OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# حساب الاحتمالات/فرضية تساوي الاحتمالات
## فرضية تساوي الاحتمالات

ليكن $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\dots ,\omega _{n}\}$ كون إمكانيات تجربة عشوائية.
نُشير إلى عدد عناصر $\Omega$ بالرمز ${\text{Card}}\;\Omega$ ، أي: ${\text{Card}}\;\Omega =n$
ليكن $A$ حدثا ضمن $\Omega$ مكونا من $k$ إمكانية. نكتب أيضا ${\text{Card}}\;A=k$ ويُسمى "رئيسي $A$" وهو عدد عناصر $A$.
إذا كان $P$ احتمالا على $\Omega$ بحيث جميع الأحداث الابتدائية متساوية الاحتمال، فنقول إن فرضية تساوي الاحتمالات محققة.
هذا يعني أن: $P(\omega _{1})=P(\omega _{2})=\dots =P(\omega _{n})$
بما أن $P(\omega _{1})+P(\omega _{2})+\dots +P(\omega _{n})=1$ ، وأن حدود هذا المجموع متساوية، فإنه لكل $i$ من $\{1,\dots ,n\}$ يكون $nP(\omega _{i})=1$ إذن $P(\omega _{i})={\frac {1}{n}}$ .
بما أن $A$ حدث مكون من $k$ إمكانية واحتمال $A$ هو مجموع احتمالات الأحداث الابتدائية التي توجد ضمن $A$ فإن $P(A)=k.{\frac {1}{n}}$ أي أن $P(A)={\frac {{\text{Card}}\;A}{{\text{Card}}\;\Omega }}$
إذا كانت جميع الأحداث الابتدائية متساوية الاحتمال في كون الإمكانيات $\Omega$ فإن احتمال كل حدث $A$ ضمن $\Omega$ هو:
$P(A)={\frac {{\text{Card}}\;A}{{\text{Card}}\;\Omega }}$ ، حيث ${\text{Card}}\;A$ هو عدد الإمكانيات التي تحقق $A$ و ${\text{Card}}\;\Omega$ هو عدد الإمكانيات الكُلِّية.
| احتمال حدث | الاحتمال الشرطي |
# حساب الاحتمالات/الاحتمال الشرطي
## الاحتمال الشرطي
### تمهيد

ليكن $A$ و $B$ حدثين ضمن كون الإمكانيات $\Omega$ لتجربة عشوائية بحيث $P(A)\neq 0$ .
احتمال الحدث $B$ علما أن الحدث $A$ محقق هو $P_{A}(B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$

### صيغة الاحتمالات المركبة

إذا كان $A$ و $B$ حدثين احتمالاهما غير منعدمين فإن:
$P(A\cap B)=P(A).P_{A}(B)=P(B).P_{B}(A)$

### صيغة الاحتمالات الكلية

نقول إن الأحداث $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ تُكَوِّنُ تجزيئا لكون الإمكانيات $\Omega$ إذا كانت هذه الأحداث غير منسجمة مثنى مثنى واتحادها هو $\Omega$.
وبتعبير آخر: $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ لكل $i$ و $j$ بحيث $1\leq i\leq n$ و $1\leq j\leq n$ و $i\neq j$
ولدينا: $A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n}=\Omega$
ليكن $\Omega$ كون إمكانيات تجربة عشوائية و $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ تجزيئا لـ $\Omega$.
لكل حدث $B$ ضمن $\Omega$، لدينا:
$P(B)=P(A_{1})P_{A_{1}}(B)+P(A_{2})P_{A_{2}}(B)+\dots +P(A_{n})P_{A_{n}}(B)$
هذه الصيغة تُسمى صيغة الاحتمالات الكلية.
| فرضية تساوي الاحتمالات | استقلال حدثين - استقلال اختبارات |
# حساب الاحتمالات/المتغيرات العشوائية
## المتغيرات العشوائية
### تمهيد

ليكن $\Omega$ كون إمكانيات تجربة عشوائية.
كل تطبيق $X$ يربط كل عنصر من $\Omega$ بعنصر وحيد من $\mathbb {R}$ يسمى متغيرا عشوائيا (بالفرنسية: Variable aléatoire، بالإنجليزية: Random variable).
ترميز:
* $X(\Omega )$ هي مجموعة صور عناصر $\Omega$، ونكتب عادة $X(\Omega )=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ حيث $x_{1}$ و ... و $x_{n}$ هي القيم التي يأخذها $X$.
* $\{X=x_{i}\}$ هو الحدث "$X$ تأخذ القيمة $x_{i}$".

### قانون احتمال متغير عشوائي

ليكن $\Omega$ كون إمكانيات تجربة عشوائية و$X$ متغيرا عشوائيا معرفا على $\Omega$ و $X(\Omega )=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ مجموعة قيم $X$. وليكن $P$ احتمالا معرفا على $\Omega$.
الدالة العددية $f$ التي تربط كل عنصر $x_{i}$ من $X(\Omega )$ باحتمال الحدث $\{X=x_{i}\}$ تُسمى قانون احتمال $X$ أو توزيع احتمال $X$ (بالفرنسية: Loi de probabilité، بالإنجليزية: Probability distribution).
بتعبير آخر: $\forall i\in \{1,\dots ,n\},\;f(x_{i})=P(X=x_{i})$

### وسيطات متغير عشوائي: الأمل الرياضي، المغايرة، الانحراف الطِّرازي

ليكن $X$ متغيرا عشوائيا مُعَرَّفا على كون الإمكانيات $\Omega$ لتجربة عشوائية، و $X(\Omega )=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ مجموعة قيم $X$، و $p$ احتمالا معرفا على $\Omega$، و $P(X=x_{i})=p_{i}$.
* الأمل الرياضي (بالفرنسية: Espérance mathématique، بالإنجليزية: Expected value) للمتغير العشوائي $X$ هو العدد الحقيقي $\mathbb {E} (X)$ بحيث:
$\mathbb {E} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$
* مغايرة (بالفرنسية: Variance، بالإنجليزية: Variance) المتغير العشوائي $X$ هو العدد الحقيقي الموجب $\mathbb {V} (X)$ بحيث:
$\mathbb {V} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i}-\mathbb {E} (X))^{2}$
* العدد $\sigma (X)={\sqrt {\mathbb {V} (X)}}$ يُسمى الانحراف الطرازي (بالفرنسية: Écart type، بالإنجليزية: Standard deviation) للمتغير $X$.
ملاحظات:
* نكتب أيضا $\mathbb {E} (X)={\overline {X}}$
* $\mathbb {V} (X)$ يُفيد في دراسة تشتت (تقارب أو تباعد) قيم المتغير $X$ حول القيمة المتوسطة $\mathbb {E} (X)$
${\begin{aligned}\mathbb {V} &=\mathbb {E} (X^{2})-[\mathbb {E} (X)]^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{2}-[\mathbb {E} (X)]^{2}\end{aligned}}$

### دالة التجزيئ

ليكن $X$ متغيرا عشوائيا مُعرفا على فضاء احتمالي مُنْتَهٍ $(\Omega ,P)$.
الدالة العددية $F$ المعرفة على $\mathbb {R}$ بـ: $\forall x\in \mathbb {R} ,\;F(x)=P(X<x)$
تسمى دالة التجزيئ للمتغير العشوائي $X$ (بالفرنسية: Fonction de répartition، بالإنجليزية: Cumulative distribution function).
| استقلال حدثين - استقلال اختبارات | القانون الحداني |
# حساب الاحتمالات/نماذج من تجارب واختبارات عشوائية
## نماذج من تجارب واختبارات عشوائية
### رمي قطعة نقود

* عند رمي قطعة نقود متوازنة (متجانسة وغير مغشوشة) وقبل أن تستقر في الأرض، لا يمكن مسبقا تحديد وقوع إحدى النتيجتين: الوجه F أو الظهر P. هذه التجربة عشوائية.
* عند رمي قطعة نقود مرتين متتابعتين، النتائج المتوقعة هي PP أو PF أو FP أو FF، وهذه النتائج لا يمكن تحديد وقوعها مسبقا. هذه التجربة عشوائية وهي مركبة من اختبارين عشوائيين: الرمية الأولى والرمية الثانية.

### رمي نرد

عند رمي نرد في الهواء، وقبل أن يستقر على الأرض، لا يمكن مسبقا تحديد وقوع إحدى النتائج 1، 2، 3، 4، 5، 6 التي يحملها الوجه العلوي للنرد. هذه تجربة عشوائية.

### سحب كرات من صندوق

سحب 3 كرات عشوائيا من صندوق يحتوى على 10 كرات بألوان مختلفة ولا يمكن التمييز بينها بواسطة اللمس، تجربة عشوائية لأنه لا يمكن مسبقا تحديد ألوان الكرات الثلاثة المسحوبة.

