# Funció G-Barnes

En matemàtiques, la funció G-Barnes, normalment escrit G(z), és una funció especial que constitueix una extensió a un domini complex de la seqüència de nombres enters superfactorials. Fins als factors elementals, és un cas especial de la funció gamma doble.
Es relaciona amb la funció Gamma, la funció K i la constant de Glaisher-Kinkelin. Posteriorment va ser nomenada en honor del matemàtic Ernest William Barnes (1874-1953).
Formalment, la funció G-Barnes es defineix en la següent forma del producte de Weierstrass:
    $G(1+z)=(2\pi )^{z/2}{\text{exp}}\left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}{\text{exp}}\left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}$
on $\,\gamma \,$ és la constant d'Euler-Mascheroni, exp (x)= e$^x$, i ∏ és el producte.

## Equacions funcionals i arguments enters

La funció G-Barnes satisfà l'equació funcional
    $G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)$
amb normalització G (1) = 1.
L'equació funcional implica que G té els següents valors en arguments enters:
    $G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=0,1,2,\dots \end{cases}}$
(en particular, $\,G(0)=G(1)=1\,$) i per tant
    $G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}$
on $\,\Gamma (x)\,$ denota la funció gamma, i K denota la funció K.
L'equació funcional defineix de forma exclusiva la funció G-Barnes si és afegida la condició de convexitat: $(\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0$.

## Fórmula de reflexió 1.0

L'equació de diferència per a la funció G-Barnes, en conjunció amb l'equació funcional per a la funció gamma, pot ser utilitzada per a obtenir la següent fórmula de reflexió per a la funció de G-Barnes (originalment proporcionada per Hermann Kinkelin):
    $\log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.$
La integral logaritme-tangent del costat dret pot ser avaluada per parts en termes de la funció de Clausen (d'ordre 2), com es mostra a continuació:
    $2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+{\text{Cl}}_{2}(2\pi z)$
La prova d'aquest resultat depèn de la següent avaluació de la integral cotangent: la introducció de la notació $\,Lc(z)\,$ per a la integral logaritme-tangent, i utilitzant $\,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x\,$, s'obté la següent integració per parts:
    ${\begin{aligned}Lc(z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}$
Substituint $\,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )\,$ en la integral dona
    $z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.$
La funció Clausen (d'ordre 2) té la representació integral
    ${\text{Cl}}_{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.$
No obstant això, dins de l'interval $\,0<\theta <2\pi \,$, el signe de valor absolut de l'integrant es pot ometre, ja que el valor de la integral de la funció «mig-sinus» és estrictament positiva i diferent de zero. Comparant aquesta definició amb el resultat anterior per l'integral logaritme-tangent, es manté clarament la següent relació:
    $Lc(z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\,{\text{Cl}}_{2}(2\pi z).$
Per tant, després d'una lleugera reordenació dels termes, la verificació està completa:
    $2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+{\text{Cl}}_{2}(2\pi z)\,.\,\Box$
Usant la relació $\,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)\,$ i dividint la fórmula de reflexió per un factor de $\,2\pi \,$ dona la forma equivalent:
    $\log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}{\text{Cl}}_{2}(2\pi z)$

## Fórmula de reflexió 2.0

Reemplaçant z per (1/2) − z'' en la fórmula de reflexió anterior dona, després d'una certa simplificació, la fórmula equivalent que es mostra a continuació (que implica als polinomis de Bernoulli):
    $\log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=$
    $\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx$

## Ampliació de la sèrie de Taylor

Pel teorema de Taylor, i tenint en compte les derivades logarítmiques de la funció G-Barnes, es pot obtenir la següent ampliació de la sèrie:
    $\log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.$
Això és vàlid per a $\,0<z<1\,$. Aquí, $\,\zeta (x)\,$ és la funció zeta de Riemann:
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.$
Exponenciant banda i banda de l'ampliació de Taylor dona:
    ${\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}$
Comparant això amb la forma del producte de Weierstrass de la funció G-Barnes, dona la següent relació:
    $\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}{\text{exp}}\left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}$
Per a $|z|<1$ té la següent ampliació de Taylor:
    $\ln G(1+z)={\frac {1}{2}}\left(\ln(2\pi )-1\right)-(1-\gamma ){\frac {z^{2}}{2}}+\sum _{n=3}^{\infty }(-1)^{n-1}\zeta (n-1){\frac {z^{n}}{n}}$

## Fórmula de multiplicació

Igual que la funció gamma, la funció G-Barnes també té una fórmula de multiplicació:
    $G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)$
on $K(n)$ és una constant donada per:
    $K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.$
Aquí, $\zeta ^{\prime }$ és la derivada de la funció zeta de Riemann, i $A$ és la constant de Glaisher-Kinkelin.

