OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Campionats del món de ciclocròs de 1996

Els Campionats del món de ciclocròs de 1996 foren la 47a edició dels mundials de la modalitat de ciclocròs i es disputaren el 3 i 4 de febrer de 1996 a Montreuil, Sena Saint-Denis, França. Amb la inclusió del campionat sub-23, foren tres les proves disputades.

## Resultats

| Prova | Or | Plata | Bronze |
| Cursa elit | Adrie van der Poel | Daniele Pontoni | Luca Bramati |
| Cursa sub-23 | Miguel Martinez | Patrick Blum | Zdeněk Mlynář |
| Cursa júnior | Roman Peter | Gaizka Lejarreta | Gregory Lapalud |

## Classificacions
### Classificació de la prova elit

| Pos. | Ciclista | País | Temps |
| | Adrie van der Poel | Països Baixos | 56:12 m |
| | Daniele Pontoni | Itàlia | + 0:00 |
| | Luca Bramati | Itàlia | + 0:00 |
| 4 | Henrik Djernis | Dinamarca | + 0:09 |
| 5 | Erwin Vervecken | Bèlgica | + 0:09 |
| 6 | Emmanuel Magnien | França | + 0:09 |
| 7 | Dieter Runkel | Suïssa | + 0:21 |
| 8 | Richard Groenendaal | Països Baixos | + 0:21 |
| 9 | Jérôme Chiotti | França | + 0:39 |
| 10 | Beat Wabel | Suïssa | + 0:59 |

### Classificació de la prova sub-23

| Pos. | Ciclista | País | Temps |
| | Miguel Martinez | França | 46 min 57 s |
| | Patrick Blum | Suïssa | + 0:00 |
| | Zdeněk Mlynář | Txèquia | + 0:04 |
| 4 | Maarten Nijland | Països Baixos | + 0:04 |
| 5 | Kamil Ausbucher | Txèquia | + 0:14 |
| 6 | David Süssemilch | Txèquia | + 0:14 |
| 7 | Dario David Cioni | Itàlia | + 0:14 |
| 8 | Beat Blum | Suïssa | + 0:14 |
| 9 | Christophe Morel | França | + 0:19 |
| 10 | Giullaume Benoist | França | + 0:25 |

### Classificació de la prova júnior

| Pos. | Ciclista | País | Temps |
| | Roman Peter | Suïssa | 40 min 55 s |
| | Gaizka Lejarreta | Espanya | + 0:59 |
| | Gregory Lapalud | França | + 0:59 |
| 4 | Peter Frei | Suïssa | + 0:59 |
| 5 | David Derepas | França | + 0:59 |
| 6 | John Gadret | França | + 0:59 |
| 7 | Christian Trafelet | Suïssa | + 0:59 |
| 8 | Bart Wellens | Bèlgica | + 1:23 |
| 9 | Matthias Kern | Suïssa | + 1:36 |
| 10 | David Tický | Txèquia | + 1:36 |

## Medaller

| Pos. | País | Or | Plata | Bronze | Total |
| 1 | Suïssa | 1 | 1 | 0 | 2 |
| 2 | França | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 3 | Països Baixos | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 4 | Itàlia | 0 | 1 | 1 | 2 |
| 5 | Espanya | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | Txèquia | 0 | 0 | 1 | 1 |

## Referències

* Web de l'UCI
* Resultats a les-sports.info
# Can Garriga (Tossa de Mar)

Can Garriga és un edifici del municipi de Tossa de Mar (Selva). És un edifici de planta rectangular, cobert a dues aigües a façana, que consta d'un sector central de dues plantes i de diverses construccions adossades. Està situat en un aterrassament a sobre la carretera de Llagostera. Forma part de l'Inventari del Patrimoni Arquitectònic de Catalunya.

