# Robot esfèric

Un robot esfèric, és un robot industrial format per dues articulacions de revolució i una articulació prismàtica, disposades segons un sistema de coordenades esfèric.
N'hi ha diferents variants segons l'orientació dels eixos de revolució. Si el primer eix de rotació és vertical i el segon horitzontal, aleshores s'anomena robot polar. També hi ha una disposició en la que els eixos de rotació es col·loquen horitzontalment, com en una suspensió de Cardan, i aleshores s'anomena robot pendular. Aquest tipus de configuració es va fer servir en el primer robot industrial, l'Unimate. Aquest robot tenia cinc graus de llibertat, gràcies a un terminal amb dos eixos de rotació, i disposava d'actuadors hidràulics. Es va fer servir per primer cop l'any 1961 a una fàbrica de General Motors, traient parts d'un motlle de fosa.
Aquest disseny s'empra majoritàriament moure peces o servir altres màquines, ja que té un abast llarg i recte que s'adapta bé a premses o motlles. Actualment és un tipus de robot poc usat, ja que es prefereixen configuracions més flexibles com la del robot articulat.

## Cinemàtica

En un robot esfèric es pot resoldre la cinemàtica directa mitjançant el conveni de Denavit-Hartenberg. A continuació s'adjunta una imatge amb l'abstracció d'un manipulador esfèric de tipus polar, amb tres graus de llibertat, RRP. El primer origen de coordenades s'ha ubicat a la intersecció entre z$_0$ i z$_1$ per anul·lar el paràmetre del desplaçament de l'element (d$_1$ = 0). Anàlogament, l'origen del segon sistema de coordenades s'ha posicionat a la intersecció entre z$_1$ i z₂.
Amb els sistemes de coordenades que s'han presentat a la imatge, els paràmetres de Denavit-Hartenberg s'inclouen a la taula següent:
| Element | a$_i$ | α$_i$ | d$_i$ | θ$_i$ |
| 1 | 0 | -π/2 | 0 | θ$_1$* |
| 2 | 0 | π/2 | d₂ | θ₂* |
| 3 | 0 | 0 | d₃* | 0 |
Fent servir els paràmetres, les matrius de transformació homogènies que s'obtenen per cada articulació són:
$A_{1}^{0}(\theta _{1})={\begin{bmatrix}c_{1}&0&-s_{1}&0\\s_{1}&0&c_{1}&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$
$A_{2}^{1}(\theta _{2})={\begin{bmatrix}c_{2}&0&s_{2}&0\\s_{2}&0&-c_{2}&0\\0&1&0&d_{2}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$
$A_{3}^{2}(d_{3})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{3}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$
Així, si es computa la funció de la cinemàtica directa, s'obté que:
$T_{3}^{0}(q)=A_{1}^{0}\cdot A_{2}^{1}\cdot A_{3}^{2}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&-s_{1}&c_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}d_{3}-s_{1}d_{2}\\s_{1}c_{2}&c_{1}&s_{1}s_{2}&s_{1}s_{2}d_{3}+c_{1}d_{2})\\-s_{2}&0&c_{2}&c_{2}d_{3}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$
On $q=[\theta _{1},\theta _{2},d_{3}]^{T}$. S'ha de notar que la tercera articulació, la prismàtica, òbviament no afecta a la matriu de rotació. A més a més, l'orientació del vector unitari $y_{3}^{0}$ està determinat únicament per la primera articulació, ja que l'eix de revolució de la segona articulació és paral·lela a l'eix $y_{3}$. En aquest cas, el sistema de coordenades 3 pot representar un sistema de coordenades de vectors unitaris $(n_{e},s_{e},a_{e}),T_{e}^{3}=I_{4}.$
Per altra banda, la cinemàtica inversa permet trobar els valors de les variables de les articulacions corresponents a una posició del terminal determinada. En aquest cas, la posició que es vol obtenir al terminal és $O_{3}=[x_{3},y_{3},z_{3}]$ i s'han de trobar els valors de les variables $\theta _{1},\theta _{2}$ i $d_{3}$ que permeten assolir-la.
Per aïllar les variables de les que depèn $O_{3}$ és convenient expressar la posició del terminal respecte l'origen de coordenades 1. L'equació de matrius s'obté és:
$(A_{1}^{0})^{-1}T_{3}^{0}=A_{2}^{1}A_{3}^{2}$
Igualant els primers tres elements de les quartes columnes de les matrius a cada banda s'obté:
$O_{3}^{1}={\begin{bmatrix}x_{3}c_{1}+y_{3}s_{1}\\-z_{3}\\-x_{3}s_{1}+y_{3}c_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}d_{3}s_{2}\\-d_{3}c_{2}\\d_{2}\end{bmatrix}}$
I aquestes equacions només depenen de les variables $\theta _{1}$ i $d_{3}$. Per resoldre aquestes tres equacions amb dues incògnites, s'aplica la següent substitució:
$t=tan{\frac {\theta _{1}}{2}}$
Aleshores s'obté que:
$c_{1}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$
$s_{1}={\frac {2t}{1+t^{2}}}$
Substituint aquestes equacions al tercer component a la banda esquerra de l'equació s'obté:
$(d_{2}+y_{3})t^{2}+2x_{3}t+d_{2}-y_{3}=0$
I aquesta equació de segon grau de la variable $t$es pot resoldre aplicant la fórmula convencional, amb el resultat següent:
$t={\frac {-x_{3}\pm {\sqrt {x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-d_{2}^{2}}}}{d_{2}+y_{3}}}$
Les dues solucions resultants es corresponen a les dues diferents postures del manipulador. Així doncs:
$\theta _{1}=2atan2(-x_{3}\pm {\sqrt {x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-d_{2}^{2}}},d_{2}+y_{3})$
Una vegada es coneix $\theta _{1}$, elevant al quadrat i sumant els primers dos components de l'equació de matrius s'obté:
$d_{3}={\sqrt {(x_{3}c_{1}+y_{3}s_{1})^{2}+z_{3}^{2}}}$
On només la solució amb $d_{3}\geq 0$ s'ha considerat. S'ha de notar que el mateix valor de $d_{3}$ es correspon a les dues solucions per $\theta _{1}$. Finalment, si $d_{3}\neq 0$, dels primers dos components de l'equació de matrius en resulta:
${\frac {x_{3}c_{1}+y_{3}s_{1}}{-z_{3}}}={\frac {d_{3}s_{2}}{-d_{3}c_{2}}}$
I a partir d'aquesta equació es pot extreure $\theta _{2}$
$\theta _{2}=atan2(x_{3}c_{1}+y_{3}s_{1},z_{3})$
A destacar que, si $d_{3}=0$, aleshores $\theta _{2}$ no té una única solució.

