# Símbol q-Pochhammer

En matemàtiques, en l'àrea de combinatòria, un símbol q-Pochhammer, és un q-anàleg del símbol de Pochhammer. Es defineix com
    $(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})$
amb
    $(a;q)_{0}=1$
per definició. El símbol $q$-Pochhammer és un important bloc de construcció en la construcció de $q$-anàlegs; per exemple, en la teoria de les sèries hipergeomètriques bàsiques, juga el paper que juga el símbol ordinari de Pochhammer en la teoria de les sèries hipergeomètriques generalitzades.
A diferència del símbol ordinari de Pochhammer, el símbol $q$-Pochhammer es pot estendre a un producte infinit:
    $(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).$
Aquesta és una funció analítica de $q$ a l'interior del disc unitat, i també es pot considerar com una sèrie de potències formals en $q$. El cas especial
    $\phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$
es coneix com la funció d'Euler, i és important en combinatòria, teoria de nombres i la teoria de formes modulars.

## Identitats

El producte finit es pot expressar en termes del producte infinit:
    $(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},$
que amplia la definició als $n$ enters negatius. Per tant, per a un $n$ no-negatiu, s'obté
    $(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}$
i
    $(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.$
El símbol $q$-Pochhammer és objecte d'un nombre d'una sèrie d'identitats de la $q$-sèrie, en particular les expansions de la sèrie infinita
    $(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}$
i
    ${\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}$,
que són els dos casos especials del teorema del q-binomi:
    ${\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.$
Fridrikh Karpelevich va trobar la següent identitat (vegeu Olshanetsky i Rogov (1995) per a la demostració):
    ${\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.$

## Interpretació combinatòria

El símbol $q$-Pochhammer està molt relacionat amb la combinatòria enumerativa de les particions. El coeficient de $q^{m}a^{n}$ en
    $(a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}$
és la quantitat de particions de $m$ en la majoria de $n$ parts.
Atès que, per conjugació de particions, això és el mateix que el nombre de particions de $m$ en parts de mida $n$ com a màxim, mitjançant la identificació de sèries generadores obtenim la identitat:
    $(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}$
com a la secció anterior.
També tenim que el coeficient de $q^{m}a^{n}$en
    $(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})$
és el nombre de particions de $m$ en $n$ o $n-1$parts diferents.
En treure una partició triangular amb $n-1$parts d'aquesta partició, ens queda una partició arbitrària amb, com a molt, $n$ parts. Això proporciona una bijecció equilibrada entre el conjunt de particions en $n$ o $n-1$parts diferents i el conjunt de parells que consisteixen en una partició triangular que té $n-1$parts i una partició amb, com a màxim, $n$ parts. Identificant les sèries generadores, això condueix a la identitat:
    $(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}$
també descrit a la secció anterior.
El recíproc de la funció $(q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }$ de manera similar es presenta com la funció generadora de la funció de partició, $p(n)$, que també s'amplia per les segones dues expansions de la $q$-sèrie que es detallen a continuació:
    ${\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.$
El teorema del q-binomi també pot ser manejat per un argument combinatori lleugerament més involucrat d'un sabor similar (veure les expansions que es donen en la següent subsecció).

## Convenció d'arguments múltiples

Atès que les identitats que impliquen símbols $q$-Pochhammer impliquen amb freqüència productes de molts símbols, la convenció estàndard és escriure un producte com un únic símbol de múltiples arguments:
    $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$

## q-sèries

Una $q$-sèrie és una sèrie en la qual els coeficients són funcions de $q$, típicament expressions de $(a;q)_{n}$. Els primers resultats es deuen a Euler, Gauss i Cauchy. L'estudi sistemàtic comença amb Eduard Heine (1843).

