# Distribució log-t

En teoria de la probabilitat, una distribució log-t o distribució t log-Student és una distribució de probabilitat d'una variable aleatòria el logaritme de la qual es distribueix d'acord amb una distribució t de Student. Si X és una variable aleatòria amb una distribució t de Student, aleshores Y = exp(X) té una distribució log-t; de la mateixa manera, si Y té una distribució log-t, llavors X = log(Y) té una distribució t de Student.

## Caracterització

La distribució log-t té la funció de densitat de probabilitat:
$p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{x\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\hat {\sigma }}\,}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {\ln x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}$
on ${\hat {\mu }}$ és el paràmetre d'ubicació de la distribució t de Student subjacent (no estandarditzada), ${\hat {\sigma }}$ és el paràmetre d'escala de la distribució t de Student subjacent (no estandarditzada), i $\nu$ és el nombre de graus de llibertat de la distribució t de Student subjacent. Si ${\hat {\mu }}=0$ i ${\hat {\sigma }}=1$ aleshores la distribució subjacent és la distribució t de Student estandarditzada.
Si $\nu =1$ aleshores la distribució és una distribució log-Cauchy. Com $\nu$ s'aproxima a l'infinit, la distribució s'aproxima a una distribució log-normal. Encara que la distribució log-normal té moments finits, per a qualsevol grau finit de llibertat, la mitjana i la variància i tots els moments superiors de la distribució log-t són infinits o no existeixen.
La distribució log-t és un cas especial de la distribució beta generalitzada del segon tipus. La distribució log-t és un exemple d'una distribució de probabilitat composta entre la distribució lognormal i la distribució gamma inversa, en la qual el paràmetre de variància de la distribució lognormal és una variable aleatòria distribuïda segons una distribució gamma inversa.

## Aplicacions

La distribució log-t té aplicacions en finances. Per exemple, la distribució dels rendiments del mercat de valors sovint mostra cues més grosses que una distribució normal i, per tant, tendeix a ajustar-se millor a la distribució t d'un Student que a una distribució normal. Tot i que el model de Black-Scholes basat en la distribució log-normal s'utilitza sovint per fixar el preu de les opcions d'accions, les fórmules de preus d'opcions basades en la distribució log-t poden ser una alternativa preferible si els rendiments tenen cues grasses. El fet que la distribució log-t tingui una mitjana infinita és un problema quan s'utilitza per valorar les opcions, però hi ha tècniques per superar aquesta limitació, com ara truncar la funció de densitat de probabilitat a un valor gran arbitrari.

## Referències

* ↑ Olosunde, Akinlolu & Olofintuade, Sylvester Revista Colombiana de Estadística - Applied Statistics, 45, 1, 01-01-2022, pàg. 209–229. DOI: 10.15446/rce.v45n1.90672 [Consulta: 1r abril 2022].
* ↑ Olosunde, Akinlolu & Olofintuade, Sylvester Revista Colombiana de Estadística - Applied Statistics, 45, 1, 01-01-2022, pàg. 209–229. DOI: 10.15446/rce.v45n1.90672 [Consulta: 1r abril 2022].
* 1 2 3 Olosunde, Akinlolu & Olofintuade, Sylvester Revista Colombiana de Estadística - Applied Statistics, 45, 1, 01-01-2022, pàg. 209–229. DOI: 10.15446/rce.v45n1.90672 [Consulta: 1r gener 2022].
* ↑ Marshall, Albert W.. Life Distributions: Structure of Nonparametric, Semiparametric, and Parametric Families (en anglès). Springer, 2007, p. 445. ISBN 978-1921209680.
* ↑ Olosunde, Akinlolu & Olofintuade, Sylvester Revista Colombiana de Estadística - Applied Statistics, 45, 1, 01-01-2022, pàg. 209–229. DOI: 10.15446/rce.v45n1.90672 [Consulta: 1r abril 2022].
* 1 2 Bookstaber, Richard M.; McDonald, James B. The Journal of Business, 60, 3, 01-07-1987, pàg. 401–424. DOI: 10.1086/296404. JSTOR: 2352878 [Consulta: 5 abril 2022].
* ↑ McDonald, James B.; Butler, Richard J. The Review of Economics and Statistics, 69, 2, 01-05-1987, pàg. 232–240. DOI: 10.2307/1927230. JSTOR: 1927230.
* ↑ Vanegas, Luis Hernando; Paula, Gilberto A. Brazilian Journal of Probability and Statistics, 30, 2, 2016, pàg. 196–220. DOI: 10.1214/14-BJPS272 [Consulta: lliure].
* ↑ Bookstaber, Richard M.; McDonald, James B. The Journal of Business, 60, 3, 01-07-1987, pàg. 401–424. DOI: 10.1086/296404. JSTOR: 2352878 [Consulta: 5 abril 2022].
* 1 2 Cassidy, Daniel T.; Hamp, Michael J.; Ouyed, Rachid Physica A, 389, 24, 2010, pàg. 5736–5748. arXiv: 0906.4092. Bibcode: 2010PhyA..389.5736C. DOI: 10.1016/j.physa.2010.08.037.
* ↑ Kou, S.G. Management Science, 48, 8, 01-08-2022, pàg. 1086–1101. DOI: 10.1287/mnsc.48.8.1086.166. JSTOR: 822677 [Consulta: 5 abril 2022].
* ↑ Basnarkov, Lasko; Stojkoski, Viktor; Utkovski, Zoran; Kocarev, Ljupco International Journal of Theoretical and Applied Finance, 22, 7, 2019. arXiv: 1807.01756. DOI: 10.1142/S0219024919500419.