# Matriu nilpotent

En àlgebra lineal, una matriu nilpotent és una matriu quadrada N tal que
    $N^{k}=0\,$
per algun enter positiu k. Hom anomena grau de N el valor k més petit que compleix aquesta propietat.
Més generalment, una transformació nilpotent és una aplicació lineal L d'un espai vectorial tal que L$^k$ = 0 per algun enter positiu k (i, per tant, L$^j$ = 0 per qualsevol j ≥ k). Aquests dos conceptes són casos particulars d'un concepte més general de nilpotència vàlid pels elements d'un anell.

## Exemples

La matriu
    $M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$
és nilpotent, ja que M² = 0. Més generalment, qualsevol matriu triangular amb zeros a la diagonal principal és nilpotent. Per exemple, la matriu
    $N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$
és nilpotent, amb
    $N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$
Encara que els exemples que hem vist tenen un gran nombre d'entrades nul·les, en general no té per què ser així. Per exemple, les matrius
    ${\begin{bmatrix}6&-9\\4&-6\end{bmatrix}}\qquad {\text{i}}\qquad {\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}$
si s'eleven al quadrat obtenim la matriu nul·la, tot i que cap d'elles té cap entrada nul·la.

## Caracterització

Per qualsevol matriu quadrada N de dimensió n × n a entrades reals (o complexos), les següents afirmacions són equivalents:
* N és nilpotent.
* El polinomi mínim de N és λ$^k$ per algun enter positiu k ≤ n.
* El polinomi característic de N és λ$^n$.
* L'únic valor propi (complex) de N és 0.
* tr (N$^k$) = 0 per qualsevol k > 0.
L'últim teorema és cert per matrius sobre qualsevol cos de característica 0 o de característica prou gran. (cf. Identitats de Newton)
Aquest teorema té diverses conseqüències, entre d'altres:
* El grau d'una matriu nilpotent de dimensió n × n és sempre menor o igual a n. Per exemple, qualsevol matriu nilpotent 2 × 2 multiplicada per ella mateixa dona la matriu nul·la.
* El determinant i la traça d'una matriu nilpotent són sempre zero.
* L'única matriu nilpotent diagonalitzable és la matriu nul·la.

## Classificació

Considerem la matriu de decalatge n × n:
    $S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.$
Aquesta matriu té uns a la diagonal superior i zeros altrament. Com a aplicació lineal, la matriu de decalatge "mou" els components d'un vector un lloc cap a l'esquerra:
    $S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).$
Aquesta matriu és nilpotent amb grau n, i és la matriu nilpotent "canònica".
Si N és una matriu nilpotent qualsevol, aleshores N és semblant a una matriu diagonal per blocs de la forma
    ${\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}$
on cadascun dels blocs S$_1$, S₂, ..., S$_r$ és una matriu de decalatge (eventualment de dimensions diferents). Aquest teorema és un cas especial de la forma canònica de Jordan per matrius.
Per exemple, qualsevol matriu nilpotent 2 × 2 no-nul·la és semblant a la matriu
    ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$
És a dir, si N és una matriu nilpotent 2 × 2 no-nul·la, aleshores existeix una base b$_1$, b₂ tal que Nb$_1$ = 0 i Nb₂ = b$_1$.
Aquest teorema de classificació és vàlid per matrius sobre qualsevol cos. (No és necessari que el cos sigui algebraicament tancat.)

## Torre de subespais

Una transformació nilpotent L sobre ℝ$^n$ determina de manera natural una torre de subespais
    $\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}$
i una signatura
    $0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.$
La signatura caracteritza L llevat d'una aplicació lineal invertible. Addicionalment, satisfà les desigualtats
    $n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{per tot }}j=1,\ldots ,q-1.$
Recíprocament, qualsevol seqüència de nombres naturals que satisfan aquestes desigualtats és la signatura d'una transformació nilpotent.

## Propietats addicionals

* Si N és nilpotent, aleshores I + N és invertible, on I és la matriu identitat de dimensió n × n. La inversa es calcula observant que
       $(I+N)^{-1}=I-N+N^{2}-N^{3}+\cdots ,$
    on només un nombre finit de termes són no-nuls.
* Si N és nilpotent, llavors
       $\det(I+N)=1,\!\,$
    on I denota la matriu identitat de dimensió n × n. Recíprocament, si A és una matriu i
       $\det(I+tA)=1\!\,$
    per tots els valors de t, llavors A és nilpotent.
* Qualsevol matriu singular pot ser escrita com a producte de matrius nilpotents.

## Generalitzations

Un operador lineal T és localment nilpotent si, per tot vector v, existeix un k tal que
    $T^{k}(v)=0.\!\,$
Per operadors en un espai vectorial de dimensió finita, la nilpotència local és equivalent a la nilpotència.

## Referències

* ↑ R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3

## Enllaços externs

* Matriu nilpotent Arxivat 2008-08-29 a Wayback Machine. i transformació nilpotent a PlanetMath.