## Descripció

La façana està arrebossada i pintada de color blanc, a excepció de la cadena cantonera i els emmarcaments de les obertures de pedra vista. A sota de la casa, prop de la ribera de Tossa, existeixen les restes d'un antic molí fariner del qual resten l'edifici, la bassa i part del canal. Per aquesta raó, la casa de dalt conserva en diversos llocs de l'exterior de la casa pedres de molí. De l'edifici cal destacar la porta emmarcada de pedra amb la seva llinda de tres blocs i la data gravada de 1751. El sostre està parcialment enfonsat.
Les obertures són rectangulars i emmarcades de pedra de Girona. Els ampits són treballats, però no totes les obertures són emmarcades de pedra, alguns ho són d'arrebossat que l'imita. L'accés principal a la casa es fa per una terrassa empedrada. La façana de la planta baixa té quatre finestres i una porta amb llinda monolítica. El primer pis té vuit finestres mesclant-se les noves del segle xix i XX amb les restaurades del segle XVII-XVIII. A la banda posterior, tocant al bosc, hi ha diverses finestres amb grans i gruixuts reixats de ferro. El ràfec de la façana consta de la combinació de tres fileres de rajola i teules.

## Història

És una casa originària del segle xvii reformada i ampliada durant el segle xix i restaurada durant els anys 70 del segle xx. El molí que hi ha a sota de la casa, passada la carretera, data del segle xviii (1751). El molí fou restaurat durant el segle xix i, actualment, està`en desús i gairebé és una ruïna. Actualment és un habitatge que inclou un centre recreatiu de paintball, és a dir, un espai on la gent juga i es dispara boletes de goma plenes de pintura.

## Referències

* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 «Can Garriga». Inventari del Patrimoni Arquitectònic de Catalunya. Direcció General del Patrimoni Cultural de la Generalitat de Catalunya. [Consulta: 8 octubre 2014].
# Can Garriga (l'Ametlla del Vallès)

Can Garriga és un edifici del municipi de l'Ametlla del Vallès (Vallès Oriental) protegit com a bé cultural d'interès local.

## Descripció

És un edifici de tipologia ciutat jardí amb una tanca d'obra amb balustres. Té una estructura allargada i simètrica, llevat de la torre mirador. La coberta és a quatre vessants, acabada en gran barbacana. Simula carreus de pedra a les cantonades. Els elements decoratius li donen un caràcter eclèctic amb elements clarament barrocs i d'altres de tipus popular.

## Història

El carrer Torregassa, juntament amb el carrer Macià, és l'eix de desenvolupament urbanístic i zona d'eixample a l'Ametlla de principis de segle. És el moment en què l'Ametlla passà de ser un petit poble agrícola a un centre d'estiueig molt important. El fenomen de l'estiueig donà lloc a un altre fenomen arquitectònic: l'habitatge de temporada, que té una importància remarcable a l'arquitectura catalana d'aquest segle. Modernisme, Noucentisme i Eclecticisme es perllonguen en aquest tipus d'arquitectura fins gairebé la guerra civil espanyola del 1936-1939.

## Referències

* 1 2 «Can Garriga». Inventari del Patrimoni Arquitectònic de Catalunya. Direcció General del Patrimoni Cultural de la Generalitat de Catalunya. [Consulta: 10 juliol 2015].
# Can Garrigosa

Can Garrigosa és una masia del terme municipal d'Abrera inclosa en l'Inventari del Patrimoni Arquitectònic de Catalunya.

## Descripció

Gran masia de tipus agrícola; té forma de "L" i està estructurada en planta baixa, pis i golfes. La façana principal està arrebossada, deixant a la vista tan sols les llindes i muntants d'algunes obertures. Destaca el gran nombre de finestres disposades sense massa ordre, algunes d'elles allindanades però també en trobem algunes d'arc conopial. Aquests arcs presenten permòdols amb cares humanes, motius vegetals o animals.
La façana principal, orientada a migdia, té la porta d'accés formada per un arc de mig punt adovellat, la línia d'impostes del qual està decorada amb rosetes. Al primer pis hi ha un rellotge de sol emmarcat amb ceràmica blava. El cos transversal té dues entrades: una amb arc de mig punt, sostingut per columnetes i amb escut a la clau, i l'altre, d'arc escarser, té una espiga de blat a la clau. Aquí les golfes s'han substituït per una galeria. Les cobertes són de teula àrab, la del cos transversal a dues aigües amb un ràfec sobresortint i la del central, a una sola vessant.

