# Vector aleatori

En Probabilitat i Estadística, molt sovint al resultat que s'obté en un experiment aleatori o un estudi estadístic se li associem diversos nombres; per exemple, triem una persona a l'atzar i en mesurem el pes i l'alçada: tenim així dues mesures, $X_{1}$ i $X_{2}$, que considerades conjuntament $(X_{1},X_{2})$ constitueixen un vector aleatori. Formalment, un vector aleatori $d$-dimensional és un vector ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ tal que cada component $X_{i},\ i=1,\dots ,d$, és una variable aleatòria.

## Definició

Nota. A la secció Exemples al final de l'article hi ha desenvolupats dos exemples amb vectors aleatoris bidimensionals que poden ser útils a les persones que prefereixin començar analitzant casos concrets.
Considerem un espai de probabilitat $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$. Un vector aleatori $d$-dimensional és una aplicació ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d}):\Omega \to \mathbb {R} ^{d}$ tal que cada component $X_{i},\ i=1,\dots ,d$ és una variable aleatòria. També s'anomena variable aleatòria $d$-dimensional.
Comentaris sobre les notacions.
* Hem escrit el vector en fila, però en Estadística multivariant és molt freqüent escriure els vectors en columna, ja que es fan moltes operacions amb matrius i és més convenient seguir les normes estàndard de l'àlgebra lineal. En aquest article escriurem els vectors en fila, excepte a les seccions dedicades a l'esperança d'un vector aleatori i a la matriu de variàncies-covariàncies, i als exemples que tractem de lleis normals multidimensionals.
* Per alleugerir les fórmules, s'utilitzen 'comes' com a interseccions; així, donats uns conjunts $A_{1},\dots ,A_{d}$ de $\mathbb {R}$, $P(X_{1}\in A_{1},\dots ,X_{d}\in A_{d})=P{\big\{X_{1}\in A_{1}\}\cap \cdots \cap \{X_{d}\in A_{d}\}{\big )}.$O bé, en el cas discret que veurem a continuació, per $x_{1},\dots ,x_{d}\in \mathbb {R}$ s'escriu $P{\big(X_{1},\dots ,X_{d})=(x_{1},\dots ,x_{d}){\big )}=P{\bigX_{1}=x_{1},\dots ,X_{d}=x_{d}{\big )}=P{\big\{X_{1}=x_{1}\}\cap \cdots \cap \{X_{d}=x_{d}\}{\big )}.$

## Vectors aleatoris discrets

Un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ es diu que es discret si només pot prendre un nombre finit o numerable de valors; en altres paraules, si existeix un conjunt finit o infinit numerable $S\subset \mathbb {R} ^{d}$ tal que $P({\boldsymbol {X}}\in S)=1$.
S'anomena funció de probabilitat (a vegades s'afegeix conjunta) del vector o funció de repartiment de massa a la funció
$p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})=P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{d}=x_{d}),\quad (x_{1},\dots ,,x_{d})\in S.$
Les distribucions de probabilitat de cadascuna de les components dels vector, $X_{1},\dots ,X_{d}$, o dels vectors $(X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{r}})$, $1\leq i_{1}<\cdots <i_{r}\leq d$, $1\leq r\leq d-1$, s'anomenen distribucions marginals.
A partir de la funció de probabilitat del vector podem calcular totes les distribucions marginals sumant respecte les altres components: per exemple, per simplificar la notació, la funció de probabilitat de $(X_{1},\dots ,X_{r})$, on $r\leq d-1$, és $p_{(X_{1},\dots ,X_{r})}(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{x_{r+1},\dots ,x_{d}}p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d}).$

### Exemple: Distribució multinomial

Considerem un experiment que pot tenir $d$ resultats diferents, que designarem per $R_{1},\dots ,R_{d}$, amb probabilitats $p_{1},\dots ,p_{d}\in (0,1)$, $p_{1}+\cdots +p_{d}=1$. Fem $n$ repeticions independents i denotem per $X_{1}$ el nombre de vegades que obtenim el resultat $R_{1}$, per $X_{2}$ el nombre de vegades que obtenim el resultat $R_{2}$, i així successivament. Aleshores la probabilitat d'obtenir $x_{1}$ vegades el resultat $R_{1}$, $x_{2}$ vegades el resultat $R_{2}$, etc. amb $x_{1}+\cdots +x_{d}=n$ és$p_{(X_{1},\dots ,X_{d})}(x_{1},\dots ,x_{d})=P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{d}=x_{d})={\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{d}!}}\,p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{d}^{x_{d}}.$
Es diu que el vector ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ segueix una distribució multinomial de paràmetres $n,p_{1},\dots ,p_{d}$, i s'escriu ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})$. Cal notar que cada component $X_{i}$ té una distribució binomial de paràmetres $n$ i $p_{i}$, $X_{i}\sim B(n,p_{i})$. De fet, una distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan hi ha més de dos resultats possibles.
Per exemple, tenim una urna amb 4 boles blanques, 3 vermelles i 3 grogues. Traiem $n=4$ boles amb reemplaçament, és a dir, traiem una bola, anotem el color, la retornem a l'urna, en traiem una altra, etc. Designem per:
       $X_{1}$: nombre de boles blanques que traiem.
       $X_{2}$: nombre de boles vermelles que traiem.
       $X_{3}$: el nombre de boles grogues que traiem.
Aquí, $p_{1}=0'4$, $p_{2}=0'3$ i $p_{3}=0'3$. Llavors, la probabilitat de treure 1 bola blanca, 1 vermella i 2 grogues és $p_{(X_{1},X_{2},X_{3})}(1,1,2)=P(X_{1}=1,X_{2}=1,X_{3}=2)={\frac {4!}{1!\,1!\,2!}}\,0'4^{1}\,0'3^{1}\,0'3^{2}=0'1296.$A partir d'aquí, podem calcular, per exemple, la distribució marginal del vector aleatori $(X_{1},X_{3})$ o la de la variable aleatòria $X_{3}$

## Vectors aleatoris absolutament continus o amb funció de densitat

Es diu que un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ és absolutament continu, o senzillament continu, si existeix una funció $f_{\boldsymbol {X}}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$, anomenada funció de densitat (conjunta), que compleix
       1. $f(x_{1},\dots ,x_{d})\geq 0,\ \ \forall (x_{1},\dots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}.$
       2. $\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{d}=1.$
       3. Per a qualsevol $B\subset \mathbb {R} ^{d}$ (en rigor $B$ ha de ser un conjunt de Borel de $\mathbb {R} ^{d}$), tenim $P{\big(X_{1},\dots ,X_{d})\in B{\big )}=\int \cdots \int _{B}f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{d}.$
       En particular, si $-\infty \leq a_{1}<b_{1}\leq \infty ,\dots ,-\infty \leq a_{d}<b_{d}\leq \infty$, tenim
$P{\big(X_{1},\dots ,X_{d})\in (a_{1},b_{1})\times \cdots \times (a_{d},b_{d}){\big )}=\int _{a_{1}}^{b_{1}}\cdots \int _{a_{d}}^{b_{d}}f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{d}.$ A partir de la funció de densitat conjunta pot calcular-se la funció de densitat de qualsevol vector $(X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{r}})$, $1\leq i_{1}<\cdots <i_{r}\leq d$, $1\leq r\leq d-1$, que s'anomena la densitat marginal; per exemple, la densitat marginal de $(X_{1},\dots ,X_{r})$, amb $1\leq r\leq d-1$ és
$f_{(X_{1},\dots ,X_{r})}(x_{1},\dots ,x_{r})=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }} _{d-r\ {\text{integrals}}}f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{r+1}\cdots dx_{d}.$

### Exemple: distribució normal multidimensional

Un vector aleatori $d$-dimensional amb funció de densitat$f(x_{1},\dots ,x_{d})={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\,e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{d}^{2})/2},\quad x_{1},\dots ,x_{d}\in \mathbb {R} ,$es diu que té una llei normal multidimensional o multivariada, ${\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})$ on ${\boldsymbol {I}}_{d}$ és la matriu identitat. Cada component del vector té una distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$ .
Vegeu els vectors aleatoris normals multidimensionals generals ${\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ als exemples de la secció Funcions d'un vector aleatori amb densitat.

