# Sèrie L de Dirichlet

En Matemàtiques, una sèrie L de Dirichlet, és una sèrie del pla complex utilitzada en teoria analítica dels nombres.
Per continuació analítica, aquesta funció es pot estendre a una funció meromorfa en tot el pla complex.
Es construeix a partir d'un caràcter de Dirichlet i, en el cas on el caràcter és trivial, la funció L de Dirichlet s'identifica amb la funció zeta de Riemann.
Aquestes propietats permeten demostrar el teorema sobre els nombres primers en les progressions aritmètiques.
S'anomena així en l'honor del matemàtic alemany Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).

## Definicions

Sigui χ un caràcter de Dirichlet mòdul q on q és un enter estrictament positiu i s un nombre complex de part real superior a 1.
* La sèrie L de Dirichlet per al caràcter χ en el punt s, notada L(s , χ), ve donada per la fórmula següent:
$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$
* La sèrie L de Dirichlet d'un caràcter es perllonga analíticament sobre C. Aquest prolongament s'anomena Funció L de Dirichlet i també es nota L(s, χ).
* Tota sèrie L de Dirichlet es perllonga analíticament en el pla complex en una funció meromorfa.
Es nota Γ la funció gamma, és una funció meromorfa que verifica la igualtat següent:
$\forall segon\in \mathbb {C} \quad \Gamma (segon)=\int _{0}^{+\infty }e^{-t}.t^{s-1}dt$
Utilitzem llavors el canvi de variable t = -n.ln(x), s'obté:
$\forall no\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall segon\in \mathbb {C} \quad \Gamma (segon)=n^{s}\int _{0}^{1}x^{n-1}ln(x^{-1})^{s-1}dx$
d'altra banda, χ és una funció periòdica de període q i que val zero sobre el conjunt dels enters múltiples de q, se'n dedueix la igualtat de les sèries formals:
$\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)x^{n}={\frac {1}{1-x^{q}}}\sum _{n=1}^{q-1}\chi (n)x^{n}$
se'n dedueix la igualtat següent:
$\Gamma (s)L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\int _{0}^{1}x^{n-1}ln(x^{-1})^{s-1}dx=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-x^{q}}}\sum _{n=1}^{q-1}\chi (n)x^{n-1}ln(x^{-1})^{s-1}dx$