## Història

Segons el capbreu de Santjoan i Amat de Palou (1630), Benet Garrigosa, pagès de la parròquia de Sant Pere d'Abrera, confessava dos masos units i aglebats, un d'ells de nom Mas Salelles, el qual, segons les afrontacions descrites, es correspon amb l'emplaçament de Can Garrigosa.
En l'actualitat és propietat de l'INCASOL.

## Referències

* 1 2 3 «Can Garrigosa». Inventari del Patrimoni Arquitectònic de Catalunya. Direcció General del Patrimoni Cultural de la Generalitat de Catalunya. [Consulta: 21 agost 2014].
* ↑ «Can Garrigosa (Abrera)». Mapes de Patrimoni Cultural. Diputació de Barcelona.

## Enllaços externs

* «Can Garrigosa». Barcelona Film Commission.
# Can Garriga del Solell (Riells del Fai)

Can Garriga del Solell és una masia del poble de Riells del Fai, en el terme municipal de Bigues i Riells, al Vallès Oriental.
És una de les dues masies més llunyanes de Riells del Fai; juntament amb Can Xifreda, és a l'extrem sud-occidental del territori riellenc, a tocar dels Saulons d'en Déu. Està situada en el vessant sud-oriental del Turó de Can Garriga, també al sud-oest del Serrat de les Fargues, a l'esquerra del Xaragall de les Alzines.
La masia actual no és exactament la primitiva, ja que presenta detalls constructius que parlen d'una ensorrada parcial a l'angle sud-oest, als peus de la torre de la masia. D'altres detalls, com la finestra de la façana occidental, remeten al segle xvi. L'origen documentat, però, es remunta al segle xii.
Més a ponent de la masia hi ha la Granja de Can Garriga.
Està inclosa en el Catàleg de masies i cases rurals de Bigues i Riells.

## Referències

* ↑ Catàleg de masies i cases rurals
# Can Ram

Can Ram és un barri de Sant Pere de Vilamajor situat al veïnat de Boscassos i Vallserena juntament amb els barris de Vallserena i Can Vila. El barri és una urbanització de cases unifamiliars aïllades que ha estat recepcionada per l'Ajuntament com a nucli urbà.
El barri està comunicat amb:
* Sant Pere de Vilamajor pel camí de can Tona.
* Sant Antoni de Vilamajor pel camí de la Farinera.
* Sant Esteve de Palautordera pel camí de can Peu Alt.
* Sant Joan de Sanata (Llinars del Vallès) pel camí de can Diviu.

## Enllaços externs

* Local Social de Can Ram
# Can Ramicando

Can Ramicando és una casa de Santa Maria de Palautordera (Vallès Oriental) protegida com a Bé Cultural d'Interès Local.

## Descripció

Es tracta d'una casa entre mitgeres de carener paral·lel a la façana, planta baixa i dos pisos. Els murs, que són de paredat, estan arrebossats. El portal és d'arc rebaixat amb brancals de pedra i algunes dovelles però tot està pintat amb la mateixa pintura que la façana. Al costat del portal hi ha una petita finestra. Les finestres del dos pisos superiors tenen l'ampit motllurat i també són d'arc rebaixat. L'interior fou restaurat fa pocs anys.

## Referències

* ↑ «Can Ramicando». Inventari del Patrimoni Arquitectònic. Direcció General del Patrimoni Cultural de la Generalitat de Catalunya. [Consulta: 24 octubre 2017].
# Can Santes

Can Santes és una masia de Tona (Osona) inclosa a l'Inventari del Patrimoni Arquitectònic de Catalunya.

