# Matriu transposada conjugada

En matemàtiques, la matriu transposada conjugada d'una matriu A de dimensió m per n a entrades complexes és una matriu A* de dimensió n per m obtinguda a partir d'A prenent la seva transposada i després prenent el conjugat complex de cada entrada (és a dir, canviant de signe les parts imaginàries però no les parts reals). Formalment, la matriu transposada conjugada es defineix com:
    $(\mathbf {A} ^{*})_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}$
on els subíndexs denoten l'entrada i,j-sima, per 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ m, i la barra denota una conjugació complexa. (El conjugat complex de $a+bi$, on a i b són reals, és $a-bi$.)
També podem escriure aquesta definició com:
    $\mathbf {A} ^{*}=({\overline {\mathbf {A} }})^{\mathrm {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}}$
on $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,\!$ denota la transposada i ${\overline {\mathbf {A} }}\,\!$ denota la matriu amb entrades conjugades.
La matriu transposada conjugada d'una matriu A es pot denotar per qualsevol d'aquests símbols:
* $\mathbf {A} ^{*}\,\!$ o $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\,\!$, d'ús comú a l'àlgebra lineal
* $\mathbf {A} ^{\dagger }\,\!$, d'ús estès a mecànica quàntica
* $\mathbf {A} ^{+}\,\!$, encara que aquest símbol s'usa més freqüentment a l'hora de denotar la pseudoinversa d'una matriu
En alguns contexts, $\mathbf {A} ^{*}\,\!$ denota la matriu amb entrades conjugades, i llavors la transposada conjugada s'escriu $\mathbf {A} ^{*\mathrm {T} }\,\!$ o $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} *}\,\!$.

## Exemple

Si
    $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3+i&5&-2i\\2-2i&i&-7-13i\end{bmatrix}}$
llavors
    $\mathbf {A} ^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\\2i&-7+13i\end{bmatrix}}$

## Observacions

Una matriu quadrada A amb entrades $a_{ij}$ s'anomena:
* Hermítica o autoadjunta si A = A$^*$, és a dir, $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$ .
* Antihermítica si A = −A$^*$, és a dir, $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$ .
* Normal si A$^*$A = AA$^*$.
* Unitària si A$^*$ = A$^{-1}$.
Encara que A no sigui quadrada, les dues matrius A$^*$A i AA$^*$ són totes dues hermítiques, i de fet són semidefinides positives.
Per trobar la transposada conjugada d'una matriu A a entrades reals, n'hi ha propu amb trobar-ne la transposada, ja que el conjugat complex d'un nombre real és el mateix nombre real.

## Motivació

Una possible motivació per la definició del concepte de transposada conjugada rau en el fet que els nombres complexos es poden representar mitjançant matrius reals 2×2, amb les operacions habituals d'addició i producte matricials:
    $a+ib\mapsto \left({\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}}\right).$
És a dir, estem representant cada nombre complex z per la matriu real 2×2 de la transformació lineal associada al diagrama d'Argand (vist com l'espai vectorial real ℝ²).
Una matriu m per n de nombres complexos pot representar-se, de forma anàloga, per una matriu 2m per 2n a entrades reals. La transposada conjugada sorgeix de manera natural com a simple transposició d'aquesta matriu, que pot visualitzar-se de nou com una matriu n per m a entrades complexes.

## Propietats

* (A + B)$^*$ = A$^*$ + B$^*$ per dues matrius qualssevol A i B de les mateixes dimensions.
* (r A)$^*$ = r$^*$A$^*$ per qualsevol complex r i qualsevol matriu A. Aquí, r$^*$ denota el conjugat complex de r.
* (AB)$^*$ = B$^*$A$^*$ per qualsevol matriu A m per n i qualsevol matriu B n per p. Notem que s'inverteix l'ordre dels factors.
* (A$^*$)$^*$ = A per qualsevol matriu A.
* Si A és una matriu quadrada, llavors det (A$^*$) = (det A)$^*$ i tr (A$^*$) = (tr A)$^*$
* A és invertible si i només si A$^*$ és invertible, i en cas afirmatiu, (A$^*$)$^{−1}$ = (A$^{−1}$)$^*$.
* Els valors propis de A$^*$ són els conjugats complexos dels valors propis de A.
* $\langle \mathbf {Ax} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {A} ^{*}\mathbf {y} \rangle$ per qualsevol matriu A m per n, qualsevol vector x de ℂ$^n$ i qualsevol vector y de ℂ$^m$. Aquí, $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ denota el producte escalar habitual a ℂ$^m$ i ℂ$^n$.

## Generalitzacions

La darrera propietat que hem vist ens mostra que si visualitzem A com una transformació lineal entre els espais de Hilbert ℂ$^n$ i ℂ$^m$, llavors la matriu A$^*$ correspon a l'operador adjunt de A. Així doncs, el concepte d'operador adjunt entre espais de Hilbert es pot veure com una generalització del concepte de matriu transposada conjugada.
Una altra generalització: suposem que A és una aplicació lineal d'un espai vectorial complex V a un altre, W. Llavors té sentit definir l'aplicació lineal conjugada i l'aplicació lineal transposada, i podem prendre la transposada conjugada de A com la conjugada complexa de la transposada de A. Així tenim una correspondència entre l'espai dual de W i el conjugat dual de V.

## Vegeu també

* Operador adjunt
* Matriu d'adjunts

## Enllaços externs

* Michiel Hazewinkel (ed.). Adjoint matrix. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* Weisstein, Eric W., «Conjugate Transpose» a MathWorld (en anglès).
* Conjugate transpose a PlanetMath