## Funcions de distribució multidimensional

La funció de distribució d'un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ és la funció $F:\mathbb {R} ^{d}\to [0,1]$ definida per $F(x_{1},\dots ,x_{d})=P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,\leq X_{d}\leq x_{d}).$
Si el vector aleatori ${\boldsymbol {X}}$ té funció de densitat $f$, aleshores la funció de distribució del vector és $F(x_{1},\dots ,x_{d})=\int _{-\infty }^{x_{1}}\cdots \int _{-\infty }^{x_{d}}f(t_{1},\dots ,t_{d})\,dt_{1}\cdots dt_{d}.$
Si la funció de densitat $f$ és contínua en el punt $(x_{1},\dots ,x_{d})$, aleshores $f(x_{1},\dots ,x_{d})={\frac {\partial ^{d}F(x_{1},\dots ,x_{d})}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{d}}}.$

## Variables aleatòries independents

Recordem que es diu que les variables aleatòries $X_{1},\dots ,X_{k}$ són independents si per a qualsevol conjunts $B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R}$ (en rigor, conjunts de Borel de $\mathbb {R}$), $P(X_{1}\in B_{1},\dots ,X_{k}\in B_{k})=P(X_{1}\in B_{1})\cdots P(X_{k}\in B_{k}).$
Designem per $F_{(X_{1},\dots ,X_{k})}$ la funció de distribució del vector $(X_{1},\dots ,X_{k})$, i per $F_{X_{1}},\dots ,F_{X_{k}}$ les funcions de distribució de les variables aleatòries $X_{1},\dots ,X_{k}$ (marginals). Aleshores $X_{1},\dots ,X_{k}$ són independents si i només si $F_{(X_{1},\dots ,X_{k})}(x_{1},\dots ,x_{k})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdots F_{X_{k}}(x_{k}),\ \forall (x_{1},\dots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k}.$
En el cas discret la independència equival a que la funció de probabilitat conjunta sigui igual al producte de marginals: $X_{1},\dots ,X_{k}$ són independents si i només si $p_{(X_{1},\dots ,X_{k})}(x_{1},\dots ,x_{k})=p_{X_{1}}(x_{1})\cdots p_{X_{k}}(x_{k}),\ \forall (x_{1},\dots ,x_{k})\in S.$
En el cas absolutament continu, la propietat d'independència equival a que la densitat conjunta sigui igual al producte de marginals: $X_{1},\dots ,X_{k}$ són independents si i només si $f_{(X_{1},\dots ,X_{k})}(x_{1},\dots ,x_{k})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{k}}(x_{k}),\ \forall (x_{1},\dots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k}.$
Per exemple, en el cas de la distribució normal multidimensional que hem comentat, les distribucions marginals de les diferents components són lleis normals estàndard: tenim que per a $j=1,\dots ,d$, $f_{X_{j}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2},\ x\in \mathbb {R} .$Llavors és clar que es compleix la condició anterior i, per tant, les variables $X_{1},\dots ,X_{d}$ són independents.

## Vectors aleatoris independents

Considerem $k$ vectors aleatoris, que poden ser de dimensions diferents: ${\boldsymbol {X}}_{1}=(X_{11},\dots ,X_{1j_{1}}),\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k}=(X_{k1},\dots ,X_{kj_{k}})$. Es diu que són independents si per qualsevol $B_{1}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{j_{1}}),\dots ,B_{k}\subset {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{j_{k}})$, on ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{r})$ és la $\sigma$-àlgebra de Borel sobre $\mathbb {R} ^{r}$, $P({\boldsymbol {X}}_{1}\in B_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k}\in B_{k})=P({\boldsymbol {X}}_{1}\in B_{1})\cdots P({\boldsymbol {X}}_{k}\in B_{k}).$Les caracteritzacions de la independència de variables aleatòries en els casos discret i continus es trasllada al cas de vectors aleatoris.

## Esperança d'una funció d'un vector aleatori

Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ un vector aleatori i $h:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ una funció (mesurable), tenim que $h({\boldsymbol {X}})$ és una variable aleatòria de la qual podrem calcular l'esperança quan $E[\vert h({\boldsymbol {X}})]<\infty$. Si ${\boldsymbol {X}}$ és discret, aleshores $E{\bigh({\boldsymbol {X}}){\big ]}=\sum _{x_{1},\dots ,x_{d}}h(x_{1},\dots ,x_{d})\,p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d}),$sempre que $\sum _{x_{1},\dots ,x_{d}}\vert h(x_{1},\dots ,x_{d})\vert \,p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})<\infty .$Si ${\boldsymbol {X}}$ és absolutament continu, aleshores $E{\bigh({\boldsymbol {X}})]=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }h(x_{1},\dots ,x_{d})\,f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{d},$sempre que $\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\vert h(x_{1},\dots ,x_{d})\vert \,f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{p}<\infty .$Naturalment, si tenim una funció $h:\mathbb {R} ^{r}\to \mathbb {R}$ que només fa intervenir una part de ${\boldsymbol {X}}$, posem $(X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{r}})$, amb, $1\leq i_{1}<\cdots <i_{r}\leq r$, $1\leq r\leq d-1$, aleshores l'esperança de $h(X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{r}})$ es calcula utilitzant la distribució marginal d'aquest vector.

## Moments d'un vector aleatori

Considerem un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ i siguin $n_{1}\geq 0,\dots ,n_{d}\geq 0$. Es diu que ${\boldsymbol {X}}$ té moment d'ordre $(n_{1},\dots ,n_{d})$ si $E{\big{\big \vert }X_{1}^{n_{1}}\cdots X_{d}^{n_{d}}{\big \vert }{\big ]}<\infty$, i, en aquest cas, es defineix el moment d'ordre $(n_{1},\dots ,n_{d})$ (alguns autors diuen moment mixt) per $m_{n_{1},\dots ,n_{d}}=E{\bigX_{1}^{n_{1}}\cdots X_{d}^{n_{d}}{\big ]}.$ D'acord amb les fórmules que hem vist abans, si el vector és discret, aleshores $E{\bigX_{1}^{n_{1}}\cdots X_{d}^{n_{d}}{\big ]}=\sum _{x_{1},\dots ,x_{d}\in S}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{d}^{n_{d}}\,p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d}).$Si el vector aleatori és absolutament continu,$E{\bigX_{1}^{n_{1}}\cdots X_{d}^{n_{d}}{\big ]}=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{d}^{n_{d}}\,f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{d}.$Tenim la següent propietat: Si $E[\vert X_{j}\vert ^{m}]<\infty ,pera\ j=1,\dots ,d$, aleshores per a $n_{1}\geq 0,\dots ,n_{d}\geq 0,\ n_{1}+\cdots +n_{d}\leq m$, tenim que ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ té moment d'ordre $(n_{1},\dots ,n_{d})$.
Vegeu els moments factorials en la secció de la funció generatriu de probabilitats.