## Comportament en el punt 1

El comportament dels sèrie en el punt u és la clau del teorema de la progressió aritmètica. És la raó per la qual Dirichlet va definir aquestes sèries. Aquí, N designa el conductor dels caràcters estudiats i χ$_0$ el caràcter principal.
   * El punt u és un pol del caràcter principal.
   * Tot caràcter no principal és definit i analític sobre el semi-pla complex de part real estrictament positiva.
El que significa que no admet cap pol sobre aquesta regió.
   * El punt u no és arrel de cap sèrie L de Dirichlet construïda amb l'ajuda d'un dels caràcters.
   * El punt 1 és un pol del caràcter principal.
El Producte d'Euler del caràcter principal és el següent:
$L(s,\chi _{0})\ =\ \prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\Big1-{\frac {\chi _{0}(p)}{p^{s}}}{\Big )}^{-1}$
El caràcter principal és igual a 1 excepte per als punts n que tenen un divisor comú amb N diferent de 1. Se'n dedueix la fórmula:
$L(s,\chi _{0})\ =\ \prod _{p\in P\ p|N}{\Big1-{\frac {1}{p^{s}}}{\Big )}\prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\Big1-{\frac {1}{p^{s}}}{\Big )}^{-1}\ =\ \prod _{p\in P\ p|N}{\Big1-{\frac {1}{p^{s}}}{\Big )}\zeta (s)$
ζ designa aquí la funció zeta de Riemann. Ara bé, aquesta funció divergeix en el punt 1. Les demostracions es donen a l'article producte d'Euler.
   * Tot caràcter no principal és analític sobre el semi-pla complex de part real estrictament positiva.
Sigui χ un caràcter no principal, és ortogonal al caràcter principal (vegeu l'article caràcter de Dirichlet en el paràgraf Anàlisi harmònica), se'n dedueix que:
$(1)\quad <\chi _{0},\chi >\ =\ \sum _{n\in \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }\chi (n)=0$
Se'n dedueix l'expressió següent de L(s,χ) si la part real de s és estrictament superior a 1 ja que la sèrie és absolutament convergent:
$(2)\quad L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}\ =\ \sum _{r=0}^{\infty }\sum _{j=1}^{N-1}{\frac {\chi (j)}{(rq+j)^{s}}}\ =\ \sum _{r=0}^{\infty }\sum _{j=1}^{N-1}{\chi (jo)}{\Bigg{\frac {1}{(rq+j)^{s}}}-{\frac {1}{(rq+q)^{s}}}{\Bigg )}$
L'última igualtat és una conseqüència directa de (1).
L'objectiu és demostrar que l'expressió (2) de la sèrie és absolutament convergent si la part real de s és estrictament positiva. Es calcula el mòdul següent si r és diferent de zero.
$(3)\quad \left|{\frac {1}{(rq+j)^{s}}}-{\frac {1}{(rq+q)^{s}}}\right|={\frac {1}{|(rq)^{s}|}}\left|{\frac {(1+{\frac {1}{r}})^{s}-(1+{\frac {j}{rq}})^{s}}{(1+{\frac {1}{r}})^{s}(1+{\frac {j}{rq}})^{s}}}\right|$
Un desenvolupament limitat mostra que:
$(4)\quad \left|{\frac {1}{(rq+j)^{s}}}-{\frac {1}{(rq+q)^{s}}}\right|\leq {\frac {1}{|(4rq)^{s}|}}{\Big{\frac {s}{r}}(1-{\frac {j}{q}})+o(r^{-1}){\Big )}\leq \left|{\frac {s}{(4q)^{s}}}\right|r^{-(s+1)}+o(r^{-(s+1)})$
La majorant (4) mostra la convergència normal sobre el semi-pla complex de part real superior a ε, si ε és un real estrictament positiu. Aquesta resultat implica la proposició.
   * No poden existir dos caràcters diferents que tinguin 1 per a arrel.
Aquest lema permet demostrar que els caràcters complexos no poden posseir 1 per a arrel.
Es raona per reducció a l'absurd. Siguin χ$_1$ i χ₂ dos caràcters que tenen 1 per a arrel. Fixeu-vos al principi que cap dels dos no és el caràcter principal, en efecte el caràcter principal admet 1 per pol. Aquí, $\scriptstyle {\widehat {U}}$ designa el grup dels caràcters de Dirichlet. Sigui D el disc tancat del pla complex de centre 1 i de radi un mig on s'ha suprimit el punt 1. Es determina el comportament al voltant del valor 1 de la funció ψ de D en el conjunt dels nombres complexos, definida per la igualtat següent:
$\forall segon\in D\quad \psi (segon)=\prod _{\chi \in {\widehat {U}}}L(s,\chi )$
Sobre el disc D, a excepció del caràcter principal χ$_0$, tots els caràcters són analítics. El producte dels diferents caràcters a excepció de χ$_0$, χ$_1$ i χ₂ és una funció analítica, existeix per tant un real M$_1$ que augmenta aquest producte sobre D.
