# Derivada de la funció inversa

En matemàtiques, la inversa d'una funció $y=f(x)$ és una funció que, d'alguna manera, "desfà" l'efecte de $f$ (vegeu funció inversa per a una definició formal detallada). La inversa de $f$ s'escriu $f^{-1}$. Les afirmacions y=f(x) i x=f$^{-1}$(y) són equivalents.
Les seves dues derivades, suposant que existeixin, són cada una inversa, de l'altre tal com suggereix la notació de Leibniz; és a dir:
    ${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.$
Això és una conseqüència directa de la regla de la cadena, com que
    ${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}$
I la derivada de $x$ respecte de $x$ és 1.
Escrivint explícitament la dependència de y respecte de x i del punt al qual es calcula la derivada i emprant la notació de Lagrange. La fórmula de la derivada de la funció inversa esdevé
    $[f^{-1}]'(a)={\frac {1}{f'\left[f^{-1}(a)\right]}}.$
Geomètricament, les gràfiques d'una funció i de la seva funció derivada són reflexions, a la línia y=x. Aquesta operació de reflexió transforma el gradient de qualsevol línia en el seu recíproc.
Suposant que f té inversa en un etorn d'un punt x i que la seva derivada en aquest punt és diferent de zero, es pot assegurar que la seva inversa és derivable al punt y=f(x) i que té una derivada donada per la fórmula anterior.

## Demostració

Tenim una funció $\,f(x)$ i la seva funció inversa $\,f^{-1}(x)$. Per tant, es compleix que
   $\,f[f^{-1}(x)]=x$
Derivant a ambdós membres, i tenint en compte la regla de la cadena, obtenim
   $f'[f^{-1}(x)]\cdot \left[f^{-1}\right]'(x)=1$
D'on finalment arribem a l'equació que volíem obtenir
   $[f^{-1}]'(x)={\frac {1}{f'[f^{-1}(x)]}}={\frac {1}{f'(x)\circ f^{-1}(x)}}$

## Exemple

* $y=x^{2}$ (per a valors positius de $x$) té com a inversa $x={\sqrt {y}}$.
    ${\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}$
    ${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {2x}{2x}}=1.$
Al punt x=0, hi ha un problema: la gràfica de la funció arrel quadrada esdevé vertical, corresponent-li una tangent horitzontal a la funció $x^{2}$.

## Propietats Addicionals

* Integrant aquesta relació s'obté
       ${f^{-1}}(y)=\int {\frac {1}{f'(x)}}\,\cdot \,{dx}+c.$
    Això només es útil si la integral existeix. En particular cal que $f'(x)$ sigui diferent de zero al llarg del rang d'integració.
    D'aquí es després que les funcions que tinguin derivada contínua tenen inversa a l'entorn de qualsevol punt on la derivada sigui diferent de zero. Això pot no ser veritat si la derivada no és contínua.

## Aplicacions

Aquesta expressió té aplicació en determinar la derivada de funcions de les que es coneix la derivada de la seva inversa.

### Derivada de la funció logaritme natural

Com que la funció logaritme natural és la inversa de la funció exponencial es té
    $\ln '(x)={\frac {1}{e^{\ln(x)}}}$
    $\ln '(x)={\frac {1}{x}}$

### Derivada de les inverses de les funcions trigonomètriques
#### Derivada del arcsinus

    $\arcsin '(x)={\frac {1}{\sin '(\arcsin(x))}}$
    $\arcsin '(x)={\frac {1}{\cos(\arcsin(x))}}$
Com que $\cos(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}$, substituint queda
    $\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin(x))}}}$
    $\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

#### Derivada del arccosinus

    $\arccos {\prime }(x)={\frac {1}{\cos '(\arccos(x))}}$
    $\arccos {\prime }(x)={\frac {1}{-\sin(\arccos(x))}}$
Tenint en compte que $\sin(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}$
    $\arccos {\prime }(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-\cos ^{2}(\arccos(x))}}}$
    $\arccos {\prime }(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

#### Derivada del arctangent

    $\arctan '(x)={\frac {1}{\tan '(\arctan(x))}}$
Com que $\tan '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$ resulta
    $\,\arctan '(x)=\cos ^{2}(\arctan(x))$
Però com que $\cos ^{2}(x)={\frac {1}{\tan ^{2}(x)+1}}$ substituint
    $\arctan '(x)={\frac {1}{\tan ^{2}(\arctan(x))+1}}$
    $\arctan '(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$

## Vegeu també

* Teorema de la funció inversa
* Teorema de la funció implícita