# E (niver)

E matematik ez eo e un digemmenn a grog e skrivad degel gant 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4…. Diaz al logaritm naturel eo.
Anvadur :
* $e$ a vez anvet a-wechoù digemmenn Neper, eus anv ar matematikour skosad John Napier (pe Neper) en deus degaset al logaritm.
* $e$ a voe anvet niver eksponantel gant Euler e 1761.

## Istor

An niver $e$ a zo sur-walc'h an digemmenn real bouezusañ e matematik goude pi : kavet e vez e normalizadur ar fonksionoù eksponantel. Diaes eo deiziañ ar wech kentañ m'eo deuet a-wel el lennegezh. E gwirionez, goude ma vefe bet degaset al (logaritm]] gant Neper evel rekipe jediñ evit aesaat jedadenn ar sinus, ar c'hosinus, ar produ hag ar rannad, met ne roas diaz resis ebet evit al logaritmoù-se hag al logaritmoù dezho an diaz 10 eo ar re a veze kavet peurliesañ d'ar mare-se.
Al logaritmoù naturel a zeuas war-wel evit ar wech kentañ e 1618 evel stagadenn da dretad Napier, skrivet gant William Oughtred sur a-walc'h.
E 1624 e roas Briggs un talvoud nesaet eus logaritm degel un niver ne zeue ket a-benn d'anavezout en un doare resis, met a ziskouezas bezañ $e$.
E 1647 e jedas Grégoire de Saint-Vincent ar gorread dindan an hiperbolenn, met ne anata ket an niver $e$.
E 1661 e voe gouest Huygens d'ober al liamm etre ar gorread dindan an hiperbolenn hag ar fonksionoù logaritm. Dre m'eo $e$ an niver real e doare ma vefe ar gorread dindan an hiperbolenn etre 1 hag $e$ kevatal da 1 ez eo posupl e vefe bet merzet an niver-se d'ar c'houlz-se, hep ma vije komzet eus outañ evel diaz al logaritm naturel avat.
Ar wech kentañ ma teuas $e$ a-wel evel niver heverk a zo e 1683, d'ar mare ma veze dedennet Bernoulli gant ar jedadoù interest. Ar pezh a gasas anezhañ da studiañ bevenn an heulienn $(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$. Met den ebet d'ar c'houlz-se ne ra al liamm etre an niver-se hag al logaritm naturel. Padal ez eo e-pad ar c'houlz-se ma voe kroget da verzout ez eo ar fonksion logaritm dezhi an diaz $a$ resiprokenn ar fonksion eksponantel dezhi an diaz $a$. Prest e oa neuze kumuniezh ar skiantourien da zizoleiñ $e$. A-benn ar fin ez eo en ul lizher eus Leibniz da Huygens e voe anavezet an niver-mañ evel diaz al logaritm naturel, met anvet e voe $b$ gant Liebniz.
Gant Euler e voe degaset en an notadur $e$ evit an digemmenn-se en ul lizher a gasas da Goldbach e 1731. Meur a vartezeadenn a zo bet savet da zisplegañ choaz al lizherenn $e$ : $e$ evit Euler ? $e$ evit eksponantel ? pe marteze e oa $e$ ar c'hentañ vogalenn vak e labour Euler.
Euler eo ivez a ro diorren $e$ e serienn
    $e=1+{\dfrac {1}{1!}}+{\dfrac {1}{2!}}+\cdots +{\dfrac {1}{k!}}+\cdots$
hag e kevrenn gendalc'hus :
    $e=2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{6+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}$
Dre m'en deus $e$ un diorren e kevrenn gendalc'hus anfin ez eo un niver anrasional. Gant aproksimantoù Padé e c'heller kinnig eztaolioù niverus eus e dindan stumm ur gevrenn gendalc'hus hollekaet. Gallout a ra neuze da Charles Hermite prouiñ trehonted an niver-se e 1873.

