# Llista de portes quàntiques

Llista de portes quàntiques, és un seguit de portes lògiques més important segons la mecànica quàntica.

## Propietats de les portes quàntiques

* Les portes quàntiques són reversibles a diferència de les portes digitals.
* Les portes quàntiques es representen per matrius unitàries.
* Les portes quàntiques operen en espais d'un o dos qubits, igualment que les portes digitals.
* Una porta quàntica que opera sobre $k$ qubits es representa mitjançant una matriu unitària de 2$^k$ x 2$^k$ amb files ortonormals.
* El nombre d'entrades a la porta quàntica ha de ser el mateix que el nombre de sortides.
* L'acció de la porta sobre l'estat quàntic específic es troba tot multiplicant el vector que representa l'estat per la matriu representant la porta quàntica.

## Porta quàntica amb 1 entrada

| Nom | Matriu | Descripció |
| Porta Hadamard | ${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza una rotació de 180° sobre l'eix X i 90° sobre l'eix Y. Mirall de l'entrada complexa sobre els eixos X i Z. |
| Porta Pauli-X | ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza la funció inversió (NOT), equival a una rotació de 180° a l'esfera de Bloch al voltant de l'eix X. Reflexió de l'entrada complexa sobre l'eix X. |
| Porta Pauli-Y | ${\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza la funció I (AND), equival a una rotació de 180° a l'esfera de Bloch al voltant de l'eix Y. Reflexió de l'entrada complexa sobre l'eix Y. |
| Porta Pauli-Z | ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza la funció de salt de fase sobre $|1\rangle$, el deixa a -$|1\rangle$, $|0\rangle$ queda igual. Reflexió de l'entrada complexa sobre l'eix Z. |
| Porta de rotació X | ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-i\\-i&1\end{pmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza una rotació de 90° sobre l'eix X. |
| Porta de rotació Y | ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza una rotació de 90° sobre l'eix Y. |
| Porta de rotació -X | ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza una rotació de -90° sobre l'eix X. |
| Porta de rotació -Y | ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza una rotació de -90° sobre l'eix Y. |
| Porta S | ${\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza una rotació de 90° sobre l'eix Z. |
| Porta T | ${\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{\frac {i\pi }{4}}\end{pmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza una rotació de 45° sobre l'eix Z. |
| Porta de fase genèrica | ${\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{\frac {i\pi }{2^{k}}}\end{pmatrix}}$ | Una entrada/una sortida. Realitza una rotació de π / 2 $^k$ sobre l'eix Z. |
| Porta unitària arbitrària | ${\begin{pmatrix}a&b\\-b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}$mit $\left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1$ | Una entrada/una sortida. Totes les propietats genèriques. |

## Porta quàntica amb 2 entrades

| Nom | Matriu | Descripció |
| Porta Inversora controlada (CNOT) | ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$ | Dues entrades/dues sortides. El primer qubit controla el segon qubit : quan el primer qubit és $|1\rangle$ inverteix el segon qubit. Si el primer qubit és $|0\rangle$ llavors no modifica el segon qubit. |
| Porta Intercanvi de node | $\left|00\right\rangle \to \left|00\right\rangle$$\left|01\right\rangle \to \left|10\right\rangle$ $\left|10\right\rangle \to \left|01\right\rangle$ $\left|11\right\rangle \to \left|11\right\rangle$ | Dues entrades/dues sortides. Realitza un intercanvi dels dos qubits. |
| Porta Intercanvi d'arrel | ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}(1+i)&{\frac {1}{2}}(1-i)&0\\0&{\frac {1}{2}}(1-i)&{\frac {1}{2}}(1+i)&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ | Dues entrades/dues sortides. Porta universal que realitza un mig intercanvi dels dos qubits. |
| Porta Z controlada | ${\left|11\right\rangle }\to -{\left|11\right\rangle }$ | Dues entrades/dues sortides. |
| Porta Fase controlada | ${\left|11\right\rangle }\to e^{\frac {2i\pi }{2^{k}}}\cdot {\left|11\right\rangle }$ | Dues entrades/dues sortides. Es pot escollir el paràmetre $k$ |
| Porta U controlada | $\left|0\phi \right\rangle \to \left|0\phi \right\rangle$$\left|1\phi \right\rangle \to \left|1\right\rangle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot \left|\phi \right\rangle$ | Dues entrades/dues sortides. Realitza la matriu U si el primer qubit és "1", altrament no fa res. |
| Porta de transformació unitària genèrica | $\left|\psi \right\rangle \to U\cdot \left|\psi \right\rangle$ | Dues entrades/dues sortides. Matriu arbitrària. |

## Porta quàntica amb 3 entrades

| Nom | Matriu | Descripció |
| Porta Toffoli | $\left|111\right\rangle \leftrightarrow \left|110\right\rangle$ $\left|0yx\right\rangle \leftrightarrow \left|0yx\right\rangle$ $\left|10x\right\rangle \leftrightarrow \left|10x\right\rangle$ ${\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\x\oplus y\end{pmatrix}}$ | Tres entrades/tres sortides. |
| Porta Fredkin | $\left|001\right\rangle \leftrightarrow \left|010\right\rangle$$\left|010\right\rangle \leftrightarrow \left|001\right\rangle$$\left|101\right\rangle \leftrightarrow \left|101\right\rangle$$\left|110\right\rangle \leftrightarrow \left|110\right\rangle$… | Tres entrades/tres sortides. |
| Porta Deutsch | $|11x\rangle \rightarrow |11(1-x)\rangle \cdot \sin(\theta )+i\cdot |11x\rangle \cdot \cos(\theta )$ | Tres entrades/tres sortides. |

## Vegeu també

* Porta quàntica. : és un circuit quàntic bàsic que opera sobre un nombre petit de qubits.
* Qubit: és la unitat mínima constitutiva de la informació quàntica.
* Ordinadors quàntic: dispositiu de càlcul que fa ús dels fenòmens específics de la mecànica quàntica.
* Notació bra-ket. : és la notació estàndard per a descriure els estats quàntics en la teoria de la mecànica quàntica.
* Esfera de Bloch: és una representació geomètrica de l'espai d'estats purs d'un sistema quàntic de dos nivells.

## Referències

* ↑ «Quantum gates» (en anglès). iontrap.umd.edu. [Consulta: 4 maig 2017].
* ↑ «QUANTUM CIRCUIT IDENTITIES» (en anglès). arxiv.org. [Consulta: 4 maig 2017].