## Relació amb altres q-funcions

El $q$-anàleg de $n$, també conegut com $q$-claudator o $q$-nombre de $n$, es defineix com a
    $[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$
A partir d'aquest es pot definir el $q$-anàleg del factorial, el $q$-factorial, com
    ${\bign]!_{q}$ $=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}$ $=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q}$ $={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$ $=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})$ $={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.$
Aquests nombres són anàlegs en el sentit que
    $\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,$
i també
    $\lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.$
El valor límit n! computa les permutacions de $n$-elements del conjunt $S$. Igualment, compte el nombre de seqüències del conjunt $E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S$ de tal manera que $E_{i}$ conté exactament $i$elements. En comparació, quan $q$ és una potència primer i $V$ és un espai vectorial $n$-dimensional sobre el camp amb $q$elements, el $q$-anàleg $[n]!_{q}$ és el nombre dels ítems complets en $V$, és a dir, és el nombre de seqüències $V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V$ de subespais tal que $V_{i}$ té dimensió $i$. Les consideracions precedents suggereixen que es pot considerar una seqüència de conjunts nidificats com un ítem sobre un camp conjectural amb un element (F$_1$).
Un producte de $q$-nombres enters negatius pot ser expressat en termes de $q$-factorial com
    $\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}$
A partir dels $q$-factorials, es pot passar a definir els coeficients $q$-binomials, també coneguts com els coeficients binomials de Gauss, com
    ${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},$
on és fàcil veure que el triangle d'aquests coeficients és simètric en el sentit que ${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}$ per a tot $0\leq m\leq n$.
Es pot comprovar això
    ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}$
També es pot veure des de les relacions de recurrència anteriors que les properes variants del teorema $q$-binomial s'amplien en termes d'aquests coeficients de la següent manera:
    ${\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}$
Es pot definir encara més els coeficients $q$-multinomials
    ${\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},$
on els arguments $k_{1},\ldots ,k_{m}$ són enters no negatius que satisfan $\sum _{i=1}^{m}k_{i}=n$. El coeficient anterior compta amb el nombre d'ítems $V_{1}\subset \dots \subset V_{m}$ de subespais en un espai vectorial $n$-dimensional sobre el camp amb $q$ elements tals que $\dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}$.
El límit $q\to 1$ dona l'habitual coeficient multinomial ${n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}$, que compta amb paraules en $n$ diferents símbols $\{s_{1},\dots ,s_{m}\}$ tal que cada $s_{i}$apareix $k_{i}$vegades.
També s'obté un $q$-anàleg de la funció gamma, anomenada funció q-gamma, i definida com a
    $\Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}$
Aquesta convergeix a la funció gamma habitual quan $q$ s'apropa a 1 des de l'interior del disc unitari. S'ha de tenir en compte que
    $\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$
per a qualsevol $x$ i
    $\Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}.$
per valors enters no-negatius de $n$. Alternativament, això es pot considerar com una extensió de la funció $q$-factorial al sistema de nombres reals.

## Referències

* ↑ «What is a q-series?».
* ↑ Bruce C. Berndt, What is a q-series?, in Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009, N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds., Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2010, pp. 31-51
* ↑ E. Heine, Untersuchungen über die Reihe, J. Reine Angew. Math. 34 (1847), 285-328
* 1 2 Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics. 1. 2. Cambridge University Press, 2011. , Section 1.10.2.
* ↑ Olver et. al.. NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, p. 421.

## Bibliografia

* George Gasper, Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
* Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
* Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
* M.A. Olshanetsky, V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.

## Vegeu també

* Funció gamma el·líptica
* Funció q-theta
* Identitats de Rogers-Ramanujan
* q-derivada

## Enllaços externs

* Weisstein, Eric W., «q-Analog» a MathWorld (en anglès).
* Weisstein, Eric W., «q-Bracket» a MathWorld (en anglès).
* Weisstein, Eric W., «q-Factorial» a MathWorld (en anglès).
* Weisstein, Eric W., «q-Series» a MathWorld (en anglès).
* Weisstein, Eric W., «q-Binomial Coefficient» a MathWorld (en anglès).