# Distribució de Rice

En teoria de la probabilitat, la distribució de Rice és la distribució de probabilitat de la magnitud d'una variable aleatòria normal bivariada i circular de mitjana potencialment diferent de zero. Du el nom de l'enginyer estatunidenc Stephen O. Rice.

## Caracterització

La funció densitat de probabilitat de la distribució de Rice és:
    $f(x\mid \nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),$
on I$_0$(z) és la funció de Bessel modificada de primer tipus d'ordre zero.
En el context de l'esvaïment de Rice, la distribució es reescriu sovint per mitjà del paràmetre de forma $K={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}$, definit com el quocient entre les contribucions en potència del camí amb línia de visió directa respecte la potència per efecte multicamí, i del paràmetre d'escala $\Omega =\nu ^{2}+2\sigma ^{2}$, definit com la potència total rebuda de tots els camins.
La funció característica de la distribució de Rice ve donada per:
    ${\begin{aligned}&\chi _{X}(t\mid \nu ,\sigma )\\&\quad =\exp \left(-{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\left[\Psi _{2}\left(1;1,{\frac {1}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right.\\[8pt]&\left.\qquad +i{\sqrt {2}}\sigma t\Psi _{2}\left({\frac {3}{2}};1,{\frac {3}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right],\end{aligned}}$
on $\Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)$ és una de les funcions hipergeomètriques convergents de Horn amb dues variables i convergent per tot valor finit de $x$ i $y$. Ve donat per:
    $\Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}},$
on
    $(x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}$
és el factorial creixent.

## Distribucions relacionades

* $R\sim \mathrm {Rice} \left(|\nu |,\sigma \right)$ té una distribució de Rice si $R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ on $X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)$ i $Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)$ són variables aleatòries normals estadísticament independents i $\theta$ és un nombre real qualsevol.
* Un altre cas en què $R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)$ prové dels següents passos
    1 Generi's $P$ amb una distribució de Poisson amb paràmetre (també igual a la mitjana, en ser de Poisson)$\lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.$
    2. Generi's $X$ amb distribució khi quadrat amb 2P + 2 graus de llibertat.
    3. Estableixi's que $R=\sigma {\sqrt {X}}.$
* Si $R\sim {\text{Rice}}\left(\nu ,1\right)$ llavors $R^{2}$ té una distribució khi quadrat no centrada amb dos graus de llibertat amb paràmtre de no centralitat $\nu ^{2}$.
* Si $R\sim {\text{Rice}}\left(\nu ,1\right)$ llavors $R$ té una distribució khi no centrada amb dos graus de llibertat i paràmtre de no centralitat $\nu$.
* Si $R\sim {\text{Rice}}\left(0,\sigma \right)$ llavors $R\sim {\text{Rayleigh}}\left(\sigma \right)$, per exemple, per un cas particular de la distribució de Rice donat per la condició ν = 0, la distribució esdevé una distribució de Rayleigh, per la qual la variància és $\mu _{2}={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$.
* Si $R\sim {\text{Rice}}\left(0,\sigma \right)$ llavors $R^{2}$ té una distribució exponencial.

## Casos limitants

Per valors grans de l'argument, el polinomi de Laguerre esdevé
    $\lim _{x\rightarrow -\infty }L_{\nu }(x)={\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.$
Es demostra que a mesura que ν creix o σ es fa petit la mitjana tendeix a ν i la variància a σ².

## Aplicacions

* La norma euclidiana d'un vector aleatori de la distribució normal bivariable.
* Esvaïment de Rice
* Efecte de l'error de visió en el disparament d'un blanc.

## Referències

* ↑ Abdi, A. and Tepedelenlioglu, C. and Kaveh, M. and Giannakis, G., "On the estimation of the K parameter for the Rice fading distribution", IEEE Communications Letters, March 2001, p. 92 -94
* ↑ Liu 2007 (in one of Horn's confluent hypergeometric functions with two variables).
* ↑ Annamalai 2000 (in a sum of infinite series).
* ↑ Erdelyi 1953.
* ↑ Srivastava 1985.
* ↑ Richards, M.A., Rice Distribution for RCS, Georgia Institute of Technology (Sep 2006)
* ↑ Abramowitz i Stegun (1968) §13.5.1
* ↑ «Ballistipedia». [Consulta: 4 maig 2014].

## Bibliografia

* Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (ed.), Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1964; reprinted Dover Publications, 1965. ISBN 0-486-61272-4
* Rice, S. O., Mathematical Analysis of Random Noise. Bell System Technical Journal 24 (1945) 46–156.
* «A smoothness index-guided approach to wavelet parameter selection in signal de-noising and fault detection». Journal of Sound and Vibration, 308, 1–2, 20-11-2007, pàg. 253–254. DOI: 10.1016/j.jsv.2007.07.038.
* Dong Wang, Qiang Zhou, Kwok-Leung Tsui. On the distribution of the modulus of Gabor wavelet coefficients and the upper bound of the dimensionless smoothness index in the case of additive Gaussian noises: Revisited. Journal of Sound and Vibration. 2017 May 12;395:393-400.
* Liu, X. and Hanzo, L., A Unified Exact BER Performance Analysis of Asynchronous DS-CDMA Systems Using BPSK Modulation over Fading Channels, IEEE Transactions on Wireless Communications, Volume 6, Issue 10, October 2007, Pages 3504–3509.
* Annamalai, A., Tellambura, C. and Bhargava, V. K., Equal-Gain Diversity Receiver Performance in Wireless Channels, IEEE Transactions on Communications,Volume 48, October 2000, Pages 1732–1745.
* Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. and Tricomi, F. G., Higher Transcendental Functions, Volume 1. Arxivat 2011-08-11 a Wayback Machine. McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
* Srivastava, H. M. and Karlsson, P. W., Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Ellis Horwood Ltd., 1985.
* Sijbers J., den Dekker A. J., Scheunders P. and Van Dyck D., "Maximum Likelihood estimation of Rician distribution parameters" Arxivat 2011-10-19 a Wayback Machine., IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 17, Nr. 3, p. 357–361, (1998)
* «Data distributions in magnetic resonance images: a review». Physica Medica, 30, 7, 01-12-2014, pàg. 725–741. DOI: 10.1016/j.ejmp.2014.05.002.
* Koay, C.G. and Basser, P. J., Analytically exact correction scheme for signal extraction from noisy magnitude MR signals, Journal of Magnetic Resonance, Volume 179, Issue = 2, p. 317–322, (2006)
* Abdi, A., Tepedelenlioglu, C., Kaveh, M., and Giannakis, G. On the estimation of the K parameter for the Rice fading distribution, IEEE Communications Letters, Volume 5, Number 3, March 2001, Pages 92–94.
* «Estimation of the parameters of the Rice distribution». Journal of the Acoustical Society of America, 89, 3, 01-03-1991, pàg. 1193–1197. DOI: 10.1121/1.400532.
* «Optimal Measurement of Magnitude and Phase from MR Data». Journal of Magnetic Resonance, Series B, 113, 2, 01-11-1996, pàg. 136–144. DOI: 10.1006/jmrb.1996.0166.

## Enllaços externs

* Codi en MATLAB de la distribució de Rice Arxivat 2007-09-29 a Wayback Machine. (PDF, mitjana i variància, i generació de mostres aleatòries)