# 3-varietat

Les 3-varietats, en topologia de dimensions baixes, són un camp que estudia varietats topològiques de tres dimensions. És a dir, espais de Hausdorff que són localment homeomorfs en l'espai euclidià $\mathbb {R} ^{3}$.
Se sap que les categories topològiques, diferenciables i PL són totes equivalents per al cas de 3-varietats, de manera que poca distinció es presta a quina categoria s'està usant.
Aquesta part de la matemàtica té una estreta connexió amb altres camps d'estudi com les superfícies, les 4-varietat, la teoria de nusos, les teories de camp quàntic, les teories de calibratge i les equacions en derivades parcials. Es diu també que la teoria de 3-varietats és part de la topologia geomètrica.
Una idea clau per a estudiar aquests objectes és considerar superfícies encaixades en aquests. Això condueix a la idea de superfície incompressible (incompressible surface) i la teoria de varietats de Haken, en què un pot triar de tal manera que les peces complementàries siguin menys complexes, la qual cosa condueix a la noció de jerarquies o la descomposició mitjançant cubs amb nanses o també les anomenades descomposicions de Heegaard.

## Exemples sense frontera

Com a primeres mostres de la gran varietat d'objectes, pensem en espais compactes i sense frontera: un primer exemple, la 3-esfera $S^{3}\,$. Un altre més és l'espai projectiu $\mathbb {R} P^{3}$. És possible obtenir espais de tres dimensions amb el producte cartesià:
    $S^{2}\times S^{1}$
    $\mathbb {R} P^{2}\times S^{1}$
    $T\times S^{1}$
    $K\times S^{1}$
O bé fibrats de la manera $S^{1}\subset E\to \Sigma$, en què $\Sigma$ és un orbifold: aquests són els fibrats de Scott-Seifert,indispensables per a entendre les modernes classificacions de les 3-varietats.
També tenim els fibrats de les maneres $F\subset E\to S^{1}$, i és $F$ una superfície tancada. Aquests són font d'exemples molt importants.

## Exemples amb frontera

Hi ha 3-varietats amb frontera, com la 3-bola unitària $D^{3}\,$ o el tor sòlid $D^{2}\times S^{1}$, les fronteres són les 2 - esfera i el tor, respectivament. L'ampolla de Klein sòlida és un altre exemple de tres varietat amb frontera que és una superfície una ampolla de Klein.
També hi ha tots els fibrats de la forma
       $I\subset E\to F$ (I-bundles)
on $I$ és un interval i $F$ una superfície. Exemple és el fibrat (orientable) per interval sobre l'ampolla de Klein, ${\widetilde {K\times I}}/O$, que és el $I$-bundle que construeix enganxant dos tors sòlids identificant dos cèrcols a la frontera, un a cada un d'ells. Cada un d'aquests cercles és la veïnatge regular d'una corba $(2,1)\,$ dues-longituds i un meridià , ie un nus ric. Sabem que la seva frontera, $\partial ({\widetilde {K\times I}}/O)$, és un tor $S^{1}\times S^{1}$. A més ${\widetilde {K\times I}}/O$ correspon a ${\widetilde {M{\ddot {o}}\times S^{1}}}$.
Un altre exemple és el producte cartesià $M{\ddot {o}}\times S^{1}$ de la banda de Möbius amb el cercle i el qual és ${\widetilde {T\times I}}$ i és diferent de ${\widetilde {K\times I}}/O$.
També la frontera $\partial (M{\ddot {o}}\times S^{1})$ és $(\partial M{\ddot {o}})\times S^{1}$, la qual també és un tor $S^{1}\times S^{1}$.

## Tipus de 3-varietats

* Complements de nusos i enllaços (knots and links)
* Fibrat de Seifert, fibrat clàssic de Seifert. Fibrat de Scott
* Espais tipus lent (lens spaces)
* Fibrat de superfície (surface bundles) sobre el cercle
* Varietats de Haken
* Graph manifolds
* Esferes homològiques.

## Resultats Fonamentals

* Teorema de Descomposició Prima
* Teorema de Moise
* Descomposició de JSJ
* Teoremes del Llaç i l'Esfera (que generalitzen el Lema de Dehn).
* Teorema de geometrització per varietats de Haken
* Teorema de Lickorish-Wallace

## Problemes famosos

* Conjectura de Poincaré
* Geometrització de Thurston
* Conjectura de la fibració virtual.
* Conjectura de ser virtualment Haken.

## Bibliografia

* Hempel, John. 3-manifolds. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. ISBN 0-8218-3695-1.
* Jaco, William H. Lectures on three-manifold topology. Providence, RI: American Mathematical Society, 1980. ISBN 0-8218-1693-4.
* Rolfsen, Dale. Knots and Links. Providence, RI: American Mathematical Society, 1976. ISBN 0-914098-16-0.
* Thurston, William P. Three-dimensional geometry and topology. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. ISBN 0-691-08304-5.
* Adams, Colin Conrad. The Knot Book. An elementary introduction to the mathematical theory of knots. Revised reprint of the 1994 original.. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, p. xiv+307. ISBN 0-8050-7380-9.
* Bing, R. H.. The Geometric Topology of 3-Manifolds. 40. Providence, RI: American Mathematical Society, 1983, p. x+238. ISBN 0-8218-1040-5.

## Enllaços externs

* A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds