# الأعداد العقدية/التمثيل الهندسي لعدد عقدي
## التمثيل الهندسي لعدد عقدي
### لِحْقُ نقطة، لحق متجهة

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$
* ليكن $z=x+iy$ ، حيث $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ ، عددا عقديا.
النقطة الوحيدة $M$ التي زوج إحداثياتها هو $(x,y)$ في $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$ تسمى صورة $z$ (بالفرنسية: Image، بالإنجليزية: Image) ، ونكتب $M(z)$
* لتكن $M$ نقطة زوج إحداثياتها في $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$ هو $(x,y)$.
العدد العقدي $z=x+iy$ يُسمى لِحْق $M$ (بالفرنسية: Affixe، بالإنجليزية: Affix). نرمز له بالرمز $\operatorname {Aff} (M)$ (وأحيانا بالرمز $z_{M}$).
المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$
نعتبر عددا عقديا $z=x+iy$ ، حيث $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$
المتجهة ${\vec {u}}(x,y)$ في الأساس $({\vec {I}},{\vec {J}})$ تسمى الصورة المتجهية للعدد $z$ ونرمز لها بالرمز ${\vec {u}}(z)$
كما أن العدد العقدي $z$ يسمى لحق المتجهة ${\vec {u}}$
ونكتب $z=\operatorname {Aff} ({\vec {u}})$ (وأحيانا $z=z_{\vec {u}}$).
ملاحظات
* ليكن $z$ عددا عقديا، لدينا: $z=\operatorname {Aff} (M)\iff z=\operatorname {Aff} \left({\overrightarrow {OM}}\right)$
بتعبير آخر، إذا كان $z$ هو لحق النقطة $M$ ، فإن $z$ هو كذلك لحق المتجهة ${\overrightarrow {OM}}$ ، كما أنه إذا كان $z$ هو لحق المتجهة ${\vec {u}}$ ، فإن $z$ هو لحق النقطة $M$ بحيث ${\overrightarrow {OM}}={\vec {u}}$
* هناك تقابل بين $\mathbb {C}$ ومجموعة المتجهات: ${\vec {u}}={\vec {v}}\iff \operatorname {Aff} ({\vec {u}})=\operatorname {Aff} ({\vec {v}})$

### التأويل الهندسي للمجموع والفرق والضرب في عدد حقيقي

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$
إذا كانت ${\vec {v_{1}}}$ و ${\vec {v_{2}}}$ متجهتين لِحْقاهما على التوالي $z_{1}$ و $z_{2}$، فإن لحق ${\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{2}}}$ هو $z_{1}+z_{2}$
بتعبير آخر: $\operatorname {Aff} \left({\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{2}}}\right)=\operatorname {Aff} \left({\vec {v_{1}}}\right)+\operatorname {Aff} \left({\vec {v_{2}}}\right)$
إذا كانت $M_{1}$ و $M_{2}$ صورتي عددين عقديين $z_{1}$ و $z_{2}$ على التوالي، فإن صورة العدد $z_{1}+z_{2}$ هي النقطة $S$ بحيث: ${\overrightarrow {OS}}={\overrightarrow {OM_{1}}}+{\overrightarrow {OM_{2}}}$
(أي بحيث يكون $OM_{1}SM_{2}$ متوازي الأضلاع)
إذا كانت $M_{1}$ و $M_{2}$ النقطتين اللتين لحقاهما على التوالي $z_{1}$ و $z_{2}$ ، فإن لحق ${\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}$ هو $z_{2}-z_{1}$
بتعبير آخر: $\operatorname {Aff} ({\overrightarrow {M_{1}M_{2}}})=\operatorname {Aff} (M_{2})-\operatorname {Aff} (M_{1})$
* إذا كانت ${\vec {u}}$ متجهة لحقها $z$ وكان $\lambda$ عددا حقيقيا، فإن لحق $\lambda {\vec {u}}$ هو $\lambda z$ . بتعبير آخر: $\operatorname {Aff} \left(\lambda {\vec {u}}\right)=\lambda \operatorname {Aff} \left({\vec {u}}\right)$
* إذا كانت $M$ هي النقطة ذات اللحق $z$، فإن صورة العدد العقدي $\lambda z$ هي النقطة $P$ بحيث ${\overrightarrow {OP}}=\lambda {\overrightarrow {OM}}$
ملاحظة:
باستعمال الخاصيات السابقة، يمكن إثبات الخاصية الآتية:
لكل متجهتين ${\vec {u}}_{1}$ و ${\vec {u}}_{2}$ ولكل عددين حقيقيين $\lambda _{1}$ و $\lambda _{2}$ ، لدينا: $\operatorname {Aff} \left(\lambda _{1}{\vec {v_{1}}}+\lambda _{2}{\vec {v_{2}}}\right)=\lambda _{1}\operatorname {Aff} \left({\vec {v_{1}}}\right)+\lambda _{2}\operatorname {Aff} \left({\vec {v_{2}}}\right)$

### التأويل العقدي للاستقامية والتوازي والمرجح

لتكن $A$ و $B$ و $C$ نقطا مختلفة مثنى مثنى ألحاقها على التوالي $z_{A}$ و $z_{B}$ و $z_{C}$ .
تكون النقط $A$ و $B$ و $C$ مستقيمية إذا وفقط إذا كان ${\frac {z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}}$ عددا حقيقيا.
النقط $A$ و $B$ و $C$ مستقيمية إذا وفقط إذا وُجِد عدد حقيقي $\lambda$ بحيث: ${\overrightarrow {AC}}=\lambda {\overrightarrow {AB}}$
${\overrightarrow {AB}}$
$z_{B}-z_{A}$
${\overrightarrow {AC}}$
$z_{C}-z_{A}$
$A$
$B$
$C$
$(\exists \lambda \in \mathbb {R} )\;z_{C}-z_{A}=\lambda (z_{B}-z_{A})$
${\frac {z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}}\in \mathbb {R}$
لتكن $A$ و $B$ و $C$ و $D$ أربع نقاط من المستوى، ألحاقها على التوالي $z_{A}$ و $z_{B}$ و $z_{C}$ و $z_{D}$ بحيث $A\neq B$ و $C\neq D$ .
يكون المستقيمان $(AB)$ و $(CD)$ متوازيين إذا وفقط إذا كان ${\frac {z_{D}-z_{C}}{z_{B}-z_{A}}}$ عددا حقيقيا.
بتعبير آخر: $(AB)//(CD)\iff {\frac {z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}}\in \mathbb {R}$
لتكن $A$ و $B$ نقطتين لحقاهما على التوالي $z_{A}$ و $z_{B}$ وليكن $\alpha$ و $\beta$ عددين حقيقيين بحيث $\alpha +\beta \neq 0$ .
لحق المَرْجِح $G$ للنقطتين المتزنتين $(A,\alpha )$ و $(B,\beta )$ هو العدد العقدي $z_{G}={\frac {\alpha z_{A}+\beta z_{B}}{\alpha +\beta }}$
| العمليات في مجموعة الأعداد العقدية | مرافق عدد عقدي |