# Variància

En teoria de probabilitat, la variància d'una variable aleatòria és una mesura de la dispersió d'una variable aleatòria $X$ respecte de la seva mitjana $E[X]$. Es defineix com l'esperança de $\left(X-E[X]\right)^{2}$, això és
$V(X)=E\left[\left(X-E[X]\right)^{2}\right],$
on suposem que $E[X^{2}]<\infty$.
Està relacionada amb la desviació típica, que se sol designar amb la lletra grega $\sigma$ i que és l'arrel quadrada de la variància:
$\sigma _{X}={\sqrt {V(X)}}.$
En estadística descriptiva la variància d'un conjunt de dades $x_{1},\dots ,x_{N}$es defineix per
$v={\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}+\cdots +(x_{N}-{\overline {x}})^{2}}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2},$on ${\overline {x}}$ és la mitjana aritmètica de les dades: ${\overline {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{N}}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.$En inferència estadística s'utilitzen la variància poblacional i la variància mostral.

## Variància d'una variable aleatòria

La variància d'una variable aleatòria $X$ es defineix per $V(X)=E\left[\left(X-E[X]\right)^{2}\right]=E[X^{2}]-{\bigE[X]{\big )}^{2},$on $E[X]$ és l'esperança o mitjana de $X$, on suposem que $E[X^{2}]<\infty$. La segona igualtat s'obté desenvolupant el quadrat i utilitzant que $E[X]$ és una constant. Cal remarcar que si $E[X^{2}]<\infty$, aleshores $X$ té esperança. Això es dedueix del fet que per a qualsevol nombre $x\in \mathbb {R}$, $\vert x\vert \leq (x^{2}+1)/2$, d'on,$\vert X\vert \leq {\frac {1}{2}}(X^{2}+1).$Llavors, traient esperances tenim $E[\vert X\vert ]\leq {\frac {1}{2}}(E[X^{2}]+1).$La desigualtat $\vert x\vert \leq (x^{2}+1)/2$ es dedueix del fet que $(\vert x\vert +1)^{2}\geq 0.$

### Interpretació de la variància

Considerem tres variables aleatòries. La primera és la constant 0: $X_{1}=0$ que com és evident no varia gens. La segona, $X_{2},$ pren els valors 1 i -1 amb probabilitat 1/2; per exemple, correspon a un joc a cara o creu on si surt cara guanyem 1 euro i si surt creu perdem un euro. Finalment, $X_{3}$ pren els valors 10 i -10 amb probabilitats 1/2; correspondria al mateix joc que abans però ara guanyaríem o perdríem 10 euros. Les tres variables tenen la mateixa esperança: $E[X_{1}]=0,$$E[X_{2}]={\frac {1}{2}}\times 1+{\frac {1}{2}}\times (-1)=0,$$E[X_{3}]={\frac {1}{2}}\times 10+{\frac {1}{2}}\times (-10)=0.$D'altra banda, $X_{1}^{2}=0$, i llavors $E[X_{1}^{2}]=0,$ i llavors $V(X_{1})=0$.
Per a $X_{2}$, aplicant la fórmula del càlcul de l'esperança d'una funció d'una variable aleatòria tenim $E[X_{2}^{2}]={\frac {1}{2}}\times 1^{2}+{\frac {1}{2}}\times (-1)^{2}=1,$d'on $V(X_{2})=E[X_{2}^{2}]-{\bigE[X_{2}]{\big )}^{2}=1.$Anàlogament, per a $X_{3}$ tenim $E[X_{3}^{2}]=100$ i $V(X_{3})=100$.
Així, les tres variables tenen igual mitjana, però la primera variable que és una constant té variància 0 (no varia gens respecte la seva mitjana), mentre que $X_{2}$ pren valors més propers a la mitjana que $X_{3}$, i llavors la variància de $X_{2}$ és més petita que la de $X_{3}$.

