# Teorema de Línnik

El teorema de Línnik en teoria analítica dels nombres respon a una qüestió que sorgeix de manera natural a partir del teorema de Dirichlet. Afirma que, si es nota p(a,d) el nombre primer més petit de la progressió aritmètica
    $a+nd\,$,
per a un nombre enter n> 0, on a i d són qualsevulla enters positius primers entre ells tals que 1 ≤ a ≤ d, existeixen nombres c i L positius tals que:
    $p(a,d)<cd^{L}\,$.
El teorema s'anomena així en honor de Iuri Vladímirovitx Línnik (1915-1972) qui el va demostrar el 1944. Tot i que la demostració de Línnik demostra que c i L són efectivament calculables, no va donar cap valor numèric per a aquestes constants.
La constant L s'anomena la constant de Línnik la següent taula presenta els progressos que s'han ant fent per determinar el seu valor.
| L ≤ | Any de publicació | Autor |
| 10000 | 1957 | Pan |
| 5448 | 1958 | Pan |
| 777 | 1965 | Chen |
| 630 | 1971 | Jutila |
| 550 | 1970 | Jutila |
| 168 | 1977 | Chen |
| 80 | 1977 | Jutila |
| 36 | 1977 | Graham |
| 20 | 1981 | Graham (presentat per a publicació abans de l'article de Chen del 1979) |
| 17 | 1979 | Chen |
| 16 | 1986 | Wang |
| 13.5 | 1989 | Chen and Liu |
| 5.5 | 1992 | Heath-Brown |
A més, segons els resultats de Heath-Brown la constant c és efectivament calculable.
Se sap que L ≤ 2 quasi per a tots els enters d.
Amb la hipòtesi generalitzada de Riemann es pot demostrar que
    $p(a,d)\leq \varphi (d)^{2}\ln ^{2}d\;,$
on $\varphi$ és la funció Fi d'Euler.
També s'ha conjecturat que:
    $p(a,d)<d^{2}\;.$

## Referències

* ↑ Línnik, I. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139-178
* ↑ Línnik, I. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347-368
* ↑ Pan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) pp. 311-313
* ↑ Chen, Jingrun On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) pp. 1868-1871
* ↑ Jutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp.
* ↑ Chen, Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, pp. 529-562
* ↑ Jutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, pp. 45-62
* ↑ Applications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977
* ↑ Graham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, pp. 163-179
* ↑ Chen, Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, pp. 859-889
* ↑ Chen, Jingrun and Liu, Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, pp. 654-673
* ↑ Chen, Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, pp. 792-807
* 1 2 3 Heath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), pp. 265-338
* ↑ E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), pp. 215–224.