# تحفة الأحباب في علم الحساب

| ► ويكي مصدر:كتب مصورة | ◄ |
الحمد لله ميسر الحساب ومهون كل الصعاب وميسر السحاب أحمده حمدًا يفتح لنا الخيرات كل باب وأشهد أن لا إله إلا الله وحده لا شريك له شهادة عبد أوَّاب، وأشهد أن سيدنا محمدًا عبده ورسوله الناطق بالصواب صلى الله وسلم علیه وعلى جميع الأصحاب.
فيقول محمد سبط المارديني هذا مختصر في علم الحساب سهل لمن أراد الشرع في الفرائض من أولو الألباب مشتمل على مقدمة وثلاثة أبواب وخاتمة يتمم بحل الكتاب سميته تحفة الأحباب في علم الحساب، فالمقدمة في موضوع علم الحساب وبيان العدد، أما موضوع على الحساب فهو من حيث تحلیله وترکیبه وأما العدد فهو عند الجمهور ما تألف من الآحاد فالواحد ليس بعدد حقيقة بل هو مبتدأ العدد ویطلق علیه عدد مجازاً واطلاقًا سايعًا ​وقيل عدد حقيقة وصوبه النظام الأعرج وبعض العجم.
وأسماء العدد قسمان بسيط وهي اثنا عشر کلمة واحد واثنان وثلاثة وأربعة وخمسة وستة وسبع وثمانیة وتسعة وعشرة ومائة وألف ومركب وهي ما عدى هذه من أسماء العدد لإنها مأخوذه من هذه بتركيب لفظی كأحد عشر وكعشرين وكأحد وعشرين وكمائتين وكثلاث الأف وللعدد أنواع كثيرة لا نهاية لها، ولكل نوع من منزلة وهو بأنواعه، ومنازل قسمان أصلي وفرعي فالعدد الأصلي ثلاثة أنواع آحاد وهي من واحد إلى تسعة بزيادة واحد واحد ومنزليها الأولى عشرات وهي من عشرة إلى تسعين بزيادة عشر عشرة ومنزلتها الثانية مآت وهي من مائة إلى تسعمائة بزيادة مائة مائة ومنزلتها الثالثة، وهذه المنازل الثلاث هي الأصلية وللعدد والفرعية أنواع غير متناهية وهي ما فيه لفظة الألوف مفردة أو مكررة ولفظة الأف كذلك ​ومنازلها أيضًا فرعية فأولها آحاد والألوف وهي في المنزلة الرابعة ثم عشرات الألوف ومنزلتها الخامسة وثم مئات الألوف ومنزلتها السادسة ثم آحاد ألوف الألوف في المنزلة السابعة ثم عشرات ألوف الألوف في الثامنة ثم مئات ألوف الألوف في التاسعة ثم آحاد ألوف ألوف الألوف ثم عشراتها ثم مئاتها وهكذا إلى غير نهاية وهي دائرة على الأصلية كل نوع منها تسعة أعداد متفاضلة مثل أولها وتسمى عقود أو العدد الأوله من كل منزلة يسم عقدا مفردا وبعده عقدا مكررا من ذلك العقد المفرد فالعقد الثاني من كل نوع مكرر من عقدين والثالث من ثلاثة وهكذا إلى التاسع فمن تسعة والمنازل تسم أيضا مراتب واعداد المنازل سمي أسوساً واسم كل منزلة سميها وهو الاسم الذي يشار كما في الاشتقاق إلا الأولى فاسها واحد وأس الثانية اثنان والثالثة ثلاثة والعاشرة عشرة ​والخامس عشر خمسة عشرة وهكذا، وينقسم العدد من حيث مرتبته إلى مفرد وهو ما كان من نوع واحد كثلاثمائة وإلى مركب وهو ما كان من يوعين كأحد عشرا أو أكثر كثلاثمائة وخمسة وأربعين.