Com que χ$_1$ i χ₂ són analítics sobre D, les seves derivades també són augmentades sobre D, sigui M₂ tal augmentant. Llavors es verifica l'augmentant següent:
$\forall segon\in D\quad \forall i\in {1,2}\quad |L(s,\chi _{i})|\ \leq \ M_{2}|s-1|$
Se'n dedueix:
$(1)\quad \forall es\in D\quad |\psi (s)|\leq M_{1}M_{2}^{2}\prod _{p\in P\ p|N}|1-p^{-s}|.\zeta (s).|s-1|^{2}=M_{1}M_{2}^{2}\prod _{p\in P\ p|N}|1-p^{-s}|\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(s-1)^{2}}{n^{s}}}\right|$
E nota x el mòdul de s-1, M₃ un majorant del produce de l'expressió (1) sobre el disc D i M$_1$, M₂ i M₃. L'augmentant (1) es pot escriure:
$(2)\quad \forall s\in D\quad |\psi (s)|\leq M\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2}}{n^{1+x}}}\leq M{\Bigx^{2}+\int _{1}^{+\infty }{\frac {x^{2}}{t^{1+x}}}dt{\Big )}=M(x^{2}+x)\quad \Rightarrow \lim _{s\to 1}\psi (s)=0$
Ara Bé el càlcul que determina el producte eulerià, (vegeu Producte eulerià de l'article caràcter de Dirichlet) mostra que, si U designa el grup de les unitats de Z/NZ i P el conjunt dels nombres primers:
$\forall x\in \mathbb {U} \quad \sum _{p\in {\mathcal {P}}\ p^{k}\in x}\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k(p^{k})^{s}}}\ =\ {\frac {1}{\varphi (N)}}\sum _{\chi \in {\widehat {\mathbb {U} }}}\chi (x)^{*}\;log{\Bigg\prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\Big1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}{\Big )}^{-1}{\Bigg )}$
Escollint per valor de x l'element neutre del grup i reemplaçant el producte eulerià per la seva sèrie, s'obté:
$\forall segon\in D\quad log{\Big\psi (s){\Big )}\ =\sum _{\chi \in {\widehat {U}}}log{\bigL(s,\chi ){\Big )}\ =\ \sum _{\chi \in {\widehat {\mathbb {U} }}}\chi (1)^{*}\;log{\Bigg\prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\Big1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}{\Big )}^{-1}{\Bigg )}\ =\ {\frac {\varphi (N)}{N}}\sum _{p\in {\mathcal {P}}\ p^{k}\equiv 1}\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k(p^{k})^{s}}}$
Per a tot valor real de s estrictament superior a 1, el logaritme de ψ(s) és estrictament positiu, se'n dedueix que ψ(s) és estrictament superior a 1 al veïnatge del punt 1, el que està en contradicció amb (2).
   * Un caràcter no principal i no real no admet 1 com a arrel.
Si un caràcter és complex llavors el seu caràcter conjugat és diferent d'ell mateix i admet també 1 com a arrel, el lema precedent mostra que aquesta configuració és impossible.
   * Un caràcter no principal i real no admet 1 com a arrel.
Aquesta demostració és la més delicada. Dirichlet hi va treballar durant un any, la que es presenta aquí és obra d'Alexander Gelfond i Atle Selberg. Aquí χ designa un caràcter real no principal. La demostració proposada també és una prova per reducció a l'absurd. Se suposa per tant que L(1, χ) és nul.
Sigui (a$_n$(t)) on n és un enter estrictament positiu, la successió de funcions de ]0, 1 [ definida per:
$\forall no\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall et\in ]0,1[\quad a_{n}(t)\ =\ {\frac {1}{n(1-t)}}-{\frac {t^{n}}{1-t^{n}}}$
      * La successió (a$_n$(t)) és positiva i tendeix absolutament cap a zero.
Fiseu-vos que:
$(1-t^{n})a_{n}(t)\ =\ {\frac {1-t^{n}}{n(1-et)}}-t^{n}$
La convexitat de la funció funció exponencial mostra que, si ln designa el logaritme neperià:
$(1)\quad {\frac {1-t^{n}}{n(1-et)}}\ =\ {\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}\ =\ {\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}exp{\Bigln(t^{i}){\Big )}\ \geq \ exp{\Big{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}ln(t^{i}){\Big )}{\Big )}\ =\ {\Big\prod _{i=0}^{n-1}t^{i}{\Big )}^{\frac {1}{n}}=t^{\frac {n-1}{2}}\ \geq t^{n}$
L'augmentant precedent demostra que la successió (a$_n$) és positiva, la convergència absoluta cap a zero és evident.
      * La successió (a$_n$(t)) és decreixent.
Es Calcula a$_n$ - a$_{n+1}$:
$(2)\quad a_{n}(t)-a_{n+1}(t)\ =\ {\frac {1}{n(n+1)(1-t)}}-{\frac {t^{n}(1-t)}{(1-t^{n})(1-t^{n+1})}}$
L'augmentant (1) mostra que:
