# Distribució q de Weibull

En estadística, la distribució q de Weibull és una distribució de probabilitat que generalitza la distribució de Weibull i la distribució de Lomax (Pareto de tipus II). És un exemple de distribució de Tsallis.

## Caracterització
### Funció de densitat de probabilitat

La funció de densitat de probabilitat d'una variable aleatòria amb una distribució q de Weibull és:
    $f(x;q,\lambda ,\kappa )={\begin{cases}(2-q){\frac {\kappa }{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{\kappa -1}e_{q}(-(x/\lambda )^{\kappa })&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}$
on q < 2, $\kappa$ > 0 són paràmetres de forma i λ > 0 és un paràmetre d'escala de la distribució i
    $e_{q}(x)={\begin{cases}\exp(x)&{\text{if }}q=1,\\[6pt][1+(1-q)x]^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ and }}1+(1-q)x>0,\\[6pt]0^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ and }}1+(1-q)x\leq 0,\\[6pt]\end{cases}}$
és la q-exponencial

### Funció de distribució acumulada

La funció de distribució acumulada d'una variable aleatòria q de Weibull és:
    ${\begin{cases}1-e_{q'}^{-(x/\lambda ')^{\kappa }}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
on
    $\lambda '={\lambda \over (2-q)^{1 \over \kappa }}$
    $q'={1 \over (2-q)}$

## Mitjana

La mitjana de la distribució q de Weibull és:
    $\mu (q,\kappa ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \,\left(2+{\frac {1}{1-q}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)(1-q)^{-{\frac {1}{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},2+{\frac {1}{1-q}}\right]&q<1\\\lambda \,\Gamma (1+{\frac {1}{\kappa }})&q=1\\\lambda \,(2-q)(q-1)^{-{\frac {1+\kappa }{\kappa }}}\,B\left[1+{\frac {1}{\kappa }},-\left(1+{\frac {1}{q-1}}+{\frac {1}{\kappa }}\right)\right]&1<q<1+{\frac {1+2\kappa }{1+\kappa }}\\\infty &1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}}\leq q<2\end{cases}}$
on $B$ és la funció beta i $\Gamma$ és la funció gamma. L'expressió per la mitjana és una funció contínua en q sobre en què està definit com a finit.

## Relació amb altres distribucions

La distribució q de Weibull és l'equivalent a la distribució de Weibull quan q = 1 i a la q-exponencial quan $\kappa =1$
La distribució q de Weibull és una generalització de la de Weibull, ja que estén aquesta distribució als casos amb domini finit (q < 1) i inclou les distribucions heavy-tailed $(q\geq 1+{\frac {\kappa }{\kappa +1}})$.
La distribució q de Weibull és una generalització de la distribució de Lomax (Pareto de tipus II), ja que estén aquesta distribució als casos de domini finit i afegeix el paràmetre $\kappa$. Els paràmetres de la Lomax són:
    $\alpha ={{2-q} \over {q-1}}~,~\lambda _{\text{Lomax}}={1 \over {\lambda (q-1)}}$
Com que la distribució de Lomax és una versió modificada de la distribució de Pareto, la distribució q de Weibull amb $\kappa =1$ és una generalització modificada reparametritzada de la de Pareto. Quan q > 1, la q-exponencial és equivalent a la modificada de Pareto que té un domini que comença en el zero. Específicament:
    ${\text{If }}X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Weibull} (q,\lambda ,\kappa =1){\text{ i }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={1 \over {\lambda (q-1)}},\alpha ={{2-q} \over {q-1}}\right)-x_{m}\right],{\text{ llavors}}X\sim Y\,$

## Referències

* 1 2 ; Mendes, R. S.; Malacarne, L. C. q-exponential, Weibull, and q-Weibull distributions: an empirical analysis, 2003.
* ↑ Naudts, Jan «The q-exponential family in statistical physics». J. Phys. Conf. Ser.. IOP Publishing, 201, 2010. arXiv: 0911.5392. DOI: 10.1088/1742-6596/201/1/012003 [Consulta: 9 juny 2014].
* ↑ «On a q-Central Limit Theorem Consistent with Nonextensive Statistical Mechanics». Milan J. Math., 76, 2008. Arxivat de l'original el 4 de març 2016. DOI: 10.1007/s00032-008-0087-y [Consulta: 9 juny 2014]. Arxivat 4 de març 2016 a Wayback Machine.