## الباب الأول
### في ضرب الصحيح في الصحيح

ضرب الصحيح تكرير أحد العددين بقدر عدة آحاد الأخر، فإذا أردت ضرب ثلاثة في خمسة، فكرر الثلاثة خمس مرات فالجواب خمسة عشر على التقديرين وإن شئت قلت تضعيف أحد العددين بعدة آحاد الأخر لأن الضعف في اللغة المثل والضعفات المثلان والأضعاف الأمثال وهو المشهور في اللغة وبه جاء القرآن العظيم فالتكرير التضعيف، والتضعيف هو التكرر فضرب الواحد في الواحد واحد وضرب الواحد في كل عدد لا والحاصل هو ذلك العدد بنفسه لأنه لا تكرار فيه وقد علم كيفيه ضرب الكثير في الكثير ​في تعريفه ولكن له طرق وضوابط تسهله نذكر ما تيسروا الضرب على ثلاثة أقسام ضرب مفرد في مفرد وضرب مفرد في مركب وضرب مركب في مركب رجع إلى ضرب المفرد كما سيأتي وضرب كل مفرد من كل نوع في مفرد من ذلك النوع أو غيره يحصر صورة في خمسة وأربعين صورة والأصل فيها ضرب الآحاد في الآحاد وحفظ صورة وسرعة استحضارها سهل للضرب
فالحاصل من ضرب الواحد في الواحد واحد وفي الاثنين اثنان وهكذا إلى تسعة فتسعة
والحاصل من ضرب الاثنين في الاثنين أربعة وفي الثلاثة ستة وفي الأربعة ثمانية وفي الخمسة عشرة وفي الستة اثنا عشر وفي السبعة أربعة عشر وفي الثمانية ستة عشر وفي التسعة ثمانية عشر
والحاصل من ضرب الثلاثة في الثلاثة تسعة وفي الأربعة اثنا عشر وفي الخمسة خمسة عشر وفي الستة ثمانية عشر وفي السبعة ​واحد وعشرين وفي الثمانية أربعة وعشرون وفي التسعة سبع وعشرون
والحاصل من ضرب الأربعة في الأربعة ستة عشر وفي الخمسة عشرون وفي الستة أربعة وعشرون وفي السبعة ثمانية وعشرون وفي الثمانية اثنان وثلاثون وفي التسعة ستة وثلاثون.
ومن ضرب الخمسة في الخمسة خمسة وعشرون وفي الستة ثلاثون وفي السبعة خمسة وثلاثون وفي الثمانية أربعون وفي التسعة ستة وأربعون
ومن ضرب الستة وفي الستة ستة وثلاثون وفي السبعة اثنان وأربعون وفي الثمانية ثمانية وأربعون وفي التسعة أربعة وخمسون
ومن ضرب السبعة في السبعة تسعة وأربعون وفي الثمانية ستة وخمسون وفي التسعة ثلاثة وستون.
ومن ضرب الثمانية في ​الثمانية أربعة وستون وفي التسعة اثنان وسبعون.
ومن ضرب التسعة في التسعة احد وثمانون والحاصل من ضرب عدد في عدد يسمى سطحا ومسطحا وبسطا وكل واحد من المضروبين يسمى ضلعا فاتساوي المضروبان يسمى الحاصل مربعًا أيضًا والله وأعلم
إذا ضربت في الآحاد نوعا مفردا غير الآحاد فرده إلى عدة عقوده فيرجع إلى الآحاد ثم اضرب الآحاد في الآحاد فالحاصل من نوع تلك العقود ومعناه أن كل واحد من حاصل الضرب في العقود مثل أول عقود ذلك النوع فإن كان ذلك النوع عشرات فكل واحد من الحاصل ألف وعلى هذا القياس وهو معنى قولهم الحاصل من ضرب الآحاد من كل نوع هو ذلك النوع مثاله ثلاثة وأربعين رد الأربعين إلى عدة عقودها أربعة وأضربها في الثلاثة يحصل اثنا عشر كل واحد منها عشرة فالجواب مائة وعشرون ولو يقل أضرب أربعة ​في خمسمائة فاضرب الأربعة في الخمسة عدة عقود المئات يحصل عشرون مائة فالجواب ألفان ولو قيل أضرب خمسة في ستة الأف فأضرب الخمسة في الستة عدة عقود الالف يحصل ثلاثون ألفا.
وإذا أردت ضرب غير الأحاد في غيرها فاضرب عدة عقود أحدهما في عدة عقود الأخر أحفظ الحاصل فإن شئت فابسط الحاصل نوع أحد المضروبين ثم ابسط حاصل من نوع المضروب الأخر يحصل الجواب وإن شئت فاجمع أسّيْ المضروببن واسقط من مجموعهما واحد أبدا فما بقي فهو أسي الحاصل وهو عدد منزلة أنواعه.
