# Teorema de convolució

En matemàtica, el teorema de convolució estableix que en determinades circumstàncies, la Transformada de Fourier d'una convolució és el producte punt a punt de les transformades de Fourier. En altres paraules, la convolució en un domini (per exemple el domini temporal) és equivalent al producte punt a punt en l'altre domini (és a dir domini espectral).
Siguin f i g dues funcions la convolució s'expressa amb $f*g\,$. (Nota: l'asterisc en aquest context, indica convolució i no multiplicació, de vegades s'utilitza també el símbol $\otimes \,$). Sigui ${\mathcal {F}}\,$ l'operador de la transformada de Fourier, de manera que ${\mathcal {F}}[f]$ i ${\mathcal {F}}[g]$ són les transformades de Fourier de f i g , respectivament.
Llavors
    ${\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])$
on "·" indica producte punt. També es pot afirmar que:
    ${\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])$
Aplicant la transformada inversa de Fourier ${\mathcal {F}}^{-1}$, podem escriure:
    $f*g={\sqrt {2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}[{\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]]$

## Demostració

La demostració funciona per normalitzacions unitàries i no unitàries de la transformada de Fourier, però en la versió unitària té factors extres de ${\sqrt {2\pi }}$ que aquí, són inconvenients. Siguin $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$
Siguin $F\,$ la transformada de Fourier de $f\,$ i $G\,$ la transformada de Fourier de $g\,$:
    $F(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx$
    $G(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx$.
Sigui $h\,$ la convolució de $f\,$ i $g\,$
    $h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.$
Nota:
    $\int \int |f(z)g(xz)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(zx)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.$
Pel teorema de Fubini tenim que $h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, així que la seva transformada de Fourier està definida.
Sigui $H\,$ la transformada de Fourier de $h\,$:
    $H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz.$
Tenint en compte que $|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }|=|f(x)g(z-x)|$ i gràcies a l'argument d'abans podem aplicar novament el teorema de Fubini:
    $H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz\right)\,dx.$
Substituint $y=z-x\,$; tenim $dy=dz\,$, i per tant:
    $H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }\,dy\right)\,dx$
          $=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy\right)\,dx$
          $=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy.$
Aquestes dues integrals són les definicions de $F(\omega )$ i $G(\omega )$, així que:
    $H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).$
Que és el que volíem demostrar.

## Referències

* ↑ O'Shea, Donald C.; Suleski, Thomas J.; Kathman, Alan D.; Prather, Dennis W. Diffractive Optics: Design, Fabrication, and Test (en anglès). SPIE Press, 2004. ISBN 9780819451712 [Consulta: 26 desembre 2021]. «The convolution theorem states that the Fourier transform of the convolution of two functions is equal to the product of the Fourier transform of the individual functions.»
* ↑ Norton, Robert L. Cam Design and Manufacturing Handbook (en anglès). Industrial Press Inc., 2009. ISBN 9780831133672 [Consulta: 26 desembre 2021]. «The significance of this relationship is that a complicated mathematical operation (convolution) in the time domain can be accomplished by first Fourier transforming the functions to the frequency domain and then performing a simple operation: multiplication.»

## Bibliografia addicional

* Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4
* Li, Bing & Babu, G. Jogesh (2019), "Convolution Theorem and Asymptotic Efficiency", A Graduate Course on Statistical Inference, Nova York: Springer, pàg. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
* Crutchfield, Steve (October 9, 2010), The Joy of Convolution, <http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html>. Consulta: 19 novembre 2010