### Càlcul de la variància en els casos habituals
#### Variables aleatòries discretes

Sigui $X$ una variable aleatòria discreta que pot prendre un nombre finit o infinit numerable de valors $x_{1},\,x_{2},\dots$ amb probabilitats respectives $p_{1},\,p_{2},\dots$ Aleshores $V(X)=\sum _{i}(x_{i}-\mu )^{2}p_{i}=\sum _{i}x_{i}^{2}\,p_{i}-\mu ^{2},$on $\mu =E[X]=\sum _{i}x_{i}p_{i},$ i suposem que $\sum _{i}x_{i}^{2}\,p_{i}<\infty .$
Exemples
1. Si tenim un dau ordinari, que pren els valors $1,2,\dots ,6$ amb probabilitats$P(X=1)=\cdots =P(X=6)={\frac {1}{6}},$aleshores,$\mu =E(X)=1\cdot {\frac {1}{6}}+\cdots +6\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}i=3,5.$
Aplicant la fórmula del càlcul de l'esperança d'una funció d'una variable aleatòria, $E(X^{2})=1^{2}\,{\frac {1}{6}}+\cdots +6^{2}\,{\frac {1}{6}}={\frac {91}{6}}.$Ara podem calcular la variància de $X$: $V(X)=E(X^{2})-{\bigE(X){\big )}^{2}={\frac {91}{6}}-3.5^{2}={\frac {35}{12}}=2,91{\widehat {6}}.$ 2. Sigui $X$ una variable binomial de paràmetres $n$ i $p$, és a dir, que pot prendre els valors $0,1,...,n$, amb probabilitats: $P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,\dots ,n,$aleshores $E(X)=\sum _{k=0}^{n}k\,{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=np\,\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}p^{k-1}(1-p)^{n-k}=_{(*)}np\,\sum _{j=0}^{n-1}{\binom {n-1}{j}}p^{j}(1-p)^{n-1-j}=_{(**)}np,$on a la igualtat (*) hem fet el canvi $k-1=j$, i a la igualtat (**) que $\sum _{j=0}^{n-1}{\binom {n-1}{j}}p^{j}(1-p)^{n-1-j}=\sum _{j=0}^{n-1}P(Y=j)=1,$on $Y$és una variable binomial de paràmetres $n-1\quad {\text{i}}\quad p$.
D'altra banda, per calcular $E[X^{2}]$ calcularem primer $E[X(X-1)]$. Utilitzant de nou la fórmula per a calcular l'esperança d'una funció d'una variable aleatòria (en aquest cas, la funció $g(x)=x(x-1)$), i amb arguments similars als anteriors,$E[X(X-1)]=\sum _{k=0}^{n}k(k-1)\,{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=n(n-1)p^{2}\,\sum _{k=2}^{n}{\binom {n-2}{k-2}}p^{k-2}(1-p)^{n-k}=n(n-1)p^{2}\,\sum _{j=0}^{n-2}{\binom {n-2}{j}}p^{j}(1-p)^{n-2-j}=n(n-1)p^{2}.$Així,$E[X(X-1)]=E[X^{2}]-E[X]=n(n-1)p^{2}.$Aïllant $E[X^{2}]$ tenim $E[X^{2}]=n^{2}p^{2}-np^{2}+np,$ i aleshores, $V(X)=np(1-p).$ 3. Sigui $X$una variable aleatòria de Poisson de paràmetre $\lambda >0$, és a dir, que pot prendre qualsevol valor natural (0 inclòs) amb probabilitats $P(X=k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}},\quad k=0,1,\dots$ D'una banda tenim que $E[X]=\sum _{k=0}^{\infty }ke^{-\lambda }\,{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}=_{(*)}\lambda e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}=\lambda \,e^{-\lambda }e^{\lambda }=\lambda ,$on a la igualtat (*) hem fet el canvi $k-1=j$, i després hem utilitzat que per a qualsevol nombre $x\in \mathbb {R}$, $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$
Per a calcular $E[X^{2}]$ farem com en el cas de la binomial i calcularem $E[X(X-1)]$: Utilitzant arguments anàlegs als anteriors, tenim$E[X(X-1)]=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)\,e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=\lambda ^{2}e^{-\lambda }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-2}}{(k-2)!}}=\lambda ^{2}.$D'on es dedueix $V(X)=\lambda .$

#### Variables aleatòries absolutament contínues

Sigui $X$ una variable aleatòria amb funció de densitat $f$. Aleshores $V(X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,f(x)\,dx-\mu ^{2},$on $\mu =E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx$, i suposem $\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,f(x)\,dx<\infty .$
Exemple Variable normal estàndard. Sigui $X$ una variable aleatòria normal estàndard, amb funció de densitat $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2},\quad x\in \mathbb {R} .$ Integrant per parts,$E(X^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,f(x)\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,e^{-x^{2}/2}\,dx=1.$ D'altra banda, l'esperança de $X$ val

