# Grup espacial

En matemàtiques i física, un grup espacial o grup d'espai és el grup de simetria d'una configuració en l'espai, en general en tres dimensions. En tres dimensions, hi ha 219 tipus diferents, o 230 si les còpies quirals es consideren diferents. Els grups d'espai també s'estudien en dimensions diferents a 3 on de vegades es diuen grups Bieberbach, i són grups cocompactes discrets d'isometries d'un espai euclidià orientat.
En cristal·lografia, grups d'espai també es diuen els grups cristal·logràfics o Fedorov, i representen una descripció de la simetria del cristall. Una font definitiva pel que fa als grups d'espai de 3 dimensions és les International Tables for Crystallography (Taules Internacionals per Cristal·lografia, Hahn (2002)).

## Taula de grups espacials en 3 dimensions

| # | Sistema cristal·lí (compte) Xarxa de Bravais | Grup puntual | Grup puntual | Grup puntual | Grup puntual | Grup puntual | Grups espacials (símbol curt internacional) |
| # | Sistema cristal·lí (compte) Xarxa de Bravais | Intl | Schön. | Notació orbifold | Cox. | Ord. | Grups espacials (símbol curt internacional) |
| 1 | Triclínic (2) | 1 | C$_1$ | 11 | [ ]$^+$ | 1 | P1 |
| 2 | Triclínic (2) | 1 | C$_i$ | 1× | [2$^+$,2$^+$] | 2 | P1 |
| 3–5 | Monoclínic (13) | 2 | C₂ | 22 | [2]$^+$ | 2 | P2, P2$_1$ C2 |
| 6–9 | Monoclínic (13) | m | C$_s$ | *11 | [ ] | 2 | Pm, Pc Cm, Cc |
| 10–15 | Monoclínic (13) | 2/m | C$_{2h}$ | 2* | [2,2$^+$] | 4 | P2/m, P2$_1$/m C2/m, P2/c, P2$_1$/c C2/c |
| 16–24 | Ortoròmbic (59) | 222 | D₂ | 222 | [2,2]$^+$ | 4 | P222, P222$_1$, P2$_1$2$_1$2, P2$_1$2$_1$2$_1$, C222$_1$, C222, F222, I222, I2$_1$2$_1$2$_1$ |
| 25–46 | Ortoròmbic (59) | mm2 | C$_{2v}$ | *22 | [2] | 4 | Pmm2, Pmc2$_1$, Pcc2, Pma2, Pca2$_1$, Pnc2, Pmn2$_1$, Pba2, Pna2$_1$, Pnn2 Cmm2, Cmc2$_1$, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2 |
| 47–74 | Ortoròmbic (59) | mmm | D$_{2h}$ | *222 | [2,2] | 8 | Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Immm, Ibam, Ibca, Imma |
| 75–80 | Tetragonal (68) | 4 | C₄ | 44 | [4]$^+$ | 4 | P4, P4$_1$, P4₂, P4₃, I4, I4$_1$ |
| 81–82 | Tetragonal (68) | 4 | S₄ | 2× | [2$^+$,4$^+$] | 4 | P4, I4 |
| 83–88 | Tetragonal (68) | 4/m | C$_{4h}$ | 4* | [2,4$^+$] | 8 | P4/m, P4₂/m, P4/n, P4₂/n I4/m, I4$_1$/a |
| 89–98 | Tetragonal (68) | 422 | D₄ | 224 | [2,4]$^+$ | 8 | P422, P42$_1$2, P4$_1$22, P4$_1$2$_1$2, P4₂22, P4₂2$_1$2, P4₃22, P4₃2$_1$2 I422, I4$_1$22 |
| 99–110 | Tetragonal (68) | 4mm | C$_{4v}$ | *44 | [4] | 8 | P4mm, P4bm, P4₂cm, P4₂nm, P4cc, P4nc, P4₂mc, P4₂bc I4mm, I4cm, I4$_1$md, I4$_1$cd |
| 111–122 | Tetragonal (68) | 42m | D$_{2d}$ | 2*2 | [2$^+$,4] | 8 | P42m, P42c, P42$_1$m, P42$_1$c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2 I4m2, I4c2, I42m, I42d |
| 123–142 | Tetragonal (68) | 4/mmm | D$_{4h}$ | *224 | [2,4] | 16 | P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4₂/mmc, P4₂/mcm, P4₂/nbc, P4₂/nnm, P4₂/mbc, P4₂/mnm, P4₂/nmc, P4₂/ncm I4/mmm, I4/mcm, I4$_1$/amd, I4$_1$/acd |
| 143–146 | Trigonal (25) | 3 | C₃ | 33 | [3]$^+$ | 3 | P3, P3$_1$, P3₂ R3 |
| 147–148 | Trigonal (25) | 3 | S₆ | 3× | [2$^+$,6$^+$] | 6 | P3, R3 |
| 149–155 | Trigonal (25) | 32 | D₃ | 223 | [2,3]$^+$ | 6 | P312, P321, P3$_1$12, P3$_1$21, P3₂12, P3₂21 R32 |
| 156–161 | Trigonal (25) | 3m | C$_{3v}$ | *33 | [3] | 6 | P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c |
| 162–167 | Trigonal (25) | 3m | D$_{3d}$ | 2*3 | [2$^+$,6] | 12 | P31m, P31c, P3m1, P3c1 R3m, R3c |
| 168–173 | Hexagonal (27) | 6 | C₆ | 66 | [6]$^+$ | 6 | P6, P6$_1$, P6₅, P6₂, P6₄, P6₃ |
| 174 | Hexagonal (27) | 6 | C$_{3h}$ | 3* | [2,3$^+$] | 6 | P6 |
| 175–176 | Hexagonal (27) | 6/m | C$_{6h}$ | 6* | [2,6$^+$] | 12 | P6/m, P6₃/m |
| 177–182 | Hexagonal (27) | 622 | D₆ | 226 | [2,6]$^+$ | 12 | P622, P6$_1$22, P6₅22, P6₂22, P6₄22, P6₃22 |
| 183–186 | Hexagonal (27) | 6mm | C$_{6v}$ | *66 | [6] | 12 | P6mm, P6cc, P6₃cm, P6₃mc |
| 187–190 | Hexagonal (27) | 6m2 | D$_{3h}$ | *223 | [2,3] | 12 | P6m2, P6c2, P62m, P62c |
| 191–194 | Hexagonal (27) | 6/mmm | D$_{6h}$ | *226 | [2,6] | 24 | P6/mmm, P6/mcc, P6₃/mcm, P6₃/mmc |
| 195–199 | Cubic (36) | 23 | T | 332 | [3,3]$^+$ | 12 | P23, F23, I23 P2$_1$3, I2$_1$3 |
| 200–206 | Cubic (36) | m3 | T$_h$ | 3*2 | [3$^+$,4] | 24 | Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3 |
| 207–214 | Cubic (36) | 432 | O | 432 | [3,4]$^+$ | 24 | P432, P4₂32 F432, F4$_1$32 I432 P4₃32, P4$_1$32, I4$_1$32 |
| 215–220 | Cubic (36) | 43m | T$_d$ | *332 | [3,3] | 24 | P43m, F43m, I43m P43n, F43c, I43d |
| 221–230 | Cubic (36) | m3m | O$_h$ | *432 | [3,4] | 48 | Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c Im3m, Ia3d |

## Referències

* ↑ Hiller, Howard «Crystallography and cohomology of groups». Amer. Math. Monthly, 93, 1986, pàg. 765–779. Arxivat de l'original el 2022-09-29. DOI: 10.2307/2322930 [Consulta: 4 juliol 2015].