# Nivells de Landau

En mecànica quàntica, les energies de les òrbites del ciclotró de partícules carregades en un camp magnètic uniforme es quantifiquen a valors discrets, coneguts per tant com a nivells de Landau. Aquests nivells són degenerats, amb el nombre d'electrons per nivell directament proporcional a la força del camp magnètic aplicat. Porta el nom del físic soviètic Lev Landau.
La quantificació de Landau contribueix a la susceptibilitat magnètica dels metalls, coneguda com a diamagnetisme de Landau. Sota camps magnètics forts, la quantificació de Landau condueix a oscil·lacions en les propietats electròniques dels materials en funció del camp magnètic aplicat conegut com els efectes De Haas–Van Alphen i Shubnikov–de Haas.
La quantificació Landau és un ingredient clau en l'explicació de l'efecte Hall quàntic sencer.

## Derivació

Considereu un sistema de partícules que no interaccionen amb càrrega q i espín S confinat a una àrea A = L$_x$L$_y$ en el pla x-y. Aplicar un camp magnètic uniforme $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}$ al llarg de l'eix z. En unitats SI, l'hammiltonià d'aquest sistema (aquí, els efectes de l'espí es descuiden) és ${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}\right)^{2}.$ Aquí, p$^^${\textstyle {\hat {\mathbf {p} }}} és l'operador de moment canònic i A$^^${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}} és l'operador del potencial vectorial electromagnètic A{\textstyle \mathbf {A} } (a l'espai de posició A$^^$=A{\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}=\mathbf {A} }).
El potencial vectorial està relacionat amb el camp magnètic per $\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} .$
Hi ha certa llibertat de gauge en l'elecció del potencial vectorial per a un camp magnètic determinat. L'hammiltonià és invariant de gauge, la qual cosa significa que afegir el gradient d'un camp escalar a A canvia la fase global de la funció d'ona en una quantitat corresponent al camp escalar. Però les propietats físiques no estan influenciades per l'elecció específica del calibre.

## Gauge Landau

A partir de les possibles solucions per a A, s'utilitza sovint una fixació de calibre introduïda per Lev Landau per a partícules carregades en un camp magnètic constant.
Quan $\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}$ aleshores $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0\\B\cdot x\\0\end{pmatrix}}$ és una possible solució en el calibre de Landau.
En aquest calibre, l'hammiltonià és ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.$ L'operador ${\hat {p}}_{y}$ commuta amb aquest hamiltonià, ja que l'operador ŷ està absent per l'elecció del gauge. Així l'operador ${\hat {p}}_{y}$ es pot substituir pel seu valor propi ħk$_y$. Des de ${\hat {z}}$ no apareix a l'Hamiltonià i només el moment z apareix en l'energia cinètica, aquest moviment al llarg de la direcció z és un moviment lliure.
L'hammiltonià també es pot escriure de manera més senzilla observant que la freqüència del ciclotró és ω$_c$ = qB/m, donant ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.$ Això és exactament l' Hamiltonià per a l'oscil·lador harmònic quàntic, excepte amb el mínim del potencial desplaçat en l'espai de coordenades x$_0$ = ħk$_y$/mω$_c$.
Per trobar les energies, tingueu en compte que la traducció del potencial de l'oscil·lador harmònic no afecta les energies. Així, les energies d'aquest sistema són idèntiques a les de l'oscil·lador harmònic quàntic estàndard, $E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0~.$ L'energia no depèn del nombre quàntic k$_y$, de manera que hi haurà un nombre finit de degeneracions (si la partícula es col·loca en un espai no confinat, aquesta degeneració correspondrà a una seqüència contínua de $p_{y}$ ). El valor de $p_{z}$ és contínua si la partícula no està confinada en la direcció z i discreta si la partícula també està limitada en la direcció z. Cada conjunt de funcions d'ona amb el mateix valor de n s'anomena nivell de Landau.
Per a les funcions d'ona, recordeu-ho ${\hat {p}}_{y}$ es desplaça amb l'hammiltonià. Aleshores, la funció d'ona es converteix en un producte dels estats propis del moment en la direcció y i dels estats propis de l'oscil·lador harmònic. $|\phi _{n}\rangle$ desplaçat en una quantitat x $_0$ en la direcció x : $\Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})$ on $k_{z}=p_{z}/\hbar$. En resum, l'estat de l'electró es caracteritza pels nombres quàntics, n, k$_y$ i k$_z$.

## Referències

* ↑ Landau, L. (en alemany) Zeitschrift für Physik, 64, 9–10, 1930, pàg. 629–637. Bibcode: 1930ZPhy...64..629L. DOI: 10.1007/bf01397213. ISSN: 1434-6001.
* ↑ «LANDAU LEVELS» (en anglès). [Consulta: 28 octubre 2024].
* ↑ «Charge in Magnetic Field» (en anglès). courses.physics.illinois.edu. [Consulta: 11 març 2023].
* ↑ Landau, L. D.. Quantum mechanics : non-relativistic theory (en anglès). 3rd. Butterworth Heinemann, 1977, p. 424–426. ISBN 978-0-7506-3539-4. OCLC 846962062.