# Distribució multinomial

En probabilitat i estadística la distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan en un experiment aleatori hi ha més de dos resultats possibles. Concretament, fem $n$ repeticions d'un experiment que té $k$ resultats diferents possibles i comptem el nombre de vegades que es produeix cadascun dels resultats possibles. Entre les nombroses aplicacions d'aquesta distribució en Estadística destaca el test de Pearson de la $\chi ^{2}$.

## Definició

Considerem un experiment aleatori que pot tenir $k$ resultats diferents, que designarem per $R_{1},\dots ,R_{k}$, mútuament excloents, amb probabilitats respectives $p_{1},\dots ,p_{k}\in (0,1)$ tals que $p_{1}+\cdots +p_{k}=1$. Fem $n$ repeticions independents i denotem per $X_{1}$ el nombre de vegades que obtenim el resultat $R_{1}$, per $X_{2}$ el nombre de vegades que obtenim el resultat $R_{2}$, i així successivament. Aleshores la probabilitat d'obtenir $x_{1}$ vegades el resultat $R_{1}$, $x_{2}$ vegades el resultat $R_{2}$, etc., amb $x_{1}+\cdots +x_{k}=n$, és$P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{k}=x_{k})={\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}\,p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}.$Cal recordar que a l'expressió de l'esquerra, les comes indiquen interseccions, així,$P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{k}=x_{k})=P{\big\{X_{1}=x_{1}\}\cap \cdots \cap \{X_{k}=x_{k}\}{\big )}.$Es diu que el vector ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})$ segueix una distribució multinomial de paràmetres $n,p_{1},\dots ,p_{k}$, i s'escriu ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{k})$. Cal notar que cada component $X_{i}$ té una distribució binomial de paràmetres $n$ i $p_{i}$, $X_{i}\sim B(n,p_{i})$. De fet, una distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan hi ha més de dos resultats possibles.
Exemple. Tenim una urna amb 4 boles blanques, 3 vermelles i 3 grogues. Traiem $n=4$ boles amb reemplaçament, és a dir, traiem una bola, anotem el color, la retornem a l'urna, en traiem una altra, la retornem, i així successivament fins que hem tret quatre boles. Designem per:
    $X_{1}$: nombre de boles blanques que traiem.
    $X_{2}$: nombre de boles vermelles que traiem.
    $X_{3}$: el nombre de boles grogues que traiem.
Tenim que $p_{1}=0'4$, $p_{2}=0'3$ i $p_{3}=0'3$. Llavors, la probabilitat de treure 1 bola blanca, 1 vermella i 2 grogues és$P(X_{1}=1,X_{2}=1,X_{3}=2)={\binom {4!}{1!\,1!\,2!}}\,0'4^{1}\,0'3^{1}\,0'3^{2}=0'1296.$Coeficients multinomials. Recordem que${\binom {n}{x,\dots ,x_{k}}}={\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}$s'anomena coeficient multinomial. Aquest coeficient intervé en generalització de la fórmula del binomi de Newton quan hi ha més de dos sumands:$(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k})^{n}=\sum {\binom {n}{x_{1},\dots ,x_{k}}}a_{1}^{x_{1}}\cdots a_{k}^{x_{k}},\qquad (*)$on la suma es fa sobre totes les $k$-ples $(x_{1},\dots ,x_{k})\in \mathbb {\ 0,1,\dots ,n\}^{k}$ tals que $x_{1}+\cdots +x_{k}=n$. La fórmula (*) intervé a l'estudi de moltes propietats d'aquesta distribució.
Comentari sobre la nomenclatura. Atès que $X_{1}+\cdots +X_{k}=n$ i que els paràmetres són redundants, ja que $p_{1}+\cdots +p_{k}=1$, alguns autors, per exemple Wilks, proposen una notació alternativa: diuen que un vector $(X_{1},\dots ,X_{k})$ segueix una distribució multinomial de paràmetres $n,p_{1},\dots ,p_{k}$, on $p_{1},\dots ,p_{k}\in (0,1),\ {\text{amb}}\ p_{1}+\cdots +p_{k}<1$, si la funció de probabilitat és$P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{k}=x_{k})={\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!(n-\sum _{i=1}^{k}x_{i})!}}\,p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}(1-\sum _{i=1}^{k}p_{i})^{n-\sum _{i=1}^{k}x_{i}},$on $\sum _{i=1}^{k}x_{i}\leq n$. Seber, quan $\sum _{i=1}^{k}p_{i}=1$, diu que és la forma singular de la distribució multinomial, mentre que si $\sum _{i=1}^{k}p_{i}<1$ és la formulació no singular. La notació que utilitzem en aquest article és la més habitual, però és recomanable comprovar quina definició de distribució multinomial s'està utilitzant.

