# Pentació

En matemàtiques, la pentació és la hiperoperació que li segueix a la tetració i és anterior a la hexació. Es defineix com la iteració (repetició) de tetracions, tal com la tetració és la iteració de la potenciació. És una operació binària definida amb dos nombres a i b, on a és «tetrada» a si mateix b vegades. Per exemple, usant la notació d'hiperoperació per a la pentació i tetració, $2[5]3$ vol dir «tetrar» 2 a si mateix 3 vegades, o $2[4](2[4]2)$. Això es pot després reduir a $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$

## Etimologia

La paraula pentació (en anglès, «pentation») va ser encunyada per Reuben Goodstein en 1947 de les arrels penta- (cinc) i iteració. És part del seu esquema general per a nomenar les hiperoperacions.

## Notació

No existeix un consens general per a la notació de la pentació; per tant hi ha diverses maneres d'escriure l'operació. No obstant això, unes s'usen més que altres i hi ha diferents avantatges entre una i altra forma d'ús.
* La pentació es pot escriure com una hiperoperació com $a[5]b$. En aquest format, $ab$ pot ser interpretat com el resultat d'aplicar repetidament la funció $x\mapsto a[2]x$, per $b$ repeticions, començant amb el número 1. De forma anàloga, $a[4]b$, la tetració, representa el valor obtingut a l'aplicar repetidament la funció $x\mapsto ax$, per $b$ repeticions, començant amb el número 1, i la pentació $a[5]b$ representa el valor obtingut a l'aplicar repetidament la funció $x\mapsto a[4]x$, per $b$ repeticions, començant amb el número 1.[3] Aquesta serà la notació usada en la resta de l'article.
* En la notació de fletxa de Knuth, $a[5]b$ es representa com $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ o $a\uparrow ^{3}b$. En aquesta notació, $a\uparrow b$ representa la funció de potenciació $a^{b}$ i $a\uparrow \uparrow b$ representa la tetració. L'operació pot adaptar fàcilment la hexació afegint una altra fletxa.
* En la notació de fletxes encadenades de Conway, $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$
* Una altra notació proposta és ${_{b}a}$, encara que aquesta no és extensible a hiperoperacions de major ordre.

## Exemples

Els valors de la funció de pentació també poden ser obtinguts dels valors en la quarta filera de valors en una variant de la funció d'Ackermann: si $A(n,m)$ es defineix com la recurrència d'Ackermann $A(m-1,A(m,n-1))$ amb les condicions inicials $A(1,n)=an$ i $A(m,1)=a$, llavors $a[5]b=A(4,b)$.
Com la tetració, la seva operació base, no ha estat estesa a exponents no-enters, la pentació $a[5]b$ actualment només està definida per a valors enters de a i b on $a>0$ i $b\geq -1$, i uns pocs valors enters addicionals que podrien estar únicament definits. Com totes les hiperoperacions d'ordre 3 i més grans, la pentació té els següents casos trivials (identitats) que són veritables per a tots els valors d' a i b en el seu domini:
* $1[5]b=1$
* $a[5]1=a$
Addicionalment, es pot definir:
* $a[5]0=1$
* $a[5](-1)=0$
A més dels casos trivials a dalt exposats, la pentació genera nombres extremadament grans molt ràpidament tal que només hi ha uns pocs casos no-trivials que produeixen nombres que poden ser escrits en notació convencional, com es mostra a continuació:
* $2[5]2=2[4]2=2^{2}=4$
* $2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536$
* $2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (una torre d'exponents de 65.536 números d'altura) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)$ (es mostra aquí en notació d'exponents iterats, ja que és massa gran per ser escrit en notació convencional. Cal notar que $\exp _{10}(n)=10^{n}$)
* $3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$
* $3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (una torre d'exponents de 7,625,597,484,987 números de altura) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$
* $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ (un nombre amb més de $10^{153}$ dígits)
* $5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)$ (un nombre amb més de $10^{10^{2184}}$ dígits)

## Extensió a números negatius o zero

Mitjançant l'ús del superlogaritme, $a\uparrow ^{3}b$ es pot definir quan b és negatiu o zero per a un nombre limitat de valors de b. Per tant, per a tots els valors enters estrictament positius de a, la pentació negativa es defineix de la manera següent:
* $a\uparrow ^{3}0=\operatorname {slog} _{a}a=1$ si a > 1.
* $a\uparrow ^{3}-1=\operatorname {slog} _{a}1=0$ si a > 1.
* $a\uparrow ^{3}-2=\operatorname {slog} _{a}0=-1$ si a > 1.
Pel que fa als valors negatius de a, només $a=-1$ pot donar lloc a una extensió. En aquest cas, segons els valors de l'enter positiu b, els tres valors possibles que obtenim $-1\uparrow ^{3}b$ són indicats de la següent manera:
* $-1\uparrow ^{3}b={^{1}{-1}}=-1$ si b és congruent amb 1 mod 3.
* $-1\uparrow ^{3}b={^{-1}{-1}}=0$ si b és congruent amb 2 mod 3.
* $-1\uparrow ^{3}b={^{0}{-1}}=1$ si b és congruent amb 0 mod 3.

## Referències

* ↑ Oettinger, Anthony G.; Aiken, Howard «Retiring computer pioneer» (en anglès). Communications of the ACM, 5(6), pàg. 298–299. DOI: 10.1145/367766.367776. ISSN: 0001-0782.
* ↑ «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (en anglès). Journal of Symbolic Logic, 12(4), 02-07-2007, pàg. 123–129. ISSN: 0022-4812.
* ↑ Knuth, Donald E. «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness» (en anglès). Science, 194(4271), 17-12-1976, pàg. 1235–1242. DOI: 10.1126/science.194.4271.1235. ISSN: 0036-8075. PMID: 17797067.
* ↑ Conway, John Horton; Guy, Richard. The Book of Numbers (en anglès). Springer, 1996, p. 61. ISBN 9780387979939.
* ↑ http://www.tetration.org/Tetration/index.html Arxivat 2021-05-06 a Wayback Machine.
* ↑ Nambiar «Ackermann functions and transfinite ordinals» (en anglès). Applied Mathematics Letters [Nova Delhi], 8(6), pàg. 51-53.

## Vegeu també

* Nombres grans