## Expansió asimptòtica

El logaritme de G(z + 1) té la següent expansió asimptòtica, establert per Barnes:
    ${\begin{aligned}\log G(z+1)&={\frac {1}{12}}-\log A+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +\left({\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}\right)\log z\\&\quad -{\frac {3z^{2}}{4}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}$
Aquí, $B_{k}$ són els nombres de Bernoulli i $A$ és la constant de Glaisher-Kinkelin.
Aquesta expansió és vàlida per a $z$ en qualsevol sector que no conté l'eix real negatiu amb $|z|$ gran.

## Relació amb la integral del logaritme de gamma

La integral logaritme-gamma pot ser avaluada en termes de la funció G-Barnes.
    $\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)$
La prova és una mica indirecta, i consisteix en considerar primer la diferència logarítmica de la funció gamma i de la funció G-Barnes:
    $z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)$
on
    ${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)e^{-z/k}\right\}$
i $\,\gamma \,$ és la constant d'Euler-Mascheroni.
Prenent el logaritme de les formes del producte de Weierstrass de la funció G-Barnes i de la funció gamma dona:
    $z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)=$
    $-z\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]$
    $-\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]$
Una petita simplificació i una reordenació dels termes dona l'expansió de la sèrie:
    $\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}=$
    $-z\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)$
Finalment, prenent el logaritme de la forma del producte de Weierstrass de la funció gamma, i integrant en l'interval $\,[0,\,z]\,$s'obté:
    $\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx=$
    $-(z\log z-z)-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}$
Igualant les dues avaluacions es completa la demostració:
    $\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)\,.\,\Box$

## Relació amb la funció K

La funció G-Barnes està estretament relacionada amb la funció gamma i amb la funció K.
Per als nombres naturals n, tenim
    $K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.$
Per a tot $z\in \mathbb {C} .$ tenim
    $K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\},$

## Valors particulars

Per a $G(x)$ tenims els següents valors particulars:
    $G(1/4)=A^{-9/8}\left(\Gamma (1/4)\right)^{-3/4}e^{3/32-K/(4\pi )};$
    $G(3/4)=A^{-9/8}\left(\Gamma (3/4)\right)^{-1/4}e^{3/32+K/(4\pi )};$
    $G(1/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{-1/4}e^{1/8}2^{1/24};$
    $G(3/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{1/4}e^{1/8}2^{1/24};$
    $G(5/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{3/4}e^{1/8}2^{-23/24};$
on $K$ és la constant de Catalan, i $A$ és la constant de Glaisher-Kinkelin per la qual
    $A:=e^{1/12-\zeta '(-1)}\approx 1,2824262...$

## Notes

* ↑ Vegeu la similitud entre l'equació funcional de la funció G-Barnes i la funció gamma d'Euler: $G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)$ $\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).$
* ↑ Veure Adamchik per a una forma equivalent de la fórmula de reflexió, però amb una prova diferent.
* ↑ Hi ha que tenir en compte pot haver una confusió amb el nombre Bernoulli $B_{2k}$, escrit així en l'època de Barnes i que actualment ja no s'escriu així.
* ↑ Aquest resultat es troba en Adamchik, però ho va afirmar sense proves.

## Referències

* ↑ E. W. Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264–314.
* ↑ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL$(2,\mathbb {Z} )$, Astérisque 61, 235–249 (1979).
* 1 2 Adamchik, Viktor S. «Contributions to the Theory of the Barnes function».
* ↑ I. Vardi, Determinants of Laplacians and multiple gamma functions, SIAM J. Math. Anal. 19, 493–507 (1988).
* ↑ E. T. Whittaker and G.N.Watson, "A course of modern analysis", CUP.
* ↑ Eric Weisstein: Hyperfactorial

## Enllaços externs

* Funció G-barnes en MathWorld
* Funció G-Barnes (Funció doble gamma) en Digital Library of Mathematical Functions