### Sifroù goude ar virgulenn anavezet

Kresket eo an niver a zegelennoù anavezet eus $e$ (an niver a sifroù goude ar virgulenn) en un doare bamus e-kerzh an dekvedoù diwezhañ. Daou abeg da se war un dro : galloud an urzhiaterezioù o vont war gresk hag an algoritmoù o vont war wellaat$^,$.
Niver a sifroù goude ar virgulenn anavezet evit e :
| Deizad | Sifroù anaveset | A-drugarez da |
| 1748 | 18 | Leonhard Euler |
| 1853 | 137 | William Shanks |
| 1871 | 205 | William Shanks |
| 1884 | 346 | J. Marcus Boorman |
| 1946 | 808 | ? |
| 1949 | 2 010 | John von Neumann (gant an l'ENIAC) |
| 1961 | 100 265 | Daniel Shanks & John W. Wrench |
| 1981 | 116 000 | Stephen Gary Wozniak (gant an Apple II) |
| 1994 | 10 000 000 | Robert Nemiroff & Jerry Bonnell |
| Mae 1997 | 18 199 978 | Patrick Demichel |
| Eost 1997 | 20 000 000 | Birger Seifert |
| Gwengolo 1997 | 50 000 817 | Patrick Demichel |
| C'hwevrer 1999 | 200 000 579 | Sebastian Wedeniwski |
| Here 1999 | 869 894 101 | Sebastian Wedeniwski |
| 21 Du 1999 | 1 250 000 000 | Xavier Gourdon |
| 10 Gouere 2000 | 2 147 483 648 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
| 16 Gouere 2000 | 3 221 225 472 | Colin Martin & Xavier Gourdon |
| 2 Eost 2000 | 6 442 450 944 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
| 16 Eost 2000 | 12 884 901 000 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
| 21 Eost 2003 | 25 100 000 000 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
| 18 Gwengolo 2003 | 50 100 000 000 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
| 27 Ebrel 2007 | 100 000 000 000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo |
| 6 Mae 2009 | 200 000 000 000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo |

## Termenadur ha perzh
### Termenadurioù e

An displegadennoù a-us a ziskouez e c'hell $e$ bezañ skrivet e meur a zoare disheñvel.
* $e$ eo an niver real gant $\ln(e)=1$ pa dermener ar fonksion $\ln$ evel primitivenn ar fonksion $x\mapsto {\tfrac {1}{x}}$ a zo nullet en 1. Setu perak ez eo anvet ar fonksion-se diaz al logaritmoù naturel.
* $e$ eo an niver real gant $\exp(1)=e$ pa dermener ar fonksion $\exp$ evel fonksion nemeti a wir $u'=u$ hag $u(0)=1$.
* $e$ eo bevenn an heulienn $(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$.
* $e$ a zo par da sammad ar serienn anfin $\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{k!}}$ (gant ar c'henemglev $0!=1$).
Ekwivalañs ar pevar zermenadur-se a zeu eus al liammadennoù etre ar fonksion eksponantel, ar fonksion logaritm ha bevenn an heuliennoù.

### Teorienn an niveroù

Digemmenn Neper a gaver stank e teorienn an niveroù. Ar vatematikourien a zo bet dedennet abred-tre gant natur an niver $e$. Anrasionalder $e$ a zo bet diskouezhet gant Euler e 1737 hag anrasionalder e c'halloudoù anterin gant Lambert e 1761. Ar brouadenn a c'heller ober gant an diorren e serienn (gwelet prouadur anrasionalder e amañ dindan), pe gant an diorren e kevrenn gendalc'hus.
Prouadur trehonted $e$ a voe diazezet gant Hermite e 1873. Deduiñ a reer alese ez eo $e^{r}$ trehontel ivez evit forzh peseurt niver rasional $r$ nann null (an niveroù anterin hag all), met ne ouier ket c'hoazh (2007) hag-eñ ez eo $e^{e}$ trehontel pe get.
War berzhioù an niver-se eo diazezet teorem Lindemann-Weierstrass.
Konjekturet ez eus bet ez eo $e$ un niver normal

