecte a R, i després fixant $^{R=1}$, obtenim la forma tancada
    $S_{n-1}={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.$
per al volum (n − 1)-dimensional de l'esfera S$^{n−1}$.

### Altres relacions

Les recurrències es poden combinar per donar una relació de recurrència de «direcció inversa» per a la superfície, tal com es mostra al diagrama inferior:
    $S_{n-1}={\frac {n}{2\pi }}S_{n+1}$
El desplaçament de l'índex n a n - 2 dóna llavors les relacions de recurrència:
    ${\begin{aligned}V_{n}&={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}\\[6pt]S_{n-1}&={\frac {2\pi }{n-2}}S_{n-3}\end{aligned}}$
on S$_0$ = 2, V$_1$ = 2, S$_1$ = 2π i V$_2$ = π .
* n es refereix a la dimensió de l'espai euclidià ambiental, que també és la dimensió intrínseca del sòlid el volum del qual s'indica aquí, però que és 1 més que la dimensió intrínseca de l'esfera la superfície de la qual apareix aquí. Les fletxes vermelles corbes mostren la relació entre fórmules per a diferents n. El coeficient de la fórmula a la punta de cada fletxa és igual al coeficient de la fórmula a la cua d'aquesta fletxa multiplicat pel factor de la punta de la fletxa (on la n de la punta de la fletxa fa referència al valor n al qual apunta la fletxa). Si la direcció de les fletxes inferiors s'invertís, les seves puntes de fletxa dirien que es multipliquen per 2π/n − 2. Dit alternativament, l'àrea superficial S$_{n+1}$ de l'esfera en n + 2 dimensions és exactament 2πR vegades el volum Vn tancat per l'esfera en n dimensions
La relació de recurrència per a Vn també es pot demostrar mitjançant la integració amb coordenades polars 2-dimensionals:
    ${\begin{aligned}V_{n}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left({\sqrt {1-r^{2}}}\right)^{n-2}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\int _{0}^{1}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\left[-{\frac {1}{n}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\right]_{r=0}^{r=1}\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}{\frac {1}{n}}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}.\end{aligned}}$

## Coordenades esfèriques

Podem definir un sistema de coordenades en un espai euclidià n-dimensional que és anàleg al sistema de coordenades esfèriques definit per a l'espai euclidià tridimensional, en el qual les coordenades consisteixen en una coordenada radial r, i n - 1 coordenades angulars φ1, φ$_2$, ... φ$_{n−1}$, on els angles φ$_1$, φ$_2$, ... φ$_{n−2}$ oscil·len per sobre de [0,π] radians (o per sobre de [0,180] graus) i φ$_{n−1}$ per sobre de [0,2π) radians (o més de $^{[0,360)}$ graus). Si $^{xi}$ són les coordenades cartesianes, llavors podem calcular $^{x1,...xn}$ a partir de r, φ$_1$, ... φ$_{n−1}$ amb:
    ${\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3})\\&\,\,\,\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}$
Excepte en els casos especials descrits a continuació, la transformació inversa és única:
    ${\begin{aligned}r&={\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}\\[6pt]\varphi _{1}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{1}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}\\[6pt]&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\[6pt]\varphi _{n-2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+{x_{n-2}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{n-1}&=2\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-1}+{\sqrt {x_{n}^{2}+x_{n-1}^{2}}}}{x_{n}}}&&={\begin{cases}\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}\geq 0,\\[6pt]2\pi -\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}<0.\end{cases}}\end{aligned}}$
on si x$_k$ ≠ 0 per a alguns k però tots x$_{k+1}$, ... x$_n$ són zero, aleshores φ$_k$ = 0 quan x$_k$ > 0, i φ$_k$ = π (180 graus) quan x$_k$ < 0.
Hi ha alguns casos especials en què la transformada inversa no és única; φ$_k$ per a qualsevol k serà ambigu sempre que tots x$_k$, x$_{k+1}$, ... x$_n$ siguin zero; en aquest cas es pot triar que φ$_k$ sigui zero.

