# Niver kentael

Niver kentael a reer e matematikoù eus un niver anterin muiel en deus rik daou ranner diforc'h, anterin ha muiel – a zo neuze 1 hag eñ e-unan. Gant an termenadur-se e lezer 1 er-maez pa n'en deus nemet ur ranner anterin muiel. War an tu gin e lavarer ez eo kenaozet an niveroù nann null, anezho liesad daou niver anterin naturel disheñvel diouzh 1. Da skouer ez eo kenaozet 6 = 2 × 3, evel 21 = 3 × 7 pe 7 × 3, met kentael eo 11 peogwir ez eo 1 hag 11 rannerioù nemeto 11. N'eo an niveroù 0 hag 1 na kentael, na kenaozet. Setu amañ da heul an 30 niver kentael kentañ :
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 ha 113.
Hevelep listennoù a c'heller sevel gant hentennoù jediñ diseurt. Abaoe an Henamzer e ouezer ez eus un niver anfin a niveroù kentael. An niver-Mersenne kentael « 2$^{43112609}$-1 », a zo bet kavet e 2008, hag a zo tost da 13 milion a sifroù en e skrivad degel, a oa an niver kentael brasañ a anavezed betek ar 7 a viz Genver 2016, pa voe kavet 2$^{70207281}$ – 1 ; 22 338 618 sifr zo ret evit e skrivañ.
Ur meizad diazez eo meizad an niver kentael en aritmetik elfennel : kadarnaat a ra teorem diazez an aritmetik e c'heller faktorañ pep niver kenaozet en ul liesad faktorioù kentael, ha n'eus nemet ur faktoradur a seurt-se hepken pa lakaer urzh ar faktorioù a-gostez. Hollekadurioù anezhañ a gaver e skourroù araokaetoc'h eus ar matematik, evel teorienn aljebrek an niveroù. Meur a implij greantel eus an aritmetik zo diazezet war anaoudegezh algoritmel an niveroù kentael, hag a-wezhioù war an diaes m'eo diskoulmañ ar c'hudennoù stag outo pergen : lod reizhiadoù sifrañ ha hentennoù treuzkas stlennadoù, da skouer. Implijet e vez ivez an niveroù kentael evit sevel taolennoù hachañ hag evit ober ganerioù niveroù brizhankivil.

## Istor

Diaes-kenañ eo kavout ur formulenn evit kavout an holl niveroù kentael. Abred-tre en Istor Mab-Den ez eus bet klasket ober, hogen hini ebet eus ar formulennoù-se ne yae en-dro dre ma 'z eo dizingal an hed etre an niveroù kentael. Bez' ez eus bet kavet formulennoù, hogen faos e oa al lodenn vrasañ anezho, ar re vrudetañ o vezañ niveroù Mersenne ha Fermat. Hiziv an deiz n'eus formulenn ebet a ro un niver kentael dre ar jediñ. Ret eo tremen dre algoritmoù, evel ma oa bet graet gant Eratosthenes.

