# Funcions de pèrdua per a la classificació

En l'aprenentatge automàtic i l'optimització matemàtica, les funcions de pèrdua per a la classificació són funcions de pèrdua computacionalment factibles que representen el preu pagat per la imprecisió de les prediccions en problemes de classificació (problemes per identificar a quina categoria pertany una observació particular). Donat ${\mathcal {X}}$ com l'espai de totes les entrades possibles (normalment ${\mathcal {X}}\subset \mathbb {R} ^{d}$), i ${\mathcal {Y}}=\{-1,1\}$ com el conjunt d'etiquetes (sortides possibles), un objectiu típic dels algorismes de classificació és trobar una funció $f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ que prediu millor una etiqueta $y$ per a una entrada determinada ${\vec {x}}$. Tanmateix, a causa de la informació incompleta, el soroll en la mesura o els components probabilístics en el procés subjacent, és possible que el mateix ${\vec {x}}$ per generar diferents $y$. Com a resultat, l'objectiu del problema d'aprenentatge és minimitzar la pèrdua esperada (també coneguda com a risc), definida com:
$I[f]=\displaystyle \int _{{\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}V(f({\vec {x}}),y)p({\vec {x}},y)\,d{\vec {x}}\,dy$
on $V(f({\vec {x}}),y)$ és una funció de pèrdua donada, i $p({\vec {x}},y)$ és la funció de densitat de probabilitat del procés que ha generat les dades, que de manera equivalent es pot escriure com:
$p({\vec {x}},y)=p(y\mid {\vec {x}})p({\vec {x}}).$
Dins de la classificació, diverses funcions de pèrdua d'ús habitual s'escriuen únicament en termes del producte de l'etiqueta veritable $y$ i l'etiqueta prevista $f({\vec {x}})$. Per tant, es poden definir com a funcions d'una sola variable $\upsilon =yf({\vec {x}})$, i que $V(f({\vec {x}}),y)=\phi (yf({\vec {x}}))=\phi (\upsilon )$ amb una funció adequadament escollida $\phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Aquestes s'anomenen funcions de pèrdua basades en marges. Escollir una funció de pèrdua basada en el marge equival a triar $\phi$. La selecció d'una funció de pèrdua en aquest marc afecta l'òptima $f_{\phi }^{*}$ que minimitza el risc esperat.
Exemples:
| Nom de la pèrdua | $\phi (v)$ | $C(\eta )$ | $f^{-1}(v)$ |
| Exponencial | $e^{-v}$ | $2{\sqrt {\eta (1-\eta )}}$ | ${\frac {e^{2v}}{1+e^{2v}}}$ |
| Logística | ${\frac {1}{\log(2)}}\log(1+e^{-v})$ | ${\frac {1}{\log(2)}}[-\eta \log(\eta )-(1-\eta )\log(1-\eta )]$ | ${\frac {e^{v}}{1+e^{v}}}$ |
| Quadrat | $(1-v)^{2}$ | $4\eta (1-\eta )$ | ${\frac {1}{2}}(v+1)$ |
| Salvatge | ${\frac {1}{(1+e^{v})^{2}}}$ | $\eta (1-\eta )$ | ${\frac {e^{v}}{1+e^{v}}}$ |
| Tangent | $(2\arctan(v)-1)^{2}$ | $4\eta (1-\eta )$ | $\arctan(v)+{\frac {1}{2}}$ |

## Referències

* ↑ Rosasco, L.; De Vito, E. D.; Caponnetto, A.; Piana, M.; Verri, A. Neural Computation, 16, 5, 2004, pàg. 1063–1076. DOI: 10.1162/089976604773135104. PMID: 15070510.
* ↑ Shen, Yi (2005), Loss Functions For Binary Classification and Class Probability Estimation, <http://stat.wharton.upenn.edu/~buja/PAPERS/yi-shen-dissertation.pdf>. Consulta: 6 December 2014
* ↑ Rosasco, Lorenzo & Poggio, Tomaso (2014), A Regularization Tour of Machine Learning, vol. Manuscript
* ↑ Brownlee, Jason. «How to Choose Loss Functions When Training Deep Learning Neural Networks» (en anglès). https://machinelearningmastery.com,+29-01-2019.+[Consulta: 3 novembre 2022].