# Polinomis associats de Legendre

En matemàtiques, els polinomis associats de Legendre són les solucions de l'equació associada de Legendre
    $(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$
o, de forma equivalent,
    $([1-x^{2}]\,y')'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$
on els índexs ℓ i m (els quals són enters) són, respectivament, el grau i l'ordre del polinomi associat de Legendre. Aquesta equació té solucions diferents de zero que són no singulars en [−1, 1] només si ℓ i m són enters amb 0 ≤ m ≤ ℓ, o amb valors negatius trivialment equivalents. Si a més m és parell, la funció és un polinomi. Quan m és zero i ℓ enter, aquestes funcions són idèntiques als polinomis de Legendre. En general, quan ℓ i m són enters, les solucions regulars de vegades són anomenades "polinomis associats de Legendre", fins i tot quan aquestes no són polinomis en el cas que m sigui imparell. La classe de funcions en el cas general amb valors reals o complexos de ℓ i m s'anomenen funcions de Legendre. En aquest cas els paràmetres s'acostumen a escriure amb lletres gregues.
L'equació diferencial ordinària de Legendre es troba freqüentment en física, a més d'altres camps. En particular, aquesta equació apareix quan se soluciona l'equació de Laplace (o equacions en derivades parcials similars) en coordenades esfèriques. Els polinomis associats de Legendre exerceixen un paper vital en la definició dels harmònics esfèrics.

## Definició per a valors no negatius de ℓ i m

Aquestes funcions són denotades com a $P_{\ell }^{m}(x)$, on el superíndex indica l'ordre, i no la potència de P. La seva definició més directa es dona en termes de les derivades dels polinomis de Legendre ordinaris (m ≥ 0)
    $P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}(P_{\ell }(x))$
El factor (−1)$^m$ en aquesta fórmula és conegut com la fase de Condon–Shortley. Alguns autors l'ometen. Les funcions descrites per aquesta equació satisfan l'equació diferencial de Legendre donat un paràmetre ℓ, i m indica les vegades que es deriva l'equació de Legendre P$_ℓ$
    $(1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.$
Com que per la fórmula de Rodrigues
    $P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],$
Pm ℓ pot ser expressat de la forma
    $P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.$
Aquesta equació permet l'extensió del rang de m a: −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Les definicions de P$_ℓ$$^{±m}$ obtingudes d'aquesta expressió per substitució de ±m són proporcionals
    ${\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },$
amb constant de proporcionalitat
    $c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},$
de manera que
    $P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).$

### Notacions alternatives

Les següents definicions alternatives també són usades en la literatura:
    $P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)$

## Ortogonalitat

Assumint que 0 ≤ m ≤ ℓ, aleshores se satisfà la condició d'ortogonalitat, per a un m fix:
    $\int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }$
On $\delta _{k,\ell }$ és la delta de Kronecker.
Similarment, també se satisfà la condició de ortogonalitat per a un ℓ fix:
    $\int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{si }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{si }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{si }}m=n=0\end{cases}}$

## m i/o ℓ negatius

L'equació diferencial és clarament invariant sota un canvi de signe de m.
S'ha vist que per a les funcions amb un valor de m negatiu, aquestes han de ser proporcionals a les funcions amb un m positiu:
    $P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}$
(Això s'obté de la definició de la fórmula de Rodrigues. Aquesta definició també fa que les diferents fórmules de recurrència funcionin per a valors de m positius o negatius.)
${\textrm {Si}}\quad {\mid }m{\mid }>\ell \,\quad \mathrm {llavors} \quad P_{\ell }^{m}=0.\,$
L'equació diferencial també és invariant sota un canvi de ℓ a -ℓ − 1, les funcions per a ℓ negatiu són definides per
    $P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,...)$

## Paritat

Partint de la seva definició, es pot verificar que les funcions associades de Legendre són o bé parelles o senars segons:
    $P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell +m}P_{\ell }^{m}(x)$

## Els primers polinomis associats de Legendre

A continuació es mostren els primers polinomis associats de Legendre, incloent aquells pels quals es tenen valors negatius de m:
       $P_{0}^{0}(x)=1$
       $P_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P_{1}^{1}(x)$
       $P_{1}^{0}(x)=x$
       $P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}$
       $P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P_{2}^{2}(x)$
       $P_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P_{2}^{1}(x)$
       $P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)$
       $P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}$
       $P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})$
       $P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P_{3}^{3}(x)$
       $P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P_{3}^{2}(x)$
       $P_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P_{3}^{1}(x)$
       $P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)$
       $P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}$
       $P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})$
       $P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}$
       $P_{4}^{-4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{40320}}\end{matrix}}P_{4}^{4}(x)$
       $P_{4}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{5040}}\end{matrix}}P_{4}^{3}(x)$
       $P_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{360}}\end{matrix}}P_{4}^{2}(x)$
       $P_{4}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}P_{4}^{1}(x)$
       $P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)$
       $P_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}$
       $P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})$
       $P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}$
       $P_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}$

## Fórmules de recurrència

Aquestes funcions tenen algunes propietats de recurrència:
       $(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$
       $2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]$
       ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]$
       ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]$
       ${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]$
       ${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)-P_{\ell +1}^{m+1}(x)\right]$
       ${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$
       ${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)$
       ${\sqrt {1-x^{2}}}{P_{\ell }^{m}}'(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]$
       $(1-x^{2}){P_{\ell }^{m}}'(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]$
       $(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$
       $(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)$
       $(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)$
Algunes identitats útils (valors inicials per a la primera recursió):
       $P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)$
       $P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{l}(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(l/2)}$
       $P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)$
on !! és el doble factorial.

## Referències

* ↑ Arfken G.B., Weber H.J., Mathematical methods for physicists, (2001) Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 veure secció 12.5.
* ↑ Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1, New York: Interscience Publischer, Inc.
* ↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 8". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55. Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 332. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 & 65-12253. MR 0167642.
* ↑ Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables Vol. 18, Pergamon Press, 379p.

## Bibliografia

* A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 veure capítol 2.
* I. O. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge, England: The University Press. OCLC 5388084 veure capítol 3
* F. B. Hildebrand, Advanced Calculus for Applications, (1976) Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9

## Enllaços externs

* Weisstein, Eric W. Weisstein, Eric W., «Polinomis associats de Legendre» a MathWorld (en anglès).