# Treball virtual

El treball virtual d'un sistema és el treball resultant tant de les forces virtuals que actuen mitjançant un desplaçament real o de les forces reals que actuen mitjançant un desplaçament virtual. En aquest tema, el terme desplaçament es pot referir tant a translació com a rotació, i el terme força a una força o un moment. Quan les quantitats virtuals són variables independents llavors són anomenades arbitràries: que ho siguin és una característica essencial que permet treure importants conclusions a partir de relacions matemàtiques. Per exemple, en la relació matricial
    $\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q}$,
si $\mathbf {R} ^{*}$ és un verctor arbitrari, llavors es pot concloure que $\mathbf {r} =\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q}$. D'aquesta manera, les quantitats arbitràries desapareixen dels resultats finals.

## Principi del treball virtual per forces aplicades en equilibri estàtic

Es considera un sistema de partícules, i, en equilibri estàtic. La força total en cada partícula és
    $\mathbf {F} _{i}^{(T)}=0$
Sumant el treball exercit per la força sobre cada partícula que actua mitjançant un desplaçament virtual arbitrari, $\delta \mathbf {r} _{i}$, del sistema porta a una expressió pel treball virtual que ha de ser zero, ja que les forces són zero:
    $\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$.
L'equació vectorial original pot ser recuperada reconeixent que l'expressió del treball ha de funcionar per desplaçaments arbitraris virtuals. Separant les forces en forces aplicades, $\mathbf {F} _{i}$, i forces de lligadura, $\mathbf {C} _{i}$, dona
    $\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$
Si els desplaçaments virtuals arbitraris s'assumeixen que són en direccions ortogonals a les forces de lligadura, aquestes no fan treball. Aquests desplaçaments es diu que són consistents amb les forces de lligadura. Això porta a la formulació del principi del treball virtual per forces aplicades en equilibri estàtic, que postula que les forces aplicades a un sistema estàtic no fan treball virtual:
    $\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$
Això també es correspon al principi per sistemes accelerats, anomenat principi de d'Alembert, que forma la base teòrica per la mecànica lagrangiana.

## Vegeu també

* Mecànica lagrangiana

## Referències

* 1 2 3 4 Torby, Bruce. «Energy Methods». A: Advanced Dynamics for Engineers (en anglès). United States of America: CBS College Publishing, 1984 (HRW Series in Mechanical Engineering). ISBN 0-03-063366-4.
* ↑ Ing-Chang Jong. «Teaching Students Work and Virtual Work Method in Statics:A Guiding Strategy with Illustrative Examples» (PDF). Proceedings of the 2005 American Society for Engineering Education Annual Conference & Exposition. American Society for Engineering Education, 2005. Arxivat de l'original el 2008-08-28. [Consulta: 24 setembre 2007].

## Bibliografia

* Bathe, K.J. "Finite Element Procedures", Prentice Hall, 1996. ISBN 0-13-301458-4
* Charlton, T.M. Energy Principles in Theory of Structures, Oxford University Press, 1973. ISBN 0-19-714102-1
* Dym, C. L. and I. H. Shames, Solid Mechanics: A Variational Approach, McGraw-Hill, 1973.
* Greenwood, Donald T. Classical Dynamics, Dover Publications Inc., 1977, ISBN 0-486-69690-1
* Hu, H. Variational Principles of Theory of Elasticity With Applications, Taylor & Francis, 1984. ISBN 0-677-31330-6
* Langhaar, H. L. Energy Methods in Applied Mechanics, Krieger, 1989.
* Reddy, J.N. Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley, 2002. ISBN 0-471-17985-X
* Shames, I. H. and Dym, C. L. Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics, Taylor & Francis, 1995, ISBN 0-89116-942-3
* Tauchert, T.R. Energy Principles in Structural Mechanics, McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0
* Washizu, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Pr, 1982. ISBN 0-08-026723-8
* Wunderlich, W. Mechanics of Structures: Variational and Computational Methods, CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7