### القرعة

إجراء قرعة لاختيار شخص (أو أشخاص) يحصل على جائزة مسابقة، تجربة عشوائية عند القيام بعملية السحب.

### استطلاع للرأي

إجراء استطلاع للرأي (مثلا الإجابة بنعم أو بلا أو الامتناع عن إبداء الرأي) حول استهلاك منتوج أو حول قضية من القضايا على عينة من ساكنة، تجربة عشوائية.

### إشارات المرور

ظروف تنقل شخص على طريق بسيارته في المجال الحضري تجعل أضواء إشارات المرور التي يصادفها عملية عشوائية.
| حساب الاحتمالات | إمكانيات وكون إمكانيات تجربة عشوائية |
# حضارات قديمة
## حضارات قديمة

- إن الحضارات القديمة هي معهد تطور الأمم ولدراستها توجب على الباحثين البحث عن مخلافات هذه الأمم التي ساهمت في تطور عالمنا الحالي وفي هذه الوحدة درسنا أربع حضارات قديمة كانت بدائيا ومن ثم عرفت نواحي مختلفة من الحياة ساهمت في تميزها عن غيرها من الحضارات ومن بين هذه الميزات:
- الحضارات التي هي محور دراستنا:
* حضارة بلاد ما بين النهريين
* حضارة المصرية
* الحضارة اليونانية
* الحضارة الرومانية
# نهاية متتالية

في الرياضيات، نهاية متتالية هي القيمة التي تتقارب إليها قيم أعضاء هذه المتتالية. وإذا كانت قيم أعضاء المتتالية تتقارب إلى قيمة محددة نقول أن تلك المتتالية "منتهية". إذا كانت المتتالية منتهية فتوجد لها نهاية، أما إذا كانت المتتالية غير منتهية (مثل متتالية الأعداد الطبيعية) فلا توجد لها نهاية. وكما توجد نهايات لبعض الدوال فإنه توجد أيضا نهايات لبعض المتتاليات. دراسة نهايات المتتاليات مهمة لأنها تسمح بدراسة متتاليات الدالات في فضاء متجهات وهذا مهم في حل المعادلات التفاضلية الجزئية.

## المحتوى

| الفقرة | المحتوى |
| عموميات حول المتتاليات | متتالية مكبورة - متتالية مصغورة - متتالية محدودة رتابة متتالية متتالية حسابية متتالية هندسية |
| متتالية نهايتها لا منتهية | متتاليات اعتيادية نهايتها $+\infty$ |
| متتالية نهايتها منتهية | متتاليات اعتيادية نهايتها الصفر وحدانية النهاية |
| العمليات على نهايات المتتاليات | نهاية مجموع متتاليتين نهاية جداء متتاليتين نهاية خارج متتاليتين |
| النهايات والترتيب | |
| مصاديق التقارب | الرتابة والتقارب نهاية المتتالية $(n^{r})_{n}$ حيث $r\in \mathbb {Q} ^{*}$ نهاية المتتالية الهندسية $(q^{n})_{n}$ حيث $q\in \mathbb {R} ^{*}$ نهاية متتالية من نوع $u_{n+1}=f(u_{n})$ نهاية متتالية من نوع $v_{n}=f(u_{n})$ |
| متتاليتان متحاديتان | |

## انظر أيضا

* الاتصال
* الاشتقاق
* نهاية متتالية
* دراسة الدوال العددية
* الدوال الأصلية
* الدوال اللوغاريتمية
* الدوال الأسية
* التكامل
* المعادلات التفاضلية
* عموميات حول المتتاليات
# نهاية متتالية/متتالية نهايتها لا منتهية
## متتالية نهايتها لا منتهية

* نقول إن نهاية متتالية عددية $(u_{n})_{n\in I}$ هي $+\infty$ عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$ ، إذا كان كل مجال مفتوح من $]A,+\infty [$ حيث $A>0$ يحتوي على جميع حدود المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ انطلاقا من رتبة معينة.
وبتعبير آخر : $\forall A>0\;,\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} \;,\;\forall n\in \mathbb {N} \;,\quad (n\geq n_{0}\implies u_{n}>A)$
ونكتب $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=+\infty$ أو $\lim(u_{n})=+\infty$
* ونقول إن نهاية متتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هي $-\infty$ إذا كانت نهاية المتتالية $(-u_{n})_{n\in I}$ هي $+\infty$
وبتعبير آخر : $\forall A>0\;,\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} \;,\;\forall n\in \mathbb {N} \;,\quad (n\geq n_{0}\implies u_{n}<-A)$