## Descripció

Edifici original d'un sol cos, cobert a doble vessant amb algunes dependències adossades a banda i banda. Té una paret gairebé tota de tàpia, que correspondria a la primitiva estructura, que més tard es modificaria, sobretot la façana, per donar-li una imatge com d'hostal: tres balcons al primer pis i una porta d'arc escarser a la planta, amb dues finestres a banda i banda.

## Història

No es tenen notícies històriques de Can Santes, però la seva estructura ens fa deduir que era una masia o masoveria, que al segle xix es convertiria en hostal per atendre la demanda dels estiuejants, que anaven als balnearis propers.
Cal notar la similitud amb altres edificis, com el balneari Ullastres, i sobretot la Bestreta o la Puda de Segalers.

## Referències

* 1 2 3 «Can Santes». Inventari del Patrimoni Arquitectònic. Direcció General del Patrimoni Cultural de la Generalitat de Catalunya. [Consulta: 11 octubre 2017].
# Can Santacana

Can Santacana és una obra del municipi de Sant Andreu de la Barca (Baix Llobregat) inclosa en l'Inventari del Patrimoni Arquitectònic de Catalunya.

## Descripció

Es tracta d'una casa amb dues façanes, una de principal enfront i una altra de secundària, fent angle. La principal té planta baixa, pis i golfes. Està conservada amb l'estructura original, les obertures de la planta baixa estan emmarcades amb dovelles de pedra, mentre que les del primer pis i les golfes tenen els emmarcaments pintats. Aquesta façana està encapçalada per un frontó. La façana secundària ha sofert algunes modificacions a la planta baixa i al primer pis però, en canvi, les finestres de les golfes segueixen el ritme anterior.

## Referències

* ↑ «Can Santacana». Inventari del Patrimoni Arquitectònic. Direcció General del Patrimoni Cultural de la Generalitat de Catalunya. [Consulta: 15 febrer 2016].
# Capella Paolina

La Capella Paolina és una capella del Palau Apostòlic a la Ciutat del Vaticà. Està separada de la Capella Sixtina per la Sala Regia. No forma part dels itineraris turístics habituals.
Els dos frescos de Michelangelo Buonarroti a la Capella Paolina, La conversió de sant Pau i el Martiri de sant Pere van ser pintats entre des del 1542 al 1549, amb una qualitat a l'altura de la seva fama, tot i que no van agradar als seus contemporanis sobretot per aspectes relacionats amb la seva composició. Es van menysprear en favor de les obres de la Capella Sixtina.
Va ser un dels espais utilitzats pel Conclave de 1549-50 i el Conclave de 1559, juntament amb el Palau Vaticà.

## Referències

* ↑ Leo Steinberg, Michelangelo’s Last Paintings: The Conversion of St Paul and the Crucifixion of St. Peter in the Cappella Paolina, Vatican Palace (Nova York: Oxford University Press, 1975), 17.
* ↑ Baumgartner, Frederic J. 2003. Behind Locked Doors: A History of the Papal Elections. Palgrave Macmillan. ISBN 0-312-29463-8. pàg 104, 110, 116 i 120
# Capella Marciana

El Cor Patriarcal de Sant Marc, més conegut pel nom de Capella Marciana, és el famós cor de la Basílica de Sant Marc a Venècia, i és considerat un dels dos cors litúrgics històricament més importants d'Itàlia amb la de la Capella Sixtina de Roma.
Entre els mestres de la capella ducal dels segles XVI i XVII hi havia molts dels compositors més notables del barroc italià. A més d'oferir música a la Basílica, el cor i els instrumentistes de la capella realitzaven funcions importants en el calendari venecià de festes.
Moltes de les obres dels maestri di cappella es conserven en llibres corals il·luminats a l'Archivio di Stato di Venezia (ASV), la Biblioteca del Civico Museo Correr i la Biblioteca Nazionale Marciana.
* Adrian Willaert
* Claudio Monteverdi
* Baldassare Galuppi
* Don Lorenzo Perosi
* Façana de la Basílica enfront de la plaça