## Enklaskoù

An algoritmoù kentañ evit divizout hag-eñ ez eo kentael an niver a bleder gantañ (a vez graet testoù kentaelded anezho) a zo klask e rannañ dre an holl niveroù bihanoc'h eget e wrizienn garrez : kenaozet eo mard eo rannadus dre unan anezho, kentael eo a-hend-all. Met gallout a reer efedusaat an algoritm-se : un toullad mat a rannadennoù a c'heller ober hepto ; mar n'eo ket rannadus an niver dre 2 da skouer n'eus ket ezhomm arnodiñ hag-eñ ez eo rannadus dre 4. Evit gwir ez eo trawalc'h arnodiñ e rannaduster dre an holl niveroù kentael bihanoc'h eget e wrizienn garrez.
Krouer Eratosthenes zo un hentenn diazezet war ar bennreolenn-se hag a ro listenn an niveroù kentael bihanoc'h eget ur talvoud roet n (n = 120 er fiñvskeudenn amañ e-kichen) :
* sevel a reer listenn an niveroù anterin naturel eus 2 da n ;
* derc'hel a reer e-giz « niver kentael » an niver kentañ n'eo ket barrennet el listenn (2 eo an hini kentañ en degouezh-mañ) ;
* barrennañ a reer an holl niveroù anterin a zo lieskementoù eus an niver dalc'het er bazenn gent, o kregiñ gant e garrez (barrennet eo bet 2*i, 3*i, ...(i-1)*i c'hoazh peogwir ez int lieskementoù eus de 2, 3, ...) ;
* seveniñ a reer an div oberiadenn ziwezhañ, da lavaret eo : delc'her an niver nann barrennet da zont ha barrennañ e lieskementoù ;
* kerkent ha m'eo brasoc'h karrez an niver dalc'het eget n e chomer a-sav gant an algoritm ; an niveroù a chom nann barrennet er fin eo neuze an niveroù kentael bihanoc'h eget n.

## Niveroù kentael dibar
### Niveroù-Mersenne kentael

An niveroù notet M$_p$ = 2$^p$ - 1, p e-unan o vezañ un niver kentael, a vez graet « niveroù-Mersenne kentael » anezho, diwar anv ur matematikour gall eus ar XVII$^{vet}$ kantved, Marin Mersenne (1588-1648). Alies e vez klasket an niveroù kentael bras er stumm-se rak bez' ez eus un test efedus, test kentaelded Lucas-Lehmer, evit gouzout hag-eñ ez eo kentael pe get an niveroù a-seurt-se.
Setu amañ niveroù-Mersenne kentael kentañ :
* 3 = 2$^2$ - 1
* 7 = 2$^3$ - 1
* 31 = 2$^5$ - 1
* 127 = 2$^7$ - 1
Padal 2047 = 2$^{11}$ - 1 n'eo ket kentael, rak 2047 = 23 × 89. Un niver-Mersenne eo hogen n'eo ket kentael.
Mersenne n'en deus ket ijinet an niveroù-se, n'en deus ket ijinet ar formulenn. Savet en deus ul listenn eus an niveroù kentael-se dre ar formulenn, hogen faziet eo bet : da skouer, M$^{67}$ = 2$^{67}$ -1 hag M$^{257}$ = 2$^{257}$ -1 n'int ket kentael, padal n'emañ ket M$^{61}$, M$^{89}$ hag M$^{107}$, a zo kentael, en e listenn.
E 2010 ez eo M$_{43112609}$ = 2$^{43112609}$-1 an niver-Mersenne kentael brasañ a anavezer, gant 12 978 189 sifr en e skrivad degel. Bez' e oa ar 45vet niver-Mersenne kentael bet dizoloet, hag embannet e oa bet an dizoloadenn anezhañ d'an 23 a viz Eost 2008 a drugarez da strivoù raktres kenlabourus ar jediñ dasparzhet « Great Internet Mersenne Prime Search » (GIMPS). Bihanoc'h eget ar 45vet eo ar 46vet niver-Mersenne kentael, 2$^{37156667}$-1, a voe dizoloet pemzektez goude ; d'an 12 a viz Ebrel 2009 e voe dizoloet gant ar memes raktres GIMPS, ar 47vet niver-Mersenne kentael, 2$^{42643801}$-1, hag a zo eñ ivez un "tammig" bihanoc'h eget an hini meneget da gentañ.

