# Oscil·lador de pont de Wien

En electrònica un oscil·lador de pont de Wien és un tipus d'oscil·lador que genera ones sinusoidals sense necessitat de cap senyal d'entrada. Pot generar un ampli rang de freqüència. El pont està compost de quatre resistències i dos condensadors. El circuit està basat en un pont originalment desenvolupat per Max Wien el 1891. El circuit modern està derivat de la tesi final de William Hewlett, per obtenir el màster a la Universitat Stanford. Hewlett, juntament amb David Packard van fundar l'empresa Hewlett-Packard. El seu primer producte va ser l'HP 200A, un oscil·lador d'ones sinusoidals de precisió basat en el pont de Wien. El 200A es va convertir en un instrument electrònic clàssic conegut per la seva baixa distorsió.
La freqüència d'oscil·lació està donada per:
    $F={\frac {1}{2\pi RC}}$

## Estabilització d'amplitud

La clau de l'oscil·lador de baixa distorsió de Hewlett és una efectiva estabilització d'amplitud. L'amplitud dels oscil·ladors electrònics tendeixen a augmentar fins que el senyal és retallada o s'aconsegueix alguna limitació del guany. Això porta a una distorsió dels harmònics de freqüències altes, el que en la majoria dels casos és un efecte indesitjat.
A l'HP200A Hewlett i Packard van usar una llum incandescent a la realimentació de l'oscil·lador per a limitar el guany. La resistència de les llums incandescents (així com altres elements similars que produeixen calor) augmenta a mesura que la seva temperatura augmenta. Si la freqüència d'oscil·lació és significativament superior que la constant tèrmica de l'element que produeix calor, la potència irradiada serà proporcional a la potència de l'oscil·lador. Com que els elements que produeixen calor són cossos negres, aquests segueixen la Llei de Stefan-Boltzmann. La potència irradiada és proporcional a $T^{4}$, de manera que la resistència augmenta a una major proporció que l'amplitud del senyal. Si el guany és inversament proporcional a l'amplitud de l'oscil·lació, el guany de l'oscil·lador arriba a un estat estable on opera com un amplificador de classe A gairebé ideal, aconseguint d'aquesta manera una baixa distorsió.

## Condició d'oscil·lació

La relació entre la resistència de realimentació i la resistència d'entrada és:
    ${\frac {R_{f}}{R_{i}}}={\frac {2A_{d}+3}{A_{d}-3}},$
on $A_{d}$ és el guany de l'operacional, $R_{f}$ és la resistència de realimentació i $R_{i}$ és la resistència d'entrada.
Les equacions bàsiques per obtenir aquestes especificacions són:
    $-{\frac {q\left(t\right)}{C}}+V_{1,L}\left(t\right)=2\,R{\frac {d}{dt}}q\left(t\right)-R{\frac {d}{dt}}Q_{1}\left(t\right)$
    $-{\frac {Q_{1}\left(t\right)}{C}}=-R{\frac {d}{dt}}q\left(t\right)+R{\frac {d}{dt}}Q_{1}\left(t\right)$
    $V_{2}\left(t\right)=R\left({\frac {d}{dt}}q\left(t\right)-{\frac {d}{dt}}Q_{1}\left(t\right)\right)$
    $-V_{1}\left(t\right)=R_{i}A\left(t\right)$
    $V_{1}\left(t\right)-\left(V_{1,L}\right)\left(t\right)=R_{f}A\left(t\right)$
    $V_{L}\left(t\right)=\left(V_{2}\left(t\right)-V_{1}\left(t\right)\right)A_{d}$
Passant totes aquestes equacions al domini de la transformada de Laplace s'obté
    ${\it {laplace}}\left(V_{L}\left(t\right),t,s\right)=-A_{d}\left(-{\frac {Rs{\it {laplace}}\left(\left(V_{1,L}\right)\left(t\right),t,s\right)C}{1+3\,RsC+{R}^{2}{s}^{2}{C}^{2}}}+{\frac {R_{i}{\it {laplace}}\left(\left(V_{1,L}\right)\left(t\right),t,s\right)}{R_{i}+R_{f}}}\right)$
i per tant la condició d'oscil és:
    ${\frac {jA_{d}RWC}{1+3\,jRwC-{R}^{2}{w}^{2}{C}^{2}}}-{\frac {A_{d}R_{i}}{R_{i}+R_{f}}}=1$

## Anàlisi de la impedància d'entrada

Si s'aplica una tensió directament a l'entrada d'un amplificador ideal amb realimentació, el corrent d'entrada serà:
$i_{in}={\frac {v_{in}-v_{out}}{Z_{f}}}$
On $v_{in}$ és la tensió d'entrada, $v_{out}$ és la tensió de sortida, i $Z_{f}$ és la impedància de realimentació. Si definim la guany de voltatge com:
$A_{v}={\frac {v_{out}}{v_{in}}}$
I la admitància d'entrada es defineix com:
$Y_{i}={\frac {i_{in}}{v_{in}}}$
L'admitància d'entrada pot ser redefinida com:
$Y_{i}={\frac {1-A_{v}}{Z_{f}}}$
Per al pont de Wien, Z $_f$ està donada per:
$Z_{f}=R+{\frac {1}{j\omega C}}$
Substituint i resolent:
$Y_{i}={\frac {\left(1-A_{v}\right)\left(\omega ^{2}C^{2}R+j\omega C\right)}{1+\left(\omega CR\right)^{2}}}$
Si $A_{v}$ és major a 1, l'admitància d'entrada és una resistència negativa (NDR) en paral·lel amb una inductància. La inductància és:
$L_{in}={\frac {\omega ^{2}C^{2}R^{2}+1}{\omega ^{2}C^{2}\left(A_{v}-1\right)}}$
Si es col·loca un capacitor amb el mateix valor de C en paral·lel amb l'entrada, el circuit té una ressonància natural:
$\omega ={\frac {1}{\sqrt {L_{in}C}}}$
Substituint i resolent per a la inductància:
$L_{in}={\frac {R^{2}C}{A_{v}-2}}$
Si necessita un $A_{v}$ amb un valor de 3:
$L_{in}=R^{2}C$
Substituint:
$\omega ={\frac {1}{RC}}$
O també:
$f={\frac {1}{2\pi RC}}$
Similarment, la resistència d'entrada a la freqüència determinada dalt és:
$R_{in}={\frac {-2R}{A_{v}-1}}$
Per $A_{v}$ = 3:
$R_{in}=-R$

## Referències

* "Analog Circuit Design, Art, Science, and Personalities", edited by Jim Williams, 1991, Butterword Heinemann.