### متتاليات اعتيادية نهايتها $+\infty$

المتتاليات $({\sqrt {n}})_{n}$ و $(n^{2})_{n}$ و $(n^{3})_{n}$ تؤول إلى $+\infty$ عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$
| عموميات حول المتتاليات | متتالية نهايتها منتهية |
# نهاية متتالية/العمليات على نهايات المتتاليات
## العمليات على نهايات المتتاليات

بصفة عامة، العمليات على النهايات التي سبقت دراستها بالنسبة للدوال، تبقى صالحة بالنسبة لنهايات المتتاليات.
نعتبر $\ell$ و $\ell '$ عددان حقيقيان.

### نهاية مجموع متتاليتين

| $\lim u_{n}$ | $\ell$ | $\ell$ | $\ell$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim v_{n}$ | $\ell '$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim(u_{n}+v_{n})$ | $\ell +\ell '$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | شكل غير محدد |

### نهاية جداء متتاليتين

| $\lim u_{n}$ | $\ell$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ أو $-\infty$ |
| $\lim v_{n}$ | $\ell '$ | $\ell '>0$ | $\ell '<0$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $0$ |
| $\lim(u_{n}v_{n})$ | $\ell \ell '$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | شكل غير محدد |

### نهاية خارج متتاليتين

| $\lim u_{n}$ | $\ell$ | $\ell >0$ | $\ell <0$ | $\ell >0$ | $\ell <0$ | $0$ | $0$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ أو $-\infty$ |
| $\lim v_{n}$ | $\ell '\neq 0$ | $0$ و $v_{n}>0$ ✪ | $0$ و $v_{n}>0$ ✪ | $0$ و $v_{n}<0$ ✪ | $0$ و $v_{n}<0$ ✪ | $+\infty$ أو $-\infty$ | $0$ | $\ell '>0$ | $\ell '>0$ | $\ell '<0$ | $\ell '<0$ | $+\infty$ أو $-\infty$ |
| $\lim {\frac {u_{n}}{v_{n}}}$ | ${\frac {\ell }{\ell '}}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $0$ | شكل غير محدد | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | شكل غير محدد |
✪ : انطلاقا من رتبة معينة
| متتالية نهايتها منتهية | النهايات والترتيب |
# نهاية متتالية/عموميات حول المتتاليات
## عموميات حول المتتاليات

ليكن $k$ عنصرا من $\mathbb {N}$ ، نضع : $I=\{n\in \mathbb {N} \;/\;n\geq k\}$ ، ولتكن $(u_{n})_{n\in I}$ متتالية عددية.

### متتالية مكبورة - متتالية مصغورة - متتالية محدودة

* نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ مكبورة إذا وُجِدَ عدد حقيقي $M$ بحيث : $u_{n}\leq M$ لكل $n$ من $I$
* نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ مصغورة إذا وُجِدَ عدد حقيقي $m$ بحيث : $u_{n}\geq m$ لكل $n$ من $I$
* نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ محدودة إذا كانت مكبورة ومصغورة.

### رتابة متتالية

* نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ تزايدية إذا كان : $u_{n+1}\geq u_{n}$ لكل $n$ من $I$
* نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ تناقصية إذا كان : $u_{n+1}\leq u_{n}$ لكل $n$ من $I$
* نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ ثابتة إذا كان : $u_{n+1}=u_{n}$ لكل $n$ من $I$

### متتالية حسابية

نقول إن المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ حسابية إذا وُجِدَ عدد حقيقي $r$ بحيث : $(\forall n\in I)\quad u_{n+1}=u_{n}+1$
العدد $r$ يسمى أساس المتتالية الحسابية $(u_{n})_{n\in I}$
إذا كانت المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ حسابية وأساسها $r$ فإنه لكل $n$ و $p$ من $I$ :
* $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$
* $(n\geq p)\qquad u_{p}+u_{p+1}+\cdots +u_{n}=(n-p+1)\left({\frac {u_{n}+u_{p}}{2}}\right)$