$(3)\quad {\frac {1-t^{n}}{n(1-t)}}\ {\frac {1-t^{n+1}}{(n+1)(1-et)}}\ \geq \ t^{\frac {n-1}{2}}\ t^{\frac {n}{2}}\ \geq t^{n}$
Multiplicant l'augmentant (3) per la fracció adequada, s'obté:
$(4)\quad {\frac {1}{n(n+1)(1-t)}}\ \geq \ {\frac {t^{n}(1-t)}{(1-t^{n})(1-t^{n+1})}}$
L'augmentant (4) prova que la igualtat (3) és positiva.
      * La seria de terme general a$_n$(t) χ(n) és absolutament majorada pel conductor N del caràcter.
S'obté l'augmentant següent:
$(5)\quad \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t){\Big\sum _{m=1}^{n}\chi (m)-\sum _{m=1}^{n-1}\chi (m){\Big )}\ =\ \sum _{m=1}^{\infty }{\Big(a_{n}(t)-a_{n+1}(t){\Big )}\sum _{m=1}^{n}\chi (m)$
El valor a$_n$(t) - a$_{n+1}$(t) és positivu i augmentadt per a$_1$(t) ja que la successió (a$_n$(t)) és decreixent. La funció és periòdica de període N i la suma dels seus valors sobre N' enters consecutius és nul, (la demostració es dona al començament d'aquella sobre el caràcter analític de χ), el valor d'un caràcter és a més de mòdul 1, el que demostra que la suma dels χ no supera mai N en mòdul. Llavors per concloure n'hi ha prou amb fixar-se que per al valor 1 de n la funció a$_n$(t) és constant de valor 1. Se'n dedueix:
$(6)\quad \left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\right|\leq N$
      * La sèrie de terme general a$_n$(t) χ(n) verifica la igualtat següent:
$(7)\quad \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\ =\ -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}$
En efecte, per definició de la sèrie:
$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n(t-1)}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}\ =\ {\frac {L(1,\chi )}{(t-1)}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}$
On, per hipòtesi L(1, χ) se suposa igual a zero.
      * La sèrie de terme general a$_n$(t) χ(n) verifica la igualtat següent:
$(8)\quad \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\ =\ -\sum _{m=1}^{\infty }{\Big\sum _{n|m}\chi (n){\Big )}t^{m}$
$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)\chi (n)\ =\ -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}\chi (n)}{1-t^{n}}}\ =\ -\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)t^{n}\sum _{k=0}^{\infty }t^{km}\ =\ -\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\sum _{k=1}^{\infty }t^{km}\ =\ -\sum _{m=1}^{\infty }{\Big\sum _{n|m}\chi (n){\Big )}t^{m}$
Es nota A(m) la funció que a un enter m li associa la suma de les imatges dels divisors de m pel caràcter:
$\forall no\in \mathbb {N} \quad A(m)\ =\ \sum _{n|m}\chi (n)$
      * La funció A(m) és amb valor en els enters, és positiva i estrictament positiva si m és un quadrat perfecte.
χ és un caràcter real, pren per tant els seus valors del conjunt {-1, 0, 1}, en conseqüència A(m) pren els seus valors en els enters.
Sigui p un nombre primer i k un enter positiu. Si χ(p) és nul, tota potència de p té la mateixa imatge per χ ja que un caràcter és una funció completament multiplicativa i A(p$^k$) és igual a zero.
Si χ(p) és igual a 1, llavors tota potència de p té la mateixa imatge per i A(p$^k$) és igual a p + 1.
Finalment si χ(p) és igual a -1, llavors tota potència de p val 1 si l'exponent és parell i -1 en cas contrari. En conseqüència A(p$^k$) és igual a 1 si k és parell i 0 en el cas contrari.
Tota potència d'un nombre primer posseeix per tant una imatge positiva o nua per A. N'hi ha prou llavors amb fixar-se que A és també una funció completament multiplicativa per concloure que les imatges de A són sempre positives.
Finalment si m és un quadrat perfecte, llavors totes les potències en la seva descomposició en factors primers són de nombres parells, les seves imatges per A són sempre estrictament positives, la qual cosa permet acabar en un valor estrictament positiu.
      * Conclusió existeix una infinitat de quadrats perfectes la igualtat (8) demostra que l'expressió, en mòdul, es pot escollir tan gran com es vulgui, si t és prou a prop de 1. Aquest resultat està en contradicció amb l'augmentant (6), el que conclou la demostració.

