# Nombre de Dean

El nombre de Dean ($De$) és un nombre adimensional utilitzat en la mecànica de fluids, utilitzat en l'estudi del flux en canonades i canals corbats. El seu nom prové del científic britànic W. R. Dean, que va ser el primer a proporcionar una solució teòrica del moviment fluid a través de canonades corbes per al flux laminar mitjançant un procediment de pertorbació des d'un flux de Poiseuille en un tub recte fins a un flux en una canonada amb una curvatura molt petita.

## Context físic

Si un líquid es mou al llarg d'un tub recte que en alguns punts es corba, les forces centrípetes al revolt faran que les partícules del fluid canviïn la seva direcció principal del moviment. Hi haurà un gradient de pressió advers generat a partir de la curvatura amb un augment de pressió, per tant, una disminució de la velocitat propera a la paret convexa i es produirà el contrari cap al costat exterior de la canonada. Això dona lloc a un moviment secundari superposat al flux primari, amb el fluid al centre de la canonada cap al costat exterior de la corba i el fluid prop de la paret de la canonada tornarà cap a l'interior de la corba. S'espera que aquest moviment secundari aparegui com un parell de cèl·lules contra-rotatives, que s'anomenen vòrtex de Dean.

## Definició

El nombre de Dean és indicat normalment per De (o Dn). Per a un flux en una canonada o tub es defineix com:
    ${\mathit {De}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,({\text{forces inercials}})({\text{forces centrípetes}})}}{\text{forces viscoses}}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{D}})(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{R_{c}}})}}{\mu {\frac {v}{D}}D\,R_{c}}}={\frac {\rho \,D\,v}{\mu }}{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}={\textit {Re}}\,{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}$
on
* $\rho$ = densitat del fluid
* $\mu$ = viscositat dinàmica
* $v$ = escala de velocitat axial
* $D$= diàmetre (per a la geometria no circular s'utilitza un diàmetre equivalent; vegeu el nombre de Reynolds)
* $R_{c}$ = radi de curvatura del camí del canal
* ${\textit {Re}}$ = Nombre de Reynolds
El nombre de Dean és, per tant, el producte del nombre de Reynolds (basat en el flux axial) $v$ a través d'un tub de diàmetre $D$) i l'arrel quadrada de la relació de curvatura.

## Transició de turbulències

El flux és completament unidireccional per a nombres de Dean baixos (De < 40~60).
A mesura que el nombre de Dean augmenta (entre 40~60 i 64~75), es poden observar algunes pertorbacions ondulades a la secció transversal, la qual cosa evidencia algun flux secundari.
Amb nombres de Dean més alts (De > 64~75), el parell de vòrtex de Dean esdevé estable, indicant una inestabilitat dinàmica primària. Una inestabilitat secundària apareix quan De > 75~200, on els vòrtex presenten ondulacions, torsions i, finalment, fusions i divisió de parells.
Apareixen formes de flux totalment turbulents a partir de De > 400.
També s'ha examinat la transició del flux laminar al turbulent en diversos estudis, tot i que no existeix una solució universal, ja que el paràmetre depèn molt de la relació de curvatura. De manera inesperada, es pot mantenir un flux laminar per a nombres de Reynolds més grans (fins i tot per un factor de dos per a les relacions de curvatura més elevades estudiades) per a canonades rectes, tot i que se sap que la curvatura causa inestabilitat.