### متتالية هندسية

نقول إن المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هندسية إذا وُجد عدد حقيقي $q$ بحيث : $(\forall n\in I)\quad u_{n+1}=qu_{n}$
العدد الحقيقي $q$ يسمى أساس المتتالية الهندسية $(u_{n})_{n\in I}$
إذا كانت المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هندسية أساسها $q$ غير منعدم ومختلف عن $1$ فإنه لكل $n$ و $p$ من $I$ :
* $u_{n}=u_{p}q^{n-p}$
* $(n\geq p)\qquad u_{p}+\cdots +u_{n}=u_{p}\left({\frac {1-q^{n-p+1}}{1-q}}\right)$
| نهاية متتالية | متتالية نهايتها لا منتهية |
# نهاية متتالية/مصاديق التقارب
## مصاديق التقارب

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين و $\ell$ عددا حقيقيا بحيث $|u_{n}-\ell |\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.
إذا كان $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=0$ ، فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell$
لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ و $(w_{n})$ ثلاث متتاليات عددية وليكن $\ell$ عددا حقيقيا بحيث $w_{n}\leq u_{n}\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.
إذا كان $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=\ell$ و $\lim _{n\to +\infty }w_{n}=\ell$ ، فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell$
لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين بحيث $u_{n}\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.
إذا كان $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=+\infty$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=+\infty$
وإذا كان $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=-\infty$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=-\infty$

### الرتابة والتقارب

* كل متتالية تزايدية ومكبورة هي متتالية متقاربة.
* كل متتالية تناقصية ومصغورة هي متتالية متقاربة.
ملاحظة : هذه الخاصية تبين فقط أن المتتالية متقاربة دون تحديد نهايتها.
* كل متتالية تزايدية وغير مكبورة نهايتها $+\infty$
* كل متتالية تناقصية وغير مصغورة نهايتها $-\infty$

### نهاية المتتالية $(n^{r})_{n}$ حيث $r\in \mathbb {Q} ^{*}$

* ليكن $r$ عددا جذريا غير منعدم.
* إذا كان $r>0$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }n^{r}=+\infty$
* إذا كان $r<0$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }n^{r}=0$
أمثلة :
$\lim _{n\to +\infty }n^{-1/2}=0\quad ,\quad \lim _{n\to +\infty }n^{1/2}=+\infty$

### نهاية المتتالية الهندسية $(q^{n})_{n}$ حيث $q\in \mathbb {R} ^{*}$

ليكن $q$ عددا حقيقيا غير منعدم.
* إذا كان $q>1$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }q^{n}=+\infty$
* إذا كان $q=1$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }q^{n}=1$
* إذا كان $-1<q<1$ فإن : $\lim _{n\to +\infty }q^{n}=0$
* إذا كان $q\leq -1$ فإن المتتالية $(q^{n})_{n}$ ليست لها نهاية

### نهاية متتالية من نوع $u_{n+1}=f(u_{n})$

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال مغلق $I$ بحيث $f(I)\subset I$ ، ولتكن $(u_{n})$ متتالية معرفة بما يلي : $u_{0}\in I$ و $u_{n+1}=f(u_{n})$ لكل $n$ من $\mathbb {N}$
إذا كانت $(u_{n})$ متقاربة فإن نهايتها هي حل للمعادلة $f(x)=x$

### نهاية متتالية من نوع $v_{n}=f(u_{n})$

إذا كانت متتالية $(u_{n})$ متقاربة نهايتها $\ell$ وكانت دالة $f$ متصلة في $\ell$
فإن المتتالية $(v_{n})$ ، المعرفة بما يلي $v_{n}=f(u_{n})$ ، متقاربة ونهايتها $f(\ell )$
| النهايات والترتيب | متتاليتان متحاديتان |
# نهاية متتالية/النهايات والترتيب
## النهايات والترتيب

* إذا كانت $(u_{n})$ متتالية متقاربة وموجبة انطلاقا من رتبة معينة، فإن : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}\geq 0$
* إذا كانت $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين متقاربتين بحيث $u_{n}\leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة، فإن : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}\leq \lim _{n\to +\infty }v_{n}$
| العمليات على نهايات المتتاليات | مصاديق التقارب |
# نهاية متتالية/متتالية نهايتها منتهية
## متتالية نهايتها منتهية

نقول إن نهاية متتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هي عدد حقيقي $\ell$ إذا كان كل مجال مفتوح مركزه $\ell$ يحتوي على جميع حدود المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ انطلاقا من رتبة معينة.
وبتعبير آخر : $\forall \epsilon >0\;,\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} \;,\;\forall n\in \mathbb {N} \;,\quad (n\geq n_{0}\implies |u_{n}-\ell |<\epsilon )$
ونكتب : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell$ أو $\lim(u_{n})=\ell$
* كل متتالية نهايتها عدد حقيقي تسمى متتالية متقاربة.
* كل متتالية غير متقاربة تسمى متتالية متباعدة.
تكون متتالية متباعدة إذا كانت نهايتها $+\infty$ أو $-\infty$ أو إذا كانت لا تقبل نهاية (طبعا عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$)

### متتاليات اعتيادية نهايتها الصفر

المتتاليات $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\geq 1}$ و $\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)_{n\geq 1}$ و $\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)_{n\geq 1}$ متقاربة ونهايتها الصفر.

