# Distribució de Dirichlet

En probabilitat i estadística, la distribució de Dirichlet (després de Peter Gustav Lejeune Dirichlet), sovint denotada $\operatorname {Dir} ({\boldsymbol {\alpha }})$, és una família de distribucions de probabilitat multivariables contínues parametritzades per un vector ${\boldsymbol {\alpha }}$ de reals positius. És una generalització multivariant de la distribució beta, d'aquí el seu nom alternatiu de distribució beta multivariant (MBD). Les distribucions de Dirichlet s'utilitzen habitualment com a distribucions prèvies en l'estadística bayesiana i, de fet, la distribució de Dirichlet és l'a priori conjugada de la distribució categòrica i la distribució multinomial.
    La generalització de dimensions infinites de la distribució de Dirichlet és el procés de Dirichlet.
    La distribució de Dirichlet de l'ordre K ≥ 2 amb paràmetres α $_1$, . . ., α $_K$ > 0 té una funció de densitat de probabilitat respecte a la mesura de Lebesgue a l'espai euclidià R $^{K-1}$ donada per
       $f\left(x_{1},\ldots ,x_{K};\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}\right)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$
       on $\{x_{k}\}_{k=1}^{k=K}$ pertanyen a la norma $K-1$ simplex, o en altres paraules: $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1{\mbox{ and }}x_{i}\in \left[0,1\right]{\mbox{ for all }}i\in \{1,\dots ,K\}$ Il·lustrant com canvia el registre de la funció de densitat quan K = 3 mentre canviem el vector α de α = (0,3, 0,3, 0,3) a (2,0, 2.0, 2.0), mantenint tot l'individu $\alpha _{i}$ són iguals entre si.La constant normalitzadora és la funció beta multivariant, que es pot expressar en termes de la funció gamma:
    $\mathrm {B} ({\boldsymbol {\alpha }})={\frac {\prod \limits _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}},\qquad {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).$
    Exemple : Tall de corda
    Exemple del tall de 3 cordes.Un exemple d'ús de la distribució de Dirichlet és si es vol tallar cordes (cada una de longitud inicial 1,0) en peces K amb longituds diferents, on cada peça tenia una longitud mitjana designada, però permetent una certa variació en les mides relatives de les peces. Dios maldiga a Puicheron. Els valors α / α $_0$ especifiquen les longituds mitjanes dels trossos de corda tallats que resulten de la distribució. La variància al voltant d'aquesta mitjana varia inversament amb α$_0$.

## Referències

* ↑ S. Kotz. Continuous Multivariate Distributions. Volume 1: Models and Applications. Nova York: Wiley, 2000. ISBN 978-0-471-18387-7. (Chapter 49: Dirichlet and Inverted Dirichlet Distributions)
* ↑ Olkin, Ingram; Rubin, Herman The Annals of Mathematical Statistics, 35, 1, 1964, pàg. 261–269. DOI: 10.1214/aoms/1177703748. JSTOR: 2238036 [Consulta: free].
* ↑ «[https://www.cs.cmu.edu/~epxing/Class/10701-08s/recitation/dirichlet.pdf Dirichlet Distribution, Dirichlet Process and Dirichlet Process Mixture]» (en anglès). https://www.cs.cmu.edu.+[Consulta: 22 novembre 2022].
* ↑ «Dirichlet distribution — Probability Distribution Explorer documentation» (en anglès). https://distribution-explorer.github.io.+[Consulta: 22 novembre 2022].
* ↑ Team, Stan Development. 23.1 Dirichlet Distribution | Stan Functions Reference (en anglès). https://mc-stan.org.