# LOCC

LOCC, o operacions locals i comunicació clàssica, és un mètode de la teoria de la informació quàntica on es realitza una operació local (producte) en una part del sistema, i on el resultat d'aquesta operació es "comunica" clàssicament a una altra part on normalment una altra operació es realitza condicionada a la informació rebuda.

## Propietats matemàtiques

La definició formal del conjunt d'operacions LOCC és complicada pel fet que les operacions locals posteriors depenen en general de tota la comunicació clàssica anterior i pel nombre il·limitat de rondes de comunicació. Per a qualsevol nombre finit $r\geq 1$ es pot definir $\operatorname {LOCC} _{r}$, el conjunt d'operacions LOCC que es poden aconseguir amb $r$ cicles de comunicació clàssica. El conjunt es fa estrictament més gran cada cop $r$ augmenta i s'ha de tenir cura de definir el límit d'infinites rondes. En particular, el conjunt LOCC no està topològicament tancat, és a dir, hi ha operacions quàntiques que es poden aproximar arbitràriament amb LOCC però que no són elles mateixes LOCC.
Un LOCC d'una ronda $\operatorname {LOCC} _{1}$ és un instrument quàntic $\left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}$, per als quals els mapes completament positius (CPM) no creixen ${\mathcal {E}}_{x}$ són locals per a tots els resultats de mesura $x$, és a dir, ${\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j}({\cal {E}}_{x}^{j})$ i hi ha un lloc $j=K$ tal que només a $K$ el mapa ${\mathcal {E}}_{x}^{K}$${\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}$ no conserva traces. Això significa que l'instrument pot ser realitzat pel partit al lloc $K$ aplicant l'instrument (local). $\left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}$ i comunicant el resultat clàssic $x$ a totes les altres parts, que després realitzen cadascuna (condicionat a $x$ ) operacions quàntiques locals (deterministes) de preservació de traces ${\cal {T}}_{x}^{j}$.
Aleshores $\operatorname {LOCC} _{r}$ es defineixen recursivament com aquelles operacions que es poden realitzar seguint una operació $\operatorname {LOCC} _{r-1}$ amb una $\operatorname {LOCC} _{1}$ -operació. Aquí es permet que el partit que faci les operacions de seguiment depengui del resultat de les rondes anteriors. A més, també permetem el "gran gruixut", és a dir, descartant part de la informació clàssica codificada en els resultats de mesura (de totes les rondes).
La unió de tots $\operatorname {LOCC} _{r}$ operacions es denota per $\operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }$ i conté instruments que es poden aproximar cada cop millor amb més rondes LOCC. El seu tancament topològic ${\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }$ conté totes aquestes operacions.
Es pot demostrar que tots aquests conjunts són diferents:
$\operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }$
El conjunt de totes les operacions LOCC està contingut en el conjunt $\operatorname {SEP}$ de totes les operacions separables. $\operatorname {SEP}$ conté totes les operacions que es poden escriure amb operadors Kraus que tenen tota la forma del producte, és a dir,
${\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },$
amb $\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1$. No hi ha totes les operacions $\operatorname {SEP}$ són LOCC,
${\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }\subset \operatorname {SEP} ,$
és a dir, hi ha exemples que no es poden implementar localment fins i tot amb rondes infinites de comunicació.
LOCC són les "operacions lliures" en les teories de recursos de l'entrellat: l'entrellat no es pot produir a partir d'estats separables amb LOCC i si les parts locals, a més de poder realitzar totes les operacions LOCC, també disposen d'alguns estats entrellaçats, poden adonar-se de més. operacions que només amb LOCC.

## Exemples

es operacions LOCC són útils per a la preparació d'estats, la discriminació d'estats i les transformacions d'entrellaçament.

### Preparació de l'estat

Alice i Bob reben un sistema quàntic en estat de producte $|00\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}$. La seva tasca és produir l'estat separable $\rho ={\frac {1}{2}}|00\rangle \langle 00|+{\frac {1}{2}}|11\rangle \langle 11|$. Només amb operacions locals això no es pot aconseguir, ja que no poden produir les correlacions (clàssiques) presents a $\rho$. Tanmateix, amb LOCC (amb una ronda de comunicació) $\rho$ es pot preparar: l'Alice llança una moneda imparcial (que mostra cap o cua cadascun amb un 50% de probabilitat) i gira el qubit (per $|1\rangle _{A}$ ) si la moneda mostra "cues", en cas contrari es deixa sense canvis. A continuació, envia el resultat de la moneda-flip (informació clàssica) a Bob que també gira el seu qubit si rep el missatge "cues". L'estat resultant és $\rho$. En general, tots els estats separables (i només aquests) es poden preparar a partir dels estats d'un producte només amb operacions LOCC.

## Referències

* ↑ «[https://arxiv.org/pdf/1210.4583 Everything You Always Wanted to Know About LOCC (But Were Afraid to Ask)]» (en anglès). [Consulta: 1r maig 2024].
* ↑ Chitambar, E.; Leung, D.; Mancinska, L.; Ozols, M.; Winter, A. Commun. Math. Phys., 328, 1, 2012, pàg. 303. arXiv: 1210.4583. Bibcode: 2014CMaPh.328..303C. DOI: 10.1007/s00220-014-1953-9.
* ↑ Chitambar, E.; Leung, D.; Mancinska, L.; Ozols, M.; Winter, A. Commun. Math. Phys., 328, 1, 2012, pàg. 303. arXiv: 1210.4583. Bibcode: 2014CMaPh.328..303C. DOI: 10.1007/s00220-014-1953-9.
* ↑ Chitambar, E.; Leung, D.; Mancinska, L.; Ozols, M.; Winter, A. Commun. Math. Phys., 328, 1, 2012, pàg. 303. arXiv: 1210.4583. Bibcode: 2014CMaPh.328..303C. DOI: 10.1007/s00220-014-1953-9.
* ↑ «[https://harvest.aps.org/v2/journals/articles/10.1103/PhysRevA.108.032215/fulltext Experimental discrimination of two-qubit orthogonal states via local operations and classical communication]» (en anglès). [Consulta: 1r maig 2024].
* ↑ Chitambar, E.; Leung, D.; Mancinska, L.; Ozols, M.; Winter, A. Commun. Math. Phys., 328, 1, 2012, pàg. 303. arXiv: 1210.4583. Bibcode: 2014CMaPh.328..303C. DOI: 10.1007/s00220-014-1953-9.