# Identitats logarítmiques

En matemàtiques, existeixen moltes identitats logarítmiques.

## Identitats algebraiques
### Amb operacions simples

Els logaritmes s'utilitzen normalment per simplificar les operacions. Per exemple, els logaritmes ens permeten resoldre un càlcul que inclou multiplicacions simplement amb sumes.
| $\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$ | donat que | $b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}\!\,$ |
| $\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$ | donat que | ${\begin{matrix}{\frac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}$ |
| $\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$ | donat que | $(b^{x})^{y}=b^{xy}\!\,$ |
| $\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$ | donat que | ${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$ |
| $x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}\!\,$ | donat que | $x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(y)\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}\!\,$ |
On $b$, $x$ i $y$ nombres reals positius i $b\neq 1$.

### Sumes/Restes

Les següents sumes/restes són especialment útils en teoria de probabilitats quan es tracta d'una suma/resta de probabilitats logarítmiques:
* $\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+b^{\log _{b}c-\log _{b}a})$
* $\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-b^{\log _{b}c-\log _{b}a})$
En particular:
* $\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)$
* $\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)$

### Identitats trivials

| $\log _{b}(1)=0\!\,$ | donat que | $b^{0}=1\!\,$ |
| $\log _{b}(b)=1\!\,$ | donat que | $b^{1}=b\!\,$ |
Fixem-nos que $\log _{b}(0)\!\,$ no existeix perquè no hi ha cap nombre $x\!\,$ tal que $b^{x}=0\!\,$. De fet, hi ha una asímptota vertical al gràfic de la funció $f(x)=\log _{b}(x)\!\,$ quan $x=0\!\,$.

### Cancel·lant exponencials

Els logaritmes i exponencials (antilogaritmes) amb la mateixa base es cancel·len. Això és degut al fet que els logaritmes i els exponencials són operacions inverses (tal com passa amb la multiplicació i la divisió).
| $b^{\log _{b}(x)}=x$ | donat que | $\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$ |
| $\log _{b}(b^{x})=x\!\,$ | donat que | $\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$ |

### Canvi de base

    $\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$
Aquesta relació és necessària per trobar els valor d'un logaritme amb una calculadora. Per exemple, la majoria de calculadores tenen els botons ln i log$_{10}$, però no log₂. Per trobar log₂(3), hem de calcular log$_{10}$(3) / log$_{10}$(2) (o ln(3)/ln(2), que té el mateix resultat).

#### Demostració

    Tenim $y=\log _{a}b\,$.
    I per tant $a^{y}=b\,$.
    Si agafem $\log _{c}\,$ als dos membres: $\log _{c}a^{y}=\log _{c}b\,$
    Simplificant i resolent: $y\log _{c}a=\log _{c}b\,$
    $y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$
    Donat que $y=\log _{a}b\,$, llavors $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

#### Conseqüències

Aquesta fórmula té unes quantes conseqüències:
    $\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$
    $\log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}$
    $a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$
    $-\log _{a}b=\log _{a}\left({1 \over b}\right)=\log _{1 \over a}b$
    $\log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,$
On $\scriptstyle \pi \,$ és qualsevol permutació de les bases 1, ..., n. Per exemple
    $\log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,$

## Identitats de càlcul
### Límit

    $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a>1$
    $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a<1$
    $\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a>1$
    $\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a<1$
    $\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$
    $\lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$
L'últim límit es resumeix dient que els logaritmes creixen més lentament que qualsevol potència o arrel de x.

### Derivada de funcions logarítmiques

    ${d \over dx}\ln x={1 \over x}={1 \over x\ln e},\qquad x>0$
    ${d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1$

### Definició a partir d'integral

    $\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

### Integrals de funcions logarítmiques

    $\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$
Per recordar integrals més grans, és necessari definir:
    $x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$
On $H_{n}$ és l'n-èsim nombre harmònic. Per exemple:
    $x^{\left[0\right]}=\log x$
    $x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$
    $x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$
    $x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$
Llavors,
    ${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$
    $\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$