# Model quàntic de Heisenberg

El model quàntic de Heisenberg, desenvolupat per Werner Heisenberg, és un model mecànic estadístic utilitzat en l'estudi de punts crítics i transicions de fase dels sistemes magnètics, en el qual els spins dels sistemes magnètics es tracten de manera mecànica quàntica. Està relacionat amb el model prototípic d'Ising, on a cada lloc d'una gelosia, un gir $\sigma _{i}\in \{\pm 1\}$ representa un dipol magnètic microscòpic al qual el moment magnètic és amunt o avall. Excepte l'acoblament entre moments dipolars magnètics, també hi ha una versió multipolar del model de Heisenberg anomenada interacció d'intercanvi multipolar.
Per raons de mecànica quàntica (vegeu interacció d'intercanvi o Model quàntic de Heisenberg § Notes), l'acoblament dominant entre dos dipols pot fer que els veïns més propers tinguin la menor energia quan estan alineats . Sota aquesta suposició (de manera que les interaccions magnètiques només es produeixen entre dipols adjacents) i en una xarxa periòdica unidimensional, l'hammiltonià es pot escriure en la forma
${\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}$
on $J$ és la constant d'acoblament i els dipols estan representats per vectors clàssics (o "spins") σ$_j$, subjectes a la condició de límit periòdica $\sigma _{N+1}=\sigma _{1}$ . El model de Heisenberg és un model més realista, ja que tracta els girs de forma quàntica, substituint el gir per un operador quàntic que actua sobre el producte tensor. $(\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}$, de dimensió $2^{N}$. Per definir-lo, recordeu les matrius de Pauli spin-1/2.

## Aplicacions

* Un altre objecte important és l'entropia d'entrellaçament. Una manera de descriure-ho és subdividir l'estat fonamental únic en un bloc (diversos girs seqüencials) i l'entorn (la resta de l'estat fonamental). L'entropia del bloc es pot considerar com a entropia d'entrellaçament. A temperatura zero a la regió crítica (límit termodinàmic) escala logarítmicament amb la mida del bloc. A mesura que augmenta la temperatura, la dependència logarítmica es converteix en una funció lineal. Per a temperatures grans la dependència lineal se segueix de la segona llei de la termodinàmica.
* El model de Heisenberg proporciona un exemple teòric important i manejable per aplicar la renormalització de la matriu de densitat.
* El model de sis vèrtex es pot resoldre utilitzant l'ansatz algebraic de Bethe per a la cadena de spin de Heisenberg (Baxter 1982).
* El model de Hubbard mig ple en el límit de les interaccions repulsives fortes es pot mapar a un model de Heisenberg amb $J<0$ que representa la força de la interacció de superintercanvi.
* Els límits del model a mesura que l'espaiat de la gelosia s'envia a zero (i es prenen diversos límits per a les variables que apareixen a la teoria) descriuen teories de camps integrables, tant no relativistes com l'equació de Schrödinger no lineal, com relativistes, com ara la $S^{2}$ model sigma, el $S^{3}$ el model sigma (que també és un model quiral principal) i el model sine-Gordon.
* Càlcul de determinades funcions de correlació en el pla o gran $N$ límit de N = 4 teoria supersimètrica de Yang–Mills

## Referències

* ↑ «The quantum mechanical model of the atom (article)» (en anglès). https://www.khanacademy.org.+[Consulta: 25 abril 2023].
* ↑ Pires, Antonio Sergio Teixeira «The Heisenberg model» (en anglès). Theoretical Tools for Spin Models in Magnetic Systems, 01-04-2021. DOI: 10.1088/978-0-7503-3879-0ch1.
* ↑ Korepin, V. E. Physical Review Letters, 92, 9, 05-03-2004, pàg. 096402. arXiv: cond-mat/0311056. Bibcode: 2004PhRvL..92i6402K. DOI: 10.1103/PhysRevLett.92.096402. PMID: 15089496.
* ↑ Beisert, Niklas Physics Reports, 405, 1, 1 December 2004, pàg. 1–202. arXiv: hep-th/0407277. DOI: 10.1016/j.physrep.2004.09.007.