## Propietats
### Esperança, variància i covariància

L'esperança de cada component és$E[X_{j}]=np_{j},\ j=1,\dots ,k.$La variància és${\text{Var}}(X_{j})=np_{j}(1-p_{j}),\ j=1,\dots ,k.$Ambdues propietats es dedueixen del fet que $X_{j}$ té una distribució binomial $B(n,p_{j})$.
Per a $i\neq j$, la covariància és (vegeu la demostració després de la funció característica)${\text{Cov}}(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}.$D'aquí resulta que el coeficient de correlació entre $X_{i}$ i $X_{j}$ és$\rho (X_{i},X_{j})={\frac {{\text{Cov}}(X_{i},X_{j})}{\sqrt {{\text{Var}}(X_{i}){\text{Var}}(X_{j})}}}=-{\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(1-p_{i})(1-p_{j})}}},$que és independent de $n$.
La matriu de variàncies-covariàncies és $n{\boldsymbol {\Sigma }}$, on${\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}p_{1}(1-p_{1})&-p_{1}p_{2}&\cdots &-p_{1}p_{k}\\-p_{1}p_{2}&p_{2}(1-p_{2})&\cdots &-p_{2}p_{k}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\-p_{1}p_{k}&-p_{2}p_{k}&\cdots &p_{k}(1-p_{k})\end{pmatrix}}$que té rang $k-1$.
Escriptura compacta de la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$
La matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$ es pot escriure de la següent forma:${\boldsymbol {\Sigma }}={\text{Diag}}\ ({\boldsymbol {p}})-{\boldsymbol {p}}'{\boldsymbol {p}},$on ${\boldsymbol {p}}=(p_{1},\dots ,p_{k})$ (en aquest article escriurem tots els vectors en fila), ${\text{Diag}}\ ({\boldsymbol {p}})$ és una matriu diagonal amb els elements $p_{1},\dots ,p_{k}$, i per una matriu (o vector) ${\boldsymbol {B}}$, denotarem per ${\boldsymbol {B}}'$ la seva transposada.
${\boldsymbol {\Sigma }}$
$X_{1},\dots ,X_{k}$
$X_{1}+\cdots +X_{k}=n$
$b_{1},\dots ,b_{n}\in \mathbb {R}$
${\begin{vmatrix}b_{1}(1-b_{1})&-b_{1}b_{2}&\cdots &-b_{1}b_{n}\\-b_{1}b_{2}&b_{2}(1-b_{2})&\cdots &-b_{2}b_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\-b_{1}b_{n}&-b_{2}b_{n}&\cdots &b_{n}(1-b_{n})\end{vmatrix}}=b_{1}\cdots b_{n}(1-\sum _{i=1}^{n}b_{i}).$
$b_{1}$
$b_{2}$
${\begin{vmatrix}b_{1}(1-b_{1})&-b_{1}b_{2}&\cdots &-b_{1}b_{n}\\-b_{1}b_{2}&b_{2}(1-b_{2})&\cdots &-b_{2}b_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\-b_{1}b_{n}&-b_{2}b_{n}&\cdots &b_{n}(1-p_{n})\end{vmatrix}}=b_{1}\cdots b_{n}\,{\begin{vmatrix}1-b_{1}&-b_{2}&\cdots &-b_{n}\\-b_{1}&1-b_{2}&\cdots &-b_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\-b_{1}&-b_{2}&\cdots &1-p_{n}\end{vmatrix}}.$
${\begin{vmatrix}1-b_{1}&-b_{2}&\cdots &-b_{n}\\-b_{1}&1-b_{2}&\cdots &-b_{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\-b_{1}&-b_{2}&\cdots &1-p_{n}\end{vmatrix}}=1-\sum _{i=1}^{n}b_{i}.$
${\boldsymbol {\Sigma }}$
${\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}=0$
${\boldsymbol {\Sigma }}_{*}={\begin{pmatrix}p_{1}(1-p_{1})&-p_{1}p_{2}&\cdots &-p_{1}p_{k-1}\\-p_{1}p_{2}&p_{2}(1-p_{2})&\cdots &-p_{2}p_{k-1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\-p_{1}p_{k-1}&-p_{2}p_{k-1}&\cdots &p_{k-1}(1-p_{k-1})\end{pmatrix}}$
${\text{det}}\ {\boldsymbol {\Sigma }}_{*}\neq 0$

