# Iteració de Panjer

La iteració de Panjer és un algorisme per calcular l'aproximació a la distribució de probabilitat d'una variable aleatòria composta $S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,$. on $N\,$ i $X_{i}\,$ són variables aleatòries i de tipus especials. En casos més generals la distribució de S és una distribució composta. La recursió per als casos especials considerats va ser introduïda en un article de Harry Panjer (professor emèrit de la Universitat de Waterloo). És molt utilitzat en ciències actuarials (vegeu també risc sistèmic).

## Preliminars

Estem interessats en la variable aleatòria composta $S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,$ on $N\,$ i $X_{i}\,$ compleixen les condicions prèvies següents:

### Distribució de la mida de la seqüència

Suposem que $X_{i}\,$ sigui i.i.d. i independent de $N\,$. A més, $X_{i}\,$ han de ser distribuïts en una xarxa $h\mathbb {N} _{0}\,$ amb ample de xarxa $h>0\,$.
    $f_{k}=P[X_{i}=hk].\,$
En pràctica actuarial, $X_{i}\,$s'obté per discretització de la funció de densitat de la seqüència (superior, inferior ...).

### Distribució de números de la seqüència

El número de la seqüència N és una variable aleatòria, que es diu que té una «distribució de números de la seqüència», i que pot prendre valors 0, 1, 2, ..., etc. Per a la recursió de Panjer, la distribució de probabilitat de N ha de ser membre de la «classe Panjer», també coneguda com la classe (a, b, 0) de les distribucions. Aquesta classe consta de totes les variables aleatòries que compleixen la següent relació:
    $P[N=k]=p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.\,$
per a alguns $a$ i $b$ que compleixen $a+b\geq 0\,$. El valor inicial $p_{0}\,$ es determina de tal manera que $\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.\,$
La recursió Panjer fa ús d'aquesta relació iterativa per especificar una manera recursiva de construir la distribució de probabilitat de S. En el següent $W_{N}(x)\,$denota la funció generatriu de probabilitat de N (per a això, vegeu la taula de classe (a, b, 0) de les distribucions).
En el cas del número de la seqüència, tingueu en compte l'algoritme De Pril. Aquest algoritme és adequat per calcular la distribució de la suma de $n$ variables discretes aleatòries.

## Recursió

L'algorisme proporciona una recursió per calcular $g_{k}=P[S=hk]\,$.
El valor inicial és $g_{0}=W_{N}(f_{0})\,$amb els casos especials
    $g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\quad {\text{ if }}\quad a=0,\,$
i
    $g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}\quad {\text{ for }}\quad a\neq 0,\,$
i es procedeix amb
    $g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.\,$

## Exemple

El següent exemple mostra la densitat aproximada de $\scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}$ on $\scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,$ i $\scriptstyle X\,\sim \,{\text{Frechet}}(1.7,1)$ amb ample de xarxa h = 0.04. (Vegeu distribució de Fréchet).
Com s'observa, pot sorgir un problema en la inicialització de la recursió. Guégan i Hassani (2009) han proposat una solució per abordar aquest tema.

## Referències

* ↑ Panjer, Harry H. «Recursive evaluation of a family of compound distributions.» ( PDF). ASTIN Bulletin. International Actuarial Association, 12, 1, 1981, pàg. 22–26.
* ↑ CV, actuaries.org; Staff page, math.uwaterloo.ca
* ↑ Vose Software Risk Wiki: http://www.vosesoftware.com/riskwiki/Aggregatemodeling-DePrilsrecursivemethod.php
* ↑ De Pril, N. «Improved approximations for the aggregate claims distribution of a life insurance portfolio». Scandinavian Actuarial Journal, 1988, 1988, pàg. 61. DOI: 10.1080/03461238.1988.10413837.
* ↑ Guégan, D.; Hassani, B.K. «A modified Panjer algorithm for operational risk capital calculations». Journal of Operational Risk, 4, 4, 2009, pàg. 53–72.

## Enllaços externs

* Iteració de Panjer i les distribucions amb què es pot utilitzar (anglès)