فلو قيل أضرب عشرين في ثلاثين فنعدة عقود العشرين اثنان وثلاثين ثلاثة فأضرب الاثنين في الثلاثة يحصل ستة ابسطها عشرات ثم ابسط الستين الحاصل عشرات يحصل ستمائة وإن شئت فجموع أسي المضروبين أربعة أطرح منها واحد يفضل ثلاثة هي أسي المئات ​فابسط الستة مئات قلو قيل أضرب ثلاثين في أربعمائة فأضرب ثلاثة في أربعة يحصل اثنا عشر ابسطها عشرات وابسط المائة والعشرين الحاصلة مئات فالجواب اثنا عشر ألفا. وإن شيئت فأسّي العشرات اثنان وأسّي المئات ثلاثة ومجموعها أي الأسين إلى واحد أربعة هي أسي آحاد الألوف فابسط الاثنا عشر ألوف يحصل المطلوب.
ولو قيل أضرب ثلاثمائة في خمسمائة فأضرب ثلاثة في خمسة عشر ابسطها مئات ثم ابسط الحاصل وهو ألف وخمسمائة يحصل مائة ألف وخمسون ألفًا أو اجعل الخمسة عشر عشرات ألوف لإن مجموع اسيهما إلا واحدا خمسة وهي أسي عشرات الألوف.
ولو قيل أضرب خمسين في ستة الأف فاضرب خمسة في ستة يحصل ثلاثون فابسطها عشرات ثم ألوفا أو أقل مجموع الأسين إلا واحد خمسة فهي من عشرات الألوف فالجواب ثلاثمائة ألف والله أعلم.
​فصل إذا أردت ضرب مفرد في مركب من نوعين أو أكثر فاضرب ذلك المفرد في كل نوع من مفردات المركب واجمع الحواصل يحصل المطلوب.
فلو قيل اضرب خمسة في ثمانية عشر، فالثمانية عشر مركبة من عشرة وثمانية، فاضرب الخمسة في العشرة يحصل خمسون وفي الثمانية يحصل أربعون واجمع الحاصلين يكن المطلوب تسعين.
وإذا قيل اضرب ثمانية في مائة وخمسة وعشرين، فاضرب الثامنية في المائة وفي العشرين وفي الخمسة، واجمع الحواصل الثلاثة يحصل ألف، وإذا أردت أن تضرب مركبا في مركب فاضرب كل نوع من أنواع أحدهما في كل نوع من أنواع الأخر واجمع الحواصل يحصل المطلوب.
فلو قيل اضرب اثني عشر في خمسة وعشرين، فالأول مركب من عشر واثنين، والثاني من عشرين وخمسة، فاضرب العشرة في العشرين تبلغ مائتين وفي الخمسة تبلغ خمسين، واضرب الاثنين في العشرين ​تبلغ الأربعين وفي الخمسة تبلغ عشرة واجمع الحواصل الأربعة يحصل ثلاثمائة.
وإذا قيل اضرب أربعة وثمانين في مائة وخمسة وعشرين، فاضرب الثمانين في المائة وفي العشرين وفي الخمسة واضرب الأربعة في المائة وفي العشرين وفي الخمسة، ثم اجمع الحواصل الستة فالجواب عشرة الأف وخمسمائة ولو ضربت مائة وخمسة وعشرين في مثلها لحصل خمسة عشر ألفًا وستمائة وخمسة وعشرون، والله تعالى أعلم.
