# Equació de Böttcher

L'equació de Böttcher és l'equació funcional
       $F(h(z))=(F(z))^{n}$
on
* h és una funció analítica donada amb un punt fix superatraient d'ordre n a a, (és a dir, $h(z)=a+c(z-a)^{n}+O((z-a)^{n+1})~,$ en un veïnat d'a), amb n ≥ 2
* F és una funció buscada.
El logaritme d'aquesta equació funcional equival a l'equació de Schröder.

## Nom

L'equació porta el nom del matemàtic polonès Lucjan Böttcher (1872-1937).

## Solució

La solució de l'equació funcional és una funció en forma implícita.
Lucian Emil Böttcher va esbossar una prova en 1904 sobre l'existència d'una solució: una funció analítica F en un veïnat del punt fix a, tal que:
    $F(a)=0$
Aquesta solució s'anomena a vegades:
* la coordenada de Böttcher
* la funció de Böttcher
* el mapa de Boettcher.
La prova completa va ser publicada per Joseph Ritt en 1.920, qui desconeixia la formulació original.
La coordenada de Böttcher (el logaritme de la funció de Schröder) conjuga h (z) en un veïnat del punt fix a la funció z$^n$. Un cas especialment important és quan h(z) és un polinomi de grau n, i a = ∞.

### Exemples

Per a la funció h i n=2
    $h(x)={\frac {x^{2}}{1-2x^{2}}}$
la funció F de Böttcher és:
    $F(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}$

## Aplicacions

L'equació de Böttcher té un paper fonamental en la part de la dinàmica holomorfa que estudia la iteració de polinomis d'una variable complexa.
Les propietats globals de la coordenada de Böttcher van ser estudiades per Fatou, Douady i Hubbard.

## Referències

* ↑ Böttcher, L. E «The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis (in Russian)» (en anglès). Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch., 14, 1904, pàg. 155-234.
* 1 2 Ritt, Joseph «On the iteration of rational functions» ( PDF) (en anglès). Trans. Amer. Math. Soc, 21(3), 1920, pàg. 348-356. DOI: 10.1090/S0002-9947-1920-1501149-6.
* ↑ Stawiska, Małgorzata «Lucjan Emil Böttcher (1872–1937) - The Polish Pioneer of Holomorphic Dynamics» (en anglès). Cornell University, 15-11-2013, pàg. 9.
* ↑ Cowen, C. C. «Analytic solutions of Böttcher's functional equation in the unit disk» (en anglès). Aequationes Mathematicae, 24, 1982, pàg. 187–194. DOI: 10.1007/BF02193043.
* ↑ Holden, Arun V. Chaos. Princeton University Press, 2014, p. 49.
* ↑ Alexander, Daniel S; Iavernaro, Felice; Alessandro, Rosa. Early Days in Complex Dynamics: A history of complex dynamics in one variable during 1906–1942 (en anglès), 2012. ISBN 978-0-8218-4464-9.
* ↑ Fatou, P «Sur les équations fonctionnelles, I» (en francès). Bulletin de la Société Mathématique de France, 47, 1919, pàg. 161-271. DOI: 10.24033/bsmf.998.
* ↑ Fatou, P «Sur les équations fonctionnelles, II» (en francès). Bulletin de la Société Mathématique de France, 48, 1920, pàg. 33-94. DOI: 10.24033/bsmf.1003.
* ↑ Fatou, P «Sur les équations fonctionnelles, III» (en francès). Bulletin de la Société Mathématique de France, 48, 1920, pàg. 208-314. DOI: 10.24033/bsmf.1008.
* ↑ Douady, A; Hubbard, J «Étude dynamique de polynômes complexes (première partie)» (en francès). Publ. Math. Orsay, 1984. Arxivat de l'original el 2013-12-24 [Consulta: 5 abril 2021].
* ↑ Douady, A; Hubbard, J «Étude dynamique de polynômes complexes (deuxième partie)» (en francès). Publ. Math. Orsay, 1985. Arxivat de l'original el 2013-12-24 [Consulta: 5 abril 2021].