# Distribucions de Mittag-Leffler

Les distribucions de Mittag-Leffler són dues famílies de distribucions de probabilitat a la mitja línia $[0,\infty )$. Estan parametritzats per un real $\alpha \in (0,1]$ o $\alpha \in [0,1]$ . Tots dos es defineixen amb la funció Mittag-Leffler, que porta el nom de Gösta Mittag-Leffler.

## La funció Mittag-Leffler

Per a qualsevol complex $\alpha$ la part real del qual és positiva, la sèrie
$E_{\alpha }(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma (1+\alpha n)}}$
defineix una funció sencera. Per $\alpha =0$, la sèrie convergeix només en un disc de radi 1, però analíticament es pot estendre a $\mathbb {C} \setminus \{1\}$.

## Primera família de distribucions Mittag-Leffler

La primera família de distribucions de Mittag-Leffler es defineix per una relació entre la funció de Mittag-Leffler i les seves funcions de distribució acumulada.
Per a tot $\alpha \in (0,1]$, la funció $E_{\alpha }$ està augmentant en la línia real, convergeix a $0$ en $-\infty$, i $E_{\alpha }(0)=1$. Per tant, la funció $x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })$ és la funció de distribució acumulada d'una mesura de probabilitat sobre els nombres reals no negatius. La distribució així definida, i qualsevol dels seus múltiples, s'anomena distribució d'ordre de Mittag-Leffler $\alpha$.
Totes aquestes distribucions de probabilitat són absolutament contínues. Des que $E_{1}$ és la funció exponencial, la distribució de l'ordre de Mittag-Leffler $1$ és una distribució exponencial. Tanmateix, per $\alpha \in (0,1)$, les distribucions de Mittag-Leffler són de cua pesada. La seva transformada de Laplace ve donada per:
$\mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},$
que implica que, per $\alpha \in (0,1)$, l'expectativa és infinita. A més, aquestes distribucions són distribucions geomètriques estables. Els procediments d'estimació de paràmetres es poden trobar aquí.

## Segona família de distribucions de Mittag-Leffler

La segona família de distribucions de Mittag-Leffler es defineix per una relació entre la funció de Mittag-Leffler i les seves funcions generadores de moments.
Per a tot $\alpha \in [0,1]$, una variable aleatòria $X_{\alpha }$ es diu que segueix una distribució d'ordre de Mittag-Leffler $\alpha$ si, per alguna constant $C>0$,
$\mathbb {E} (e^{zX_{\alpha }})=E_{\alpha }(Cz),$
on la convergència és per a tots $z$ en el pla complex si $\alpha \in (0,1]$, i tot $z$ en un disc de radi $1/C$ si $\alpha =0$.

## Referències

* ↑ H. J. Haubold A. M. Mathai. Proceedings of the Third UN/ESA/NASA Workshop on the International Heliophysical Year 2007 and Basic Space Science: National Astronomical Observatory of Japan (en anglès). Springer, 2009, p. 79 (Astrophysics and Space Science Proceedings). ISBN 978-3-642-03325-4.
* ↑ Lin, Gwo Dong «On the Mittag–Leffler distributions» (en anglès). Journal of Statistical Planning and Inference, 74, 1, 01-10-1998, pàg. 1–9. DOI: 10.1016/S0378-3758(98)00096-2. ISSN: 0378-3758.
* ↑ D.O. Cahoy V.V. Uhaikin W.A. Woyczyński Journal of Statistical Planning and Inference, 140, 11, 2010, pàg. 3106–3120. arXiv: 1806.02774. DOI: 10.1016/j.jspi.2010.04.016.
* ↑ D.O. Cahoy Communications in Statistics - Simulation and Computation, 42, 2, 2013, pàg. 303–315. arXiv: 1806.02792. DOI: 10.1080/03610918.2011.640094.