## Esperança d'un vector aleatori

Totes les propietats d'aquesta secció i la següent es troben demostrades a Seber. Atès que farem operacions matricials, en aquesta secció i la següent escriurem tots els vectors en columna; en particular, escriurem en columna els elements de $\mathbb {R} ^{d}$. Donada una matriu (o vector) ${\boldsymbol {U}}$ designarem per ${\boldsymbol {U}}'$ la seva transposada. Considerem un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'$ tal que totes les seves components tinguin esperança. Aleshores es defineix l'esperança de ${\boldsymbol {X}}$ per $E[{\boldsymbol {X}}]={\bigE[X_{1}],\dots ,E[X_{d}]{\big )}'.$
Propietats
* Si ${\boldsymbol {a}}=(a_{1},\dots ,a_{d})'\in \mathbb {R} ^{d}$, aleshores $E[{\boldsymbol {a}}]={\boldsymbol {a}}.$
* Siguin ${\boldsymbol {X}}$ i ${\boldsymbol {Y}}$ dos vectors aleatoris $d$ -dimensionals amb esperances finites, i ${\boldsymbol {A}}$ i ${\boldsymbol {B}}$ dues matrius d'ordre $k\times d$. Aleshores $E[{\boldsymbol {AX}}+{\boldsymbol {BY}}]={\boldsymbol {A}}\,E[{\boldsymbol {X}}]+{\boldsymbol {B}}\,E[{\boldsymbol {Y}}].$

## Matriu de variàncies-covariàncies

Continuem escrivint tots els vectors en columna. Si totes les components del vector ${\boldsymbol {X}}$ tenen variància, aleshores es defineix la seva matriu de variàncies-covariàncies o matriu de dispersió: ${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})={\begin{pmatrix}{\text{Var}}(X_{1})&{\text{Cov}}(X_{1},X_{2})&\cdots &{\text{Cov}}(X_{1},X_{d})\\{\text{Cov}}(X_{2},X_{1})&{\text{Var}}(X_{2})&\cdots &{\text{Cov}}(X_{2},X_{d})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\text{Cov}}(X_{d},X_{1})&{\text{Cov}}(X_{d},X_{2})&\cdots &{\text{Var}}(X_{d})\end{pmatrix}}$Atès que ${\text{Var}}(X_{j})={\text{Cov}}(X_{j},X_{j})$, aquesta matriu també s'escriu ${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})={\big{\text{Cov}}(X_{i},X_{j}){\big )}_{i=1,\dots ,d \atop j=1,\dots ,d}$

### Propietats

       1. Donat que ${\text{Cov}}(X_{i},X_{j})={\text{Cov}}(X_{j},X_{i})$, la matriu ${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})$ es simètrica.
       2. La matriu ${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})$ és semidefinida positiva, ja que per qualsevol ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{d})'\in \mathbb {R} ^{d}$,
${\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}}){\boldsymbol {x}}'=\sum _{i,j=1}^{d}x_{i}x_{j}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j})={\text{Var}}(\sum _{i=1}^{d}X_{i})\geq 0.$A més, el determinant de la matriu ${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})$ és 0 si i només si hi ha una relació lineal entre les variables $X_{1},\dots ,X_{d}$, això és, existeixen escalars $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{d+1}\in \mathbb {R}$, no tots nuls, tals que $\lambda _{1}X_{1}+\cdots +\lambda _{d}X_{d}=\lambda _{d+1},\quad {\text{q.s.}}$
       3. Si ${\boldsymbol {X}}$ és un vector $d$ -dimensional, ${\boldsymbol {A}}$ una matriu $k\times d$ i ${\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{k}$, aleshores ${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {AX}}+{\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {A}}\,{\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}}){\boldsymbol {A}}'.$
Exemples
    1. Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})$. Aleshores, donat que cada component $X_{j}$ té una distribució binomial $B(n,p_{j})$,
$E[{\boldsymbol {X}}]=(np_{1},\dots ,np_{d})'.$ També tenim que ${\text{Var}}(X_{j})=np_{j}(1-p_{j}).$ Per calcular les covariàncies cal utilitzar la marginal de $(X_{i},X_{j})$ i s'obté que ${\text{Cov}}(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j},\quad i\neq j.$ (vegeu els exemples de la secció Funció característica). Així, ${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})={\begin{pmatrix}np_{1}(1-p_{1})&-np_{1}p_{2}&\cdots &-np_{1}p_{d}\\-np_{1}p_{2}&np_{2}(1-p_{2})&\cdots &-np_{2}p_{d}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-np_{1}p_{d}&-np_{2}p_{d}&\cdots &np_{d}(1-p_{d})\end{pmatrix}}$
    2. En el cas del vector normal multidimensional $E[{\boldsymbol {X}}]={\boldsymbol {0}}$. D'altra banda, ${\text{Var}}(X_{j})=1$ i, atès que les variables són independents, ${\text{Cov}}(X_{i},X_{j})=0,\quad i\neq j$. Llavors${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})={\boldsymbol {I}}_{d}.$

### Ampliació: Matriu de covariàncies entre dos vectors

En el que segueix és convenient introduir les matrius aleatòries que són matrius tals que les seves components són variables aleatòries. Sigui ${\boldsymbol {Z}}$ una d'aquestes matrius, de dimensions $n\times m$: ${\boldsymbol {Z}}={\bigZ_{ij}{\big )}_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,m}.$ S'anomena esperança de la matriu aleatòria ${\boldsymbol {Z}}$ a la matriu ${\boldsymbol {E}}[Z]={\bigE[Z_{ij}]{\big )}_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,m}.$Sigui ${\boldsymbol {X}}$ un vector aleatori $d$ -dimensional i ${\boldsymbol {Y}}$ un vector aleatori $k$ -dimensional ambdós amb moments de segon ordre. S'anomena matriu de covariàncies de ${\boldsymbol {X}}$ i ${\boldsymbol {Y}}$ a la matriu de dimensions $d\times k$ ${\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}},{\boldsymbol {Y}})={\big{\text{Cov}}(X_{i},Y_{j}){\big )}_{i=1,\dots ,d \atop j=1,\dots ,k}$Propietats.
* Si ${\boldsymbol {X}}={\boldsymbol {Y}}$ aleshores la matriu de covariàncies coincideix amb la matriu de variàncies-covariàncies: ${\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}},{\boldsymbol {X}})={\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}}).$
* Si $E[{\boldsymbol {X}}]={\boldsymbol {\alpha }}$ i $E[{\boldsymbol {Y}}]={\boldsymbol {\beta }}$, aleshores ${\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}},{\boldsymbol {Y}})=E{\big({\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\alpha }})({\boldsymbol {Y}}-{\boldsymbol {\beta }})'{\big ]}.$
* En particular, ${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})=E{\big({\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\alpha }})({\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\alpha }})'{\big ]}=E{\big{\boldsymbol {X}}{\boldsymbol {X}}'{\big ]}-{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {\alpha }}'.$
* Siguin ${\boldsymbol {X}}$ i ${\boldsymbol {Y}}$ dos vectors aleatoris de dimensions $d$ i $k$ respectivament i ${\boldsymbol {A}}$ i ${\boldsymbol {B}}$ matrius de dimensions $n\times d$ i $m\times k$ respectivament, aleshores ${\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {A}}X,{\boldsymbol {B}}Y)={\boldsymbol {A}}\,{\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}},{\boldsymbol {Y}})\,{\boldsymbol {B}}'.$