فصل في وجوه الضرب مختصرة منها أن كل عدد يضرب في عقد مفرد يبسط مثل ذلك بعقد فإذا أردت ضربت مائة وخمسة وثلاثين في عشرة فابسطها عشرات بأن تجعل كل واحد عشرة يحصل ألف وثلاثمائة وخمسون، وإن أردت ضربها في مائة فابسطها مئات فالجواب ثلاثة عشر ألفًا وخمسمائة ألف فابسطها ألوف يحصل مائة ​وخمسة وثلاثون ألفًا، ومنها أن تضعف أحد المضروبين مرة أو أكثر بأن تزيد عليه مثله ثم على الحاصل مثله، وهكذا أو تضف المضروب الأخر بعدة ما ضعفت الأول بحيث تنقص عدة أنواع المضروبين أو أحدهما وتضرب ما بلغت الأول بالتضعيف في ما صار إليه الثاني بالتضعيف يحصل المطلوب، كمائة وخمسة وعشرين في ثمانية عشر فالأول مركب من ثلاثة أنواع والثاني من نوعين يحتاج الأصل إلى ست ضربات تضعف الأول مرة يبلغ مائتين وخمسين ونصف الثاني مرة يكن تسعة، فاضربها في المائتين وفي الخمسين واجمع الحاصلين يحصل الجواب ألفان ومائتان وخمسون، وثم عمله بضربتين واختصر منه أربع ضربات وإن ضربت المائة والخمسة والعشرين في اثنين وثلاثين، فضعف الأول مرتين يبلغ خمسمائة ونصف الثاني مرتين يبلغ ثمانية فيرجع إلى ضرب مفرد في مفرد فاضرب الخمسمائة ​في الثمانية يحصل الجواب أربعة الأف واختصر خمس ضربات ومنها أن تنسب أحد المضروبين إلى عقد مفرد أكثر منه والأحسن تنسب اسهلها نسبة، وتأخذ من المطلوب والأخر بتلك النسبة وتبسط المأخوذ مثل ذلك العقدة المفرد وإذا كان المأخذ كثير فابسطه بحسبه يحصل المطلوب، فلو أردت ضرب خمسة في أربعة وأربعين فانسب الخمسة إلى العشرة تكن نصفا وخذ نصف أربعة وأربعين واسقط الاثنين والعشرين المأخوذه عشرات يحصل مائيتان وعشرون.
ولو ضربت الأربعة والأربعين في خمسين نسبت الخمسين إلى المائة نصف فخذ نصف الأول وابسطه مائة يحصل ألفان ومائتان وإن ضربتها في خمسمائة فنسبة الثاني إلى الألف نصف فابسطه نصف الأول ألوفًا يحصل اثنان وعشرون ألف ولو كان بدل الأربعة والأربعين في الصور الثلاثة خمسة وأربعون ​نصفه اثنان وعشرون ونصف فابسط النصف بنصف العقد المفرد يحصل الجواب في الأولى مئتان وخمسة وعشرون وفي الثانية ألفان ومائتانا وخمسون والثالثة اثنان وخمسون ألفا وخمسمائة
وكل عدد يضرب في خمسة أو في خمسين أو خمسمائة يبسط نصفه عشرات في الأولي ومئات والثاني وألوفا في الثالث.
وإذا ضربت الخمسة والأربعين في خمسة وعشرين فتنسبه الخمسة والعشرين إلى المئايته ربع فخذ ربع الأول يكن إحدى عشر وربعاابسطه مائة يحصل ألف ومائة وخمسة وعشرین.
وإن ضرب الخمسة والأربعين في ثمانين فنسبة الثمانين إلى المائة أربعة أخماس فخذ أربعة أخماس الخمسة والأربعين وابسط الستة والثلاثين المأخوذة مئات فالجواب ثلاثة الأف وستمائة
وإذا ضربت مائة وستين في مائة وخمسة وعشرين ​فنسبة الثاني إلى الآلف ثمن فخذ ثمن الأول يكن عشرين وابسطه ألوفًا يحصل عشرون ألفًا وأن ضربت المائة والستين وستمائة وخمسة وعشرين فنسبتها إلى الألف خمسة اثمان فابسطه خمسة اثمان المائة والستين ألوفا يحصل مائة ألف ومنها إنك إذا أردت ضرب آحاد وعشرة في آحاد وعشرة فرد أحدهما على جملت الأخر وابسط المجتمع عشرات وزد على الحاصل مسطح الآحاد في الآحاد يحصل المطلوب فلو قيل أضرب خمسة عشر في ثمانية عشر فرد الخمسة التي آحاد الأول على الثاني أو الثمانية آحاد الثاني على الأول يحصل ثلاثة وعشرون ابسطها عشرات يحصل مائتان وثلاثون رد عليها مسطح الخمسة والثمانية وهو أربعون الجواب مائتان وسبعون ولو تعددت العشرات في أحد المضروبين فقط