### وحدانية النهاية

إذا كانت متتالية متقاربة فإن نهايتها وحيدة.
إذا كانت متتالية متقاربة فإنها تكون محدودة.
ملاحظة : عكس هذه الخاصية غير صحيح، فالمتتالية $(u_{n})_{n}$ المعرفة بما يلي : $u_{n}=(-1)^{n}$ محدودة لكنها غير متقاربة.
| متتالية نهايتها لا منتهية | العمليات على نهايات المتتاليات |
# نهاية متتالية/متتاليتان متحاديتان
## متتاليتان متحاديتان

نقول إن متتاليتين $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متحاديتان إذا كانت إحداهما تزايدية والأخرى تناقصية و $\lim _{n\to +\infty }(u_{n}-v_{n})=0$
مثال :
لتكن $(u_{n})_{n>0}$ و $(v_{n})_{n>0}$ المتتاليتين المعرفتين بما يلي : $u_{n}=1-{\frac {1}{n}}$ و $v_{n}=1+{\frac {1}{n}}$
لدينا $(u_{n})_{n>0}$ تزايدية و $(v_{n})_{n>0}$ تناقصية و $\lim _{n\to +\infty }(u_{n}-v_{n})=\lim _{n\to +\infty }\left(-{\frac {2}{n}}\right)=0$
إذن المتتاليتان $(u_{n})_{n>0}$ و $(v_{n})_{n>0}$ متحاديتان.
إذا كانت $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين متحاديتين فإنهما متقاربتان ولهما نفس النهاية.
* مصاديق التقارب
# الأعداد العقدية/العمليات في مجموعة الأعداد العقدية
## العمليات في مجموعة الأعداد العقدية

جميع الخصائص والقواعد الحسابية في $\mathbb {R}$ يمكن تطبيقها على الأعداد العقدية، وهو ما تفيدة النتائج التي سنأتي على ذكرها.

### الجمع والجداء

باستعمال تجميعية الجمع وتوزيعية الضرب على الجمع في $\mathbb {C}$، نحصل على الخاصية الآتية:
لتكن $x$ و $y$ و $x'$ و $y'$ و $\lambda$ أعدادا حقيقية. لدينا:
${\begin{cases}(x+iy)+(x'+iy')=(x+x')+i(y+y')\\(x+iy)(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)\\\lambda (x+iy)=\lambda x+i(\lambda y)\end{cases}}$
ملاحظة
لكل $z$ و $z'$ من $\mathbb {C}$، لدينا: ${\begin{cases}\operatorname {Re} (z+z')=\operatorname {Re} (z)+\operatorname {Re} (z')\\\operatorname {Im} (z+z')=\operatorname {Im} (z)+\operatorname {Im} (z')\end{cases}}$
ولكل $\lambda$ من $\mathbb {R}$ : ${\begin{cases}\operatorname {Re} (\lambda z)=\lambda \operatorname {Re} (z)\\\operatorname {Im} (\lambda z)=\lambda \operatorname {Im} (z)\end{cases}}$

### المقابل

كل عدد عقدي $z=x+iy$ ، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، يقبل مقابلا في $\mathbb {C}$ وهو العدد $-x+i(-y)$ ، ونكتبه $-z=-x-yi$
إذن $\operatorname {Re} (-z)=-\operatorname {Re} (z)$ و $\operatorname {Im} (-z)=-\operatorname {Im} (z)$