## Funció característica i altres transformades
### Funció característica

La funció característica d'un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ és la funció $\varphi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {C}$ definida per $\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{d})=E[e^{i(t_{1}X_{1}+\cdots +t_{d}X_{d})}],\quad (t_{1},\dots ,t_{d})\in \mathbb {R} ^{d}.$ Les funcions característiques de les distribucions marginals es dedueixen fàcilment de la funció característica conjunta; per exemple, per simplificar les notacions, per a $r=1,\dots ,d-1$, $\varphi _{(X_{1},\dots ,X_{r})}(t_{1},\dots ,t_{r})=\varphi _{(X_{1},\dots ,X_{d})}(t_{1},\dots ,t_{r},0\,\dots ,0),\quad t_{1},\dots ,t_{r}\in \mathbb {R} .$
Propietats.
Unicitat. La funció característica determina la distribució del vector ${\boldsymbol {X}}$; concretament, si ${\boldsymbol {X}}$ i ${\boldsymbol {Y}}$ són dos vectors aleatoris, amb funcions característiques $\varphi _{\boldsymbol {X}}$ i $\varphi _{\boldsymbol {Y}}$ respectivament, tals que $\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{d})=\varphi _{\boldsymbol {Y}}(t_{1},\dots ,t_{d}),\quad \forall (t_{1},\dots ,t_{d})\in \mathbb {R} ^{d},$aleshores ${\boldsymbol {X}}$ i ${\boldsymbol {Y}}$ tenen la mateixa distribució (tenen la mateixa funció de distribució, o si són discrets tenen la mateixa funció de probabilitat, o si són absolutament continus tenen la mateix funció de densitat). La propietat recíproca evidentment també és certa.
Funció característica i independència. Els vectors aleatoris $d$-dimensionals ${\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k}$ són independents si i només si $\varphi _{({\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k})}({\boldsymbol {t}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {t}}_{k})=\varphi _{{\boldsymbol {X}}_{1}}({\boldsymbol {t}}_{1})\cdots \varphi _{{\boldsymbol {X}}_{k}}({\boldsymbol {t}}_{k}),\quad \forall {\boldsymbol {t}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {t}}_{k}\in \mathbb {R} ^{d}.$Funció característica i suma de vectors aleatoris independents. Siguin ${\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{k}$ vectors aleatoris $d$-dimensionals independents i posem ${\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {X}}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {X}}_{k}.$Aleshores $\varphi _{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {t}})=\varphi _{{\boldsymbol {X}}_{1}}({\boldsymbol {t}})\cdots \varphi _{{\boldsymbol {X}}_{k}}({\boldsymbol {t}}),\quad \forall {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} ^{d}.$
Funció característica i moments. La següent propietat és especialment útil per a calcular els moments d'un vector aleatori: Si el vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ compleix $E{\big\Vert {\boldsymbol {X}}\Vert ^{m}{\big ]}<\infty$, on $\Vert X\Vert ={\sqrt {X_{1}^{2}+\cdots +X_{d}^{2}}}$, aleshores la funció característica $\varphi _{\boldsymbol {X}}$ és de classe ${\mathcal {C}}^{m}$ i per a $n_{1},\dots ,n_{d}\geq 0$, $\sum _{j=1}^{d}n_{j}\leq m$, $E(X_{1}^{n_{1}}\cdots X_{d}^{n_{d}})={\frac {1}{i^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}}\,{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}{\partial t_{1}^{n_{1}}\cdots \partial t_{d}^{n_{d}}}}\,\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1}\dots ,t_{d}){\Big \vert }_{t_{1}=0,\dots ,t_{d}=0}.$Recíprocament, si la funció característica $\varphi _{\boldsymbol {X}}$ és de classe ${\mathcal {C}}^{m}$ per a $m$ parell, aleshores el vector ${\boldsymbol {X}}$ té moments d'ordre $(n_{1},\dots ,n_{d})$ per qualsevol $n_{1},\dots ,n_{d}\geq 0$, $\sum _{j=1}^{d}n_{j}\leq m$Exemple. Vector multinomial. Retornem al vector multinomial ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})$. La seva funció característica és $\varphi (t_{1},\dots ,t_{d})={\bigp_{1}e^{it_{1}}+\cdots p_{d}e^{it_{d}}{\big )}^{n},\ t_{1},\dots ,t_{d}\in \mathbb {R} .$El vector ${\boldsymbol {X}}$ té moments de tots els ordres perquè les seves components són variables aleatòries positives i afitades per $n$. Podem calcular $E[X_{1}X_{2}]$ de la següent manera: ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t_{1}\partial t_{2}}}\varphi (t_{1},\dots ,t_{k})=-n(n-1)(p_{1}e^{it_{1}}+\cdots +p_{k}e^{it_{k}})^{n-2}p_{1}p_{2}e^{it_{1}}e^{it_{2}},$d'on $E(X_{1}X_{2})=n(n-1)p_{1}p_{2}.$Exemple: Vector normal multidimensional. El vector ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})$ té funció característica $\varphi (t_{1},\dots ,t_{d})=e^{-(t_{1}^{2}+\cdots +t_{d}^{2})/2},\ t_{1},\dots ,t_{d}\in \mathbb {R} .$

### Funció generatriu de moments

Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ un vector aleatori. La funció $M_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})=E{\bige^{s_{1}X_{1}+\cdots +s_{d}X_{d}}{\big ]},$ definida en aquells punts$(s_{1},\dots ,s_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ on l'esperança de la dreta és finita, s'anomena funció generatriu de moments de ${\boldsymbol {X}}$. Atès que per qualsevol nombre real $a\in \mathbb {R}$, $e^{a}>0$, sempre es pot calcular l'esperança de $\exp\{s_{1}X_{1}+\cdots +s_{d}X_{d}\}$, però pot donar infinit. Evidentment, sempre està definida en ${\boldsymbol {0}}=(0,\dots ,0)$ i $M_{\bf {X}}({\boldsymbol {0}})=1$. Quan està definida (o existeix) en un entorn de $(0,\dots ,0)$, aleshores té molt bones propietats i pot substituir la funció característica, amb l'avantatge que és una funció real i, per tant, més fàcil d'utilitzar; d'altra banda, en aquest cas, es pot estendre el domini de definició a un subconjunt de $\mathbb {C} ^{n}$.
Afortunadament, molts vectors aleatoris que apareixen habitualment en l'Anàlisi de la variància i en l'Anàlisi estadística multivariant tenen funció generatriu de moments, però no tots, tal com després veurem.
Alguns autors anomenen transformada de Laplace la funció generatriu de moments; si el vector aleatori ${\boldsymbol {X}}$ només pren valors positius i té funció de densitat $f_{\boldsymbol {X}}$, aleshores $M_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }e^{s_{1}x_{1}+\cdots +s_{d}x_{d}}f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})\,dx_{1}\cdots dx_{d},$que, a part del signe de $s_{1},\dots ,s_{d}$, és la transformada de Laplace (multidimensional) de la funció $f_{\boldsymbol {X}}$.
Les tres propietats següents són especialment útils:
Unicitat. Si la funció generatriu de moments d'un vector aleatori està definida en un entorn de $(0,\dots ,0)$, aleshores determina unívocament la distribució d'aquest vector.
Independència. Siguin ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ i ${\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{r})$ dos vectors aleatoris tal que el vector $({\boldsymbol {X}},{\boldsymbol {Y}})$ té funció generatriu de moments definida en un entorn de zero. Aleshores ${\boldsymbol {X}}\ {\text{i}}\ {\boldsymbol {Y}}$ són independents si i només si
$M_{({\boldsymbol {X,Y}})}(s_{1},\dots ,s_{d},t_{1},\dots ,t_{r})=M_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})\,M_{\boldsymbol {Y}}(t_{1},\dots ,t_{r}).$Moments. Si un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ té funció generatriu de moments en un entorn de $(0,\dots ,0)$, aleshores té moments de tots els ordres i $E(X_{1}^{n_{1}}\cdots X_{d}^{n_{d}})={\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}}{\partial s_{1}^{n_{1}}\cdots \partial s_{d}^{n_{d}}}}\,M_{\boldsymbol {X}}(s_{1}\dots ,s_{d}){\Big \vert }_{s_{1}=0,\dots ,s_{d}=0}.$
Exemples
* Vector multinomial ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})$. La funció generatriu és $M_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})={\bigp_{1}e^{s_{1}}+\cdots p_{d}e^{s_{d}}{\big )}^{n},\ s_{1},\dots ,s_{d}\in \mathbb {R} .$
* Vector normal multidimensional ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})$. $M_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})=e^{(s_{1}^{2}+\cdots +s_{d}^{2})/2},\ s_{1},\dots ,s_{d}\in \mathbb {R} .$
* Vectors aleatoris sense funció generatriu de moments. Segons hem comentat, un vector aleatori amb funció generatriu de moments en un entorn de $(0,\dots ,0)$ té moments de tots els ordres. Per tant, qualsevol vector que contingui alguna component que no tingui moments de qualsevol ordre no tindrà funció generatriu de moments. Per exemple, una distribució $t$-multidimensional.