كخسمة عشر في أربعة وأربعين ​فاضرب آحاد الأصفر في عدة عشرات الأكبر ورد الحاصل على جملة الأكبر وابسط المجتمع عشرات ورد عليها سطح الآحاد من الجانبين ففي المثال المذكور واضرب الخمسة في أربعة عدة العشرات ورد العشرين الحاصلة على الأكبر وابسط الأربعة والستين الحاصلة عشرات وزد على الحاصل سطح الأربعة والخمسة وهو العشرون فالجواب ستمائة وستون وإن تكررت العشرة في كل من المضروبين واستوى عدتها فرد آحاد أحدهما على الأخر واضرب المجتمع في عدة عشرات أحد المضروبين والبسط الحاصل عشرات ورد على الحاصل بعد البسط مسطح الآحاد من الجانبين فلو قيل اضرب ثلاثة وثلاثين في خمسة وثلاثين فرد الثلاثة على الثاني والخمسة على الأول واضرب الثمانية والثلاثين المجتمعة في ثلاثة تكرار العشرة والبسط الحاصل وهو مائة وأرابعة ​عشر عشرات ورد على الحاصل مسطح الثلاثة والخمسة فالجواب ألف ومائة وخمسة وخمسون ومنها أن كل عدد يضرب في خمسة وفي مائة وخمسين أو في ألف وخمسمائة يزاد عليه مثل نصفه وابسط المجتمع عشرات الأول ومئات في الثاني وألوف في الثالث أن حصل فيه كسر وابسطه بحاسبه
ولو قيل اضرب ستة وثلاثين في خمسة عشر فزد على الأول مثل نصفه وابسطه الأربعة والخمسين الحاصلة عشرات فالجواب خمسمائة وأربعون وإن قيل أضربها في مائة وخمسين فابسط المائة يحصل خمسة الأف واربعمائة.
وإن قيل أضربها في ألف وخمسمائة فابسط الأربعة والخمسين ألوفا فهو أربعة وخمسون ألفا فإن كان المضروب الأول خسمة وثلاثين في الصور الثلاث كان الجواب في الأولي ​خمسمائة وخمسة وعشرين وفي الثانية خمسة الأف مائتين وخمسين وفي الثالثة اثنين وخمسين ألفا وخمسمائة، وقس على ذلك والله تعالى أعلم

## الباب الثاني
### في قسمت الصحيح في الصحيح

ومعرفة أقل عدد ينقسم على كل من عددين فأكثر القسمة على الصحيح تفصيل المقسوم إلى آخر متساوية عدتها مثل عدة آحاد المقسوم عليه أو مفرفة ما في المقسوم من أمثال المقسوم عليه لان الغرض منها معرفة ما يخص الواحد فعلى هذا القسمت على الواحد لانزلها وخارج القسمة على الواحد هو للقسوم بعينه بأنه لا تفصيل فيه والخارج من قسمة عدد أعلى متساويه واحدا ابدا وعلى أقل منه أكثر من واحد وعلى أكثر منه كسرا أبد ونسبه الواحد إلى المقسوم عليه كنسبة خارج القسمة إلى المقسوم تلك النسبة كان المأخوذ وهو الخارج القسمة المطلوب سواء كان المقسوم ​أكثر من المقسوم عليه أو أقل منه فاستعمل هذه الطريقة حيث سهلت.
فلو قيل اقسم عشر على خمسة فانسب الواحد إلى الخسمة تخذه خمسًا فاخذ خمس العشرة فالجواب اثنان، وإن عكس السؤال فانسب إلى العشرة تخذه عشر فخذ عشر الخمسة فالجواب نصف.
ولو قيل اقسم ثلاثين على خمسة فانسب الواحده إلى الخسمة تخذه خمسا فخذ خمس الثلاثين ستة وإن عكس السؤال فانسب الواحد إلى الثلاثين يكن ثلث عشر فخذ ثلث عشر الخمسة فهو سدس، وإن عسرت عليك النسبة فاستعمل غيرها من الطرق الآتية فإذا أردت قسمة عدد كثير على أقل فاسقط من المقسوم مثل المقسوم منه أقل من المقسوم عليه فعدة مرات الاسقاط هو خارج القسمة ان فنى المقسوم وإن فصل منه شيء فانسبه إلى المقسوم عليه واجمع ​الكسر الحاصل عليه إلى عدت مرات الاسقاط يحصل المرادفان قيل اقسم مائة على عشرين فاسقط العشرين من المائة مرة بعد اخرى ففي المرة الخامسة تفنى المائة فخارج القسمة خمسة وإن كان المقسوم مائة عشرة يفضل بعد المرة الخامسة عشرة فانسبها إلى العشرين يكن ننصفا اجمعه إلى الخمسة يكن الخارج خمسة ونصفا.
