# Identitats de càlcul vectorial

Les següents són identitats importants que impliquen derivades i integrals en el càlcul vectorial.

## Notació de l'operador
### Gradient

Per a una funció $f(x,y,z)$ en variables de coordenades cartesianes tridimensionals, el gradient és el camp vectorial:
$\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k}$
on i, j, k són els vectors unitaris estàndard per als eixos x, y, z. De manera més general, per a una funció de n variables $\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})$, també anomenat camp escalar, el gradient és el camp vectorial: $\nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}$ on $\mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)$ són vectors unitaris mútuament ortogonals.
Com el seu nom indica, el gradient és proporcional i apunta en la direcció del canvi més ràpid (positiu) de la funció.
Per a un camp vectorial $\mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)$, també anomenat camp tensor d'ordre 1, el gradient o derivada total és la matriu jacobiana n × n : $\mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.$Per a un camp tensor $\mathbf {T}$ de qualsevol ordre k, el gradient $\operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}$ és un camp tensor d'ordre k + 1.
Per a un camp tensor $\mathbf {T}$ d'ordre k > 0, el camp tensor $\nabla \mathbf {T}$ d'ordre k + 1 es defineix per la relació recursiva $(\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$ on $\mathbf {C}$ és un vector constant arbitrari.

### Divergència

En coordenades cartesianes, la divergència d'un camp vectorial contínuament diferenciable $\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ és la funció amb valors escalars: $\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$Com el seu nom indica, la divergència és una mesura (local) del grau en què els vectors del camp divergeixen.
La divergència d'un camp tensor $\mathbf {T}$ d'ordre diferent de zero k s'escriu com $\operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T}$, una contracció d'un camp tensor d'ordre k − 1. Concretament, la divergència d'un vector és un escalar. La divergència d'un camp tensor d'ordre superior es pot trobar descomponent el camp tensor en una suma de productes externs i utilitzant la identitat, $\nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T}$ on $\mathbf {A} \cdot \nabla$ és la derivada direccional en la direcció de $\mathbf {A}$ multiplicat per la seva magnitud. Concretament, per al producte exterior de dos vectors, $\nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .$
Per a un camp tensor $\mathbf {T}$ d'ordre k > 1, el camp tensor $\nabla \cdot \mathbf {T}$ d'ordre k − 1 es defineix per la relació recursiva $(\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$ on $\mathbf {C}$ és un vector constant arbitrari.

### Rotacional

En coordenades cartesianes, per $\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ el curl és el camp vectorial:
${\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}$
on i, j i k són els vectors unitaris dels eixos x -, y - i z -, respectivament.
Com el seu nom indica, el rínxol és una mesura de quant tendeixen els vectors propers en una direcció circular.
En notació d'Einstein, el camp vectorial $\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}$ té un rínxol donat per: $\nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}$ on $\varepsilon$ = ±1 o 0 és el símbol de paritat Levi-Civita.
Per a un camp tensor $\mathbf {T}$ d'ordre k > 1, el camp tensor $\nabla \times \mathbf {T}$ d'ordre k es defineix per la relació recursiva $(\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$ on $\mathbf {C}$ és un vector constant arbitrari.
Un camp tensor d'ordre superior a un es pot descompondre en una suma de productes externs i, a continuació, es pot utilitzar la identitat següent: $\nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).$ Concretament, per al producte exterior de dos vectors, $\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).$

### Laplacià

En coordenades cartesianes, el laplacià d'una funció $f(x,y,z)$ és $\Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.$El laplacià és una mesura de quant canvia una funció en una petita esfera centrada en el punt.
Quan el laplacià és igual a 0, la funció s'anomena funció harmònica. És a dir, $\Delta f=0.$
Per a un camp tensor, $\mathbf {T}$, el laplacià s'escriu generalment com: $\Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T}$ i és un camp tensor del mateix ordre.
Per a un camp tensor $\mathbf {T}$ d'ordre k > 0, el camp tensor $\nabla ^{2}\mathbf {T}$ d'ordre k es defineix per la relació recursiva $\left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )$ on $\mathbf {C}$ és un vector constant arbitrari.

## Identitats de primera derivada

Per a camps escalars $\psi$, $\phi$ i camps vectorials $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$, tenim les identitats derivades següents.

### Propietats distributives

${\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi )&=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}$

### Propietats associatives

${\begin{aligned}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\psi &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\psi &=\mathbf {A} \times (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} )\end{aligned}}$

### Regla de la cadena

Sigui $f(x)$ una funció d'una variable d'escalars a escalars, $\mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))$ una corba parametritzada, $\phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ una funció de vectors a escalars, i $\mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ un camp vectorial. Tenim els següents casos especials de la regla de la cadena multivariable.
${\begin{aligned}\nabla (f\circ \phi )&=\left(f'\circ \phi \right)\nabla \phi \\(\mathbf {r} \circ f)'&=(\mathbf {r} '\circ f)f'\\(\phi \circ \mathbf {r} )'&=(\nabla \phi \circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\(\mathbf {A} \circ \mathbf {r} )'&=\mathbf {r} '\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {r} )\\\nabla (\phi \circ \mathbf {A} )&=(\nabla \mathbf {A} )\cdot (\nabla \phi \circ \mathbf {A} )\\\nabla \cdot (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \cdot (\mathbf {r} '\circ \phi )\\\nabla \times (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \times (\mathbf {r} '\circ \phi )\end{aligned}}$

## Identitats de segona derivada
### Divergència del rotacional

La divergència del rotacional de qualsevol camp vectorial A contínuament doblement diferenciable és sempre zero:

### $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$La divergència del gradient és laplacià

El laplacià d'un camp escalar és la divergència del seu gradient: $\Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )$ El resultat és una magnitud escalar.

### La divergència de la divergència no està definida

La divergència d'un camp vectorial A és un escalar i la divergència d'una magnitud escalar no està definida. Per tant, $\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}$

### El rotacional del gradient és zero

El rotacional del gradient de qualsevol camp escalar contínuament dues vegades diferenciable $\varphi$ (és a dir, classe de diferenciabilitat $C^{2}$ ) és sempre el vector zero : $\nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .$

### El rotacional del rotacional

Aquí ∇ $^2$ és el vector laplacià que opera sobre el camp vectorial A.
$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A}$

## Referències

* ↑ «Vector Calculus» (en anglès). [Consulta: 30 agost 2024].
* ↑ «Vector Calculus Identities» (en anglès). [Consulta: 30 agost 2024].
* ↑ «4.1: Gradient, Divergence and Curl» (en anglès), 25-11-2021. [Consulta: 30 agost 2024].
* ↑ «16: Vector Calculus» (en anglès), 11-07-2016. [Consulta: 30 agost 2024].