# Pèndol

Un pèndol és un sistema físic construït per un sòlid sotmès a l'acció de la gravetat i subjectat de manera que pot girar lliurement sobre un eix que no passa pel seu centre de gravetat. Un model simplificat del pèndol, útil per establir-ne les lleis generals, és el pèndol simple o pèndol matemàtic, format per una un fil flexible, inextensible i de massa negligible, agafat per un extrem superior d'un punt fix, amb una massa puntual en el seu extrem inferior que oscil·la lliurement en el buit. Si el moviment de la massa es manté en un pla, es diu que és un pèndol pla; en cas contrari, es diu que és un pèndol esfèric.
El principi del pèndol fou descobert per l'astrònom i físic italià Galileu, que va establir que, per amplituds petites, el període d'oscil·lació és independent de l'amplitud (distància màxima que s'allunya el pèndol de la posició d'equilibri).
Algunes aplicacions del pèndol són la mesura del temps, el metrònom i la plomada. Una altra aplicació es coneix com el Pèndol de Foucault, el qual s'empra per evidenciar la rotació de la Terra. Es diu així en honor del físic francès León Foucault i està format per una gran massa suspesa d'un cable molt lleuger.

## Història

Un dels primers usos coneguts d'un pèndol va ser un dispositiu de sismòmetre del segle i de la dinastia Han científic xinès Zhang Heng. Era concebut per a balancejar-se i activar una d'una sèrie de palanques després de ser pertorbada pel tremolor d'un terratrèmol llunyà. Alliberada per una palanca, una petita bola queia del dispositiu en forma d'urna en una de les vuit boques de gripau de metall que hi havia a sota, als vuit punts de la brúixola, significant la direcció en què es trobava el terratrèmol.
Moltes fonts afirmen que l'astrònom egipci del segle x Ibn Yunus utilitzava un pèndol per mesurar el temps, però es tracta d'un error originat el 1684 per l'historiador britànic Edward Bernard.
Durant el Renaixement, s'utilitzaven grans pèndols bombats a mà com a fonts d'energia per a màquines manuals de moviment alternatiu, com serres, manxes i bombes. Leonardo da Vinci va fer molts dibuixos del moviment dels pèndols, encara que sense adonar-se del seu valor per al mesurament del temps.

### 1602: Investigacions de Galileo

El científic italià Galileo Galilei (1564-1642) va ser el primer a estudiar les propietats dels pèndols, al voltant de 1602. El primer informe que es conserva de les seves investigacions està contingut en una carta a Guido Ubaldo dal Monte, des de Pàdua, datada el 29 de novembre de 1602. El seu biògraf i estudiant, Vincenzo Viviani, indica que el seu interès s'havia despertat cap a 1582 pel moviment oscil·latori d'un canelobre de la catedral de Pisa. Galileu va descobrir que la propietat important que fa al pèndol una eina útil per mesurar el temps, anomenada isocronisme; el període del pèndol és aproximadament independent de l'amplitud o el desplaçament del balanceig. També va descobrir que el període és independent de la massa de la llentia i proporcional a l'arrel quadrada de la longitud del pèndol. Primer va emprar pèndols de lliure oscil·lació en aplicacions simples de temporització. El seu amic mèdic, Santorio Santorii, va inventar un dispositiu que mesurava el pols d'un pacient per la longitud d'un pèndol; el pulsilogium. En 1641 Galileu li va dictar al seu fill Vincenzo el disseny d'un rellotge de pèndol; Vincenzo va començar a construir-lo, però no l'havia acabat quan va morir el 1649.

### 1656: El rellotge de pèndol

En 1656 el científic neerlandès Christiaan Huygens va construir el primer rellotge de pèndol. Això va suposar una gran millora respecte als rellotges mecànics existents; la precisió va passar d'uns 15 minuts de desviació al dia a uns 15 segons al dia. Els pèndols es van estendre per Europa a mesura que els van integrar en els rellotges existents.
El científic anglès Robert Hooke va estudiar el pèndol cònic cap a 1666, consistent en un pèndol que es balanceja lliurement en dues dimensions, amb la bobina girant en un cercle o el·lipse. Va utilitzar els moviments d'aquest aparell com a model per analitzar els moviments orbitals dels planetes. Hooke va suggerir a Isaac Newton el 1679 que els components del moviment orbital consistien en un moviment inercial al llarg d'una direcció tangent més un moviment atractiu en la direcció radial. Això va jugar un paper en la formulació de Newton de la llei de la gravitació universal. Robert Hooke també va ser el responsable de suggerir ja el 1666 que el pèndol podia servir per a mesurar la força de la gravetat.
Durant una expedició a Caiena a la Guaiana Francesa el 1671, Jean Richer va descobrir que un rellotge de pèndol era 2$^1$⁄$_2$ minuts per dia més lent a Caiena que a París. D'això va deduir que la força de la gravetat era menor a Caiena.