### Elements de volum i àrea esfèrics

Per expressar l'element de volum de l'espai euclidià n-dimensional en termes de coordenades esfèriques, primer s'ha d'observar que la matriu jacobiana de la transformació és:
    $J_{n}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi _{1})&-r\sin(\varphi _{1})&0&0&\cdots &0\\\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&r\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&-r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})&\cdots &\cdots &&&-r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1})\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1})&r\cos(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-1})&\cdots &&&r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})\end{pmatrix}}.$
El determinant d'aquesta matriu es pot calcular per inducció. Quan n = 2, un càlcul senzill mostra que el determinant és r. Per a n més gran, s'ha d'observar que Jn es pot construir a partir de Jn − 1 de la següent manera. Excepte a la columna n, les files n − 1 i n de Jn són iguals que la fila n − 1 de Jn − 1, però multiplicades per un factor addicional de cos φ$_{n−1}$ a la fila n − 1 i un factor addicional de sin φ$_{n−1}$ a la fila n. A la columna n, les files n − 1 i n de Jn són iguals que la columna n − 1 de la fila n − 1 de J$_{n−1}$, però multiplicades per factors addicionals de sin φ$_{n−1}$ a la fila n − 1 i cos φ$_{n−1}$ a la fila n, respectivament. El determinant de J$_n$ es pot calcular mitjançant l'expansió de Laplace a la columna final. Per la descripció recursiva de J$_n$, la submatriu formada eliminant l'entrada a (n − 1, n) i la seva fila i columna gairebé és igual a J$_{n−1}$, excepte que la seva darrera fila es multiplica per sin φ$_{n−1}$. De la mateixa manera, la submatriu format suprimint l'entrada a (n, n) i la seva fila i columna són gairebé iguals a J$_{n-1}$, excepte que la seva última fila es multiplica per cos φ$_{n−1}$. Per tant, el determinant de J$_n$ és
    ${\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}))(\sin(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&\qquad+(-1)^{n+n}(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}))(\cos(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&=(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})|J_{n-1}|(\sin ^{2}(\varphi _{n-1})+\cos ^{2}(\varphi _{n-1}))\\&=(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2}))|J_{n-1}|.\end{aligned}}$
Aleshores, la inducció dóna una expressió de forma tancada per a l'element de volum en coordenades esfèriques
    ${\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}$
La fórmula del volum de la n-bola es pot derivar d'això per integració.
De la mateixa manera, l'element de superfície de la (n - 1)-esfera de radi R, que generalitza l'element d'àrea de la 2-esfera, ve donat per
    $d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.$
L'elecció natural d'una base ortogonal sobre les coordenades angulars és un producte de polinomis ultraesfèrics,
    ${\begin{aligned}&\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}$
per a j = 1, 2,... n − 2, i e$^{isφj}$ per a l'angle j = n − 1 d'acord amb els harmònics esfèrics.