### Funció generatriu de probabilitats

Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ un vector aleatori que només prengui valors naturals (zero inclòs), amb funció de probabilitats $p_{\boldsymbol {X}}$. S'anomena funció generatriu de probabilitats a la funció $G_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})=E[s_{1}^{X_{1}}\cdots s_{d}^{X_{d}}]=\sum _{x_{1}\geq 0,\dots ,x_{d}\geq 0}s_{1}^{x_{1}}\cdots s_{d}^{x_{d}}p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d}).$(Amb el conveni $0^{0}=1$). La sèrie de la dreta és una sèrie de potències multidimensional, que és absolutament convergent per a $(s_{1},\dots ,s_{d})\in [-1,1]^{d}$, ja que$0\leq \sum _{x_{1},\dots ,x_{d}}{\big \vert }s_{1}^{x_{1}}\cdots s_{d}^{x_{d}}p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d}){\big \vert }\leq \sum _{x_{1},\dots ,x_{d}}p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})=1,$. A vegades la regió de convergència és més gran que $[-1,1]^{d}$. Alguns autors defineixen aquesta funció per al camp complex, ja que la sèrie és absolutament convergent per a ${\boldsymbol {z}}=(z_{1},\dots ,z_{d})\in \mathbb {C} ^{d}$, amb $\vert z_{1}\vert \leq 1,\dots ,\vert z_{d}\vert \leq 1$ i potser en conjunts més grans de $\mathbb {C} ^{d}$.
La funció generatriu de probabilitats està relacionada amb la funció generatriu de moments per la fórmula: $M_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})=G_{\boldsymbol {X}}(e^{s_{1}},\dots ,e^{s_{d}}).$Aquesta funció s'utilitza molt en situacions on intervenen vectors aleatoris que només prenen valors naturals, com els processos de ramificació.
Propietats.
       1. La funció $G_{\boldsymbol {X}}$ és contínua i infinitament diferenciable en $(-1,1)^{d}$.
       2. Fórmula d'inversió i unicitat. La funció de probabilitat del vector ${\boldsymbol {X}}$ es pot recuperar a partir de la funció generatriu de probabilitat: $p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})={\frac {1}{x_{1}!\cdots x_{d}!}}\,{\frac {\partial ^{x_{1}+\cdots +x_{d}}G_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})}{\partial s_{1}^{x_{1}}\cdots \partial s_{d}^{x_{d}}}}{\big \vert }_{s_{1}=0,\dots ,s_{d}=0},\quad (x_{1},\dots ,x_{d})\in \mathbb {N} ^{d}.$
En conseqüència, la funció generatriu de probabilitats determina la distribució del vector ${\boldsymbol {X}}$.
       3. Moments factorials. Per a $x\in \mathbb {R}$ i $k\in \mathbb {N}$, designem per $x^{\underline {k}}$ el factorial decreixent:$x^{\underline {k}}=x(x-1)\cdots (x-k+1).$
Noteu que si $x\in \mathbb {N}$ i $k\geq x+1$, llavors $x^{\underline {k}}=0$. S'anomena moment factorial d'ordre $(n_{1},\dots ,n_{d})$ del vector${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ a $\mu '_{{\boldsymbol {}n_{1},\dots ,n_{d})}=E[X_{1}^{{\underline {n}}_{1}}\dots X_{d}^{{\underline {n}}_{d}}].$ Aleshores, aquesta esperança és finita si i només si $\lim _{(s_{1},\dots ,s_{d})\uparrow (1,\dots ,1)}{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}G(s_{1},\dots ,s_{d})}{\partial s_{1}^{n_{1}}\cdots \partial s_{1}^{n_{1}}}}<\infty ,$i en aquest cas, $\mu '_{(n_{1},\dots ,n_{d})}=\lim _{(s_{1},\dots ,s_{d})\uparrow 1}{\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}G(s_{1},\dots ,s_{d})}{\partial s_{1}^{n_{1}}\cdots \partial s_{1}^{n_{1}}}}.$
       4. Suma de vectors aleatoris independents. Siguin ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ i ${\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{d})$ dos vectors aleatoris independents que només prenen valors naturals. Aleshores $G_{{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {Y}}}({\boldsymbol {s}})=G_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {s}})\,G_{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {s}}).$
Exemple. Vector multinomial ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})$. La funció generatriu de probabilitat és $G_{\boldsymbol {X}}(s_{1},\dots ,s_{d})={\bigp_{1}{s_{1}}+\cdots p_{d}{s_{d}}{\big )}^{n},\ s_{1},\dots ,s_{d}\in \mathbb {R} .$

## Funcions d'un vector aleatori amb densitat

Les transformacions d'un vector aleatori són especialment importants tant en la teoria com en les aplicacions, i és molt convenient disposar d'eines per determinar la distribució del vector transformat a partir de l'inicial. Si ${\boldsymbol {X}}$ és un vector aleatori $d$-dimensional amb funció de densitat i $h:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}$ és una bona funció, aleshores ${\boldsymbol {Y}}=h({\boldsymbol {X}})$ també té funció de densitat i hi ha fórmules per calcular-la. De fet, si el vector ${\boldsymbol {X}}$ està concentrat en un subconjunt $U$, és a dir, si $P({\boldsymbol {X}}\in U)=1$, aleshores la funció ${\boldsymbol {h}}$ només ha d'estar definida en aquest conjunt.
Propietat. Sigui ${\boldsymbol {X}}$ un vector aleatori amb funció de densitat conjunta $f_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})$. Suposem que $P({\boldsymbol {X}}\in U)=1$ on $U$ és un conjunt obert de $\mathbb {R} ^{d}$. Sigui $h=(h^{(1)},\dots ,h^{(d)}):U\to V,$ on $V$ és un obert de $\mathbb {R} ^{d}$, $h$ bijectiva de classe ${\cal {C}}^{1}$, amb determinant jacobià no nul sobre $U$: $J_{\boldsymbol {h}}(x_{1},\dots ,x_{d}):={\text{det}}{\Big{\partial h^{(i)} \over \partial x_{j}}{\Big )}_{i,j=1,\dots ,d}\neq 0,\ \forall (x_{1},\dots ,x_{d})\in U.$ Designem la inversa de $h$ per $g=(g^{(1)},\dots ,g^{(d)})$. Aleshores el vector aleatori ${\boldsymbol {Y}}=h({\boldsymbol {X}})$ és absolutament continu amb densitat $f_{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {y}})={\begin{cases}f_{X}{\bigg({\boldsymbol {y}}){\big )}\vert J_{g}({\boldsymbol {y}})\vert ,&{\text{ si }}{\boldsymbol {y}}\in V,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$
Exemple. Vector aleatori normal multidimensional. En aquest exemple escriurem tots els vectors en columna. Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d})$ un vector aleatori normal multidimensional com el que hem introduït anteriorment. Considerem una matriu $d\times d$ definida positiva ${\boldsymbol {\Sigma }}$ i un vector ${\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{d}$. Existeix una única matriu definida positiva ${\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}$ tal que $({\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2})^{2}={\boldsymbol {\Sigma }}$. Definim el vector ${\boldsymbol {Y}}$ per ${\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {\mu }}.$ Així, l'aplicació que estem considerant és $h:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}$ donada per $h({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {\mu }}.$ Noteu que $U=V=\mathbb {R} ^{d}$.
L'aplicació inversa és $g({\boldsymbol {y}})=h^{-1}({\boldsymbol {y}})={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {\mu }}),$on ${\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}$ és la matriu inversa de ${\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}$. La matriu jacobiana de $g$ és ${\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}$, que té determinant diferent de zero a tot $\mathbb {R} ^{d}$. La densitat de ${\boldsymbol {X}}$ és $f({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\,e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{d}^{2})/2}={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\,e^{-{\boldsymbol {x}}'{\boldsymbol {x}}/2}.$ Llavors, la densitat de ${\boldsymbol {Y}}$ és $f_{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {y}})={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}}}\,e^{-{\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\prime }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {\mu }})}\,\vert {\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}\vert ={\frac {1}{(2\pi )^{d/2}({\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }})^{1/2}}}\,e^{-{\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\prime }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {\mu }})}.$
Es diu que ${\boldsymbol {Y}}$ té una llei normal multidimensional ${\boldsymbol {Y}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. D'acord amb les propietats que hem vist sobre el vector d'esperances i la matriu de variàncies-covariàncies tenim que $E[{\boldsymbol {Y}}]={\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}\,E[{\boldsymbol {X}}]+{\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {\mu }}$ i ${\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {Y}})={\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}={\boldsymbol {\Sigma }}.$
Extensió. La propietat anterior es pot estendre al cas que la funció $h$ es pugui descompondre en una funció bijectiva a trossos. Concretament tenim: Sigui ${\boldsymbol {X}}$ un vector aleatori $d$-dimensional, amb funció de densitat conjunta $f_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})$. Suposem que $P\{{\boldsymbol {X}}\in U\}=1$ amb $U=U_{1}\cup \cdots \cup U_{k}$, on $U_{i}$ són oberts de $\mathbb {R} ^{d}$ disjunts dos a dos. Sigui h:U⟶R$^d$, {\textstyle h:\, U\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}, } tal que les restriccions $h_{i}:U_{i}\longrightarrow V_{i}$ són bijectives de classe ${\cal {C}}^{1}$ amb determinant jacobià no nul (els conjunts $V_{1},\dots ,V_{k}$ no cal que siguin disjunts dos a dos i, de fet, poden ser iguals). Designem per $g_{i}:V_{i}\longrightarrow U_{i}$ la inversa de $h_{i}$. Aleshores el vector aleatori ${\boldsymbol {Y}}=h({\boldsymbol {X}})$ és absolutament continu amb densitat$f_{\boldsymbol {Y}}({\boldsymbol {y}})=\sum _{i=1}^{k}f_{\boldsymbol {X}}{\bigg_{i}({\boldsymbol {y}})\vert J_{g_{i}}({\boldsymbol {y}})\vert {\boldsymbol {1}}_{V_{i}}({\boldsymbol {y}}),$ on, ${\boldsymbol {1}}_{V_{i}}$ és la funció indicador del conjunt $V_{i}$: ${\boldsymbol {1}}_{V_{i}}(y)={\begin{cases}1,&{\text{si }}y\in V_{i},\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$

