# Teorema de Bernstein-von Mises

En la inferència bayesiana, el teorema de Bernstein–von Mises proporciona la base per utilitzar conjunts bayesians creïbles per a declaracions de confiança en models paramètrics. Afirma que sota algunes condicions, una distribució posterior convergeix en el límit de dades infinites a una distribució normal multivariant centrada en l'estimador de màxima versemblança amb matriu de covariància donada per $n^{-1}I(\theta _{0})^{-1}$, on $\theta _{0}$ és el veritable paràmetre de població i $I(\theta _{0})$ és la matriu d'informació de Fisher al valor del paràmetre de població real:
$P(\theta |x_{1},\dots x_{n})={\mathcal {N}}(\theta _{0},n^{-1}I(\theta _{0})^{-1}){\text{ per }}n\to \infty .$
El teorema de Bernstein–von Mises enllaça la inferència bayesiana amb la inferència freqüentista. Assumeix que hi ha un veritable procés probabilístic que genera les observacions, com en el freqüentisme, i després estudia la qualitat dels mètodes bayesians per recuperar aquest procés i fer declaracions d'incertesa sobre aquest procés. En particular, afirma que els conjunts Bayesians creïbles d'un cert nivell de credibilitat $\alpha$ seran asimptòticament conjunts de confiança de nivell de confiança $\alpha$, que permet la interpretació de conjunts creïbles bayesians.

## Declaració heurística

En una maqueta $(P_{\theta }:\theta \in \Theta )$, sota determinades condicions de regularitat (dimensional finita, ben especificada, suau, existència de proves), si la distribució prèvia $\Pi$ activat $\theta$ té una densitat respecte a la mesura de Lebesgue que és prou suau (prop $\theta _{0}$ limitada lluny de zero), la distància de variació total entre la distribució posterior reescalada (centrant i reescalant a ${\sqrt {n}}(\theta -\theta _{0})$) i una distribució gaussiana centrada en qualsevol estimador eficient i amb la informació de Fisher inversa com a variància convergirà en probabilitat a zero.

## Bernstein–von Mises i estimació de màxima versemblança

En cas que l'estimador de màxima probabilitat sigui un estimador eficient, podem connectar-ho i recuperar una versió comuna, més específica, del teorema de Bernstein–von Mises.

## Implicacions

La implicació més important del teorema de Bernstein-von Mises és que la inferència bayesiana és asimptòticament correcta des d'un punt de vista freqüentista. Això vol dir que per a grans quantitats de dades, es pot utilitzar la distribució posterior per fer, des d'un punt de vista freqüentista, afirmacions vàlides sobre l'estimació i la incertesa.

## Història

El teorema rep el nom de Richard von Mises i SN Bernstein, encara que la primera demostració pròpia la va donar Joseph L. Doob el 1949 per a variables aleatòries amb espai de probabilitat finit. Més tard Lucien Le Cam, la seva estudiant de doctorat Lorraine Schwartz, David A. Freedman i Persi Diaconis van ampliar la prova sota supòsits més generals.

## Referències

* ↑ van der Vaart, A.W.. «10.2 Bernstein–von Mises Theorem». A: Asymptotic Statistics (en anglès). Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-78450-6.
* ↑ «[https://www.statslab.cam.ac.uk/~nickl/Site/__files/JEMS975.pdf Bernstein–von Mises theorems for statistical inverse problems I: Schr¨odinger equation]» (en anglès). [Consulta: 3 agost 2024].
* ↑ «STATISTICAL THEORY» (en anglès). [Consulta: 3 agost 2024].
* ↑ «[http://www.stat.yale.edu/~hz68/MatrixBvMarxiv.pdf Bernstein-von Mises Theorems for Functionals of Covariance Matrix]» (en anglès). [Consulta: 3 agost 2024].
* ↑ Doob, Joseph L. Colloq. Intern. Du C.N.R.S (Paris), 13, 1949, pàg. 23–27.