## Referències

* ↑ Fiona Kisby, Music and musicians in Renaissance cities and towns, page 36, 2001. "On many of the more important feasts in the Venetian calendar, the cappella marciana walked in the andata, so did the singers employed by some of the wealthier scuole, as their participation in the public ceremonial of the city became ..."
* ↑ Camillo Boito, The Basilica of S. Mark in Venice, 1888. "At this time the choral and liturgical books of the basilica Marciana were written and excellently illuminated by the Brescian ... Commencing with the early years of the XIV century, and looking over the records of the Capella Marciana."
* ↑ James H. Moore, Vespers at Saint Mark's: Music of Alessandro Grandi, Giovanni ..., Volume 2, 1981. "Moving out of the ASV altogether, we find two other Venetian libraries which hold important sources on the cappella marciana: the Biblioteca del Civico Museo Correr and the Biblioteca Nazionale Marciana."

## Enllaços externs

* La Capella Marciana al lloc de la Basílica de Sant Marc Arxivat 2015-04-02 a Wayback Machine. (italià)
# Cantó de Montmort-Lucy

El cantó de Montmort-Lucy és un cantó francès del departament del Marne, situat al districte d'Épernay. Té 22 municipis i el cap és Montmort-Lucy.

## Municipis

* Le Baizil
* Bannay
* Baye
* Beaunay
* La Caure
* Chaltrait
* Champaubert
* La Chapelle-sous-Orbais
* Coizard-Joches
* Congy
* Corribert
* Courjeonnet
* Étoges
* Fèrebrianges
* Mareuil-en-Brie
* Margny
* Montmort-Lucy
* Orbais-l'Abbaye
* Suizy-le-Franc
* Talus-Saint-Prix
* La Ville-sous-Orbais
* Villevenard

## Història

Llista dels consellers generals successius :
| Data d'elecció | Identitat | Partit |
| 1919-1949 | J.-C. Charpentier | radical |
| 1949-1955 | M. Buffry | Divers droite |
| 1955-1979 | François Crombez de Montmort | MRP, després RI, després RPR |
| 1979-2004 | Pierre-Yves Jardel | UDF-CDS |
| 2004-2011 | Michel Moussy | UMP |
| 2011- | Olivette Barré | Sense etiqueta |
| les dades anteriors no són pas conegudes ||||

## Demografia

Evolució demogràfica :
| 1962 | 1968 | 1975 | 1982 | 1990 | 1999 | 2010 |
| 4.390 | 4.703 | 4.240 | 3.989 | 3.887 | 3.983 | 4.124 |
| A partir de 1990: Població sense dobles comptes |||||||
# Cantó de Montmorency

El cantó de Montmorency és un cantó francès del departament de Val-d'Oise, situat al districte de Sarcelles. Des del 2015 té sis municipis i el cap és Montmorency.

## Municipis

* Andilly
* Enghien-les-Bains
* Margency
* Montlignon
* Montmorency
* Soisy-sous-Montmorency
Llista dels consellers generals successius :
| Data d'elecció | Identitat | Partit |
| 1945-1946 | Germaine Leriche | PCF |
| 1946-1949 | Maurice Veroudart | MRP |
| 1949-1964 | André Grimaud | RPF, després RS, després UNR |
| 1964-1967 | Philippe Ferrebœuf | Centrista |
| 1967-1979 | Albert Noachovitch | UDR, després RPR |
| 1979-1985 | M. Piérot | PS |
| 1985-2011 | François Longchambon | RPR, després UMP |
| 2011- | Michèle Berthy | UMP |
| les dades anteriors no són pas conegudes ||||
Evolució demogràfica :
| 1962 | 1968 | 1975 | 1982 | 1990 | 1999 | 2010 |
| - | 24.133 | 26.056 | 25.712 | 26.830 | 27.923 | 29.654 |
| A partir de 1990: Població sense dobles comptes |||||||
# Careproctus reinhardti

Careproctus reinhardti és una espècie de peix pertanyent a la família dels lipàrids.