### Fonksion eksponantel ha kevatalenn diferañsial

Evit forzh peseurt niver real $x$, $\exp(x)=e^{x}$ 'lec'h m'eo $\exp$ ar fonksion $y$ nemeti a wir ar gevatalenn diferañsial $y'=y$ ha $y(0)=1$. Ober a reer fonksion eksponantel dezhi an diaz $e$ eus ar fonksion-se.
Ganti e c'heller reiñ holl diskoulmoù ar gevatalenn diferañsial $y'=ay$ hag a zo ar fonksionoù termenet gant $f(x)=Ce^{ax}$.
An diorren e serienn a-heul a zo d'ar fonksion eksponantel :
    $\forall x\in \mathbb {R} ,\ \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=e^{x}$

### Fonksion drigonometrek

Gant klask an diskoulm kompleksel nemetañ d'ar gevatalenn diferañsial $u'=iu$ ha $u(0)=1$ e vezer kaset d'ar fonksion $u(x)=e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ ha da identelezh Euler :
    $e^{i\pi }+1=0$
a zo hervez Richard Feynman ar "formulenn heverkañ er bed" (e o tiskouez an analizerezh, i an aljebr, $\pi$ ar c'heometriezh, 1 an aritmetik hag an niver 0 ar matematik). Euler e-unan a vefe chomet bamet ivez gant al liammadenn-se, pemp niver diazez enni : 0, 1, ${e}$, ${i}$, ${\pi }$.

## Prouadur anrasionalder e

An niver $e$ a zo kevatal da sammad serienn eksponantel 1 :
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}$
An diorren-se a c'heller implijout evit diskouez ez eo anrasional.
Proueadur dre zislavar (ab absurdo). Goulakomp ez eus daou niver anterin $a$ ha $b$ e doare ma vefe $e={\tfrac {a}{b}}$, gant $a$ pozitivel strizh ha $b$ brasoc'h strizh eget 1.
Pledomp gant an niver
    $x=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)$
Prouet e vo ez eo $x$ un niver anterin pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1, ha gant an dislavar-se e vo diazezet anrasionalder $e$.
   * Evit gwelet ez eo $x$ un niver anterin, merzomp ez eo
       $x=b\,!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)=b\,!\left({\dfrac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)=a{\dfrac {b!}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\dfrac {b!}{n!}}$
       Hogen, $b$ a rann $b!$ hag, evit forzh peseurt niver anterin $n$ etre 0 ha $b$ ez eo $b!$ rannapl dre $n!$, ar c'hementadoù ${\tfrac {b!}{b}}$ ha ${\tfrac {b!}{n!}}$ a zo neuze anterin, $x$ a zo neuze anterin evel sammad ha diforc'h niveroù anterin.
   * Evit gwelet ez eo $x$ un niver pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1, merzomp ez eo
       $x=b\,!\sum _{n=b+1}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}$ ha dre se
       $0<x={\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots$
       $<{\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)^{2}}}+{\dfrac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={\dfrac {1}{b}}\ <1$
       Amañ ez eo ar sammad diwezhañ-mañ ur serienn c'heometrek ${\dfrac {1}{b+1}}$ he faz.
Dre ma n'eus niver anterin ebet pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1 ez eus un dislavar, ha dre se ez eo $e$ anrasional.

## Daveoù

* ↑ Sebah, P. and Gourdon, X.; (en)The constant e and its computation
* ↑ Gourdon, X.; (en)Reported large computations with PiFast
* ↑ (en)New Scientist 21st July 2007 p. 40
* ↑ (en)Byte Magazine Vol. 6, Issue 6 (June 1981) p. 392) "The Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer"
* 1 2 English Version of PI WORLD
* ↑ Ed Sandifer, How Euler did it.
* ↑ Alain Juhel, Lambert ha dirasionelezh Pi (1761).
* ↑ Equations as icons

## Gwelet ivez
### Liammoù diabarzh

* Eksponantel
* Logaritm