## Distribucions condicionades
### Cas discret

Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ un vector aleatori discret amb funció de probabilitat $p_{\boldsymbol {X}}$. Considerem una de les components del vector, per exemple, per simplificar les notacions, l'última, $X_{d}$, amb funció de probabilitat marginal $p_{X_{d}}$, i fixem $x_{d}$ tal que $p_{X_{d}}(x_{d})>0$. S'anomena distribució de $(X_{1},\dots ,X_{d-1})$ condicionada per $X_{d}=x_{d}$ a la probabilitat donada per la funció de probabilitat $p_{X_{1},\dots ,X_{d-1}\,\vert \,X_{d}}(x_{1},\dots ,x_{d-1}\vert x_{d})={\frac {p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})}{p_{X_{d}}(x_{d})}}.$Més generalment, per a $2\leq r\leq d,$ podem considerar el vector $(X_{r},\dots ,X_{d})$ (per simplificar les notacions); fixat $(x_{r},\dots ,x_{d})$ tal que $p_{X_{r},\dots ,X_{d}}(x_{r},\dots ,x_{d})>0$, definim la distribució de $(X_{1},\dots ,X_{r-1})$ condicionada per $X_{r}=x_{r},\dots ,X_{d}=x_{d}$ a la probabilitat donada per la funció de probabilitat $p_{X_{1},\dots ,X_{r-1}\,\vert \,X_{r},\dots ,X_{d}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}\vert X_{r}=x_{r},\dots ,x_{d})={\frac {p_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})}{p_{X_{r},\dots ,X_{d}}(x_{r},\dots ,x_{d})}}.$Exemple. Considerem un vector multinomial ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{d})$. Aleshores, fixat $k\in \{0,\dots ,n\}$, la distribució de $(X_{1},\dots ,X_{d-1})$ condicionada per $X_{d}=k$ és $p_{(X_{1},\dots ,X_{d-1})\,\vert \,X_{d}}(x_{1},\dots ,x_{d-1}\vert k)={\frac {(n-k)!}{x_{1}!\cdots x_{d-1}!}}\,{\Big{\frac {p_{1}}{1-p_{k}}}{\Big )}^{x_{1}}\cdots {\Big{\frac {p_{d-1}}{1-p_{k}}}{\Big )}^{x_{d-1}},\quad x_{1}\geq 0,\dots ,x_{d-1}\geq 0,{\text{amb }}x_{1}+\cdots +x_{d-1}=n-k.$Per tant, $(X_{1},\dots ,X_{d-1})$ condicionat a $X_{d}=k$ té una distribució multinomial ${\mathcal {M}}{\bign-k;p_{1}/(1-p_{k}),\dots ,p_{d-1}/(1-p_{k}){\big )}$.
En general, fixats $x_{r}\geq 0,\dots ,x_{d}\geq 0,$ tals que $x_{r}+\cdots +x_{d}\leq n$, el vector $(X_{1},\dots ,X_{r-1})$ condicionat per $X_{r}=x_{r},\dots ,X_{d}=x_{d}$ té una distribució multinomial ${\mathcal {M}}(n-m;p_{1}^{*},\dots ,p_{r-1}^{*})$, on $m=x_{r}+\cdots +x_{d}\quad {\text{i}}\quad p_{j}^{*}={\frac {p_{j}}{p_{1}+\cdots +p_{r-1}}},\quad j=1,\dots ,r-1.$

### Cas absolutament continu

Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})$ un vector aleatori amb funció de densitat conjunta $f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})$. Per a $2\leq r\leq d,$ fixats $x_{r},\dots ,x_{d}$ tals que $f_{X_{r},\dots ,x_{d}}(x_{r},\dots ,x_{d})>0$, definim la densitat condicionada de $(X_{1},\dots ,X_{r-1})$ condicionada per $X_{r}=x_{r},\dots ,X_{d}=x_{d}$ $f_{X_{1},\dots ,X_{r-1}\,\vert \,X_{r},\dots ,X_{d}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}\vert x_{r},\dots ,x_{d})={\frac {f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{d})}{f_{X_{r},\dots ,X_{d}}(x_{r},\dots ,x_{d})}}.$
Exemple. Vector normal multidimensional.. Sigui ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})'\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ un vector normal multidimensional (de nou aquí escriurem tots els vectors en columna), i $2\leq r\leq d$. Escrivim ${\boldsymbol {X}}_{1}=(X_{1},\dots ,X_{r-1})'\quad {\text{i}}\quad {\boldsymbol {X}}_{2}=(X_{r},\dots ,X_{d})'$${\boldsymbol {\mu }}_{1}=E[{\boldsymbol {X}}_{1}]=(\mu _{1},\dots ,\mu _{r-1})'\quad {\text{i}}\quad {\boldsymbol {\mu }}_{2}=E[{\boldsymbol {X}}_{2}]=(\mu _{r},\dots ,\mu _{d})'.$D'altra banda, partim la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$ de la següent manera: ${\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}\\\Sigma _{21}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}\end{pmatrix}},$on ${\boldsymbol {\Sigma }}_{ij}={\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}_{i},{\boldsymbol {X}}_{j})$. Noteu que ${\boldsymbol {\Sigma }}_{21}={\boldsymbol {\Sigma }}_{12}'$. Aleshores, la distribució $(X_{1},\dots ,X_{r-1})'$ condicionada per $X_{r}=x_{r},\dots ,X_{d}=x_{d}$ (escrivim ${\boldsymbol {x}}_{2}=(x_{r},\dots ,x_{d})'$) és normal mutidimensional ${\mathcal {N}}_{r-1}({\boldsymbol {\mu }}^{*},{\boldsymbol {\Sigma }}^{*})$ on ${\boldsymbol {\mu }}^{*}={\boldsymbol {\mu }}_{1}+{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}^{-1}({\boldsymbol {x}}_{2}-{\boldsymbol {\mu }}_{2})\quad {\text{i}}\quad {\boldsymbol {\Sigma }}^{*}={\boldsymbol {\Sigma }}_{11}-{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }}_{21}.$En particular, per a $d=2$, si posem${\text{Var}}(X_{1})=\sigma _{1}^{2},\ {\text{Var}}(X_{2})=\sigma _{2}^{2}\ \ {\text{i}}\ \ {\text{Cov}}(X_{1},X_{2})=\sigma _{12},$ tenim que $X_{1}$ condicionada per $X_{2}=x_{2}$ té una distribució normal ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ on $\mu =\mu _{1}+{\frac {\sigma _{12}}{\sigma _{2}^{2}}}(x_{2}-\mu _{2})\quad {\text{i}}\quad \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}-{\frac {\sigma _{12}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}.$