### Variables aleatòries sense variància

Pot ocórrer que una variable aleatòria no tingui esperança: per exemple, una variable amb distribució de Cauchy. Aleshores la fórmula $E{\big(X-E[X])^{2}{\big ]}$ no tindrà sentit. Es diu que la variància de $X$ no existeix.
D'altra banda, també pot passar que una variable $X$ tingui esperança, però que $E[X^{2}]=\infty$. Aleshores la fórmula de la variància es pot aplicar, però dona $+\infty$. En aquest cas també es diu que la variància de $X$ no existeix o que és infinita. Una variable amb distribució t de Student amb dos graus de llibertat està en aquest cas.

### Propietats de la variància

* $V(X)\geq 0$, i $V(X)=0$ si i només si $X$ és una constant quasi segurament.
* $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ essent $a$ i $b$ constants qualssevol.
* $V(X)=E[X^{2}]-{\bigE[X]{\big )}^{2}.$
* Desigualtat de Txebixev: per a qualsevol constant $k>0$$P\left(\left|X-E[X]\right|\geq k\sigma _{X}\right)\leq {\frac {1}{k^{2}}}.$
* Desigualtat de Cauchy-Schwarz. Si $X$ i $Y$ són dues variables aleatòries, aleshores, $E{\big\vert X\,Y\vert {\big ]}\leq {\sqrt {E[X^{2}]\,E[Y^{2}]}}.$
Nova interpretació de la variància gràcies a la desigualtat de Txebixev
La desigualtat de Txebixev permet interpretar de quina manera la variància mesura la "dispersió" d'una variable aleatòria. Si a la fórmula de la desigualtat de Txebixev prenem, per exemple, $k=3$, aleshores la probabilitat que la variable s'allunyi de la seva mitjana més de 3 vegades la desviació típica serà menor de $1/9\approx 0,11$.

### Covariància i correlació

Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries. Definim la covariància de $X$ i $Y$ a ${\text{Cov}}(X,Y)=E{\big(X-E[X])(Y-E[Y]){\big ]}=E[X\,Y]-E[X]\,E[Y],$on suposem que $E[X^{2}]<\infty \quad {\text{i}}\quad E[Y^{2}]<\infty .$ Tenim la següent fórmula per a la variància d'una suma de dues variables aleatòries: $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\,{\text{Cov}}(X,Y).$Més generalment, per a la variància de la suma de $n$ variables aleatòries $X_{1},\dots ,X_{n},$ tenim $V{\big\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\big )}=\sum _{i=1}^{n}V(X_{i})+2\sum _{1\leq i<j\leq n}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j}).$
Si ${\text{Cov}}(X,Y)=0$, es diu que $X$ i $Y$ estan incorrelacionades. En aquest cas, la variància de la suma o la resta de variables se simplifica: $V(X+Y)=V(X-Y)=V(X)+V(Y),$on, al cas de la resta, hem aplicat la propietat 2 de l'apartat anterior.
Noteu que si dues variables $X$ i $Y$ són independents, aleshores són incorrelacionades, ja que $E[X\,Y]=E[X]\,E[Y]$.
La fórmula de la variància de la suma de $n$ variables també se simplifica: Si $X_{1},\dots ,X_{n}$són incorrelacionades dos a dos, és a dir, ${\text{Cov}}(X_{i},X_{j})=0,$ per a $i\neq j$, aleshores $V{\big\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\big )}=\sum _{i=1}^{n}V(X_{i}).$Sigui $X$ i $Y$ dues variables aleatòries tals que $V(X)\neq 0\quad i\quad V(Y)\neq 0.$ Es defineix el coeficient de correlació entre $X$ i $Y$ al nombre $\rho ={\frac {{\text{Cov}}(X,Y)}{\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}.$Es ha de $-1\leq \rho \leq 1$. A més, si $\rho =1$, aleshores existeixen nombres $a,\,b$, amb $a>0$, tals que (quasi segurament) $Y=aX+b.$I si $\rho =-1$, aleshores existeixen nombres $a,\,b$, amb $a<0$, tals que (quasi segurament)$Y=aX+b.$Per aquest motiu, el coeficient de correlació s'interpreta com una mesura del grau d'associació lineal entre dues variables (però no del grau d'associació general).