## Pèndol simple o matemàtic

També anomenat pèndol ideal, està constituït per un fil inextensible de massa negligible, sostingut pel seu extrem superior d'un punt fix, amb una massa puntual subjecta al seu extrem inferior que oscil·la lliurement en un pla vertical fix.
En separar la massa pendular del seu punt d'equilibri, oscil·la a banda i banda d'aquesta posició, desplaçant-se sobre una trajectòria circular amb moviment diari.

### Equació del moviment

Per escriure l'equació del moviment observarem la figura adjunta corresponent a una posició genèrica del pèndol. La fletxa blava representa el pes de la massa pendular. Les fletxes en color violeta representen les components del pes a les direccions tangencial i normal a la trajectòria.
Aplicant la Segona llei de Newton a la direcció del moviment, tenim
   $F_{\text{t}}=-mg\operatorname {sen} \theta =ma_{\text{t}}\,$
on el signe negatiu té en compte que la $F_{\text{t}}$ té direcció oposada a la del desplaçament angular positiu (cap a la dreta, a la figura). Considerant la relació existent entre l'acceleració tangencial i l'acceleració angular
   $a_{\text{t}}=\ell {\ddot {\theta }}\ \,$
obtenim finalment l'equació diferencial del moviment pla del pèndol simple
   $\ell {\ddot {\theta }}\ +g\operatorname {sen} \theta =0\,$

### Període d'oscil·lació

L'astrònom i físic italià Galileo Galilei va observar que el període d'oscil·lació és independent de l'amplitud, almenys per a petites oscil·lacions. Per contra, aquell depèn de la longitud del fil. El període de l'oscil·lació d'un pèndol simple restringit a oscil·lacions de petita amplitud es pot aproximar per:
   $T\approx 2\pi {\sqrt {\ell \over g}}$
Per a oscil·lacions majors la relació exacta per al període no és constant amb l'amplitud i involucra integrals el·líptiques de primera espècie:
    $T=4{\sqrt {\ell \over g}}K\left(\operatorname {sen} {\frac {\varphi _{0}}{2}}\right)=4{\sqrt {\ell \over g}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\varphi _{0}}{2}}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}$
On φ$_0$ és l'amplitud angular màxima. L'equació anterior es pot desenvolupar a la sèrie de Taylor obtenint-se una expressió més útil:
    $T=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\operatorname {sen} ^{4}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\operatorname {sen} ^{6}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\dots \right]$

### Solució de l'equació de moviment

Per a amplituds petites, l'oscil·lació es pot aproximar com a combinació lineal de funcions trigonomètriques. Per amplituds grans pot provar-se l'angle pot expressar-se com a combinació lineal de funcions el·líptiques de Jacobi. Per veure això només cal tenir en compte que l'energia constitueix una integral de moviment i utilitzar el mètode de la quadratura per integrar l'equació de moviment:
   $t={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {ld\theta }{\sqrt {E-U(\theta )}}}=$ $={\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \phi _{0}}}}={\sqrt {\frac {l}{4g}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {d\theta }{\sqrt {\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\phi _{0}}{2}}-\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$
On, en la darrera expressió s'ha fet servir la fórmula de l'angle doble i on a més:
    $E=-mgl\cos \phi _{0}\;$, és l'energia, que està relacionada amb la màxima amplitud $\phi _{0}\;$.
    $U(\phi )=-mgl\cos \phi \;$, és l'energia potencial.
Realitzant en variable $\operatorname {sen} \xi ={\frac {\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}}{\operatorname {sen} {\frac {\phi _{0}}{2}}}}\;$, la solució de les equacions del moviment es pot expressar com:
   $t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{0}^{\Phi }{\frac {d\xi }{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\phi _{0}}{2}}\operatorname {sen} ^{2}\xi }}}\Rightarrow \theta (t)=2\arcsin \left({\mbox{sn}}\ {\sqrt {\frac {g}{l}}}t\cdot \operatorname {sen} {\frac {\phi _{0}}{2}}\right)$
On:
    ${\mbox{sn}}(t)\;$, és la funció el·líptica de Jacobi de tipus sinus.
    $\operatorname {sen} \Phi ={\frac {\operatorname {sen} {\frac {\phi (t)}{2}}}{\operatorname {sen} {\frac {\phi _{0}}{2}}}}$
El lagrangià del sistema és ${\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mgl\cos {\theta }$, on $\theta$ és l'angle que forma la corda del pèndol al llarg de les oscil·lacions (és la variable), i $l$ és la longitud de la corda (és la lligadura). Si s'apliquen les equacions de Lagrange s'arriba a l'equació final del moviment: $l^{2}{\ddot {\theta }}+gl\operatorname {sen} {\theta }=0$. És a dir, la massa no influeix en el moviment d'un pèndol.