## Exemples

Aquests exemples tracten de vectors aleatoris bidimensionals, que habitualment és denoten per $(X,Y)$ en lloc de $(X_{1},X_{2})$.

### Exemple 1. Vector aleatori bidimensional discret

Tirem una moneda tres cops. El model probabilístic que prendrem és $\Omega ={\big \{\text{(cara,cara,cara), (creu, cara, cara),...}}{\big \}}$, que té 8 elements; ${\mathcal {A}}$ és la col·lecció de tots els subconjunts de $\Omega$, i $P$ assigna a tots els resultats la mateixa probabilitat 1/8. Siguin
       $X$: nombre de cares que surt.
       $Y$: diferència, en valor absolut, entre el nombre de cares i de creus.
Aleshores $X$ pot prendre els valors 0, 1, 2 o 3, i $Y$ pot valer 1 o 3. Llavors, el vector $(X,Y)$ pot prendre els valors (0,1), (0,3), (2,1), (2,3), (3,1) o (3,3). El conjunt $S={\big \(0,1),(0,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3){\big \}}$ s'anomena el suport de la distribució del vector. Notem que $P{\big(X,Y)\in S{\big )}=1.$ Calculem les probabilitats que prengui cadascun dels valors del suport. Recordem que per alleugerir les fórmules s'utilitzen 'comes' en lloc d'interseccions):
       $P{\big(X,Y)=(0,1){\big )}=P{\bigX=0,Y=1{\big )}=P{\big\{X=0\}\cap \{Y=1\}{\big )}=P(\emptyset )=0$.
       $P{\big(X,Y)=(0,3){\big )}=P{\big{\text{(creu,creu,creu)}}{\big )}=1/8$
       $P{\big(X,Y)=(1,1){\big )}=P{\big{\text{(cara,creu,creu), (creu,cara,creu), (creu,creu,cara)}}{\big )}=3/8,$ (noteu que l'ordre en què surten els resultats s'ha de tenir en compte).
I així successivament. De fet, els punts (0,1), (1,3), (2,3) i (3,1) es poden treure del suport, ja que tenen probabilitat zero, i per a certes fórmules és convenient fer-ho per evitar expressions sense sentit. La funció $p_{(X,Y)}(x,y)=P(X=x,Y=y),\ (x,y)\in S$ s'anomena funció de probabilitat conjunta o funció de repartiment de massa del vector $(X,Y)$ . Quan hi ha un nombre petit de casos, com en aquest exemple, la funció de probabilitat s'acostuma a posar en una taula, anomenada taula de probabilitats conjuntes del vector i que determina la llei o distribució del vector.
${\begin{array}{cc|cccc}&&&X\\&&0&1&2&3\\\hline &1&0&3/8&3/8&0\\Y\\&3&1/8&0&0&1/8\\\hline \end{array}}$
Distribucions marginals
A partir d'aquesta taula, sumant per files o columnes, es dedueixen les funcions de probabilitat de les variables $X$ i $Y$, que denotem per $p_{X}$ i $p_{Y}$ i que s'anomenen distribucions marginals de $X$ i de $Y$ respectivament, o taules de probabilitats marginals:
${\begin{array}{c|ccccc}\hline x&0&1&2&3\\\hline p_{X}(x)&1/8&0&0&1/8\\\hline \end{array}}\qquad \qquad {\begin{array}{c|ccc}\hline y&1&3\\\hline p_{Y}(y)&3/4&1/4\\\hline \end{array}}$Independència de variables aleatòries Recordem que dues variables aleatòries $X$ i $Y$ es diu que són independents si per a qualsevol $A,B\subset \mathbb {R}$ (en rigor, conjunts de Borel $A,B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$), els esdeveniments $\{X\in A\}$ i $\{Y\in B\}$ són independents, això és,$P{\bigX\in A,Y\in B)=P(X\in A)\,P(Y\in B).$Quan ambdues variables són discretes, aquesta condició es redueix a una sobre la funció de probabilitat conjunta: Les variables $X$ i $Y$ són independents si i només si $p_{(X,Y)}(x,y)=p_{X}(x)\,p_{Y}(y),\quad \forall (x,y)\in S.$A l'exemple és evident que aquesta propietat no es compleix: per exemple, $p_{(X,Y)}(0,1)=0\neq p_{X}(0)\,p_{Y}(1)={\frac {3}{32}}.$
Distribucions condicionades
Atès que l'esdeveniment $\{Y=1\}$ (obtenir exactament una cara) té probabilitat estrictament positiva, podem calcular les probabilitat condicionada: $P(X=0\,\vert \,Y=1)={\frac {P(X=0,Y=1)}{P(Y=1)}}=0.$
Anàlogament, $P(X=1\,\vert \,Y=1)=1/2,\quad P(X=2\,\vert \,Y=1)=1/2\quad {\text{i}}\quad P(X=3\,\vert \,Y=1)=0.$ Per tant, fixat $Y=1$, tenim definida una probabilitat sobre el conjunt $\{0,1,2,3\}$, de fet, només cal considerar el conjunt $\{1,2\}$, que s'anomena la distribució de $X$ condicionada per $Y=1$, per a la qual es dona la funció de probabilitat condicionada $p_{X\vert Y}(1|1)={\frac {1}{2}}\quad {\text{i}}\quad p_{X\vert Y}(2|1)={\frac {1}{2}},$i que es pot representar per la taula ${\begin{array}{c|cc}\hline x&1&2\\\hline p_{X\vert Y}(x|1)&1/2&1/2\\\hline \end{array}}$Anàlogament, tenim la distribució de condicionada per $Y=3$ donada a la següent taula:${\begin{array}{c|cc}\hline x&0&3\\\hline p_{X\vert Y}(x|3)&1/2&1/2\\\hline \end{array}}$ Esperança d'un vector. Es defineix l'esperança del vector $(X,Y)$ com el vector ${\boldsymbol {E}}[(X,Y)]=(E[X],E[Y])$. Concretament, atès que $E[X]=0\cdot {\frac {1}{8}}+1\cdot {\frac {3}{8}}+2\cdot {\frac {3}{8}}+0\cdot {\frac {1}{8}}={\frac {9}{8}}\quad {\text{i}}\quad E[Y]=1\cdot {\frac {3}{4}}+3\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {3}{2}},$ tenim que $E[(X,Y)]=(9/8,3/2)$.
Matriu de variàncies-covariàncies d'un vector. La matriu ${\boldsymbol {V}}{\big(X,Y){\big )}={\begin{pmatrix}{\text{Var}}(X)&{\text{Cov}}(X,Y)\\{\text{Cov}}(X,Y)&{\text{Var}}(Y)\end{pmatrix}}$s'anomena matriu de variàncies-covariàncies o matriu de dispersió del vector $(X,Y)$. Tenim que ${\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-{\bigE[X]{\big )}^{2}={\frac {15}{8}}-{\frac {81}{64}}={\frac {39}{64}}.$De la mateixa manera es calcula que ${\text{Var}}(Y)=3/2$. Per calcular la covariància farem servir que ${\text{Cov}}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y].$Ara, per obtenir $E[XY]$, necessitem utilitzar la funció de probabilitat conjunta de $(X,Y)$: $E[XY]=0\cdot 1\cdot 0+1\cdot 1\cdot {\frac {1}{8}}+2\cdot 1\cdot {\frac {3}{8}}+\cdots ={\frac {7}{4}},$d'on, ${\text{Cov}}(X,Y)=1/16$. Així, la matriu de variàncies-covariàncies és ${\boldsymbol {V}}{\big(X,Y){\big )}={\begin{pmatrix}{\tfrac {39}{64}}&{\tfrac {1}{4}}\\{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {3}{2}}\end{pmatrix}}$