### Funció característica i funció generatriu de moments

La funció característica del vector ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})$ és$\varphi (t_{1},\dots ,t_{k})=E[e^{i(t_{1}X_{1}+\cdots +t_{k}X_{k})}]={\bigp_{1}e^{it_{1}}+\cdots +p_{k}e^{it_{k}}{\big )}^{n},\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} .$La funció generatriu de moments és$L(t_{1},\dots ,t_{k})==E[e^{t_{1}X_{1}+\cdots +t_{k}X_{k}}]={\bigp_{1}e^{t_{1}}+\cdots +p_{k}e^{t_{k}}{\big )}^{n},\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} .$La funció generatriu de probabilitats és$G(z_{1},\dots ,z_{k})=E{\bigz_{1}e^{X_{1}}\cdots z_{k}^{X_{k}}{\big ]}={\bigp_{1}z_{1}+\cdots +p_{k}z_{k}),\ z_{1},\dots ,z_{k}\in \mathbb {C} .$
$t_{1},\dots ,t_{k}$
${\begin{aligned}\varphi (t_{1},\dots ,t_{k})&=E(e^{i\sum _{j=1}^{k}t_{j}X_{j}})=\sum _{x_{1},\dots ,x_{k}\in \{0,\dots ,n\}, \atop \sum _{j=1}^{k}x_{j}=n}{\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}\,e^{i\sum _{j=1}^{k}t_{j}x_{j}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}\\&=\sum _{x_{1},\dots ,x_{k}\in \{0,\dots ,n\}, \atop \sum _{j=1}^{k}x_{j}=n}{\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}\,{\bigp_{1}e^{it_{1}}{\big )}^{x_{1}}\cdots {\bigp_{k}e^{it_{k}})^{x_{k}}={\bigp_{1}e^{it_{1}}+\dots +p_{k}e^{it_{k}}{\big )}^{n},\end{aligned}}$
${\text{Cov}}(X_{1},X_{2})$
$E[X_{1}X_{2}]$
${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})$
$n$
$n_{1},\dots ,n_{k}\geq 0$
$E(X_{1}^{n_{1}}\cdots X_{k}^{n_{k}})={\frac {1}{i^{n_{1}+\cdots n_{k}}}}\,{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{k}}}{\partial t_{1}^{n_{1}}\cdots \partial t_{k}^{n_{k}}}}\,\varphi (t_{1}\dots ,t_{k}){\Big \vert }_{t_{1}=0,\dots ,t_{k}=0}.$
${\frac {\partial ^{2}}{\partial t_{1}\partial t_{2}}}\varphi (t_{1},\dots ,t_{k})=-n(n-1)(p_{1}e^{it_{1}}+\cdots +p_{k}e^{it_{k}})^{n-2}p_{1}p_{2}e^{it_{1}}e^{it_{2}},$
$E(X_{1}X_{2})=n(n-1)p_{1}p_{2}.$
${\text{Cov}}(X_{1},X_{2})=E[X_{1}X_{2}]-E[X_{1}]\,E[X_{2}]=n(n-1)p_{1}p_{2}-n^{2}p_{1}p_{2}=-n\,p_{1}p_{2}.$

## Caràcter reproductiu

Siguin ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})\sim M(n;p_{1},\dots ,p_{d})$ i ${\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{d})\sim M(m;p_{1},\dots ,p_{d})$ independents. Aleshores ${\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {Y}}\sim M(n+m;p_{1},\dots ,p_{k})$. Es diu que la distribució multinomial és reproductiva respecte de $n$. També s'escriu$M(n;p_{1},\dots ,p_{k})*M(m;p_{1},\dots ,p_{k})=M(n+m;p_{1},\dots ,p_{k}),$on $*$ designa la convolució de probabilitats.

