# Probabilitat condicionada

La probabilitat condicionada és la probabilitat que hi hagi un succés A, sabent que també succeeix un altre succés B. La probabilitat condicional s'escriu P(A|B), i es llegeix «la probabilitat de A donada B».
No cal que existeixi una relació causal o temporal entre A i B. A pot precedir en el temps a B, succeir-lo o poden ser simultanis. A pot causar B, viceversa o poden no tenir relació causal. Les relacions causals o temporals són nocions que no pertanyen a l'àmbit de la probabilitat. Poden desenvolupar un paper o no depenent de la interpretació que es doni als successos.
El condicionament de probabilitats pot aconseguir-se aplicant el teorema de Bayes.

## Definició

Donat un espai de probabilitat $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ i dos successos $A,B\in {\mathcal {F}}$ amb $P(B)>0$, la probabilitat condicional de A donada B està definida com:
    $P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.$

## Interpretació

$P(A\mid B)$ es pot interpretar com, agafant els mons en què B es compleix, la fracció en els que també es compleix A. Si el succés B és, per exemple, tenir grip, i el succés A és tenir mal de cap, $P(A\mid B)$ seria la probabilitat de tenir mal de cap quan es té la grip.
Gràficament, si s'interpreta l'espai de la il·lustració com l'espai de tots els mons possibles, A serien els mons en el que es té mal de cap i B, l'espai on es té la grip. La zona verda de la intersecció representaria els mons en què es té la grip i el mal de cap $P(A\cap B)$. En aquest cas $P(A\mid B)$, és a dir, la probabilitat que algú tingui mal de cap sabent que té la grip, seria la proporció de mons amb grip i mal de cap (color verd) de tots els mons amb grip: l'àrea verda dividida per l'àrea de B. Com que l'àrea verda representa $P(A\cap B)$ i l'àrea B representa $P(B)$, formalment s'ha de:
    $P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.$

## Propietats

* $P(A\mid B)+P({\bar {A}}\mid B)=1$
* $B\subseteq A\to P(A\mid B)=1$
* $P(A)=P(A\mid B)\cdot P(B)+P(A\mid {\bar {B}})\cdot P({\bar {B}})$
Però NO és cert que $P(A\mid B)+P(A\mid {\bar {B}})=1$

## Independència de successos

Dos successos aleatoris $A$ i $B$ són independents si i només si:
    $P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B).$
O sigui, que si $A$ i $B$ són independents, la seva probabilitat conjunta, $P(A\cap B)$, que també s'escriu $P(A,B)$, pot ser expressada com el producte de les probabilitats individuals. Equivalentment:
    $P(A|B)\ =\ P(A)$
    $P(B|A)\ =\ P(B).$
En altres paraules, si $A$ i $B$ són independents, la probabilitat condicional de $A$ donada $B$ és simplement la probabilitat de $A$, i viceversa.

## Exclusivitat mútua

Dos successos A i B són mútuament excloents si i només si $A\cap B=\emptyset$. Llavors, $P(A\cap B)=0$.
A més, si $P(B)>0$ llavors $P(A\mid B)$ és igual a 0.

## La fal·làcia de la probabilitat condicional

La fal·làcia de la probabilitat condicional es basa a assumir que P(A|B) és quasi igual a P(B|A). El matemàtic John Allen Paulos analitza en el seu llibre L'home anumèric aquest error molt comú comès per persones que desconeixen la probabilitat.
La veritable relació entre P(A|B) i P(B|A) és la següent:
    $P(B\mid A)=P(A\mid B)\cdot {\frac {P(B)}{P(A)}}$ (Teorema de Bayes)

## Problemes d'exemple
### La paradoxa del fals positiu

La magnitud d'aquest problema és la millor entesa en termes de probabilitats condicionals. Suposem un grup de persones, de les quals l'1% pateix una certa malaltia, i la resta està bé. Escollint un individu a l'atzar:
$P(malalt)=1\%=0.01$ i $P(sa)=99\%=0.99$
Suposem que aplicant una prova a una persona que no té la malaltia, hi ha una possibilitat de l'1% d'aconseguir un fals positiu, això és:
$P(positiu|sa)=1\%$ i $P(negatiu|sa)=99\%$
Finalment, suposem que aplicant la prova a una persona que té la malaltia, hi ha una possibilitat de l'1% d'un fals negatiu, això és:
$P(negatiu|malalt)=1\%$ i $P(positiu|malalt)=99\%$
Ara, hom pot calcular el següent:
* La fracció d'individus al grup que estan sans i donen negatiu:
    $P(sa\cap negatiu)=P(sa)\times P(negatiu|sa)=99\%\times 99\%=98.01\%$
* La fracció d'individus al grup que estan malalts i donen positiu:
    $P(malalt\cap positiu)=P(malalt)\times P(positiu|malalt)=1\%\times 99\%=0.99\%$
* La fracció d'individus al grup que donen fals positiu:
    $P(sa\cap positiu)=P(sa)\times P(positiu|sa)=99\%\times 1\%=0.99\%$
* La fracció d'individus al grup que donen fals negatiu:
    $P(malalt\cap negatiu)=P(malalt)\times P(negatiu|malalt)=1\%\times 1\%=0.01\%$
* La fracció d'individus al grup que donen positiu:
    $P(positiu)=P(sa\cap positiu)+P(malalt\cap positiu)=0,99\%+0,99\%=1.98\%$
* La probabilitat que un individu tingui realment la malaltia, donat un resultat de la prova positiu:
    $P(malalt|positiu)={\frac {P(malalt\cap positiu)}{P(positiu)}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%$
En aquest exemple hauria de ser fàcil veure la diferència entre les probabilitats condicionades P(positiu|malalt), que és del 99%, i P(malalt|positiu), que és del 50%. La primera és la probabilitat que un individu malalt doni positiu a la prova, i la segona és la probabilitat que un individu que doni positiu a la prova, tingui realment la malaltia. Amb els nombres escollits aquí, aquest últim resultat probablement seria considerat inacceptable: la meitat de la gent que dona positiu, en realitat està sana.
La probabilitat de tenir una malaltia rara és de 0,001: $P(malalt)=0,001$
La probabilitat que quan el pacient està malalt s'encerti el diagnòstic és de 0.99: $P(positiu|malalt)=0,99$
La probabilitat de fals positiu és de 0,05: $P(positiu|sa)=0,05$
Pregunta: Em diuen que he donat positiu, quina probabilitat hi ha que tingui la malaltia?
$P(malalt|positiu)={\frac {P(malalt)\times P(positiu|malalt)}{P(positiu)}}$
$P(malalt|positiu)=P(malalt)\times {\frac {P(positiu|malalt)}{P(malalt)\times P(positiu|malalt)+P(sa)\times P(positiu|sa)}}$
$P(malalt|positiu)={\frac {0,001\times 0,99}{0,001\times 0,99+0,999\times 0,05}}=0,019=1,9\%$

## Vegeu també

* Falsos positius i falsos negatius