# Matriu de decalatge

En matemàtiques, una matriu de decalatge és una matriu booleana amb entrades iguals a 1 només a la superdiagonal o a la subdiagonal, i zeros altrament. Una matriu de decalatge U amb valors 1 a la superdiagonal s'anomena matriu de decalatge superior (la notació U prové de l'anglès upper, superior). Anàlogament, una matriu de decalatge L amb valors 1 a la subdiagonal s'anomena matriu de decalatge inferior (la notació L prové de l'anglès lower, inferior). L'entrada (i,j)-sima de U i L es defineix per
    $U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},$
on $\delta _{ij}$ és el símbol delta de Kronecker.
Per exemple, les matrius de decalatge 5×5 són
    $U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.$
Òbviament, la transposada d'una matriu de decalatge inferior és una matriu de decalatge superior i viceversa.
Si multipliquem per l'esquerra una matriu A per una matriu de decalatge inferior (resp. superior), obtenim una altra matriu on els elements de A s'han desplaçat una posició cap avall (resp. cap amunt), i amb zeros a la primera (resp. última) fila. Anàlogament, si multipliquem per la dreta per una matriu de decalatge inferior (resp. superior), veurem que els elements es desplacen una posició cap a l'esquerra (resp. dreta).
Hom pot veure fàcilment que qualsevol matriu de decalatge és nilpotent; una matriu de decalatge S de mida n per n esdevé la matriu zero quan s'eleva a l'n-sima potència.

## Propietats

Siguin L i U les matrius de decalatge inferior i superior de mida n per n, respectivament. Llavors hom pot observar-ne les següents propietats:
* det (U) = 0
* tr (U) = 0
* rang (U) = n−1
* El polinomi característic de U és
    $p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.$
* U$^n$ = 0. Això es desprèn de la propietat anterior pel Teorema de Cayley-Hamilton.
* El permanent de U és 0.
(anàlogament per L)
Les següents propietats mostren la relació entre U i L:
* L$^T$ = U; U$^T$ = L
* Els nuclis de U i L són
    $\operatorname {nuc} (U)=\langle (1,0,\ldots ,0)^{T}\rangle ,$
    $\operatorname {nuc} (L)=\langle (0,\ldots ,0,1)^{T}\rangle .$
* L'espectre de U i L és $\{0\}$. La multiplicitat algebraica de 0 és n, i la seva multiplicitat geomètrica és 1. A partir de les expressions dels nuclis, és una conseqüència que l'únic vector propi (llevat d'homotècia) de U és $(1,0,\ldots ,0)^{T}$, i l'únic vector propi de L és $(0,\ldots ,0,1)^{T}$.
* Per LU i UL tenim
    $UL=I-\operatorname {diag} (0,\ldots ,0,1),$
    $LU=I-\operatorname {diag} (1,0,\ldots ,0).$
    Aquestes dues matrius són idempotents, simètriques, i tenen el mateix rang que U i L.
* L$^{n-a}$U$^{n-a}$ + L$^a$U$^a$ = U$^{n-a}$L$^{n-a}$ + U$^a$L$^a$ = I (la matriu identitat), per qualsevol enter a entre 0 and n (ambdós inclosos).

## Exemples

    $S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.$
Llavors $SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.$
Existeixen moltes permutacions possibles. Per exemple, $S^{T}AS$ és igual a la matriu A desplaçada cap amunt i cap a l'esquerra al llarg de la diagonal principal.
    $S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

## Referències

* Beauregard, Raymond A. & Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
* Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016

## Bibliografia

* Shift Matrix (Matriu de decalatge) - entrada en el Matrix Reference Manual (en anglès)

## Vegeu també

* Matriu nilpotent