## Comportament asimptòtic
### La distribució multinomial és asimptòticament normal

Com a conseqüència del teorema central del límit multidimensional, si considerem una successió ${\boldsymbol {X}}_{n}={\bigX_{n1},\dots ,X_{nk}{\big )}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{k})$, $n\geq 1$, aleshores${\frac {1}{\sqrt {n}}}{\Big{\boldsymbol {X}}_{n}-n{\boldsymbol {p}}{\Big )}\mathrel {\mathop {\longrightarrow } \limits _{n\to \infty }^{\mathcal {D}}} {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {\Sigma }}),$on ${\boldsymbol {p}}=(p_{1},\dots ,p_{k})$, ${\boldsymbol {\Sigma }}$ és la matriu que hem introduït abans i ${\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {\Sigma }})$ és una distribució normal multidimensional centrada amb matriu de variàncies covariàncies ${\boldsymbol {\Sigma }}$. Normalment, aquesta propietat s'escriu en components suprimint el subíndex $n$ de les variables $X_{n1},\dots ,X_{nk}$:${\frac {1}{\sqrt {n}}}{\bigX_{1}-np_{1},\dots ,X_{k}-np_{k}{\big )}\mathrel {\mathop {\longrightarrow } \limits _{n\to \infty }^{\mathcal {D}}} {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {\Sigma }}).\qquad (**)$
$k$
${\boldsymbol {Y}}_{1},{\boldsymbol {Y}}_{2},\dots$
$Y_{j}={\begin{cases}(1,0,\dots ,0)&{\text{si a la }}j{\text{-èssima repetició s'onté el resultat }}R_{1}\\(0,1,\dots ,0)&{\text{si a la }}j{\text{-èssima repetició s'onté el resultat }}R_{2}\\\qquad \vdots &\\(0,0,\dots ,1)&{\text{si a la }}j{\text{-èssima repetició s'onté el resultat }}R_{k}\end{cases}}$
${\cal {M}}(1;p_{1},\dots ,p_{k})$
$E[{\boldsymbol {Y}}]={\boldsymbol {p}}=(p_{1},\dots ,p_{k})$
${\boldsymbol {\Sigma }}$
${\frac {1}{\sqrt {n}}}{\Big\sum _{j=1}^{n}{\boldsymbol {Y}}_{n}-n{\boldsymbol {p}}{\Big )}\mathrel {\mathop {\longrightarrow } \limits _{n\to \infty }^{\mathcal {D}}} {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {\Sigma }}),$
$\sum _{j=1}^{n}{\boldsymbol {Y}}_{j}\sim {\cal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{k}),$