## Variància d'una població finita

En estadística descriptiva es considera una població (de persones o de coses: també s'anomena univers o col·lectiu) finita, amb $N$ elements, i es mesura una característica numèrica. Els resultats, iguals o diferents, es designen per $x_{1},\dots ,x_{N}$. La mitjana o mitjana aritmètica es defineix per
${\overline {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{N}}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.$
La variància es defineix per
$v={\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}+\cdots +(x_{N}-{\overline {x}})^{2}}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$
En general, en les observacions hi ha nombres repetits i només tenim $K$ valors diferents, que escriurem $x_{1},\dots ,x_{K}$, de manera que els $N$ nombres es resumeixen en una taula de freqüències:
| Valor | Freqüència absoluta | Freqüència relativa |
| $x_{1}$ | $F_{1}$ | $f_{1}$ |
| $x_{2}$ | $F_{2}$ | $f_{2}$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_{k}$ | $F_{K}$ | $f_{K}$ |
| TOTAL | $N$ | $1$ |
on $F_{i}$ és la freqüència absoluta de la dada $x_{i}$, és a dir, el nombre de vegades que surt aquesta dada, i $f_{i}=F_{i}/N$ és la freqüència relativa. Aleshores la mitjana es calcula per la fórmula
${\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{K}x_{i}F_{i}=\sum _{i=1}^{K}x_{i}f_{i},$
i la variància per
$v={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{K}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}F_{i}=\sum _{i=1}^{K}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}f_{i}.$
Atès que la variància de la població descrita per la taula anterior coincideix amb la variància d'una variable aleatòria discreta que prengui els valors $x_{1},\dots ,x_{K}$ amb probabilitats $f_{1},\dots ,f_{K}$, les propietats i fórmules que hem comentat als apartats anteriors també serveixen per aquest cas. Aleshores, per la Propietat 3 de la variància, tenim la fórmula
$v={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{K}x_{i}^{2}F_{i}-({\overline {x}})^{2}=\sum _{i=1}^{K}x_{i}^{2}f_{i}-({\overline {x}})^{2}.$
Aquesta fórmula és útil per a calcular la variància amb les dades tabulades. Per exemple, utilitzant freqüències absolutes tenim
| $x$ | $F$ | $xF$ | $x^{2}$ | $x^{2}F$ |
| $x_{1}$ | $F_{1}$ | $x_{1}F_{1}$ | $x_{1}^{2}$ | $x_{1}^{2}F_{1}$ |
| $x_{2}$ | $F_{2}$ | $x_{2}F_{2}$ | $x_{2}^{2}$ | $x_{2}^{2}F_{2}$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_{K}$ | $F_{K}$ | $x_{K}F_{K}$ | $x_{K}^{2}$ | $x_{K}^{2}F_{K}$ |
| TOTAL | $N$ | $\sum _{i=1}^{K}x_{i}F_{i}$ | | $\sum _{i=1}^{K}x_{i}^{2}F_{i}$ |
Llavors dividint el total de la tercera columna per $N$ s'obté ${\overline {x}}$, i dividint el total de la cinquena columna per $N$ s'obté l'altre terme que intervé en la fórmula de la variància.
Per a variància poblacional i variància mostral vegeu la pàgina desviació tipus.

## Referències

* ↑ Chung, Kai Lai. Teoría elemental de la probabilidad y de los procesos estocásticos, cap . 6. Editorial Reverté, 1983.
* ↑ Variance a MathWorld (anglès)
* ↑ «variance | statistics | Britannica» (en anglès). [Consulta: 29 gener 2022].
* 1 2 Lobez Urquía, J.; Casa Aruta, E.. Estadística intermedia. Segunda edición. Vicens-Vives, 1975.
* ↑ «Standard Deviation and Variance». [Consulta: 4 febrer 2022].
* ↑ Bonet, E.. Espais de probabilitat finits. Barcelona: Editorial Lavínia, S. A., 1969, p. 158.

## Vegeu també

* Desviació típica o desviació estàndard
* Esperança matemàtica o valor esperat
* Homoscedasticitat