# Estructura d'espín

En geometria diferencial, una estructura d'espín sobre una varietat riemanniana orientable (M, g) permet definir paquets d'espinos associats, donant lloc a la noció d'espinor en geometria diferencial.
Les estructures d'espín tenen àmplies aplicacions a la física matemàtica, en particular a la teoria quàntica de camps on són un ingredient essencial en la definició de qualsevol teoria amb fermions sense càrrega. També són d'interès purament matemàtic en geometria diferencial, topologia algebraica i teoria K. Constitueixen la base de la geometria de l'espin.

## Visió general

En geometria i en teoria de camps, els matemàtics es pregunten si una varietat de Riemann orientada donada (M, g) admet spinors. Un mètode per fer front a aquest problema és requerir que M tingui una estructura de gir. Això no sempre és possible ja que hi ha potencialment una obstrucció topològica a l'existència d'estructures de spin. Les estructures d'espins existiran si i només si la segona classe Stiefel–Whitney w$_2$ (M) ∈ H$^2$ (M, Z$_2$) de M desapareix. A més, si w$_2$(M) = 0, aleshores el conjunt de les classes d'isomorfisme d'estructures d'espín sobre M actua lliurement i transitivament per H$^1$ ( M, Z$_2$ ). Com que se suposa que la varietat M està orientada, la primera classe Stiefel–Whitney w$_1$ (M) ∈ H$^1$ (M, Z$_2$) de M també s'esvaeix. (Les classes Stiefel–Whitney w$_i$ (M) ∈ H$^i$ (M, Z$_2$) d'una varietat M es defineixen com a les classes Stiefel–Whitney del seu paquet tangent TM).
El paquet d'espinors π$_S$: S → M sobre M és aleshores el conjunt vectorial complex associat amb el corresponent paquet principal π$_P$: P → M de trames de spin sobre M i la representació de spin del seu grup d'estructura Spin(n) a l'espai. d'espinors Δ$_n$. El paquet S s'anomena paquet d'espinos per a una estructura de spin donada a M.
Una definició precisa de l'estructura de spin al col·lector només va ser possible després que s'hagués introduït la noció de paquet de fibres; André Haefliger (1956) va trobar l'obstrucció topològica a l'existència d'una estructura de spin en una varietat riemanniana orientable i Max Karoubi (1968) va estendre aquest resultat al cas pseudo-riemannià no orientable.

## Aplicació a la física de partícules

En física de partícules, el teorema de l'espín-estadística implica que la funció d'ona d'un fermió sense càrrega és una secció del paquet vectorial associat a l'elevació de spin d'un paquet SO( N ) E. Per tant, l'elecció de l'estructura de gir forma part de les dades necessàries per definir la funció d'ona, i sovint cal sumar aquestes opcions a la funció de partició. En moltes teories físiques E és el paquet tangent, però per als fermions dels volums mundials de D-branes en teoria de cordes és un paquet normal.
En la teoria quàntica de camps, els espinors carregats són seccions de paquets d'espin $^c$ associats i, en particular, no poden existir espinors carregats en un espai que no sigui espín $^c$. Una excepció sorgeix en algunes teories de la supergravetat on les interaccions addicionals impliquen que altres camps poden cancel·lar la tercera classe Stiefel-Whitney. La descripció matemàtica dels espinors en la supergravetat i la teoria de cordes és un problema obert especialment subtil, que es va abordar recentment en referències. Resulta que la noció estàndard d'estructura de spin és massa restrictiva per a les aplicacions a la supergravetat i la teoria de cordes, i que la noció correcta d'estructura espinorial per a la formulació matemàtica d'aquestes teories és una "estructura de Lipschitz".

## Referències

* ↑ Haefliger, A. C. R. Acad. Sci. Paris, 243, 1956, pàg. 558–560.
* ↑ J. Milnor L'Enseignement Mathématique, 9, 1963, pàg. 198–203.
* ↑ Lichnerowicz, A. Bull. Soc. Math. Fr., 92, 1964, pàg. 11–100. DOI: 10.24033/bsmf.1604 [Consulta: free].
* ↑ Karoubi, M. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., 1, 2, 1968, pàg. 161–270. DOI: 10.24033/asens.1163 [Consulta: free].
* ↑ Lazaroiu, C. «On the spin geometry of supergravity and string theory». A: Geometric Methods in Physics XXXVI (en anglès), 2019, p. 229–235 (Trends in Mathematics). DOI 10.1007/978-3-030-01156-7_25. ISBN 978-3-030-01155-0.
* ↑ Friedrich, Thomas; Trautman, Andrzej Annals of Global Analysis and Geometry, 18, 3, 2000, pàg. 221–240. arXiv: math/9901137. DOI: 10.1023/A:1006713405277.