# Freqüència negativa

En matemàtiques, el concepte de freqüència amb signe (freqüència negativa i positiva) pot indicar tant la velocitat com el sentit de rotació; pot ser tan senzill com una roda girant en sentit horari o antihorari. La velocitat s'expressa en unitats com ara revolucions (també conegut com cicles) per segon (hertz) o radians/segon (on 1 cicle correspon a 2 π radians).
Exemple: matemàticament parlant, el vector $(\cos(t),\sin(t))$ té una freqüència positiva de +1 radian per unitat de temps i gira en sentit contrari a les agulles del rellotge al voltant del cercle unitari, mentre que el vector $(\cos(-t),\sin(-t))$ té una freqüència negativa de -1 radian per unitat de temps, que gira en el sentit de les agulles del rellotge.

## Sinusoides

Sigui ω > 0 una freqüència angular amb unitats de radians/segon. Aleshores la funció f(t) = −ωt + θ té pendent −ω, que s'anomena freqüència negativa. Però quan la funció s'utilitza com a argument d'un operador cosinus, el resultat no es pot distingir de cos(ωt − θ). De la mateixa manera, sin(−ωt + θ) no es pot distingir de sin(ωt − θ + π). Així, qualsevol sinusoide es pot representar en termes de freqüència positiva. El signe del pendent de fase subjacent és ambigu.
L'ambigüitat es resol quan els operadors cosinus i sinus es poden observar simultàniament, perquè cos(ωt + θ) porta sin(ωt + θ) per$^1$⁄$_4$ cicle (és a dir$^π$⁄$_2$ radians) quan ω > 0, i es retarda$^1$⁄$_4$ cicle quan ω < 0. De la mateixa manera, un vector, (cos ωt, sin ωt), gira en sentit contrari a les agulles del rellotge si ω > 0, i en sentit horari si ω < 0. Per tant, el signe de $\omega$ també es conserva a la funció de valors complexos:
    $e^{i\omega t}=\underbrace {\cos(\omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)},$         (Eq.1 ) el corol·lari del qual és:
    $\cos(\omega t)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right).$         (Eq.2 )
    $z=re^{i\phi }=x+iy\,\!$ A Eq.1 el segon terme és un afegit a $\cos(\omega t)$ que resol l'ambigüitat. A Eq.2 el segon terme sembla una addició, però en realitat és una cancel·lació que redueix un vector bidimensional a una sola dimensió, donant lloc a l'ambigüitat. Eq.2 també mostra per què la transformada de Fourier té respostes a totes dues $\pm \omega ,$ encara que $\omega$ només pot tenir un signe. El que fa la resposta falsa és permetre que la transformada inversa distingeixi entre una funció de valor real i una de complexa.

## Aplicacions
### Simplificació de la transformada de Fourier

Potser l'aplicació més coneguda de la freqüència negativa és la fórmula:
${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,$
que és una mesura de l'energia en funció $f(t)$ a la freqüència $\omega .$ Quan s'avalua per a un continu d'arguments $\omega ,$ el resultat s'anomena transformada de Fourier.

### Mostreig de freqüències positives i negatives i aliasing
## Referències

* ↑ «What is the physical significance of negative frequencies?» (en anglès). [Consulta: 25 febrer 2024].
* ↑ «What is Negative Frequency: 5 Interesting Facts To Know» (en anglès). [Consulta: 25 febrer 2024].
* ↑ «What is the significance of negative frequency in Fourier transform?» (en anglès). [Consulta: 25 febrer 2024].
* ↑ Mercer, Dr Colin. «Negative Frequencies - What Are They? - Prosig Blog» (en anglès britànic), 13-12-2011. [Consulta: 25 febrer 2024].