## Vegeu també

* Oscil·lador harmònic
* Doble pèndol
* Metrònom
* Pèndol balístic
* Pèndol cicloïdal
* Pèndol cònic
* Pèndol de Foucault
* Pèndol de Kater
* Pèndol de Newton
* Pèndol de Pohl
* Pèndol de torsió
* Pèndol esfèric
* Pèndol simple
* Pèndol simple equivalent
* Rellotge de pèndol
* Teorema de Huygens

## Referències

* 1 2 «Pèndol». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
* ↑ «Péndulo». A: Enciclopedia Salvat de la Ciencia y la Técnica. Barcelona: Salvat, 1964, pag. 334, vol 10.
* ↑ Morton, W. Scott i Charlton M. Lewis (2005). China: Su historia y su cultura. Nova York: McGraw-Hill, Inc, p. 70
* 1 2 Needham, Volume 3, 627-629
* ↑ Good, Gregory. Ciencias de la Tierra: Una Enciclopedia de Eventos, Personas y Fenómenos. Routledge, 1998, p. 394. ISBN 978-0-8153-0062-5.
* ↑ «Péndulo». A: The Americana Corp. "ibn+yunus "+pendulum&pg=RA2-PA126 Encyclopedia Americana. 21, 1967, p. 502 [Consulta: 20 febrer 2009].
* ↑ Baker, Cyril Clarence Thomas. Diccionario de Matemáticas, 1961, p. 176.
* ↑ Newton, Roger G. El péndulo de Galileo: Del ritmo del tiempo a la creación de la materia. Harvard University Press, 2004, p. 52. ISBN 978-0-674-01331-5.
* ↑ King, D. A. «Ibn Yunus and the pendulum: a history of errors». Archives Internationales d'Histoire des Sciences, 29, 104, 1979, pàg. 35-52., reimprès al lloc web Muslim Heritage.
* ↑ Hall, Bert S. «El péndulo escolar». Anales de la Ciencia, 35, 5, 01-09-1978, pàg. 441-462. DOI: 10.1080/00033797800200371. ISSN: 0003-3790.
* ↑ ; Robertson, E. F.«Abu'l-Hasan Ali ibn Abd al-Rahman ibn Yunus». University of St Andrews, 01-11-1999. [Consulta: 29 maig 2007].
* ↑ Akyeampong, Emmanuel K.; Gates, Henry Louis. "ibn+yunus "+pendulum&pg=RA2-PA126 Dictionary of African Biography, Vol. 1, 2012, p. 126. ISBN 9780195382075.
* ↑ Matthews, Michael R. El tiempo en la enseñanza de las ciencias. Springer, 2000, p. 87. ISBN 978-0-306-45880-4.
* 1 2 Drake, Stillman. Galileo at Work: His scientific biography. Courier Dover, 2003, p. 20-21. ISBN 978-0-486-49542-2.
* ↑ Galilei, Galileo. Le Opere di Galileo Galilei, Edizione Nazionale (en italià). Florencia: Barbera, 1909. ISBN 978-88-09-20881-0.
* ↑ Murdin, Paul. Full Meridian of Glory: Perilous Adventures in the Competition to Measure the Earth. Springer, 2008, p. 41. ISBN 978-0-387-75533-5.
* ↑ La Lampada di Galileo, by Francesco Malaguzzi Valeri, for Archivio storico dell'arte, Volume 6 (1893); Editor, Domenico Gnoli; Publisher Danesi, Rome; Page 215-218.
* 1 2 Van Helden, Albert. «Pendulum Clock». Rice Univ., 1995. [Consulta: 25 febrer 2009].
* ↑ Drake 2003, p.419–420
* ↑ Tot i que hi ha referències no contrastades a rellotges de pèndol anteriors realitzats per altres: Usher, Abbott Payson. Courier Dover. Una historia de los inventos mecánicos, 1988, p. 310-311. ISBN 978-0-486-25593-4.
* ↑ Eidson, John C. Burkhausen. Medición, control y comunicación usando IEEE 1588, 2006, p. 11. ISBN 978-1-84628-250-8.
* ↑ Milham 1945, p.145
* 1 2 O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. «Robert Hooke». School of Mathematics and Statistics, Univ. of St. Andrews, Scotland, 01-08-2002. Arxivat de l'original el 2009-03-03. [Consulta: 21 febrer 2009].
* ↑ Nauenberg, Michael. "La contribución seminal de Robert Hooke a la dinámica orbital". Ashgate Publishing
* ↑ Nauenberg, Michael «Hooke y Newton: Adivinando los movimientos planetarios». Physics Today, 57, 2, 2004, pàg. 13. Bibcode: 2004PhT....57b..13N. DOI: 10.1063/1.1688052 [Consulta: 30 maig 2007].
* ↑ El Grupo KGM, Inc. «Modelos Heliocéntricos». Maestro de la Ciencia, 2004. Arxivat de l'original el 2007-07-13. [Consulta: 30 maig 2007].
* ↑ Victor F. Lenzen, Robert P. Multauf. "Ponencia 44: Desarrollo de los péndulos de gravedad en el siglo XIX - Boletín del Museo Nacional de Estados Unidos 240: Contribuciones del Museo de Historia y Tecnología reimpresas en el Boletín de la Institución Smithsoniana".
* ↑ Richer, Jean. Observaciones astronómicas y físicas realizadas en la isla de Caïenne. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, 1679. citat a Lenzen & Multauf, 1964, p.307