# Distribució hipergeomètrica negativa

En la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució hipergeomètrica negativa descriu probabilitats per al mostreig d'una població finita sense substitució en la qual cada mostra es pot classificar en dues categories mútuament excloents com Aprovat/No o Ocupat/Desocupat. A mesura que es fan seleccions aleatòries a partir de la població, cada sorteig posterior disminueix la població fent que la probabilitat d'èxit canviï amb cada sorteig. A diferència de la distribució hipergeomètrica estàndard, que descriu el nombre d'èxits en una mida de mostra fixa, en la distribució hipergeomètrica negativa, les mostres es treuen fins que $r$ s'han trobat errors i la distribució descriu la probabilitat de trobar-los $k$ èxits en aquesta mostra. En altres paraules, la distribució hipergeomètrica negativa descriu la probabilitat de $k$ èxits en una mostra amb exactament $r$ fracassos.

## Definició

N'hi ha $N$ elements, dels quals $K$ es defineixen com a "èxits" i la resta són "fracassos".
Els elements es dibuixen un darrere l'altre, sense substitucions, fins que $r$ es troben fracassos. Aleshores, el dibuix s'atura i el número $k$ d'èxits es comptabilitzen. La distribució hipergeomètrica negativa, $NHG_{N,K,r}(k)$ és la distribució discreta d'aquesta $k$.
La distribució hipergeomètrica negativa és un cas especial de la distribució binomial beta amb paràmetres $\alpha =r$ i $\beta =N-K-r+1$ tots dos són nombres enters (i $n=K$).
El resultat requereix que observem $k$ èxits en $(k+r-1)$ sorteja i el $(k+r){\text{-th}}$ bit ha de ser un fracàs. La probabilitat de la primera es pot trobar mitjançant l'aplicació directa de la distribució hipergeomètrica $(HG_{N,K,k+r-1}(k))$ i la probabilitat d'aquest últim és simplement el nombre de fallades restants $(=N-K-(r-1))$ dividit per la mida de la població restant $(=N-(k+r-1)$. La probabilitat de tenir exactament $k$ èxits fins al $r{\text{-th}}$ fallada (és a dir, el dibuix s'atura tan bon punt la mostra inclou el nombre predefinit de $r$ fallades) és aleshores el producte d'aquestes dues probabilitats:
${\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{k+r-1-k}}}{\binom {N}{k+r-1}}}\cdot {\frac {N-K-(r-1)}{N-(k+r-1)}}={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}.$
Per tant, una variable aleatòria $X$ segueix la distribució hipergeomètrica negativa si la seva funció de massa de probabilitat (pmf) ve donada per
$f(k;N,K,r)\equiv \Pr(X=k)={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc ,K$
on
* és la mida de la població,
* és el nombre d'estats d'èxit a la població,
* és el nombre de fallades,
* és el nombre d'èxits observats,
* és un coeficient binomial

## Referències

* ↑ «3.4: Hypergeometric, Geometric, and Negative Binomial Distributions» (en anglès). https://stats.libretexts.org,+28-12-2018.+[Consulta: 9 juliol 2023].
* ↑ «Negative hypergeometric distribution» (en anglès). http://www.math.wm.edu.+[Consulta: 9 juliol 2023].
* ↑ «[https://www.stat.purdue.edu/~zhanghao/STAT511/handout/Stt511%20Sec3.5.pdf Hypergeometric and Negative Binomial Distributions]» (en anglès). https://www.stat.purdue.edu.+[Consulta: 9 juliol 2023].
* ↑ «Negative Hypergeometric Distribution» (en anglès). https://link.springer.com.+[Consulta: 9 juliol 2023].