### Exemple 2. Vector aleatori bidimensional continu

De manera anàloga al cas d'una variable aleatòria absolutament contínua, es diu que un vector $(X,Y)$ és absolutament continu si existeix una funció $f_{(X,Y)}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, anomenada funció de densitat (conjunta), que compleix
       1. $f_{(X,Y)}(x,y)\geq 0,\ \ \forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}.$
       2. $\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{(X,Y)}(x,y)\,dx\,dy=1.$
       3. Per qualsevol $B\subset \mathbb {R} ^{2}$ (en rigor, conjunt de Borel de $\mathbb {R} ^{2}$ ,
$P{\big(X,Y)\in B{\big )}=\iint _{B}f_{(X,Y)}(x,y)\,dx\,dy.$
Com exemple, sigui $(X,Y)$ un vector aleatori bidimensional amb distribució uniforme en el triangle $T$ de vèrtexs els punts (0,0), (1,0) i (1,1) (vegeu la Figura 1). La funció de densitat conjunta és
$f_{(X,Y)}(x,y)={\begin{cases}2,&{\text{si}}\ (x,y)\in T,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$
La funció de densitat (marginal) de $Y$ es calcula per la fórmula:
$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{(X,Y)}(x,y)\ dx$
Ara cal distingir dos casos:
1. Fixada $y\notin (0,1)$, aleshores $f_{(X,Y)}(x,y)=0,\ \forall x$. És evident que $f_{Y}(y)=0.$
2. Fixada $y\in (0,1)$,
$f_{(X,Y)}(x,y)={\begin{cases}2,&{\text{si}}\ x\in (y,1),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$
Llavors
$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{(X,Y})(x,y)\,dx=\int _{y}^{1}2\,dx=2(1-y).$
Ajuntant ambdós casos tenim, vegeu la Figura 2,
$f_{Y}(y)={\begin{cases}2(1-y),&{\text{si}}\ y\in (0,1),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$
De manera anàloga s'obté que la densitat marginal de $X$ és, vegeu la Figura 3, $f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{(X,Y)}(x,y)\,dy={\begin{cases}2x,&{\text{si}}\ x\in (0,1),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$
Ara podem calcular la densitat condicionada $f_{X|Y}(x|y)$, que només es calculara per a $y\in (0,1)$
$f_{X|Y}(x|y)={\frac {f_{(X,Y)}(x,y)}{f_{Y}(y)}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{1-y}},&{\text{quan}}\ x\in (y,1),\\0,&{\text{en cas contrari}}.\end{cases}}$
Vegeu la Figura 4. Noteu que els papers de $x$ i de $y$ són completament diferents. Fixada la $y\in (0,1)$ tenim una funció de densitat en $x$. De fet, en aquest cas, es tracta de la densitat d'una distribució uniforme en l'interval $(y,1).$
Per obtenir l'esperança del vector $(X,Y)$ s'ha de calcular l'esperança de cada component utilitzant les fórmules corresponents al cas absolutament contínu: $E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,dx=2\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {2}{3}}.$
També, $E[Y]=2/3$. Així, $E[{\boldsymbol {X}}]=(2/3,2/3)$ .
El moment de segon ordre de $X$ és: $E[X^{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f_{X}(x)\,dx=2\int _{0}^{1}x^{3}\,dx={\frac {1}{2}}.$ D'on ${\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-{\bigE[X]{\big )}^{2}={\frac {1}{2}}-{\frac {4}{9}}={\frac {1}{18}}.$
I el mateix dona ${\text{Var}}(Y)$.
Finalment, per calcular la covariància, $E[XY]=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }xy\,f_{(X,Y)}(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}xy\,dx\,dy=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{x}xy\,dx\,dy={\frac {1}{6}}.$Aleshores, ${\text{Cov}}(X,Y)=E[XY]-E[X]\,E[Y]={\frac {1}{6}}-{\frac {4}{9}}=-{\frac {5}{18}}.$Per tant, la matriu de variàncies covariàncies dona ${\boldsymbol {V}}{\big(X,Y){\big )}={\begin{pmatrix}~~~{\tfrac {1}{18}}&-{\tfrac {5}{18}}\\-{\tfrac {5}{18}}&~~~{\tfrac {1}{18}}\end{pmatrix}}$

## Notes

* 1 2 3 Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 66-68. ISBN 84-8338-091-9.
* ↑ Anderson, T. W.. An introduction to multivariate statistical analysis. 3a edició. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003. ISBN 0-471-36091-0.
* ↑ Forbes, C.; Evans, M.; Hastings, N.; Peacock, B. Statistical distributions.. 4th ed.. Oxford: Wiley-Blackwell, 2010, pp.135-136. ISBN 978-0-470-62724-2.
* ↑ Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 90. ISBN 84-8338-091-9.
* 1 2 Johnson, Norman Lloyd. Discrete multivariate distributions. Nova York: Wiley, 1997, p. 2-3. ISBN 0-471-12844-9.
* ↑ Cuppens, Roger. Decomposition of multivariate probabilities. Nova York: Academic Press, 1975, p. 52. ISBN 0-12-199450-3.
* ↑ Seber, G. A. F.. Linear regression analysis. 2a edició. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003, p. 5-8. ISBN 0-471-41540-5.
* ↑ Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 9. ISBN 0-521-55302-4.
* 1 2 Athreya, Krishna B. Measure theory and probability theory. Nova York: Springer, 2006, p. 198-199. ISBN 0-387-32903-X.
* 1 2 Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994. ISBN 0-412-05221-0.
* 1 2 3 Seber, G. A. F.. Linear regression analysis. 2a edició. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003, p. 13-14. ISBN 0-471-41540-5.
* ↑ Debnath, Joyati; Dahiya, R.S. «Theorems on multidimensional laplace transform for solution of boundary value problems» (en anglès). Computers & Mathematics with Applications, 18, 12, 1989, pàg. 1033–1056. DOI: 10.1016/0898-1221(89)90031-X.
* ↑ Anderson, T. W.. An introduction to multivariate statistical analysis. 3a edició. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003, p. 55. ISBN 0-471-36091-0.
* 1 2 3 Kimmel, Marek. Branching processes in biology. Nova York: Springer, 2002, p. Appendix A. ISBN 0-387-95340-X.
* ↑ NIST handbook of mathematical functions. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. Item 26.1.1. ISBN 978-0-521-19225-5.
* ↑ Johnson, Norman Lloyd. Discrete multivariate distributions. Nova York: Wiley, 1997, p. 4. ISBN 0-471-12844-9.
* ↑ Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 73. ISBN 84-8338-091-9.
* ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 225, propietat 10.32. ISBN 978-0-470-22678-0.
* ↑ Per definició, les matrius definides positives són simètriques
* ↑ Per un resultat semblant vegeuCasella, George. Statistical inference. 2a edició. Australia: Thomson Learning, 2002, p. 185. ISBN 0-534-24312-6.
* ↑ Johnson, Norman Lloyd. Discrete multivariate distributions. Nova York: Wiley, 1997, p. 35. ISBN 0-471-12844-9.
* ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 439. ISBN 978-0-470-22678-0.