## Descripció

* Fa 30 cm de llargària màxima.
* Nombre de vèrtebres: 59-63.
* Disc de succió petit (gairebé igual al diàmetre de l'ull).

## Reproducció

La femella fa una posta d'aproximadament 300 ous, els quals fan un diàmetre de 4,5 mm.

## Alimentació

Menja crustacis i peixos bentònics i pelàgics.

## Depredadors

És depredat per Raja radiata.

## Hàbitat

És un peix marí i batidemersal que viu entre 75 i 1.750 m de fondària.

## Distribució geogràfica

Es troba al Canadà, les illes Fèroe, Groenlàndia, Islàndia, Noruega (incloent-hi Svalbard) i Rússia.

## Observacions

És inofensiu per als humans.

## Referències

* ↑ Krøyer H. N., 1862: Nogle Bidrag til Nordisk ichthyologi. Naturhist. Tidsskr. Kjøbenhavn (Ser. 3) v. 1. 233-310.
* ↑ uBio (anglès)
* ↑ Krøyer, H. N., 1862. Nogle Bidrag til Nordisk ichthyologi. Naturhistorisk Tidsskrift (Kjøbenhavn) (Ser. 3) v. 1: 233-310.
* ↑ Catalogue of Life (anglès)
* ↑ The Taxonomicon (anglès)
* 1 2 3 4 FishBase (anglès)
* ↑ Muus, B.J. i J.G. Nielsen, 1999. Sea fish. Scandinavian Fishing Year Book, Hedehusene, Dinamarca. 340 p.
* ↑ Muus, B.J. i J.G. Nielsen, 1999.
* ↑ Coad, B.W. i J.D. Reist, 2004. Annotated list of the arctic marine fishes of Canada. Can. MS Rep. Fish Aquat. Sci. 2674:iv:+112 p.
* ↑ Stein, D.L. i K.W. Able, 1986. Liparididae. P. 1275-1283. A: P.J.P. Whitehead, M.-L. Bauchot, J.-C. Hureau, J. Nielsen i E. Tortonese (eds.). Fishes of the North-eastern Atlantic and the Mediterranean. UNESCO, París. Vol. III.
* ↑ FishBase (anglès)
* ↑ Berestovskiy, E. G., 1990. Feeding in the skates, Raja radiata and Raja fyllae, in the Barents and Norwegian Seas. J. Ichthyol. 29(8):88-96.
* ↑ Parin, N.V., V.V. Fedorov i B.A. Sheiko, 2002. An annotated catalogue of fish-like vertebrates and fishes of the seas of Russia and adjacent countries: Part 2. Order Scorpaeniformes. J. Ichthyol. 42(Suppl.1):S60-S135.

## Enllaços externs

* AQUATAB
# Careproctus sandwichensis

Careproctus sandwichensis és una espècie de peix pertanyent a la família dels lipàrids.

## Hàbitat

És un peix marí i batidemersal que viu entre 5.435 i 5.459 m de fondària.

## Distribució geogràfica

Es troba a l'oceà Antàrtic.

## Observacions

És inofensiu per als humans.

## Referències

* ↑ Krøyer H. N., 1862: Nogle Bidrag til Nordisk ichthyologi. Naturhist. Tidsskr. Kjøbenhavn (Ser. 3) v. 1. 233-310.
* ↑ uBio (anglès)
* ↑ Andriàixev, A. P. & Stein, D. L., 1998. Review of the snailfish genus Careproctus (Liparidae, Scorpaeniformes) in Antarctic and adjacent waters. Contributions in Science (Los Angeles) Núm. 470: 1-63.
* ↑ The Taxonomicon (anglès)
* 1 2 3 FishBase (anglès)
* ↑ Andriàixev, A. P., 1998. A review of recent studies of Southern Ocean Liparidae (Teleostei: Scorpaeniformes). Cybium 22(3):255-266.

## Bibliografia

* Txernova, N. V.; Stein, D. L.; Andriàixev, A. P «Family Liparidae (Scopoli, 1777) snailfishes» (en anglès). California Academy of Sciences Annotated Checklists of Fishes, 31, 72, 2004.

