# Quadrat vèdic

En les matemàtiques índies, un quadrat vèdic és una variació en una taula de multiplicar típica de 9 × 9 on l'entrada a cada cel·la és l'arrel digital del producte dels encapçalaments de columna i fila, és a dir, el residu quan el producte dels encapçalaments de fila i columna és dividit per 9 (amb la resta 0 representada per 9). Es poden observar nombrosos patrons i simetries geomètriques en un quadrat vèdic, alguns dels quals es poden trobar en l'art tradicional islàmic.
| $\circ$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 3 | 6 | 9 | 3 | 6 | 9 |
| 4 | 4 | 8 | 3 | 7 | 2 | 6 | 1 | 5 | 9 |
| 5 | 5 | 1 | 6 | 2 | 7 | 3 | 8 | 4 | 9 |
| 6 | 6 | 3 | 9 | 6 | 3 | 9 | 6 | 3 | 9 |
| 7 | 7 | 5 | 3 | 1 | 8 | 6 | 4 | 2 | 9 |
| 8 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 9 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |

## Propietats algebraiques

El quadrat vèdic es pot veure com la taula de multiplicar del monoide $((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$ on $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$ és el conjunt d'enters positius repartits per les classes de residus mòdul 9. (l'operador $\circ$ fa referència a la «multiplicació» abstracta entre els elements d'aquest monoide).
Si $a,b$ són elements de $((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$, on $a\circ b$ són definits per $(a\times b)\mod {9}$, on l'element 9 representa el residu 0 en lloc de l'elecció tradicional de 0.
Això no forma un grup perquè no tots els elements que no són zero tenen un element invers corresponent; per exemple $6\circ 3=9$ però no n'hi ha $a\in \{1,\cdots ,9\}$ de tal manera que $9\circ a=6.$.

### Propietats del subconjunt

El subconjunt $\{1,2,4,5,7,8\}$ forma un grup cíclic amb 2 com a opció de generador: aquest és el grup d'unitats multiplicatives de l'anell $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$. Cada columna i fila inclou tots els sis nombres, de manera que aquest subconjunt forma un quadrat llatí.
| $\circ$ | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 |
| 1 | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 |
| 2 | 2 | 4 | 8 | 1 | 5 | 7 |
| 4 | 4 | 8 | 7 | 2 | 1 | 5 |
| 5 | 5 | 1 | 2 | 7 | 8 | 4 |
| 7 | 7 | 5 | 1 | 8 | 4 | 2 |
| 8 | 8 | 7 | 5 | 4 | 2 | 1 |

## De dues dimensions a tres dimensions

Un cub vèdic es defineix com la disposició de cada arrel digital en una taula de multiplicar tridimensional.

## Quadrats vèdics amb bases superiors

Es poden calcular quadrats vèdics amb una base superior, per analitzar els patrons simètrics que es plantegen, utilitzant el càlcul anterior, $(a\times b)\mod {({\textrm {base}}-1)}$. Les imatges d'aquesta secció (base 100 i base 1000) tenen un codi de color de manera que l'arrel digital d'1 és fosca i l'arrel digital de (base-1) és clara.

## Referències

* ↑ Lin, Chia-Yu. «Digital root patterns of three-dimensional space» (en anglès). rmm.ludus-opuscula.org.

## Bibliografia

* Deskins, W.E.. Abstract Algebra (en anglès). Nova York: Dover, 1996, p. 162–167. ISBN 0-486-68888-7.
* Chia-Yu, Lin «Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space» (en anglès). Recreational Mathematics Magazine, 2016, pàg. 9–31. ISSN: 2182-1976.
* Ghannam, Talal. The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root (en anglès). CreateSpace Publications, 2012, p. 68–73. ISBN 978-1-4776-7841-1.
* Pritchard, Chris. The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching (en anglès). Great Britain: Cambridge University Press, 2003, p. 119–122. ISBN 0-521-53162-4.
* Teknomo, Kadi «Digital Root: Vedic Square» (en anglès). Revoledu, 2005.

## Vegeu també

* Aritmètica modular