# Nombre de Pisot

En matemàtiques, un Nombre de Pisot-Vijayaraghavan, també anomenat simplement Nombre de Pisot o Nombre PV, és un enter algebraic real estrictament superior a 1, que té tots els seus elements conjugats de valor absolut estrictament inferior a 1.
Per exemple, el nombre enter quadràtic $\alpha \ =a+b{\sqrt {d}}\,$, en el que $a$ i $b$ són tots dos enters o la meitat d'un enter senar, admet un conjugat $\alpha '=a-b{\sqrt {d}}\,$; les condicions perquè sigui Nombre de Pisot són, doncs:
    $\alpha >1\quad {\text{i}}\quad -1<\alpha '<1.$
Aquestes condicions són satisfetes pel nombre auri $\varphi$, ja que:
    $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,6180339887...>1\quad {\text{i}}\quad \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {-1}{\varphi }}.$
La condició general va ser estudiada per G. H. Hardy en relació amb un problema d'aproximació diofàntina. Aquest treball va ser estudiat per Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902-1955), un matemàtic indi de la regió de Madras que va anar a Oxford per a treballar amb Hardy a mitjans dels anys 20. Aquesta mateixa condició apareix també a certs problemes sobre les sèries de Fourier i va ser estudiat més tard per Charles Pisot. El nom, format per aquests dos autors, es fa servir actualment de forma generalitzada.
Els nombres de Pisot-Vijayaraghavan poden ser utilitzats per a generar nombres quasi enters: la n-èsima potència d'un nombre de Pisot tendeix a un enter quan $n$ tendeix a l'infinit. Per exemple,
* $\varphi ^{21}=24~476,000~040~9$
* $\varphi ^{22}=39~602,999~974~7$
* $\varphi ^{23}=64~079,000~015~6$
Aquest efecte és més pronunciat en les nombres de Pisot-Vijayaraghavan engendrats a partir d'equacions de grau més alt.
Aquesta propietat prové del fet que per a cada $n$, la suma de les n-èsimes potències d'un enter algebraic $x$ i dels seus conjugats és exactament un enter; quan $x$ és un nombre de Pisot, les n-èsimes potències dels (altres) conjuguats tendeixen vers $0$ quan $n$ tendeix vers l'infinit.
El nombre de Pisot-Vijayaraghavan més petit, conegut amb el nom de nombre plàstic ou nombre de plata, és l'única arrel real del polinomi $x^{3}-x-1$ (aproximadament 1,324717957 ...). Aquest nombre va ser identificat com el més petit per Raphaël Salem el 1944 i Carl Ludwig Siegel va demostrar que era el menor possible el mateix any. Siegel també va identificar el segon nombre de Pisot més petit com l'arrel positiva de $x^{4}-x^{3}-1$ (aproximadament 1,38027756 ...).

## Llista de nombres de Pisot

Nombres de Pisot inferiors a 1,618 en ordre creixent.
| | Valor | Arrel de... |
| 1 | 1,3247179572447460260 | $x^{3}-x-1\,$ |
| 2 | 1,3802775690976141157 | $x^{4}-x^{3}-1\,$ |
| 3 | 1,4432687912703731076 | $x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1\,$ |
| 4 | 1,4655712318767680267 | $x^{3}-x^{2}-1\,$ |
| 5 | 1,5015948035390873664 | $x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1\,$ |
| 6 | 1,5341577449142669154 | $x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1\,$ |
| 7 | 1,5452156497327552432 | $x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1\,$ |
| 8 | 1,5617520677202972947 | $x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1\,$ |
| 9 | 1,5701473121960543629 | $x^{5}-x^{4}-x^{2}-1\,$ |
| 10 | 1,5736789683935169887 | $x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1\,$ |
| 11 | 1,5900053739013639252 | $x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,$ |
| 12 | 1,5911843056671025063 | $x^{9}-x^{8}-x^{7}+x^{2}-1\,$ |
| 13 | 1,6013473337876367242 | $x^{7}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,$ |
| 14 | 1,6017558616969832557 | $x^{10}-x^{9}-x^{8}+x^{2}-1\,$ |
| 15 | 1,6079827279282011499 | $x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,$ |
| 16 | 1,6081283851873869594 | $x^{11}-x^{10}-x^{9}+x^{2}-1\,$ |
| 17 | 1,6119303965641198198 | $x^{9}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,$ |
| 18 | 1,6119834212464921559 | $x^{12}-x^{11}-x^{10}+x^{2}-1\,$ |
| 19 | 1,6143068232571485146 | $x^{11}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,$ |
| 20 | 1,6143264149391271041 | $x^{13}-x^{12}-x^{11}+x^{2}-1\,$ |
| 21 | 1,6157492027552106107 | $x^{11}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,$ |
| 22 | 1,6157565175408433755 | $x^{14}-x^{13}-x^{12}+x^{2}-1\,$ |
| 23 | 1,6166296843945727036 | $x^{13}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,$ |
| 24 | 1,6166324353879050082 | $x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^{2}-1\,$ |
| 25 | 1,6171692963550925635 | $x^{13}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,$ |
| 26 | 1,6171703361720168476 | $x^{16}-x^{15}-x^{14}+x^{2}-1\,$ |
| 27 | 1,6175009054313240144 | $x^{15}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,$ |
| 28 | 1,6175012998129095573 | $x^{17}-x^{16}-x^{15}+x^{2}-1\,$ |
| 29 | 1,6177050699575566445 | $x^{15}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,$ |
| 30 | 1,6177052198884550971 | $x^{18}-x^{17}-x^{16}+x^{2}-1\,$ |
| 31 | 1,6178309287889738637 | $x^{17}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,$ |
| 32 | 1,6178309858778122988 | $x^{19}-x^{18}-x^{17}+x^{2}-1\,$ |
| 33 | 1,6179085817671650120 | $x^{17}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,$ |
| 34 | 1,6179086035278053858 | $x^{20}-x^{19}-x^{18}+x^{2}-1\,$ |
| 35 | 1,6179565199535642392 | $x^{19}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\,$ |
| 36 | 1,6179565282539765702 | $x^{21}-x^{20}-x^{19}+x^{2}-1\,$ |
| 37 | 1,6179861253852491516 | $x^{19}-x^{18}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^{8}-x^{6}-x^{4}-x^{2}-1\,$ |
| 38 | 1,6179861285528618287 | $x^{22}-x^{21}-x^{20}+x^{2}-1\,$ |

## Bibliografia

* Bertin, Marie José et al., Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser, 1992. ISBN 9783764326487. (anglès)
* Boyd, D.W., « Pisot and Salem numbers in intervals of the real line », a Mathematics of Computation, Volum 32 (1978). Pàgines 1244–1260. (anglès)
* Mukunda, Keshav. Pisot and Salem Numbers from Polynomials of Height One. Simon Fraser University. Canadà, 2007 ISBN 9780494405741. (anglès)

### Enllaços externs

* Weisstein, Eric W., «Nombre de Pisot» a MathWorld (en anglès).