# SAMV (algorisme)

SAMV (variancia mínima asimptòtica dispersa iterativa) és un algorisme de superresolució sense paràmetres per al problema lineal invers en estimació espectral, estimació de la direcció d'arribada (DOA) i reconstrucció tomogràfica amb aplicacions en processament de senyals, imatge mèdica. i teledetecció. El nom va ser encunyat l'any 2013 per emfatitzar la seva base en el criteri de variància mínima asimptòtica (AMV). És una eina poderosa per a la recuperació tant de les característiques d'amplitud com de freqüència de múltiples fonts altament correlacionades en entorns difícils (per exemple, nombre limitat d'instantànies i baixa relació senyal-soroll). Les aplicacions inclouen radar d'obertura sintètica, exploració de tomografia computada i imatges de ressonància magnètica (MRI).

## Definició

La formulació de l'algorisme SAMV es presenta com un problema invers en el context de l'estimació de DOA. Suposem que un $M$ -Element de recepció de matriu lineal uniforme (ULA). $K$ senyals de banda estreta emesos des de fonts situades en llocs $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$, respectivament. Els sensors de l'ULA s'acumulen $N$ instantànies durant un temps determinat. El $M\times 1$ els vectors d'instantània dimensionals són
$\mathbf {y} (n)=\mathbf {A} \mathbf {x} (n)+\mathbf {e} (n),n=1,\ldots ,N$
on $\mathbf {A} =[\mathbf {a} (\theta _{1}),\ldots ,\mathbf {a} (\theta _{K})]$ és la matriu de direcció, ${\bf {x}}(n)=[{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{T}$ conté les formes d'ona font, i ${\bf {e}}(n)$ és el terme de soroll. Suposem això $\mathbf {E} \left({\bf {e}}(n){\bf {e}}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}$, on $\delta _{n,{\bar {n}}}$ és el delta de Dirac i és igual a 1 només si $n={\bar {n}}$ i 0 en cas contrari. Suposem també això ${\bf {e}}(n)$ i ${\bf {x}}(n)$ són independents, i això $\mathbf {E} \left({\bf {x}}(n){\bf {x}}^{H}({\bar {n}})\right)={\bf {P}}\delta _{n,{\bar {n}}}$, on ${\bf {P}}=\operatorname {Diag} ({p_{1},\ldots ,p_{K}})$. Deixa ${\bf {p}}$ ser un vector que conté les potències del senyal desconegudes i la variància del soroll, ${\bf {p}}=[p_{1},\ldots ,p_{K},\sigma ]^{T}$.
La matriu de covariància de ${\bf {y}}(n)$ que conté tota la informació sobre ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ és
${\bf {R}}={\bf {A}}{\bf {P}}{\bf {A}}^{H}+\sigma {\bf {I}}.$
Aquesta matriu de covariància es pot estimar tradicionalment mitjançant la matriu de covariància de la mostra ${\bf {R}}_{N}={\bf {Y}}{\bf {Y}}^{H}/N$ on ${\bf {Y}}=[{\bf {y}}(1),\ldots ,{\bf {y}}(N)]$. Després d'aplicar l'operador de vectorització a la matriu ${\bf {R}}$, el vector obtingut ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})$ està relacionat linealment amb el paràmetre desconegut ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ com
${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ ,
on ${\bf {S}}=[{\bf {S}}_{1},{\bar {\bf {a}}}_{K+1}]$, ${\bf {S}}_{1}=[{\bar {\bf {a}}}_{1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_{K}]$, ${\bar {\bf {a}}}_{k}={\bf {a}}_{k}^{*}\otimes {\bf {a}}_{k}$, $k=1,\ldots ,K$, i deixar ${\bar {\bf {a}}}_{K+1}=\operatorname {vec} ({\bf {I}})$ on $\otimes$ és el producte Kronecker.