## Enllaços externs

* AQUATAB
# GB

GB té els següents significats:
* GB, símbol de Gigabyte.
* Gb, símbol de Gigabit.
* GB, codi internacional de la Gran Bretanya.
* GB, abreviatura de Game Boy.
* Gb (dígraf), dígraf.
Viccionari
# GBM

GBM té els següents significats:
* Grup del Banc Mundial, organització internacional per al desenvolupament econòmic
* Game Boy Micro, versió de la consola portàtil Game Boy Advance de Nintendo
* Glioblastoma multiforme, tumor cerebral maligne més habitual en humans
# Fórmula de d'Alembert

La fórmula de d'Alembert és la solució general de l'equació d'ona unidimensional homogènia, una equació en derivades parcials hiperbòlica. Va ser deduïda pel matemàtic Jean le Rond d'Alembert.
[No s'ha de confondre amb l'Equació de d'Alembert, del mateix autor, que és una equació diferencial ordinària no lineal de primer ordre.]
Donada l'equació d'ona unidimensional homogènia
    $u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,$
la fórmula de d'Alembert té expressió:
    $u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )d\xi ,$
on g i h són funcions escalars a escollir. Les possibles tries d'aquestes funcions permeten obtenir les diferents solucions de l'equació d'ones. Tanmateix, no qualsevol tria de g i h condueix a una solució. Per exemple, si g no és diferenciable, és probable que la funció u(x,t) donada per la fórmula tampoc ho sigui, i llavors l'equació d'ona deixa de tenir sentit. Una condició suficient perquè la funció donada per la fórmula de d'Alembert sigui solució de l'equació d'ona és que $g\in C^{2}$ i $h\in C^{1}$ (per aquesta notació vegeu classe de diferenciabilitat).

## Deducció

S'obté com a solució del problema de Cauchy:
    $\left\{{\begin{matrix}u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0&{\text{on }}x\in \mathbb {R} ,t>0\\u(x,0)=g(x)&{\text{on }}x\in \mathbb {R} \\u_{t}(x,0)=h(x)&{\text{on }}x\in \mathbb {R} \end{matrix}}\right.$
amb g i h arbitràries.
Les corbes característiques de l'equació en derivades parcials són les rectes $x\pm ct=\mathrm {const} \,$, de manera que amb el canvi de variables $\mu =x+ct,\eta =x-ct\,$ es pot transformar l'equació en derivades parcials en $u_{\mu \eta }=0\,$. La solució general de l'equació en derivades parcials és $u(\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )\,$ on $F\,$ i $G\,$ són funcions $C^{1}\,$. Tornant a les coordenades $x,t\,$,
    $u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,$
    $u\,$ és $C^{2}\,$ si $F\,$ i $G\,$ són $C^{2}\,$.
Aquesta solució $u\,$ pot ser interpretada com dues ones de velocitat $c\,$ que es desplacen en direccions oposades al llarg de l'eix x.
A continuació es considera aquesta solució amb la condició de frontera de Cauchy $u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)\,$.
Usant $u(x,0)=g(x)\,$ s'obté $F(x)+G(x)=g(x)\,$.
Usant $u_{t}(x,0)=h(x)\,$ s'obté $cF'(x)-cG'(x)=h(x)\,$.
Integrant l'última equació s'aconsegueix
    $cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\,$
Les solucions del sistema d'equacions format per les equacions última i antepenúltima són
    $F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right)\,$
    $G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right)\,$
Ara, usant
    $u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,$
la fórmula de d'Alembert esdevé:
    $u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )d\xi$

## Bibliografia

* Chester, C.. Techniques in Partial Differential Equations (en anglès). McGraw-Hill, 1971. Capítol 2.

## Enllaços externs

* Un exemple Arxivat 2011-01-19 a Wayback Machine. de com resoldre una equació d'ona no homogènia des www.exampleproblems.com