# Matriu de transició d'estat

En teoria de control, la matriu de transició d'estat és una matriu que, multiplicada pel vector d'estat $x$ en un temps inicial $t_{0}$ dona $x$ en un temps posterior $t$. Es pot utilitzar la matriu de transició d'estat per obtenir la solució general de sistemes dinàmics lineals.

## Solució de sistemes lineals

S'utilitza la matriu de transició d'estat per trobar la solució de la representació en espai d'estats d'un sistema lineal de la forma
    ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\;\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$,
on $\mathbf {x} (t)$ són els estats del sistema, $\mathbf {u} (t)$ és la senyal d'entrada, $\mathbf {A} (t)$ i $\mathbf {B} (t)$ són funcions matricials, i $\mathbf {x} _{0}$ és la condició inicial a $t_{0}$. Utilitzant la matriu de transició d'estat $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$, la solució ve donada per:
    $\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau$
El primer terme rep el nom de resposta amb entrada zero (zero-input response, en anglès) i representa com l'estat del sistema evoluciona en l'absència d'entrada. El segon terme es coneix com resposta amb estat zero (zero-state response, en anglès) i defineix com les entrades afecten en el sistema.

## Sèrie de Peano–Baker

La matriu de transició més general ve donada per les sèries de Peano–Baker
    $\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...$
on $\mathbf {I}$ és la matriu identitat. Aquesta matriu convergeix uniformement i absoluta a una solució que existeix i que és única.

## Altres propietats

La matriu de transició d'estat $\mathbf {\Phi }$ satisfà les següents relacions:
1. És contínua i té derivades contínues.
2, Mai no és singular; de fet $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)$ i $\mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I$, on $I$ és la matriu identitat.
3. $\mathbf {\Phi } (t,t)=I$ per tot $t$.
4. $\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})$ per tot $t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}$.
5. Satisfà l'equació diferencial ${\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ amb condicions inicials $\mathbf {\Phi } (t_{0},t_{0})=I$.
6. La matriu de transició d'estat $\mathbf {\Phi } (t,\tau )$, donada per
    $\mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )$
on la matriu, de dimensions $n\times n$, $\mathbf {U} (t)$ és la matriu fonamental que satisfà
    ${\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)$ amb condició inicial $\mathbf {U} (t_{0})=I$.
7. Donat l'estat $\mathbf {x} (\tau )$ en qualsevol temps $\tau$, l'estat en qualsevol altre temps $t$ ve donat per la funció
    $\mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )$

## Estimació de la matriu de transiió d'estat

En el cas invariant temporal, es pot definir $\mathbf {\Phi }$, utilitzant l'exponencial d'una matriu, com $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}$.
En el cas variant temporal, la matriu de transició d'estat $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$ pot ser estimada a partir de les solucions de l'equació diferencial ${\dot {\mathbf {u} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {u} (t)$ amb condicions inicials $\mathbf {u} (t_{0})$ donades per $[1,\ 0,\ \ldots ,\ 0]^{T}$, $[0,\ 1,\ \ldots ,\ 0]^{T}$, ..., $[0,\ 0,\ \ldots ,\ 1]^{T}$. Les solucions corresponents proporcionen les $n$ columnes de la matriu $\mathbf {\Phi } (t,t_{0})$. Aquí, a partir de la propietat 4, $\mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {\Phi } (\tau ,t_{0})^{-1}$ per tot $t_{0}\leq \tau \leq t$. S'ha de determinar la matriu de transició d'estat abans que pugui continuar l'anàlisi de la solució variant temporal.

## Referències

* ↑ Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 275, 2011, pàg. 155–159. DOI: 10.1134/S0081543811080098.
* 1 2 Rugh, Wilson. Linear System Theory. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996. ISBN 0-13-441205-2.
* ↑ Brockett, Roger W. Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons, 1970. ISBN 978-0-471-10585-5.
* ↑ Reyneke, Pieter V. «Polynomial Filtering: To any degree on irregularly sampled data». Automatika, vol. 53, 4, 2012, pàg. 382–397. DOI: 10.7305/automatika.53-4.248.

## Bibliografia complementària

* Baake, M. «The Peano Baker Series». Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 275, 2011, pàg. 155–159. DOI: 10.1134/S0081543811080098.
* Brogan, W.L.. Modern Control Theory. Prentice Hall, 1991. ISBN 0-13-589763-7.