## Referències

* 1 2 Wilson, 2015, p. 22.
* ↑ Blas i Abante et al., 1991, p. 15.
* 1 2 Riba i Romeva, 1998, p. 38.
* ↑ Siciliano i Khatib, 2016, p. 1386.
* ↑ Nof, 1999, p. 56.
* 1 2 3 Siciliano et al., 2009, p. 73.
* 1 2 3 Siciliano et al., 2009, p. 72.
* ↑ Siciliano et al., 2009, p. 95.

## Bibliografia

* Blas i Abante, Marta; Mateu i Martínez, M. Rosa; Picó i Garcia, Rosa Maria; Riba i Romeva, Carles. «Diccionari de robòtica industrial» p. 18, 1991. [Consulta: 21 setembre 2019].
* Nof, Shimon Y. Handbook of Industrial Robotics. John Wiley & Sons, 1999, p. 1378. ISBN 9780471177838 [Consulta: 21 setembre 2019].
* Riba i Romeva, Carles. «Els robots industrials I. Característiques» p. 76, 1998. [Consulta: 21 setembre 2019].
* Siciliano, Bruno; Khatib, Oussama. Springer Handbook of Robotics 2nd Edition. Berlin Heidelberg: Springer, 2016, p. 2259. ISBN 978-3-319-32550-7 [Consulta: 21 setembre 2019].
* Siciliano, Bruno; Sciavicco, Lorenzo; Villani, Luigi; Oriolo, Giuseppe. Robotics. Modelling, Planning and Control. Springer, 2009, p. 632. ISBN 978-1-84628-641-4 [Consulta: 21 setembre 2019].
* Wilson, Mike. Implementation of robot systems. An introduction to robotics, automation, and successful systems integration in manufacturing. Elsevier, 2015, p. 229. ISBN 978-0-124-04733-4 [Consulta: 21 setembre 2019].

## Enllaços externs

* Vídeo a Youtube d'Angela Sodemann: Robotic 09_ inverse kinematics Example 03 (three link spherical Robot RRP) (anglès)