### Coordenades poliesfèriques

El sistema de coordenades esfèriques estàndard sorgeix d'escriure ℝ$^n$ com el producte ℝ × ℝ$^{n−1}$. Aquests dos factors poden estar relacionats mitjançant coordenades polars. Per a cada punt x de ℝ$^n$, les coordenades cartesianes estàndard
    $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )$
es poden transformar en un sistema mixt de coordenades polar-cartesianes:
    $\mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).$
Això diu que els punts en ℝ$^n$ es poden expressar agafant el raig que comença a l'origen i passa per ${\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}$, girant-lo cap a $(1,0,\dots ,0)$ per $\theta =\arcsin y_{1}/r$, i recorrent una distància $r=\lVert \mathbf {x} \rVert$ al llarg del raig. La repetició d'aquesta descomposició condueix finalment al sistema de coordenades esfèriques estàndard.
Els sistemes de coordenades polisfèriques sorgeixen d'una generalització d'aquesta construcció. L'espai ℝ$^n$ es divideix com el producte de dos espais euclidians de dimensió més petita, però cap dels dos espais és necessari per ser una línia. Concretament, suposem que p i q són nombres enters positius tals que n = p + q. Aleshores ℝ$^n$ = ℝ$^p$ × ℝ$^q$. Utilitzant aquesta descomposició, un punt x ∈ ℝ$^n$ es pot escriure com
    $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).$
Això es pot transformar en un sistema mixt de coordenades polar-cartesianes escrivint:
    $\mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).$
Aquí ${\hat {\mathbf {y} }}$ i ${\hat {\mathbf {z} }}$ són els vectors unitaris associats a y i z. Això expressa x en termes de ${\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}$i ${\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}$, r ≥ 0 i un angle θ. Es pot demostrar que el domini de θ és [0, 2π) si p = q = 1, [0, π] si exactament un de p i q és 1, i [0, π/2] si ni p ni q són 1. La transformació inversa és
    ${\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert )\\&=\arccos(\lVert \mathbf {z} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert )\\&=\arctan(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {z} \rVert ).\end{aligned}}$
Aquestes divisions es poden repetir sempre que un dels factors implicats tingui una dimensió de dos o més. Un sistema de coordenades poliesfèriques és el resultat de repetir aquestes divisions fins que no queden coordenades cartesianes. Les divisions posteriors a la primera no requereixen una coordenada radial perquè els dominis de ${\hat {\mathbf {y} }}$ i ${\hat {\mathbf {z} }}$ són esferes, de manera que les coordenades d'un sistema de coordenades poliesfèriques són un radi no negatiu i n − 1 angles. Els possibles sistemes de coordenades poliesfèriques corresponen a arbres binaris amb n fulles. Cada node no-fulla de l'arbre correspon a una divisió i determina una coordenada angular. Per exemple, l'arrel de l'arbre representa ℝ$^n$, i els seus fills immediats representen la primera divisió en ℝ$^p$ i ℝ$^q$. Els nodes de fulla corresponen a coordenades cartesianes per a S$^{n−1}$. Les fórmules per convertir de coordenades poliesfèriques a coordenades cartesianes es poden determinar trobant els camins des de l'arrel fins als nodes de la fulla. Aquestes fórmules són productes amb un factor per a cada branca presa pel camí. Per a un node la coordenada angular corresponent del qual és θ$_i$, prenent la branca esquerra introdueix un factor de sin θ$_i$ i prenent la branca dreta introdueix un factor de cos θ$_i$. La transformació inversa, de coordenades poliesfèriques a coordenades cartesianes, es determina agrupant nodes. Cada parell de nodes que tingui un pare comú es pot convertir d'un sistema de coordenades polar-cartesià mixt a un sistema de coordenades cartesianes utilitzant les fórmules anteriors per a una divisió.
Les coordenades polisfèriques també tenen una interpretació en termes del grup ortogonal especial. Una escissió ℝ$^n$ = ℝ$^p$ × ℝ$^q$ determina un subgrup
    $\operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).$
Aquest és el subgrup que surt de cadascun dels dos factors $S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}$ fixat. Escollir un conjunt de representants de classes per al quocient és el mateix que triar angles representatius per a aquest pas de la descomposició de coordenades poliesfèriques.
En coordenades poliesfèriques, la mesura del volum a ℝ$^n$ i la mesura de l'àrea a S$^{n−1}$ són productes. Hi ha un factor per a cada angle, i la mesura del volum a ℝ$^n$ també té un factor per a la coordenada radial. La mesura d'àrea té la forma:
    $dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},$
on els factors F$_i$ estan determinats per l'arbre. De la mateixa manera, la mesura del volum és
    $dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.$
Suposem que tenim un node de l'arbre que correspon a la descomposició ℝ$^{n1+n2}$ = ℝ$^{n1}$ × ℝ$^{n2}$ i que té la coordenada angular θ. El factor F corresponent depèn dels valors de n$_1$ i n$_2$. Quan la mesura de l'àrea es normalitza de manera que l'àrea de l'esfera sigui 1, aquests factors són els següents. Si n$_1$ = n$_2$ = 1, llavors
    $F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.$
Si n$_1$ > 1 i n$_2$ = 1, i si B denota la funció beta, doncs
    $F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .$
Si n$_1$ = 1 i n$_2$ > 1, llavors
    $F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .$
Finalment, si tant n$_1$ com n$_2$ són més grans que 1, aleshores
    $F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .$

## Projecció estereogràfica

De la mateixa manera que una esfera bidimensional incrustada en tres dimensions es pot mapejar a un pla bidimensional mitjançant una projecció estereogràfica, una n-esfera es pot mapejar a un hiperpla n-dimensional mitjançant la versió n-dimensional de la projecció estereogràfica. Per exemple, el punt [x,y,z] d'una esfera bidimensional de radi 1 s'assigna al punt [x/1 − z,y/1 − z] al pla xy. En altres paraules,
    $[x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].$
De la mateixa manera, la projecció estereogràfica d'una n-esfera S$^n$ de radi 1 s'aplicarà a l'hiperpla (n-1)-dimensional ℝ$^{n−1}$ perpendicular a l'eix x$_n$ com
    $[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].$