## Zéros de les funcions L de Dirichlet

Si $\chi \,$ és un caràcter primitiu amb $\chi (-1)=1\,$, llavors només els zéros de $L(s,\chi )\,$ amb Re(s)<0 són els enters parells negatius. Si $\chi \,$ és un caràcter primitiu amb $\chi (-1)=-1\,$, llavors només els zéros de $L(s,\chi )\,$ amb Re(s)<0 són els enters imparells negatius.
Fins a l'existència possible d'un zero de Siegel, es coneix l'existència de regions sense incloure zero i més enllà de la recta Re(s)=1 similars a la funció zeta de Riemann per a totes les funcions L de Dirichlet.
De la mateixa manera que la funció de zeta de Riemann es conjectura com que compleix la hipòtesi de Riemann, les funcions L de Dirichlet es conjectura que compleixen la hipòtesi de Riemann generalitzada.

## Equació funcional

Se suposa que $\chi \,$ és un caràcter primitiu de mòdul k. Definint
    $\varepsilon (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),$
on $\Gamma \,$ designa la funció gamma i el símbol a ve donat per
    $a={\begin{cases}0;&{\mbox{si }}\chi (-1)=1,\\1;&{\mbox{si }}\chi (-1)=-1,\end{cases}}$
es té l'equació funcional
    $\varepsilon (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\varepsilon (s,\chi ).$
Aquí, s'ha escrit $\tau (\chi )\,$ per al sumatori de Gauss
    $\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k)\,$.
Nota : $|\tau (\chi )|=k^{\frac {1}{2}}\,$.

## Relació amb la funció zeta de Hurwitz

Les funcions L de Dirichlet es poden escriure com una combinació lineal de funcions zeta de Hurwitz amb valors racionals. Fixant un enter $k\geq 1\,$, les funcions L de Dirichlet per als caràcters mòdul k són les combinacions lineals, amb coeficients constants, de $\zeta (s,q)\,$ on q = m/k i m = 1, 2..., k. Això significa que la funció zeta de Hurwitz per a un de racional q posseeix propietats analítiques que estan íntimament vinculades a les funcions L de Dirichlet. Precisament, sigui $\chi \,$ un caràcter mòdul k. Llavors, es pot escriure la seva funció L de Dirichlet sota la forma
    $L(\chi ,segon)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\chi (m)\;\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right)$.
En particular, la funció L de Dirichlet del caràcter mòdul 1 dona la funció zeta de Riemann:
    $\zeta (s)={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{m=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {m}{k}}\right)$.

## Referències

* Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane La fonction Zêta, Éditions de l'École polytechnique Paris 2002 ISBN 2730210113
* Harold Davenport's Multiplicative number theory, 3$^{ème}$ edt Springer 2000 ISBN 0387950974
* Karatsuba Basic analytic number theory, Springer-Verlag 1993 ISBN 0-387-53345-1
* S. J. Patterson An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function Cambridge University Press 1995 ISBN 0521499054

## Enllaços externs

* (anglès) Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet par l'Université de St Andrew
* (anglès) Infinitely many primes, with analysis par L'Université de Montréal de Andrew Granville et K. Soundararajan
* (anglès) Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progression par IMo