# Llei de Morrie

La llei de Morrie és una identitat trigonomètrica singular. El seu nom s'atribueix al físic Richard Feynman, que solia referir-se a aquesta identitat amb aquest nom. Feynman va triar aquest nom perquè la va aprendre durant la seva infantesa a través d'un noi anomenat Morrie Jacob i la va recordar tota la seva vida.

## Identitat i generalització

    $\cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.$
És un cas especial de la identitat, més general,
    $2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}$
amb n = 3 i α = 20° i el fet que
    ${\frac {\sin(160^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}=1,$
ja que
    $\sin(180^{\circ }-x)=\sin(x).$

## Identitats similars

També existeix una identitat similar amb la funció sinus:
    $\sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}.$
A més, si es divideix la segona identitat per la primera, s'obté:
    $\tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ }).$

## Demostració
### Demostració geomètrica de la llei de Morrie

Consideri's l'enneàgon regular $ABCDEFGHI$ amb costat de longitud $1$ i sigui $M$ el punt mig del costat $AB$, $L$ el punt mig de $BF$ i $J$ el punt mig del costat $BD$. Els angles interiors de l'enneàgon són tots de $140^{\circ }$ i a més $\gamma =\angle FBM=80^{\circ }$, $\beta =\angle DBF=40^{\circ }$ i $\alpha =\angle CBD=20^{\circ }$ (vegeu la figura). Aplicant la definició del cosinus en els triangles rectangles $\triangle BFM$, $\triangle BDL$ i $\triangle BCJ$ s'obté una demostració de la llei de Morrie:
    ${\begin{aligned}1&=|AB|\\&=2\cdot |MB|\\&=2\cdot |BF|\cdot \cos(\gamma )\\&=2^{2}|BL|\cos(\gamma )\\&=2^{2}\cdot |BD|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BJ|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BC|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=2^{3}\cdot 1\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=8\cdot \cos(80^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(20^{\circ })\end{aligned}}$

### Demostració algebraica de la identitat generalitzada

Recordeu la fórmula de l'angle doble per a la funció sinus
    $\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).$
Si s'aïlla $\cos(\alpha )$
    $\cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.$
Segueix:
    ${\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&\,\,\,\vdots \\\cos \left(2^{n-1}\alpha \right)&={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.\end{aligned}}$
Si es multipliquen totes aquestes expressions juntes s'obté:
    $\cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos \left(2^{n-1}\alpha \right)={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2\sin \left(2^{n-1}\alpha \right)}}.$
Els numeradors i denominadors del mig s'anul·len deixant només el primer denominador, una potència de 2 i el numerador final. Noti's que hi ha n termes en tots dos costats de l'expressió. És a dir,
    $\prod _{k=0}^{n-1}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n}\alpha \right)}{2^{n}\sin(\alpha )}},$
que és equivalent a la generalització de la llei de Morrie.

## Referències

* ↑ W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43–44, 1996. (JSTOR)
* ↑ Samuel G. Moreno, Esther M. García-Caballero: "'A Geometric Proof of Morrie's Law". In: American Mathematical Monthly, vol. 122, no. 2 (February 2015), p. 168 (JSTOR)

## Bibliografia complementària

* Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020, ISBN 9780192545466, pp. 79-83
* Ernest C. Anderson: Morrie's Law and Experimental Mathematics. In: Journal of recreational mathematics, 1998

## Enllaços externs

* Weisstein, Eric W., «Morrie's Law» a MathWorld (en anglès).