### La distribució χ² entra en escena

Tenim la convergència:$\sum _{i=1}^{k}{\frac {(X_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}\mathrel {\mathop {\longrightarrow } \limits _{n\to \infty }^{\mathcal {D}}} \chi ^{2}(k-1),$on $\chi ^{2}(k-1)$ és una distribució $\chi ^{2}$-quadrat amb $k-1$ graus de llibertat. Aquest resultat és molt important ja que en ell es basa el test de la $\chi ^{2}$de Pearson i va ser demostrar per Pearson l'any 1900.
${\boldsymbol {V}}=(V_{1},\dots ,V_{k})\sim {\cal {N}}(0,{\boldsymbol {\Sigma }}_{k})$
$C$
$C={\begin{pmatrix}1/p_{1}&0&\cdots &0\\0&1/p_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1/p_{k}\end{pmatrix}}.$
De (**) i del fet que la funció ${\begin{aligned}&\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} \\&\ {\boldsymbol {x}}\mapsto {\boldsymbol {xCx}}^{\prime }\end{aligned}}$ és contínua, es dedueix que ${\boldsymbol {XCX}}'=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(X_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}\mathrel {\mathop {\longrightarrow } \limits _{n\to \infty }^{\mathcal {D}}} {\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {V}}',$on, per una matriu (o vector) ${\boldsymbol {B}}$, denotem per ${\boldsymbol {B}}'$ la seva transposada. Notem que ${\boldsymbol {VCV}}^{\prime }=\sum _{i=1}^{k}{\frac {V_{i}^{2}}{p_{i}}},$i, d'altra banda, que $\sum _{i=1}^{k}{\frac {V_{i}^{2}}{p_{i}(1-p_{i})}}$és una suma de normals estàndards ${\mathcal {N}}(0,1)$ al quadrat, però que no són independents tal com mostra la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$. Però hi ha indicis per conjecturar que ${\boldsymbol {VCV}}^{\prime }$ tindrà una llei $\chi ^{2}(k-1)$. Aquesta propietat pot deduir-se de resultats generals sobre formes quadràtiques de variables normals, però és interessant fer-ne una demostració directa per tal de veure les sorprenents cancel·lacions que tenen lloc.. Amb aquest objectiu retornem a ${\boldsymbol {V}}=(V_{1},\dots ,V_{k})\sim {\cal {N}}(0,{\boldsymbol {\Sigma }})$. Atès que ${\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}=0$, existeix una relació lineal entre les variables $V_{1},\dots ,V_{k}$. La relació és $V_{1}+\cdots +V_{k}=0$ ja que de la convergència (**) es dedueix que${\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{k}{\bigX_{i}-np_{i}{\big )}\mathrel {\mathop {\longrightarrow } \limits _{n\to \infty }^{\mathcal {D}}} \sum _{i=1}^{k}V_{i}.$Però ${\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{k}{\bigX_{i}-np_{i}{\big )}={\sqrt {n}}\,{\Big{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{k}X_{i}-\sum _{i=1}^{k}p_{i}{\Big )}=0.$Escrivim ${\boldsymbol {V}}_{*}=(V_{1},\dots ,V_{k-1})\sim {\cal {N}}(0,{\boldsymbol {\Sigma }}_{*})$, on ${\boldsymbol {\Sigma }}_{*}$ és la matriu que hem introduït anteriorment, i considerem la matriu amb $k$ files i $k-1$ columnes $A=\color {blue}\underbrace {\!\!\!\!\!\color {black}\left({\begin{matrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\\-1&-1&\cdots &-1\end{matrix}}\right)\!\!\!\!\!} _{\displaystyle {k-1\ {\text{columnes}}}}\left.{\begin{matrix}\\[5pt]\\\\\\\\\end{matrix}}\right\$ Tenim que ${\boldsymbol {V}}'={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {V}}_{*}'.$Aleshores, ${\boldsymbol {VCV}}^{\prime }={\boldsymbol {V_{*}A'CAV_{*}^{\prime }}}.$Però ${\boldsymbol {A'CA}}={\begin{pmatrix}1/p_{1}+1/p_{k}&1/p_{k}&\cdots &1/p_{k}\\1/p_{k}&1/p_{2}+1/p_{k}&\cdots &1/p_{k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1/p_{k}&1/p_{k}&\cdots &1/p_{k-1}+1/p_{k}\\\end{pmatrix}}={\boldsymbol {\Sigma }}_{*}^{-1},$on l'última igualtat es comprova multiplicant la matriu del mig per ${\boldsymbol {\Sigma }}_{*}$. D'altra banda, la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}_{*}^{-1}$ és definida positiva, i llavors té una matriu arrel quadrada que designarem per $\Sigma _{*}^{-1/2}$, que també és definida positiva; la notació és consistent ja que ${\boldsymbol {}\Sigma _{*}^{-1})^{1/2}={\boldsymbol {}\Sigma _{*}^{1/2})^{-1}$. Llavors, ${\boldsymbol {VCV}}'={\boldsymbol {V}}_{*}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {V}}_{*}'={\boldsymbol {V}}_{*}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}\Sigma ^{-1/2}{\boldsymbol {V}}_{*}'.$
${\boldsymbol {V}}_{*}\Sigma _{*}^{-1/2}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{k-1})$
${\boldsymbol {I}}_{k-1}$
$k-1$
${\boldsymbol {Z}}=(Z_{1},\dots ,Z_{k-1})={\boldsymbol {V}}_{*}\Sigma _{*}^{-1/2}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{k-1})$
${\boldsymbol {VCV}}'=={\boldsymbol {Z}}\,{\boldsymbol {Z}}'=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(k-1).$

