# Trajectòria parabòlica

En astrodinàmica, una trajectòria parabòlica és una òrbita kepleriana d'excentricitat 1. Quan el cos orbitant s'allunya del focus s'anomena òrbita d'escapament, en cas contrari s'anomena òrbita de captura. A vegades també es coneix com a òrbita C₃ = 0.
Un cos viatjant en una òrbita d'escapament s'allunyarà del cos central a una velocitat tendent a zero, és a dir, mai retornarà.

## Velocitat

La velocitat orbital ($v$) d'un cos que segueix una trajectòria parabòlica és:
    $v={\sqrt {2\mu \over {r}}}$
on:
* $r\,$ és la distància radial des del cos central,
* $\mu \,$ és el paràmetre gravitacional estàndard.
A qualsevol posició el cos orbitant té la velocitat d'escapament per aquella posició.
Si el cos orbitant té la velocitat d'escapament respecte a la Terra, no té la suficient per escapar del sistema solar, per tant, a prop de la Terra, l'òrbita s'assemblarà a una paràbola, més enllà resultarà ser una el·lipse al voltant del Sol.
Aquesta velocitat ($v$) és directament proporcional a la velocitat orbital d'un cos en una òrbita circular de radi igual a la posició radial del cos orbitant en una òrbita parabòlica:
    $v={\sqrt {2}}\cdot v_{o}$
On:
* $v_{o}\,$ és la velocitat orbital d'un cos que segueix una òrbita circular.

## Equació del moviment

L'equació del moviment d'un cos seguint una trajectòria parabòlica és:
    $r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+\cos \nu }}$
On:
* $r\,$ és la distància radial des del cos central,
* $h\,$ és el moment angular relatiu específic del cos orbitant,
* $\nu \,$ és una anomalia veritable del cos orbitant,
* $\mu \,$ és el paràmetre gravitacional estàndard.

## Energia

L'energia específica orbital d'un cos que segueix aquest tipus d'òrbita és zero, per tant l'equació de la conservació de l'energia orbital presenta aquesta forma:
    $\epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}=0$
On:
* $v\,$ és la velocitat orbital del cos orbitant,
* $r\,$ és la distància radial des del cos central,
* $\mu \,$ és el paràmetre gravitacional estàndard.

## Equació de Barker

L'equació de Barker relaciona el temps de vol i l'anomalia vertadera d'una òrbita parabòlica.
$t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)$
On:
* $D=\tan {({\frac {\nu }{2}})}$, $\nu$ és l'anomalia veritable del cos orbitant
* $t$ és el temps
* $T$ és el temps en què el cos orbitant es troba en el periapsi.
* $\mu \,$ és el paràmetre gravitacional estàndard.
* $p$ és el semi-latus rectum de la trajectòria.
Més generalment, el temps entre qualsevol parell de punts d'una òrbita parabòlica és $t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)$
Aquesta equació també es pot expressar en termes de la distància al periapsi ($r_{p}={\frac {p}{2}}$):
$t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)$
Al contrari que l'equació de Kepler, que s'utilitza per trobar les anomalies vertaderes en les òrbites el·líptiques i hiperbòliques, l'anomalia vertadera en l'equació de Barker es pot trobar directament a partir del temps. Si es fan les següents substitucions
$A={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)$
$B={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}$
llavors
$\nu =2\arctan(B-1/B)$

## Trajectòria parabòlica radial

Una trajectòria parabòlica radial és una trajectòria rectilínia on la velocitat relativa dels dos cossos és sempre la velocitat d'escapament. Hi ha dos casos: els dos cossos s'apropen o s'allunyen. L'expressió de la posició en funció de la velocitat és la següent:
    $r=(4.5\mu t^{2})^{1/3}\!\,$
on:
* $\mu \,$ és el paràmetre gravitacional estàndard.
* $t=0\!\,$ correspon al temps extrapolat del començament o acabament fictici en el centre del cos central.
En qualsevol instant la velocitat mitjana des de $t=0\!\,$ és 1.5 cops la velocitat actual.
Per tenir $t=0\!\,$ a la superfície es pot aplicar un canvi de temps.

## Referències

* ↑ Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry. Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, Inc., New York, 1971. ISBN 0-486-60061-0. p 188
* ↑ Montenbruck, Oliver; Pfleger, Thomas. Astronomy on the Personal Computer. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009. ISBN 978-3-540-67221-0. p 64