## Generadors de punts aleatoris
### Uniformement a l'atzar a la (n-1)-esfera

Per generar punts aleatoris uniformement distribuïts a la (n - 1)-esfera unitat (és a dir, la superfície de la n-bola unitat), Marsaglia (1972) dóna el següent algorisme:
S'ha de generar un vector n-dimensional de desviacions normals (n'hi ha prou amb utilitzar N(0, 1), encara que de fet l'elecció de la variància és arbitrària), x = (x$_1$, x$_2$,... x$_n$). Desprès s'ha de calcular el «radi» d'aquest punt:
    $r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$
1/rx es distribueix uniformement per la superfície de la n-bola unitat.
Una alternativa donada per Marsaglia és seleccionar uniformement aleatòriament un punt x = (x$_1$, x$_2$,... x$_n$) al n-cub unitat mostrant cada x$_i$ independentment de la distribució uniforme sobre (–1,1), calculant r com anterior, i rebutjant el punt i tornant a mostrejar si r ≥ 1 (és a dir, si el punt no es troba a la n-bola), i quan s'obté un punt de la bola escalant-lo fins a la superfície esfèrica pel factor 1/r; després de nou 1/rx es distribueix uniformement per la superfície de la n-bola unitat. Aquest mètode esdevé molt ineficient per a dimensions més altes, ja que una fracció molt petita del cub unitat està continguda a l'esfera. En 10-dimensió, l'esfera omple menys del 2% del cub, de manera que normalment es necessitaran més de 50 intents. En 70-dimensió, menys que 10$^{-24}$ del cub s'omple, el que significa que normalment es necessitaran un bilió de quadrilions de proves, molt més del que un ordinador podria fer mai.

### Uniformement a l'atzar dins de la n-bola

Amb un punt seleccionat uniformement a l'atzar de la superfície de la (n - 1)-esfera unitat (per exemple, utilitzant l'algorisme de Marsaglia), només cal un radi per obtenir un punt uniformement a l'atzar des de la n-bola unitat. Si u és un nombre generat uniformement a l'atzar a partir de l'interval [0, 1] i x és un punt seleccionat uniformement a l'atzar de la (n-1)-esfera unitat, aleshores u$^{1⁄n}$x es distribueix uniformement dins de la n-bola unitat.
Alternativament, els punts es poden mostrejar uniformement des de la n-bola unitat mitjançant una reducció de la (n + 1)-esfera unitat. En particular, si (x$_1$,x$_2$,...,x$_{n+2}$) és un punt seleccionat uniformement de la (n + 1)-esfera unitat, aleshores (x$_1$,x$_2$,...,x$_n$) es distribueix uniformement dins de la n-bola unitat (és a dir, simplement descartant dues coordenades).
Si n és prou gran, la major part del volum de la n-bola estarà contingut a la regió molt propera a la seva superfície, de manera que un punt seleccionat d'aquest volum també estarà a prop de la superfície. Aquest és un dels fenòmens que condueixen a l'anomenada maledicció de la dimensionalitat que sorgeix en algunes aplicacions numèriques i altres.

## Esferes específiques
### 0-esfera

    El parell de punts {±R} amb la topologia discreta per a alguns R > 0. L'única esfera que no està connectada per camí. Paral·lelitzable.

### 1-esfera

    Comunament anomenat cercle. Té un grup fonamental no trivial. Estructura del grup abelià Lie U(1) (el grup circular). Homeomorf a la línia projectiva real.

### 2-esfera

    Normalment s'anomena simplement esfera. Per a la seva complexa estructura, vegeu Esfera de Riemann. Equivalent a la línia projectiva complexa.

### 3-esfera

    Paral·lelitzable, U(1)-fibrat principal sobre la 2-esfera, estructura de grup de Lie Sp(1).

### 4-esfera

    Equivalent a la línia projectiva quaterniònica, HP1. SO(5)/SO(4).

### 5-esfera

    U(1)-fibrat principal sobre CP$^2$. SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). És indecidible si una varietat n-dimensional donada és homeomòrfica a S$^n$ per a n ≥ 5.

### 6-esfera

    Posseeix una estructura gairebé complexa procedent del conjunt d'octonions unitats pures. SO(7)/SO(6) = G2/SU(3). La qüestió de si té una estructura complexa es coneix com el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf.

### 7-esfera

    Estructura de quasigrup topològic com el conjunt d'octonions unitats. Sp(1)-fibrat principal sobre S$^4$. Paral·lelitzable. SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/G$_2$ = Spin(6)/SU(3). La 7-esfera té un interès particular, ja que va ser en aquesta dimensió on es van descobrir les primeres esferes exòtiques.

### 8-esfera

    Equivalent a la línia projectiva octoniònica OP$^1$.

### 23-esfera

    És possible un empaquetament d'esferes altament dens a l'espai de 24-dimensions, que està relacionat amb les qualitats úniques de la xarxa de Leech.