### Niveroù-Fermat

Niveroù-Fermat, diouzh anv ar matematikour gall Pierre de Fermat (c. 1607-1665), a vez graet eus an niveroù anterin naturel a c'heller skrivañ er stumm 2$^{2n}$ + 1. Notet e vezont F$_n$. Setu amañ ar re gentañ anezho :
   * F$_0$ = 2$^{20}$ + 1 = 2$^1$ + 1 = 3
   * F$_1$ = 2$^{21}$ + 1 = 2$^2$ + 1 = 5
   * F$_2$ = 2$^{22}$ + 1 = 2$^4$ + 1 = 17
   * F$_3$ = 2$^{23}$ + 1 = 2$^8$ + 1 = 257
   * F$_4$ = 2$^{24}$ + 1 = 2$^{16}$ + 1 = 65 537
Pierre de Fermat en devoa savet ur martezead o lavarout e oa kentael an holl niveroù er stumm 2$^{2n}$ + 1 . Hogen buantre e voe prouet gant ur skouer enep e oa faos ar martezead rak n'eo ket kentael F$_5$, hag ouzhpenn-se n'eus niver-Fermat ebet etre F$_5$ hag F$_{32}$ a gement a vije kentael. F$_0$, F$_1$, F$_2$, F$_3$ hag F$_4$ eo neuze an niveroù-Fermat kentael nemeto a anavezer rak n'ouezer ket hag-eñ eo kentael an niveroù-Fermat adalek F$_{33}$.
Hiziv an deiz n'anavezer nemet pemp niver-Fermat hag a zo kentael : ar pemp kentañ meneget a-raok. F$_{33}$ eo an niver-Fermat bihanañ ha n'ouezer ket ha kentael eo pe get.
Gant ar matematikour suis Euler (1707-1783) e oa bet prouet e 1732 ne oa ket ket gwir martezea Fermat : F$_5$ = 2$^{25}$ + 1 = 2$^{32}$ + 1 = 4 294 967 297, un niver ha n'eo ket kentael peogwir ez eo rannadus dre 641 : 4 294 967 297 ÷ 641 = 6 700 417.

### Niveroù kentael gevell

An niveroù kentael gevell zo koubladoù niveroù kentael gant un diforc'h a 2 etrezo, eleze an diforc'h bihanañ a c'heller kaout etre daou niver kentael hep kontañ ar c'houblad (2 ; 3). Kement-se a c'heller skrivañ evel-henn :
    bezet an daou niver n ha p, gant n > p ; niveroù gevell int mar hag hepken mar bez ar gevatalenn n = p + 2.
Setu amañ ar c'houbladoù niveroù kentael gevell bihanañ : (3 ; 5) , (5 ; 7) hag (11 ; 13). Bez' ez eus un niver anfin a niveroù kentael gevell hogen ne vezont ket dasparzhet ez-reoliek. Perzhioù dibar zo gant an niveroù gevell, da skouer :
* ar c'houblad (2 ; 3) eo ar c'houblad nemetañ gant daou niver gevell diouzh renk – merkit n'eo ket 3 kevatal da 2 + 2 ;
* pa lezer ar c'houblad (2 ; 3) a-gostez ez eo 2 an diforc'h bihanañ etre daou niver kentael ; daou niver kentael gevell a zo daou niver ampar kenheuliek eta ;
* pep koublad niveroù kentael gevell (p ; n) hep kontañ an daou goublad bihanañ (2 ; 3) ha (3 ; 5) a c'hell bezañ skrivet dindan ar stumm (6n - 1 ; 6n + 1), n o vezañ un niver anterin bennak. Rak e-barzh pep heuliad tri niver ez eus ul lieskement eus 2 d'an nebeutañ, hag ul lieskement eus 3 hepken ; kendeuzet eo an daou lieskement-se etre an daou niver kentael gevell ;
* setu ar c'houblad niveroù kentael gevell brasañ a anavezer : 2003663613 × 2$^{195000}$±1. Gant 100 355 sifr e vez skrivet o skrivad degel, ha dizoloet e voent gant Peter Kaiser ha Keith Klahn eus Twin Prime Search e miz Eost 2009 ;
* Martezeadet ez eus bet ez eus un niver anfin a niveroù kentael gevell met biskoazh n'eo bet prouet.

## Notennoù

* 1 2 (en) Great Internet Mersenne Prime search.
* ↑ (en) Twin Prime Search