### الفرق

الفرق $z-z'$ لعددين عقديين هو العدد: $z-z'=z+(-z')$

### المقلوب

ليكن $z=x+iy$ عددا عقديا غير منعدم، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان مع $x\neq 0$ أو $y\neq 0$ .
مقلوب $z$ هو العدد العقدي $z^{-1}$ أو ${\frac {1}{z}}$ بحيث:
${\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}(x-iy)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
ليكن $z=x+iy$ ، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، عددا عقديا غير منعدم ($x\neq 0$ أو $y\neq 0$ )
نعلم أن $(x-iy)(x+iy)=x^{2}+y^{2}$ وبما أن $x^{2}+y^{2}\neq 0$ ، فإن: ${\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}(x-iy)(x+iy)=1$
${\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}(x-iy)={\frac {1}{(x+iy)}}$

### الخارج

خارج عدد عقدي $z$ على عدد عقدي غير منعدم $z'$ هو : ${\frac {z}{z'}}=z\times {\frac {1}{z'}}$
لتكن $x$ و $y$ و $x'$ و $y'$ أعدادا حقيقية حيث $x'+iy'\neq 0$ أي $x'\neq 0$ و $y'\neq 0$ . لدينا:
${\frac {x+iy}{x'+iy'}}={\frac {1}{x'^{2}+y'^{2}}}\left[(xx'+yy')+i(x'y-xy')\right]$
ملاحظة
كما هو الشأن في $\mathbb {R}$ ، فإن لكل عدد عقدي غير منعدم $z$ ولكل $n$ من $\mathbb {Z}$ ، فإن $z^{-n}={\frac {1}{z^{n}}}$ .
وتبقى خاصيات القوى سارية المفعول على الأعداد العقدية.
| المجموعة ℂ | التمثيل الهندسي لعدد عقدي |
# الأسرة في اللغة الإسبانية

* الأسرة في اللغة الإسبانية
* الأب : Padre
* الأم : Madre
* الزوج: El esposo/ Marido
* الزوجة : La esposa/Mujer
* الأبن/الأبنة:Hijo/a
* الجد /الجدة:Abuelo/a
* الأخ/ الأخت : Hermano/a
* الأخ /الأخت غير الأشقاء :Cuñado/a
* الحفيد/الحفيدة: Nieto/a
* الأقارب: Primos/a
* زوجة الأبن: Nuera
* زوج الأبنة: Yerno
* الخال ة العم ة:Tio/a
* أبناء الأخ / الأخت: Sobrinos/a
* أم الزوج/الزوجة: Suergra
* أبو الزوج/الزوجة: Suegro
* قائمة المواضيع
* الفقرات.
* اضافة محتوى.
# الأسماء العاملة عمل الفعل