## Relació amb la distribució de Poisson

Siguin $Y_{1},\dots ,Y_{k}$ variables independents, amb distribucions de Poisson $Y_{1}\sim Pois(\lambda _{1}),\dots ,Y_{k}\sim Pois(\lambda _{k})$. Aleshores la distribució de $(Y_{1},\dots ,Y_{k})$ condicionada a $Y_{1}+\cdots +Y_{k}=n$ és una distribució multinomial ${\mathcal {M}}(n,\lambda _{1}/\lambda ^{*},\dots ,\lambda _{k}/\lambda ^{*})$ on $\lambda ^{*}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}$.

## Vegeu també

Prova de la $\chi ^{2}$ de Pearson

## Referències

* ↑ Johnson, Kotz i Balakrishnan, 1997, Capítol 35.
* ↑ Forbes et al., 2010, p. 135-136.
* ↑ Olver, F.W.J; Lozier, D.W.; Boisvert, R. F.; Clark, C.W.. NIST handbook of mathematical functions. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. Fórmula 26.4.9. ISBN 978-0-521-19225-5.
* 1 2 Wilks, S. S.. Mathematical statistics. Nova York: Wiley, 1962, p. 139. ISBN 0-471-94644-3.
* ↑ Seber, G. A. F.. Statistical models for proportions and probabilities, 2013, pp. 28 i 31. ISBN 978-3-642-39041-8.
* 1 2 Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 428, item 20.3. ISBN 978-0-470-22678-0.
* ↑ Franklin A., Graybill. Matrices with applications in statistics, 1983, p. 203. ISBN 0-534-98038-4.
* 1 2 Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 9. ISBN 0-521-55302-4.
* ↑ Pearson, Karl «On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling». Philosophical Magazine, 50, 302, 1900, pàg. 157–175. DOI: 10.1080/14786440009463897.
* ↑ Vegeu l'interessant treball de W. G. Cochran on explica de forma molt clara l'article de Pearson: Cochran, William G. «The $\chi^2$ Test of Goodness of Fit». The Annals of Mathematical Statistics, 23, 3, 9-1952, pàg. 315–345. DOI: 10.1214/aoms/1177729380. ISSN: 0003-4851.
* 1 2 Serfling, Robert J. Approximation theorems of mathematical statistics. Nova York: Wiley, 2002, p. 25. ISBN 0-471-21927-4.
* ↑ Serfling, Robert J. Approximation theorems of mathematical statistics. Nova York: Wiley, 2002, p. 130. ISBN 0-471-21927-4.
* ↑ Seber, G. A. F.. Statistical models for proportions and probabilities, 2013, p. 30-31. ISBN 978-3-642-39041-8.
* ↑ És un resultat general sobre matrius amb estructura, vegeu: Franklin A., Graybill. Matrices with applications in statistics, 1983, p. 187. ISBN 0-534-98038-4.
* ↑ tots aquests càlculs es poden simplificar escrivint de manera compacta totes les matrius, tal com hem fet abans amb la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$ a l'apartat de Propietats
* ↑ Per definició, una matriu definida positiva és simètrica
* ↑ Totes les propietats de les matrius definides positives que utilitzem es troben a Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 220-221. ISBN 978-0-470-22678-0.
* ↑ Johnson, Kotz i Balakrishnan, 1997, p. 33.

## Bibliografia

* Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Discrete Multivariate Distributions. Nova York: Wiley, 1997. ISBN 0-471-12844-1.
* Forbes, C.; Evans, M.; Hastings, N.; Peacock, B. Statistical distributions.. 4th ed.. Oxford: Wiley-Blackwell, 2010, pp.135-136. ISBN 978-0-470-62724-2.