## Esfera octaèdrica

La n-esfera octaèdrica es defineix de manera similar a la n-esfera, però utilitzant la norma $\ell _{1}$
    $S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}$
En general, pren la forma d'un polítop creuat.
* La 1-esfera octaèdrica és un quadrat (sense el seu interior).
* La 2-esfera octaèdrica és un octaedre regular; d'aquí el nom.
* La n-esfera octaèdrica és la unió topològica de n + 1 parells de punts aïllats. Intuïtivament, la unió topològica de dos parells es genera dibuixant un segment entre cada punt d'un parell i cada punt de l'altre parell; això dóna un quadrat. Per unir-ho amb un tercer parell, es dibuixa un segment entre cada punt del quadrat i cada punt del tercer parell; això dóna un octaedre.

## Notes

* ↑ La dimensió de la n-esfera és n i no s'ha de confondre amb la (n+1)- dimensió de l'espai euclidià en què està incrustada de manera natural. Una n-esfera és la superfície o el límit d'una bola de (n+1)-dimensions.

## Referències

* ↑ Vick, 1994, p. 60.
* 1 2 Smith, Vamanamurthy, p. 101.
* ↑ Smith, Vamanamurthy, p. 106.
* ↑ Blumenson, 1960, p. 63-66.
* ↑ Vilenkin i Klimyk, 1992, p. 223-226.
* ↑ Voelker, Gosmann i Stewart, 2017.
* ↑ Stillwell, 1993, p. 247.
* ↑ Agricola et al., Rollenske, p. 1-9.
* ↑ Meshulam, 2001, p. 89-94.

## Bibliografia

* Agricola, Ilka; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke «On the history of the Hopf problem» (en anglès). Differential Geometry and Its Applications, 57, 2018. arXiv: 1708.01068. DOI: 10.1016/j.difgeo.2017.10.014.
* Barnea, Nir «Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction» (en anglès). Phys. Rev. A, 59(2), 1999, pàg. 1135–1146. Bibcode: 1999PhRvA..59.1135B. DOI: 10.1103/PhysRevA.59.1135.
* Blumenson, L. E. «A Derivation of n-Dimensional Spherical Coordinates» (en anglès). The American Mathematical Monthly, 67(1), 1960. DOI: 10.2307/2308932. JSTOR: 2308932.
* Flanders, Harley. Differential forms with applications to the physical sciences (en anglès). Nova York: Dover Publications, 1989. ISBN 978-0-486-66169-8.
* Huber, Greg «Gamma function derivation of n-sphere volumes» (en anglès). Amer. Math. Monthly, 89(5), 1982, pàg. 301–302. DOI: 10.2307/2321716. JSTOR: 2321716.
* Marsaglia, G. «Choosing a Point from the Surface of a Sphere» (en anglès). Annals of Mathematical Statistics, 43(2), 1972, pàg. 645–646. DOI: 10.1214/aoms/1177692644.
* Meshulam, Roy «The Clique Complex and Hypergraph Matching» (en anglès). Combinatorica, 21(1), gener 2001. DOI: 10.1007/s004930170006. ISSN: 1439-6912.
* Moura, Eduarda; Henderson, David G. «Cap. 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces». A: Experiencing geometry: on plane and sphere (en anglès). Prentice Hall, 1996. ISBN 978-0-13-373770-7.
* Smith, David J.; Vamanamurthy, Mavina K. «How Small Is a Unit Ball?» (en anglès). JSTOR p. 101.
* Stillwell, John. Classical Topology and Combinatorial Group Theory (en anglès). 72. Springer, 1993 (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 9780387979700.
* Vick, James W. Homology theory (en anglès). Springer, 1994.
* Vilenkin, N. Ja.; Klimyk, A. U.. Representation of Lie groups and special functions (en anglès). Vol. 2: Class I representations, special functions, and integral transforms. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1992 (Math. Appl. (74)).
* Voelker, Aaron R.; Gosmann, Jan; Stewart, Terrence C. Efficiently sampling vectors and coordinates from the n-sphere and n-ball (en anglès). Centre for Theoretical Neuroscience, 2017. DOI 10.13140/RG.2.2.15829.01767/1.
* Weeks, Jeffrey R. «Cap. 14: The Hypersphere». A: The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds (en anglès). Marcel Dekker, 1985. ISBN 978-0-8247-7437-0.

## Vegeu també

* Geometria conforme – Estudi de transformacions conservadores d'angles d'un espai geomètric.
* Esfera exòtica – Varietat llisa que és homeomòrfica però no diferent a una esfera.
* Esfera d'homologia – Varietat topològica l'homologia de la qual coincideix amb la d'una esfera.
* Grups d'homotopia d'esferes – Com es poden envoltar esferes de diverses dimensions.
* Inversió geomètrica – Estudi de transformacions conservadores d'angles.
* Transformació de Möbius – Funció racional de la forma (az + b)/(cz + d).