# Constant d'Apéry

La constant d'Apéry es defineix com el valor de la funció zeta de Riemann per a un valor de la variable igual a 3, ζ(3):
És a dir, la constant d'Apéry és el límit de la sèrie dels inversos dels cubs:
    ${\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right)\end{aligned}}$.
El nom "constant d'Apéry" prové del fet que el matemàtic francès Roger Apéry demostrà, el 1979, que ζ(3) és irracional (proposició coneguda com a Teorema d'Apéry).
Cal destacar que la constant d'Apéry apareix en alguns problemes físics. Per exemple, apareix de manera natural en els termes de segon i tercer ordre de la raó giromagnètica de l'electró (el quocient entre el seu moment dipolar magnètic i el seu moment angular).

## Expressions equivalents

Es coneixen diverses expressions equivalents a la constant d'Apéry, algunes de les quals hi convergeixen més ràpidament que la provinent de la sèrie dels inversos dels cubs.

### Com a sèrie

Leonhard Euler fou el primer en enunciar que
    $\zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)$.
L'any 1890 el matemàtic rus Andrei Màrkov enuncià que
    $\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}$.
El matemàtic indi Srinivasa Ramanujan va enunciar que
    $\zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}$.
I en 1998 el matemàtic quebequès Simon Plouffe va enunciar que
    $\zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}$.
És també notòria l'expressió
    ${\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n-1}}{{n}^{3}{\tbinom {2n}{n}}}}\\&={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k-1}{(k!)}^{2}}{{(2k!)}{k}^{3}}}\end{aligned}}$
L'any 2002 el matemàtic Géry Huvent demostrà que
    $\zeta (3)={\frac {2}{3}}{(\log 2)}^{3}+4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k-1}}{{k}^{3}{2}^{k}{\tbinom {2k}{k}}}}$
S'han trobat també expressions de la constant en forma de sèrie que permeten accelerar-ne l'aproximació. L'expressió següent tendeix a donar 1,43 nous decimals per terme
    $\zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}$.
Aquesta tendeix a donar 3,01 nous decimals per terme
    $\zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}$.
Aquesta altra tendeix a donar 3,92 nous decimals per terme
    $\zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}$.
I aquesta tendeix a donar 5,04 nous decimals per terme
    $\zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}$.

### Com a integral

La constant d'Apéry és fàcilment expressable a partir de la integral
    $\zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz$.
També pot expressar-se a partir d'integrals d'una sola variable, com per exemple amb la integral
    $\zeta (3)=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(2\arctan x)}{(x^{2}+1)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx$
i amb les integrals
    ${\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {x}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx\end{aligned}}$.
Un altre parell d'expressions interessants, com a integral de dues variables, és
    $\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{xy}}\,dx\,dy$.

### A partir de la funció gamma

La constant d'Apéry també té expressions interessants a partir de les funcions gamma i poligamma, com per exemple
    $\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)$

## Referències

* ↑ Euler, Leonhard «Exercitationes analyticae» (en llatí). Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, 17, 1773, p. 173–204 [Consulta: 18 maig 2008].
* ↑ Srivastava, H. M.. Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions. 4, desembre 2000, p. 569–599. DOI 10.11650/twjm/1500407293. OCLC 36978119 [Consulta: 22 agost 2015].
* ↑ Markov, A. A. «Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes». Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg, t. XXXVII, No. 9, 1890, p. 18pp.
* ↑ Berndt, Bruce C. Ramanujan's notebooks, Part II. Springer, 1989.
* ↑ Plouffe, Simon. Identities inspired from Ramanujan Notebooks II, 1998.
* 1 2 3 Weisstein, Eric W., «Constant d'Apéry» a MathWorld (en anglès).
* ↑ Amdeberhan, Tewodros «Faster and faster convergent series for $\zeta (3)$». El. J. Combinat., 3, 1, 1996.
* ↑ Amdeberhan, Tewodros; Zeilberger, Doron «Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method». El. J. Combinat., 4, 2, 1997.
* ↑ Mohammed, Mohamud «Infinite families of accelerated series for some classical constants by the Markov-WZ method». Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 7, 2005, p. 11–24. DOI: 10.46298/dmtcs.342.
* ↑ Wedeniwski, Sebastian. Simon Plouffe. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places. Project Gutenberg, 2001.
* ↑ Wedeniwski, Sebastian. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, 13 desembre 1998.
* ↑ Jensen, Johan Ludwig William Valdemar «Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver». L'Intermédiaire des Mathématiciens, II, 1895, p. 346–347.
* ↑ Blagouchine, Iaroslav V. «Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results». The Ramanujan Journal, 35, 2014, p. 21–110. DOI: 10.1007/s11139-013-9528-5.
* ↑ Beukers, F. «A Note on the Irrationality of $\zeta (2)$ and $\zeta (3)$». Bull. London Math. Soc., 11, 3, 1979, p. 268–272. DOI: 10.1112/blms/11.3.268.
* ↑ Evgrafov, M. A.; Bezhanov, K. A.; Sidorov, Y. V.; Fedoriuk, M. V.. A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian]. Moscow: Nauka, 1969.