## Les equacions de Dean

El nombre de Dean apareix a les anomenades equacions de Dean. Aquestes són una aproximació a les equacions completes de Navier-Stokes per al flux uniforme uniformement axial d'un fluid newtonià en un tub toroidal, obtingut mantenint només els efectes d'ordre principal de la curvatura (és a dir, les equacions d'ordre principal per a $a/r\ll 1$).
Utilitzant coordenades ortogonals $(x,y,z)$ amb els corresponents vectors unitaris $({\hat {\boldsymbol {x}}},{\hat {\boldsymbol {y}}},{\hat {\boldsymbol {z}}})$ alineats amb la línia central de la canonada a cada punt. La direcció axial és ${\hat {\boldsymbol {z}}}$, amb ${\hat {\boldsymbol {x}}}$ sent la normal en el pla de la línia central, i ${\hat {\boldsymbol {y}}}$ la binormal. Per a un flux axial impulsat per un gradient de pressió $G$, la velocitat axial $u_{z}$ s'escala amb $U=Ga^{2}/\mu$. Les velocitats de corrent transversal $u_{x},u_{y}$ s'escalen amb $(a/R)^{1/2}U$, i pressions transversals amb $\rho aU^{2}/L$. Les longituds s'escalen amb el radi del tub $a$.
En termes d'aquestes variables i coordenades no dimensionals, les equacions de Dean són llavors
    $D\left({\frac {\mathrm {D} u_{x}}{\mathrm {D} t}}+u_{z}^{2}\right)=-D{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nabla ^{2}u_{x}$
    $D{\frac {\mathrm {D} u_{y}}{\mathrm {D} t}}=-D{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nabla ^{2}u_{y}$
    $D{\frac {\mathrm {D} u_{z}}{\mathrm {D} t}}=1+\nabla ^{2}u_{z}$
    ${\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0$
on
    ${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}$
és la derivada convectiva.
El nombre Dean D és l'únic paràmetre que queda al sistema i encapsula els efectes d'ordre principal de curvatura. Les aproximacions d'ordre superior comporten paràmetres addicionals.
Per a efectes de curvatura feble (D petit), les equacions de Dean es poden resoldre com una expansió de sèries en D. La primera correcció al flux de Poiseuille axial d'ordre principal és un parell de vòrtex en el flux de transport de secció transversal que es formen l'interior de fora de la corba cap al centre i cap enrere al voltant de les vores. Aquesta solució és estable fins a un nombre crític de Dean $D_{c}\approx 956$. Per a un D més gran, hi ha múltiples solucions, moltes de les quals són inestables.

## Referències

* ↑ Dean, W. R. «Note on the motion of fluid in a curved pipe» (en anglès). Phil. Mag., 20(20), 1927, pàg. 208–223. DOI: 10.1080/14786440708564324.
* ↑ Dean, W. R. «The streamline motion of fluid in a curved pipe» (en anglès). Phil. Mag., 5(30), 1928, pàg. 673–695. DOI: 10.1080/14786440408564513.
* ↑ Ligrani, Phillip M. "A Study of Dean Vortex Development and Structure in a Curved Rectangular Channel With Aspect Ratio of 40 at Dean Numbers up to 430", U.S. Army Research Laboratory (Contractor Report ARL-CR-l44) and Lewis Research Center (NASA Contractor Report 4607), July 1994. PDF
* ↑ Kalpakli, Athanasia «Experimental study of turbulent flows through pipe bends» (en anglès). Royal Institute of Technology KTH Mechanics [Estocolm], 2012, pàg. 461–512.
* ↑ Taylor, G. I. «The criterion for turbulence in curved pipes» (en anglès). Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 124(794), 1929, pàg. 243–249. Bibcode: 1929RSPSA.124..243T. DOI: 10.1098/rspa.1929.0111.
* ↑ Mestel, J. Flow in curved pipes: The Dean equations, Lecture Handout for Course M4A33, Imperial College.
* ↑ Dennis, C. R.; Ng, M. «Dual solutions for steady laminar-flow through a curved tube» (en anglès). Q. J. Mech. Appl. Math., 35(3), 1982, pàg. 305. DOI: 10.1093/qjmam/35.3.305.

## Bibliografia

* Berger, S. A.; Talbot, L.; Yao, L. S. «Flow in Curved Pipes» (en anglès). Annu. Rev. Fluid Mech., 15, 1983, pàg. 461–512. Bibcode: 1983AnRFM..15..461B. DOI: 10.1146/annurev.fl.15.010183.002333.