## Algorisme SAMV

Per estimar el paràmetre ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ de l'estadística ${\bf {r}}_{N}$, desenvolupem una sèrie d'enfocaments SAMV iteratius basats en el criteri de variància mínima asimptòtica. A partir de, la matriu de covariància $\operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }$ d'un estimador coherent arbitrari de ${\boldsymbol {p}}$ basat en l'estadística de segon ordre ${\bf {r}}_{N}$ està limitat per la matriu definida positiva simètrica real
$\operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }\geq [{\bf {S}}_{d}^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}{\bf {S}}_{d}]^{-1},$
on ${\bf {S}}_{d}={\rm {d}}{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})/{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}$. A més, aquest límit inferior s'aconsegueix mitjançant la matriu de covariància de la distribució asimptòtica de ${\hat {\bf {p}}}$ obtingut minimitzant,
${\hat {\boldsymbol {p}}}=\arg \min _{\boldsymbol {p}}f({\boldsymbol {p}}),$
on $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$
Per tant, l'estimació de ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ es pot obtenir de manera iterativa.
El $\{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}$ i ${\hat {\sigma }}$ que minimitzen $f({\boldsymbol {p}})$ es pot calcular de la següent manera. Suposem ${\hat {p}}_{k}^{(i)}$ i ${\hat {\sigma }}^{(i)}$ s'han aproximat fins a un cert grau en el $i$ iteració, es poden refinar al $(i+1)$ la iteració de,
${\hat {p}}_{k}^{(i+1)}={\frac {{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {R}}_{N}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}{({\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k})^{2}}}+{\hat {p}}_{k}^{(i)}-{\frac {1}{{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}},\quad k=1,\ldots ,K$
${\hat {\sigma }}^{(i+1)}=\left(\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}}{\bf {R}}_{N})+{\hat {\sigma }}^{(i)}\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}})-\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{(i)}})}},$
on l'estimació de ${\bf {R}}$ a la $i$ la iteració ve donada per ${\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{H}+{\hat {\sigma }}^{(i)}{\bf {I}}$ amb ${\bf {P}}^{(i)}=\operatorname {Diag} ({\hat {p}}_{1}^{(i)},\ldots ,{\hat {p}}_{K}^{(i)})$.

## Aplicació a la imatge Doppler de rang

Una aplicació típica amb l'algoritme SAMV en el problema d'imatge Doppler de radar / sonar SISO. Aquest problema d'imatge és una aplicació d'una sola instantània, i s'inclouen algorismes compatibles amb l'estimació d'una sola instantània, és a dir, filtre coincident (MF, similar al periodograma o retroprojecció, que sovint s'implementa de manera eficient com a transformada ràpida de Fourier (FFT)), IAA., i una variant de l'algorisme SAMV (SAMV-0). Les condicions de simulació són idèntiques a: A $30$ El codi P3 de compressió de pols polifàsic d'elements s'utilitza com a pols transmès i es simulen un total de nou objectius en moviment. De tots els objectius mòbils, tres són de $5$ dB de potència i la resta de sis són de $25$ dB de potència. Se suposa que els senyals rebuts estan contaminats amb un soroll gaussià blanc uniforme $0$ dB de potència.
El resultat de detecció del filtre coincident pateix efectes greus de taques i fuites tant en el domini Doppler com en el rang, per tant, és impossible distingir el $5$ objectius dB. Per contra, l'algoritme IAA ofereix resultats d'imatge millorats amb estimacions de rang objectiu observables i freqüències Doppler. L'enfocament SAMV-0 proporciona un resultat molt escàs i elimina completament els efectes de difuminació, però passa a faltar el dèbil. $5$ objectius dB.

## Implementació de codi obert

Es pot descarregar aquí una implementació de codi obert de MATLAB de l'algorisme SAMV.

## Referències

* ↑ «[https://qilin-zhang.github.io/_pages/pdfs/SAMVpaper.pdf Iterative Sparse Asymptotic Minimum Variance Based Approaches for Array Processing]» (en anglès). [Consulta: 24 novembre 2024].
* ↑ «Iterative Sparse Asymptotic Minimum Variance Based Approaches for Array Processing» (en anglès). [Consulta: 24 novembre 2024].
* ↑ «Investigating SAMV Regarding its Suitability For FPGAs» (en anglès). [Consulta: 24 novembre 2024].
* ↑ «Robust direction-of-arrival estimation based on sparse asymptotic minimum variance» (en anglès). [Consulta: 24 novembre 2024].