# Quadrigradient

En geometria diferencial, el quadrigradient (o 4-gradient) ${\boldsymbol {\partial }}$ és l'anàleg de quadrivectors del gradient ${\vec {\boldsymbol {\nabla }}}$ del càlcul vectorial.
En la relativitat especial i en la mecànica quàntica, el gradient de quatre s'utilitza per definir les propietats i les relacions entre els diferents quatre vectors físics i tensors.

## Notació

Aquest article utilitza la signatura mètrica (+ − − −).
SR i GR són abreviatures de relativitat especial i relativitat general, respectivament.
$c$ indica la velocitat de la llum en el buit.
$\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ és la mètrica espai-temps plana de SR.
Hi ha maneres alternatives d'escriure expressions de quatre vectors en física:
* Es pot utilitzar l'estil de quadrivectors: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$, que normalment és més compacte i pot utilitzar la notació vectorial, (com el producte interior "punt"), sempre utilitzant majúscules en negreta per representar els quatre vectors, i en negreta en minúscules per representar vectors de 3 espais, p.ex. ${\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}$ La majoria de les regles de vectors de 3 espais tenen anàlegs en matemàtiques de quatre vectors.
* Es pot utilitzar l'estil de càlcul de Ricci: $A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }$, que utilitza la notació d'índex tensor i és útil per a expressions més complicades, especialment aquelles que involucren tensors amb més d'un índex, com ara $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$.
L'índex del tensor llatí oscil·la en {1, 2, 3}, i representa un vector de 3 espais, p. ex. $A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}$.
L'índex tensor grec oscil·la en {0, 1, 2, 3}, i representa un vector de 4, p. ex. $A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A}$.
En la física SR, normalment s'utilitza una barreja concisa, p $\mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)$, on $a^{0}$ representa el component temporal i ${\vec {\mathbf {a} }}$ representa els 3 components espacials.
Els tensors en SR solen ser 4D $(m,n)$ -tensors, amb $m$ índexs superiors i $n$ índexs més baixos, amb la 4D indicant 4 dimensions = el nombre de valors que pot prendre cada índex.
La contracció del tensor utilitzada en la mètrica de Minkowski pot anar a qualsevol costat (vegeu la notació d'Einstein): 56, 151–152, 158–161
$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}$

## Definició

Els components covariants de 4 gradients escrits de manera compacta en quatre vectors i en notació de càlcul de Ricci són: 16 ${\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }=_{,\mu }$
La coma a l'última part anterior $_{,\mu }$ implica la diferenciació parcial respecte a 4-posicions $X^{\mu }$.
Els components contravariants són: 16
${\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)$
Símbols alternatius a $\partial _{\alpha }$ són $\Box$ i D (encara que $\Box$ també pot significar $\partial ^{\mu }\partial _{\mu }$ com a operador d'Alembert).
En GR, cal utilitzar el tensor mètric més general $g^{\alpha \beta }$ i la derivada covariant del tensor $\nabla _{\mu }=_{;\mu }$ (no s'ha de confondre amb el vector 3-gradient ${\vec {\nabla }}$ ).
La derivada covariant $\nabla _{\nu }$ incorpora el gradient de 4 $\partial _{\nu }$ més efectes de curvatura de l'espai-temps mitjançant els símbols de Christoffel $\Gamma ^{\mu }_{\sigma \nu }$
El principi d'equivalència forta es pot afirmar com: 184
"Qualsevol llei física que es pugui expressar en notació tensor en SR té exactament la mateixa forma en un marc localment inercial d'un espai-temps corbat". Les comes de 4 gradients (,) a SR simplement es canvien a punt i coma derivats covariants (;) a GR, amb la connexió entre ambdues utilitzant símbols de Christoffel. Això es coneix en física de la relativitat com la "regla de la coma a punt i coma".
Així, per exemple, si $T^{\mu \nu }_{,\mu }=0$ en SR, doncs $T^{\mu \nu }_{;\mu }=0$ en GR.
En un (1,0)-tensor o 4-vector això seria: 136–139 ${\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }_{\mu \beta }\\[0.1ex]V^{\alpha }_{;\beta }&=V^{\alpha }_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }_{\mu \beta }\end{aligned}}$En un (2,0)-tensor això seria: ${\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }_{;\nu }&=T^{\mu \nu }_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}$

## Referències

* ↑ «Four-gradient explained» (en anglès). [Consulta: 11 setembre 2024].
* ↑ «Is the Four-gradient of a Scalar Field a Four-Vector?» (en anglès). [Consulta: 11 setembre 2024].
* ↑ «4.5: Gradient» (en anglès), 02-04-2020. [Consulta: 11 setembre 2024].
* ↑ Weisstein, Eric W. «Gradient Four-Vector» (en anglès). [Consulta: 11 setembre 2024].
* ↑ Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (en anglès). 2a edició. Oxford Science Publications, 1991. ISBN 0-19-853952-5.
* ↑ The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2
* ↑ Kane, Gordon. Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces. Updated. Addison-Wesley Publishing Co., 1994. ISBN 0-201-62460-5.
* ↑ Kane, Gordon. Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces (en anglès). Updated. Addison-Wesley Publishing Co., 1994. ISBN 0-201-62460-5.
* ↑ Shultz, Bernard F. A first course in general relativity (en anglès). 1st. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-27703-5.
* ↑ Shultz, Bernard F. A first course in general relativity (en anglès). 1st. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-27703-5.