# Operador de decalatge

* No s'ha de confondre amb els operadors de desplaçament bit a bit en informàtica ni amb desplaçament en física..
En matemàtiques, i més concretament en anàlisi funcional, l'operador de decalatge és un operador que porta una funció f(·) a la seva translació f(· + a). En l'anàlisi de sèries temporals, hom diu que l'operador de decalatge és l'operador de retard.
Els operadors de decalatge són uns exemples d'operadors lineals, importants per la seva simplicitat i la seva presència natural. L'acció de l'operador de decalatge sobre funcions de variable real juga un rol important en anàlisi harmònica; per exemple, apareix en les definicions de les funcions quasi-periòdiques, les funcions definides positives i la convolució. Els decalatges sobre successions (funcions de variable entera) apareixen en àrees diverses, com ara els espais de Hardy, la teoria de varietats abelianes, o la teoria de dinàmica simbòlica, on l'aplicació del forner n'és una representació explícita.

## Definició
### Funcions de variable real

L'operador de decalatge T$^t$ (t ∈ ℝ) porta una funció f sobre ℝ a la seva translació f$_t$,
    $f_{t}(x)=f(x+t)~.$
Una representació pràctica de l'operador lineal T$^t$ en termes de la seva derivada $^d$⁄$_{dx}$ fou introduïda per Lagrange,
    $T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,$
que es pot interpretar com la seva expansió en sèrie de Taylor al voltant de t, i que actua evidentment sobre el monomi x$^n$ pel teorema del binomi, i en conseqüència sobre tota la sèrie en x.

### Successions

L'operador decalatge cap a l'esquerra actua sobre una successió de nombres infinita per una banda com
    $S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )$
i sobre successions infinites per les dues bandes com
    $T:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty }^{\infty }.$
L'operador decalatge cap a la dreta actua sobre una successió de nombres infinita per una banda com
    $S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )$
i sobre successions infinites per les dues bandes com
    $T^{-1}:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty }^{\infty }.$

### Grups abelians

En general, si f és una funció sobre un grup abelià G, i g és un element de G, l'operador de decalatge T$^g$ envia f a
    $f_{g}(h)=f(g+h).$

## Propietats de l'operador de decalatge

L'operador de decalatge, quan actua sobre funcions reals o complexes, o sobre successions, és un operador lineal que preserva la majoria de les normes habituals que apareixen a l'anàlisi funcional. Per tant, normalment és un operador afitat amb la norma-1.

### Acció sobre espais de Hilbert

L'operador de decalatge, quan actua sobre successions infinites per les dues bandes, és un operador unitari sobre l₂(ℤ). L'operador de decalatge, quan actua sobre funcions de variable real és un operador unitari sobre L₂(ℝ).
En ambdós casos, l'operador de decalatge (per l'esquerra) satisfà la següent relació de commutativitat amb la transformada de Fourier:
    ${\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},$
on M$^t$ és l'operador de multiplicació per exp(i t x). Per tant, l'espectre de T$^t$ és la circumferència unitat.
L'operador de decalatge d'una sola banda S, quan actua sobre l₂(ℕ), és una isometria pròpia amb recorregut igual a tots els vectors que tenen la primera coordenada igual a 0. L'operador S és una compressió de T$^{−1}$, en el sentit que
    $T^{-1}y=Sx{\text{ per tot }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),\,$
on y és el vector de l₂(ℤ) amb y$_i$ = x$_i$ per i ≥ 0 i y$_i$ = 0 per i < 0. Aquesta observació és la base de la construcció de moltes dilatacions unitàries d'isometries.
L'espectre de S és el disc unitat. L'operador de decalatge S és un exemple d'un operador de Fredholm, amb índex −1.

## Generalització

Jean Delsarte introduí la noció d'operador de decalatge generalitzat (també anomenat operador de desplaçament generalitzat); aquesta noció fou desenvolupada posteriorment per Boris Levitan.
Una família d'operadors {L$^x$}$_{x∈X}$ actuant sobre un espai Φ de funcions d'un conjunt X a ℂ s'anomena família d'operadors de decalatge generalitzats si es compleixen les següents propietats:
* Associativitat: sigui (R$^y$f)(x) = (L$^x$f)(y). Llavors L$^x$R$^y$ = R$^y$L$^x$.
* Existeix un e ∈ X tal que L$^e$ és l'operador identitat.
En aquest cas, hom diu que el conjunt X és un hipergrup.

## Referències

* ↑ Weisstein, Eric W., «Shift Operator» a MathWorld (en anglès).
* 1 2 Marchenko, Vladimir A. «Mathematical events of the twentieth century» (en anglès). The generalized shift, transformation operators, and inverse problems. Springer [Berlín], 2006, pàg. 145-162. DOI: 10.1007/3-540-29462-7_8.
* ↑ Alsedà, Lluís «Sistemes dinàmics: les matemàtiques del professor W. Szlenk» (pdf). Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, 12, 1, 1997, pàg. 7-16 [Consulta: 15 agost 2013].
* ↑ Jordan, Charles. Calculus of finite differences. 3a ed.. Nova York: Chelsea Publ. Co., 1979. ISBN 978-0828400336.
* ↑ Hazewinkel], [managing editor M. «V.M.Millionshchikov». A: Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia". 10a ed.. Dordrecht: D. Reidel, 1987. ISBN 978-1-55608-010-4.
* ↑ Hazewinkel], [managing editor M. «Generalized displacement operators (G.L.Litvinov)». A: Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia". 10a ed.. Dordrecht: D. Reidel, 1987. ISBN 978-1-55608-010-4..
* ↑ Hazewinkel], [managing editor M. «Almost-periodic function (E.A.Bredikhina)». A: Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia". 10a ed.. Dordrecht: D. Reidel, 1987. ISBN 978-1-55608-010-4..

## Bibliografia

* Partington, Jonathan R. Operator theory, advances and applications an analytical approach to control theory (en anglès). 1a ed.. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 2004. ISBN 0521546192.
* Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James. Hardy classes and operator theory (en anglès). Unabridged, corr. republication.. Mineola, N.Y.: Dover Publications, 1997. ISBN 9780486695365.

## Vegeu també

* Desplaçament aritmètic
* Desplaçament lògic