# Topologia geomètrica

La topologia geomètrica (topologia de dimensions baixes) és l'àrea de la topologia i la topologia algebraica que estudia problemes geomètrics, topològics i algebraics que sorgeixen en l'estudi de varietats de dimensions menors de 5, espais localment homeomorfs dels espais euclidians, des de dimensió zero fins a la quarta. Els seus mètodes s'inspiren en la geometria i la topologia de fenòmens físics inclusivament relativistes i quàntics, i idealitzacions abstractes modernes sobre el concepte de dimensions: sobretot en tres i quatre dimensions.
Per a aquesta ciència -que estudia les varietats i els encaixos, i els encaixos propis entre aquestes-, alguns dels temes representatius són: la teoria de nusos; classificació de 3 i 4-varietats; complements de nusos en la n-esfera, i la teoria topològica quàntica de camp.$S^{n}$
La topologia de dimensions baixes (com també se la coneix) es considera una ciència de gran interactivitat entre totes la branques de la matemàtica i amb altres de la física. Una de les qüestions importants d'aquesta branca (resolta per Perelman al 2006) és la cèlebre conjectura de Poincaré i la conjectura de geometrització de Thruston.

## Tòpics
### 1-varietats

* corba: parametrització d'un camí diferenciable entre dos punts en algun espai,
* trajectòria: gairebé com una corba, però no necessàriament diferenciable, només se'n demana continuïtat,
* circumferència o 1-esfera: qualsevol trajectòria, camí o corba tancada simple,
* grup fonamental: functor de la topologia algebraica que assigna a un espai, X, el seu grup fonamental
* nus: en l'espai X, és un subconjunt K de X, que és homeomorf a l'esfera u,
* enllaç: conjunt de components$S^{1}$ connexes, cada component homeomorfa a S $S^{1}$ {\displaystyle S^{1}}$S^{1}$
* trena (braid): conjunt unidimensional que té el tipus homotòpic d'un wedge de circumferència,
* grup de trenes (braid group),
* nus tòric: corba tancada simple en la superfície del toro.

### 2-varietats

* superfície: la corfa d'objectes tridimensionals. Objectes localment homeomorfs a
* esfera,
* toro (matemàtiques),
* plànol projectiu: espai bidimensional construït en identificar la frontera d'una cinta de Möbius i la frontera d'un disc,
* ampolla de Klein: espai que es crea, en unir la frontera de dues cintes de Möbius,
* cèrcol o cilindre: I-bundle trivial sobre la 1-esfera,
* cinta de Möbius: fibrat no trivial per interval sobre un cercle (I-bundle over S¹),
* característica d'Euler: igual a nombre de vèrtexs menys nombre de costats, més nombre de cares. És invariant en posar més vèrtexs i, per tant, costats i cares,
* Plànol complex:
* Plànol cartesià:
* Curvatura de superfícies: concepte de mesura de com es corben les superfícies localment, tenint com a patró l'esfera de ràdio r que es corba localment 1/r² en cadascun dels seus punts. Observeu que com més gran en sigael radi, la curvatura tendeix a zero (que és la curvatura del pla). Dit d'altra manera: un plànol és com una esfera de radi infinit.

### 3-varietats

* 3-esfera o bé SU(2)
* espai projectiu
* fibrats de Seifert
* Surface Bundle
* esfera homològica
* conjectura de Poincaré
* SO(3)
* Políedres
* Politop regular
* Complement d'un nus
* gènere de Heegaard
* espai hiperbòlic

### 4-varietats

* espaitemps
* relativitat
* espai de Minkowski
* Pentàcoron

## Varietats en general

* tetraedro
* homeomorfismo
* Homotopía
* Homeotopía
* función circular
* LS-categoría
* Descomposición de Heegaard
* Suma conexa
* Teorema de Jordan-Schönflies
* Teoría de calibración
* Topología PL
* Fibrado (bundle)
* Variedad de Riemann
* Chern-Simons
* Clase característica
* Orbifold
* Twistor
* Spinor
* Tensor de curvatura
* Grupo de Lie
* Cálculo de variaciones
* Mecánica clásica
* cubierta ramificada
* Flujo de Ricci
* Cubo con asas

## Vegeu també

* Topologia algebraica
* Topologia diferencial

## Enllaços externs

* En l'enciclopèdia en línia de Springer-Verlag[1].