# Teorema de Huygens

El teorema de Huygens estableix que la longitud reduïda d'un pèndol físic no varia quan el centre d'oscil·lació O' passa a ser centre de suspensió (O), ja que tots dos punts permuten entre si els seus papers (punts conjugats). El període del pèndol serà el mateix en ambdós casos.

## Explicació

Pel que fa al període de les oscil d'un pèndol físic, la massa del pèndol pot imaginar concentrada en un punt (O ') la distància a l'eix de suspensió és λ . Aquest punt rep el nom de centre d'oscil·lació i la distància λ s'anomena longitud reduïda del pèndol, venint en fa
   $\lambda ={I_{\text{O}} \over mh}\qquad [1]$
Si ara fem passar l'eix de suspensió pel punt O ', de manera que sigui paral·lel a l'anterior eix de suspensió, el punt O' passa a ser el punt de suspensió, mentre que el punt O passa a ser el centre d'oscil·lació. Tots dos punts han permutat entre si els seus papers, per això es diu que són punts conjugats. El mateix podem dir per als punts Q i Q '.
Aquesta propietat s'aprofita per a la construcció de l'anomenat pèndol reversible de Kater, instrument que permet mesurar el valor de l'acceleració gravitatòria amb gran precisió.

## Demostració del teorema

És convenient substituir en l'expressió [1] el valor del moment d'inèrcia I $_O$ del pèndol respecte a l'eix de suspensió ZZ 'de moment d'inèrcia I $_G$ del cos respecte a un eix paral·lel a l'anterior que passa pel centre de gravetat G del pèndol. Així, servint-nos del teorema de Steiner, i anomenant K al radi de gir del cos respecte a aquest últim eix, podem escriure:
   $I_{\text{O}}=I_{\text{G}}+mh^{2}=mK^{2}+mh^{2}=m(h^{2}+K^{2})\,\qquad [2]$
Combinant les expressions [1] i [2], la longitud reduïda del pèndol, respecte a l'eix de suspensió, pot expressar-se en la forma
   $\lambda ={I_{\text{O}} \over mh}={I_{\text{G}}+mh^{2} \over mh}={mK^{2}+mh^{2} \over mh}={h^{2}+K^{2} \over h}=h+{K^{2} \over h}\qquad [3]$
Ara, fem passar l'eix de suspensió per un altre punt, situat sobre la recta OG i que es trobi a una distància h 'del CDG, G, de manera que el període de les oscil sigui el mateix que abans, això equival a dir que la longitud reduïda del pèndol, respecte a aquest nou eix de suspensió, és la mateixa que anteriorment ( λ = λ '). Podem escriure
   $\lambda ={h^{2}K^{2} \over h}={h'^{2}K^{2} \over h'}={h^{2}-h'^{2} \over h-h'}={(hh')(h-h') \over (h-h')}\qquad [4]$
on hem fet ús de la següent propietat de les proporcions $\textstyle \quad {a \over b}={c \over d}={a\pm c \over b\pm d}$ i, per tant,
   $\lambda (h-h')=(hh')(h-h')\,\qquad [5]$
equació que té dues solucions:
* Pot ser h = h '; ii, es tracta del punt Q, situat a l'altre costat del cdg ia la mateixa distància d'aquest que el punt O.
* En el cas que sigui h ≠ h ', dividint per ( h - h ') dos membres de la igualtat [5] i tenint en compte [3], ens quedarà:
   $\textstyle \lambda =hh'\quad \Rightarrow \quad h'=\lambda -h={K^{2} \over h}\quad \Rightarrow \quad hh'=K^{2}\qquad [6]$
corresponent la distància h 'a la posició del punt O', conjugat de l'O, que està situat a l'altre costat del cdg i de manera que la suma de distàncies al mateix ( h h ') és la longitud reduïda ( λ ) del pèndol.

## Vegeu també

* Pèndol compost
* Centre de percussió
* Pèndol de Kater

## Referències
### Bibliografia

* Ortega, Manuel R.. Lliçons de Física (4 volums). Monytex, 1989-2006. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
* Resnick, R. and Halliday, D.. Physics. John Wiley & Sons, 1996. ISBN 0-471-83202-2.
* Tipler, Paul A.. Física per a la ciència i la tecnologia (2 volums). Barcelona: Ed Reverté, 2000. ISBN 84-291-4382-3.

## Enllaços externs

* fa1orgim/fisica/docencia/index.html Física Universitària. (En espanyol) Abundant informació per al nivell de la Física Universitària. Inclou textos i animacions.