اعلم أن أصل العمل للأفعال ؛ فيعمل عمل الفعل من الأسماء سبعة:
* الأول: المصدر بشرط أن يحل محله فعل مع أن أو مع ما نحو: يعجبني ضَرْبُكَ زيداً؛ أي أن تضرب زيداً، ونحو: يعجبني ضربك زيداً أي ما تضربه به. وهو ثلاثة أقسام: مضاف ومنون ومقرون؛ فإعماله مضافاً أكثر من أعمال القسمين كالمثالين، وكقوله تعالى: { وَلَوْلاَ دَفْعُ اللّهِ النَّاسَ } (251) سورة البقرة؛ وعمله منوناً أقيس نحو: {أَوْ إِطْعَامٌ فِي يَوْمٍ ذِي مَسْغَبَةٍ (14) يتيماً ... (15) }سورة البلد؛ وعمله مقروناً بأل شاذ كقوله: ضعيف النكاية أعداءه.
* الثاني: اسم الفاعل كـضارب ومُكرِم؛ فإن كان بأل عمل مطلقا ًنحو: هذا الضارب زيداً أمس أو الآن أو غداً، وإن كان مجرداً من أل عمل بشرطين: كونه للحال أو الاستقبال واعتماده على نفي أو استفهام أو مخبراً عنه أو موصوف نحو: ما ضارب زيد عمرا، وأضارب زيد عمراً؟ وزيد ضارب عمراً!؛ ومررت برجل ضارب عمراً.
* والثالث أمثلة المبالغة وهي: ما كان على وزن أفعل و وزن مفعول أو مفعال أو فعيل أو فعل وهي كاسم الفاعل (الصفة المشبهة باسم الفاعل)، فما كان صلة لأل عمل مطلقا نحو: جاء الضراب زيداً؛ وإن كان مجردا منها عمل بشرطين، نحو: ما ضَّراب زيد عمراً.
* الرابع: اسم المفعول، نحو: مضروب ومُكرَم؛ ويعمل عمل الفعل المني للمفعول وشرط عمله كاسم الفاعل نحو: جاء المضروب عبده؛ وزيد مضروب عبدُه، فعبده نائب الفاعل في المثالين.
* الخامس: الصفة المشبهة باسم الفاعل المتعدي إلى واحد كـحسن وظريف، ولمعمولها ثلاث حالات: الرفع على الفاعلية نحو: مررت برجل حسن وجهُه وظريف لفظه؛ والنصب على التشبيه بالمفعول إن كان معرفة نحو: مررت برجل حسنُ الوجهً أو حسن وجهَه، وعلى التمييز إن كان نكرة نحو: مررت برجل حسن وجهاً؛ والجر على الإضافة نحو: مررت برجل حسن الوجهِ؛ ولا يتقدم معمول الصفة عليها؛ ولا بد من اتصاله بضمير الموصوف إما لفظاً كما في زيد حسن وجهه، أو معنى نحو: مررت برجل حسن الوجه.
* السادس: اسم التفضيل نحو: أكرم و أفضل ولا ينصب المفعول به على الأصح ولا يرفع الظاهر إلا في مسألة الكحل؛ وضابطها أن يكون في الكلام نفي وبعده اسم جنس موصوف باسم التفضيل وبعده اسم مفضل على نفسه باعتبارين نحو: ما رأيت رجلا أحسن في عينه الكحلَ منه في عين زيد. ويعمل في التمييز نحو: { أَنَا أَكْثَرُ مِنكَ مَالًا وَأَعَزُّ نَفَرًا} (34) سورة الكهف؛ وفي الجار والمجرور والظرف نحو: زيد أفضل منك اليوم.
* السابع: اسم الفعل وهو ثلاثة أنواع:
* ما هو بمعنى الأمر وهو الغالب: كـصَهٍ بمعنى اسكت ومَهٍ بمعنى اِنْكَفِف، وآمين بمعنى استجب وعلك زيداً بمعنى ألزمه ودونَك بمعنى خذه.
* وما هو بمعنى الماضي كـهيهات بمعنى بعُد وشَتَّانَ بمعنى افْتَرَقَ.
* والمضارع نحو أوَّه بمعنى أتوجع، وأُفِّ بمعنى أتضجر.
ويعمل اسم الفعل عمل الفعل الذي هو بمعناه ولا يضاف ، ولا يتقدم معموله عليه، وما نُوِّن منه فنكرة، وما لم يُنَوَّن فمعرفة.
# الأعداد العقدية

في الرياضيات، العدد العقدي أو العدد المركب (بالفرنسية: Nombre complexe، بالإنجليزية: Complex number) هو أي عدد يكتب على الصورة $a+bi\,$ حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان و $i$ عدد خيالي مربعه يساوي 1- (أي أن $i^{2}=-1$).

## المحتوى

| الفقرة | المحتوى |
| المجموعة ℂ | الأعداد العقدية الشكل الجبري لعدد عقدي تساوي عددين عقديين |
| العمليات في مجموعة الأعداد العقدية | الشكل الجبري لمجموع وجداء عددين عقديين مقابل عدد عقدي مقلوب عدد عقدي غير منعدم خارج عددين عقديين |
| التمثيل الهندسي لعدد عقدي | لحق نقطة، لحق متجهة التأويل الهندسي للمجموع والفرق والضرب في عدد حقيقي التأويل العقدي للاستقامية والتوازي والمرجح |
| مرافق عدد عقدي | التعريف والتأويل الهندسي خاصيات المرافق |
| معيار عدد عقدي | التعريف والتأويل الهندسي خاصيات المعيار |
| الأشكال المثلثية لعدد عقدي غير منعدم | عمدة عدد عقدي معياره الوحدة عمدة عدد عقدي غير منعدم شكل مثلثي لعدد عقدي غير منعدم خاصيات العمدة زاوية متجهتين وعمدة عدد عقدي الترميز الأسي لعدد عقدي غير منعدم تطبيقات الأعداد العقدية في الحساب المثلثي |
| الجذور من الرتبة n لعدد عقدي غير منعدم | الجذور من الرتبة n للوحدة الجذور من الرتبة n لعدد عقدي غير منعدم |
| المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول عقدي | الجذران المربعان لعدد عقدي غير منعدم جل المعادلة من الدرجة الثانية في ℂ |
| الكتابات العقدية للتحويلات الاعتيادية | الإزاحة التحاكي الدوران مركبات بعض التحويلات الاعتيادية |

## انظر أيضا

* الأعداد العقدية
* المجموعة ℂ