# Diagonal

* Aquest article tracta sobre el segment que uneix dos vèrtexs no consecutius d'un polígon o políedre. Vegeu-ne altres significats a «Diagonal (desambiguació)».
Una diagonal és una línia que uneix dos vèrtexs no consecutius d'un polígon o d'un políedre. En sentit col·loquial, una diagonal és una recta o segment amb certa inclinació. En matemàtiques, a part del seu significat geomètric, el terme diagonal també s'usa en matrius per referir-se a un conjunt d'elements al llarg d'una línia diagonal.

## Etimologia

La paraula diagonal prové del grec antic διαγώνιος, diagonios ("d'angle a angle"). Fou utilitzada tant per Estrabó com per Euclides per referir-se al segment que connecta dos vèrtexs d'un rombe o cuboide,. Està formada pels elements διά-, dia- ("a través") i γωνία, gonia ("angle", relacionada amb gony, "genoll"), i després fou adoptada en llatí com diagonus ("línia inclinada").

## Nombre de diagonals d'un polígon

Per un polígon convex o còncau de n costats, el nombre de diagonals ve donades per l'equació:
   $N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}$
Aquest resultat s'obté raonant de la següent manera: a partir de cadascun dels n vèrtexs poden traçar-se $n-3$ diagonals, ja que no hi ha diagonals cap al mateix vèrtex ni cap als 2 vèrtexs adjacents. Com que la diagonal que va d'un vèrtex A a un altre B i la que ve d'aquest vèrtex B de tornada al vèrtex A són la mateixa diagonal, es divideix per dos per evitar comptar aquesta diagonal dues vegades.
| Costats | Diagonals |
| 3 | 0 |
| 4 | 2 |
| 5 | 5 |
| 6 | 9 |
| 7 | 14 |
| 8 | 20 |
| 9 | 27 |
| 10 | 35 |
| Costats | Diagonals |
| 11 | 44 |
| 12 | 54 |
| 13 | 65 |
| 14 | 77 |
| 15 | 90 |
| 16 | 104 |
| 17 | 119 |
| 18 | 135 |
| Costats | Diagonals |
| 19 | 152 |
| 20 | 170 |
| 21 | 189 |
| 22 | 209 |
| 23 | 230 |
| 24 | 252 |
| 25 | 275 |
| 26 | 299 |
| Costats | Diagonals |
| 27 | 324 |
| 28 | 350 |
| 29 | 377 |
| 30 | 406 |
| 31 | 434 |
| 32 | 464 |
| 33 | 495 |
| 34 | 527 |
| Costats | Diagonals |
| 35 | 560 |
| 36 | 594 |
| 37 | 629 |
| 38 | 665 |
| 39 | 702 |
| 40 | 740 |
| 41 | 779 |
| 42 | 819 |

## Matrius

En el cas d'una matriu quadrada, la diagonal principal és la línia diagonal d'elements que va de la cantonada superior esquerra fins a la cantonada inferior dreta. Per una matriu $A$ amb l'índex de fila especificat per $i$ i l'índex de columna especificat per $j$, la diagonal principal està formada pels elements $A_{ij}$ que compleixin $i=j$. Per exemple, la matriu identitat es defineix com aquella que té tot d'uns a la diagonal principal i zeros a la resta de la matriu:
    ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
La diagonal que va de la cantonada superior dreta a la cantonada inferior esquerra s'anomena diagonal menor o antidiagonal. Una matriu diagonal és aquella que té tots els elements que no es troben sobre la diagonal principal iguals a zero.

## Geometria

Per analogia, el subconjunt del producte cartesià X×X de qualsevol conjunt X amb ell mateix, consistint de tots els parells $(x,x)$, s'anomena diagonal i és el graf de la relació identitat. Té un paper important en geometria: per exemple, el punt fix d'una relació F des de X a ella mateixa es pot obtenir intersecant el graf de F amb la diagonal.
En estudis de geometria, és comuna la idea d'intersecar la diagonal amb ella mateixa, no directament sinó pertorbant-la amb una classe equivalent. Això està relacionat a un nivell més profund amb la característica d'Euler i els zeros de camps vectorials. Per exemple, el cercle té nombres de Betti 1, 1, 0, 0, 0 i, per tant, la seva característica d'Euler és 0. Una manera geomètrica d'expressar això és mirar a la diagonal del tor doble $S^{1}xS^{1}$ i observar que es pot moure cap a fora d'ell mateix amb el petit moviment $(\theta ,\theta )$ a $(\theta ,\theta +\epsilon )$. En general, el nombre d'intersecat del graf d'una funció amb la diagonal es pot calcular usant l'homologia amb el teorema del punt fix de Lefschetz; l'autointersecat de la diagonal és el cas especial de la funció identitat.

## Referències

* ↑ «Definición de diagonal — Definicion.de» (en castellà). [Consulta: 11 febrer 2022].
* ↑ Online Etymology Dictionary
* ↑ Estrabó, Geografia, 2.1.36-37
* ↑ Euclides, Elements, llibre 11, proposició 28
* ↑ Euclides, Elements, llibre 11, proposició 38
* ↑ «Definición de Diagonal» (en espanyol europeu). [Consulta: 5 febrer 2022].

## Vegeu també

* Diagonal principal
* Forma canònica de Jordan

## Enllaços externs

* Diagonals d'un polígon amb animació interactiva (anglès)
Viccionari