وإن قيل أقسم مائة وخمسة على أربعة وعشرين فاسقطها من المقسوم أربع مرات يفضل تسعة وينسبتها للأربعة والعشرين ربع وثمن فالجواب أربعة وربع وثمن وإن كان المقسوم عليها ألفا يخرج واحد وأربعون وثلثان ذلك طريق اخر وهو أن يحصل عدد بالا إذا ضربته في المقسوم عليه ساوى حاصلة المقسوم أو ينقص عنه بأقل من المقسوم عليه فالعدد المحصل هو خارج القسمة إن لم ​يفضل من المقسوم شيء وإن فضل منه شيء قسمة من المقسوم واعطف العطف الحاصل على العدد الذي حصلته يحصل الجواب وإذا اردت قسمت عدد على أكثر منه فانسبه إلى الأكثر فالاسم الحاصل هو خارج القسمة ولذلك تم قسمة القليل على الكثير نسبة وتسمية أيضًا.
فإن قيل اقسم واحد على اثنين فانسبه إليهما تجده نصفا فهو الجواب أو على ثلاثة فهو ثلث أو على أربعة فهو ربعه أو على عشرة فهو عشر أو على احد عشر فهو جزء من احد عشر جزء من الواحد وعلى خمسة عشر فهو ثلث خمس أو على عشرين فهو نصف عشر أو على أربعة وعشرين فهو ثلث ثمن.
وإن قيل اقسم خمسة وثلاثين على مائة وخمسة فانسبه إليها يكن ثلثا الجواب ثلث أو قيل اقسم على المائة والخمسة احد وعشرين فالجواب خمس أو خمسة عشر فهو سبع أو سبعين ​أو ثلثا أو ثلاثة وستين فهو ثلاثة أخماس استين فهو أربعة اسباع أو سبعة فهو ثلث خمس أو خمسة فهو ثلث سبع أو ثلاثة فهو خمس سبع أو احدا فهو ثلث خمس سبع وقس على ذلك
فصل وإذا كان المقسوم عليه سواء كان العدد مقسوما على أقل منه أو على أكثر يحصل المطلوب إن كانا من نوع واحد
فلو قيل اقسم ثمانين على عشرين أو ثمانية على مائتين أو ثمانية الاف على ألفين فعدة عقود المقسوم ثمانية في المثل الثلاثة وعدة عقود المقسوم اثنان فاقسم الثمانية على الاثنين الجواب في الاربعة وإن عكس السؤال فيها فاقسم الاثنين على الثمانية فالجواب ربع
وإن قيل اقسم الثمانين على ثلاثين فالجواب اثنان وثلثان وإن عكس فالجواب ثلاثة أثمان
وإن ختلف نوع المقسوم والمقسوم عليه كان اي المقسوم أكثر فاقسم عدة العقود على عدة العقود واحفظ الحاصل ثم اطرح أي المقسوم عليه من أي المقسوم وزد على الباقي ​واحد ابد الحاصل أي المحفوظ
فلو قيل اقسم ثمانين ألفا على مائتين فاقسم ثمانية على اثنين واحفظ الأربعة الخارجة ثم اسقط المائتين وهو ثلاثة من إلى المقسوم وهو خمسة ورد على الاثنين الباقبين واحدا يحصل ثلاثة أي هي الأربعة المحفوظة وهي أي المائة فالجواب أربعمائة ولو كانت القسمة على ألفين لكان الخارج أربعين أو على عشرين لكان الخارج على أربعة الأف.
ولو قيل اقسم ثمانمائة على ثلاثين اقسم ثمانية على ثلاثة يخرج اثنان وثلثان والباقي من أس المقسوم واحد رد عليه واحد يكمن أس المحفوظ اثنين وهما أس العشرات فالجواب ستة وعشرون وثلثان وإن كان المقسوم فيها ثمانية الأف كان الجواب مائتين وستة وستين وثلثين وإن المقسوم ثمانين ألفا كان الجواب ألفاين وستمائة وست وستين وثلثين فقس على ذلك وإن كان أس المقسوم عليه أكثر من أس المقسوم فاضرب الخارج من قسمة العقود إلى لفظ العشرة مرة ​أو أكثر بقدر الفضل بين الاثنين.
فلو قيل اقسم عشرين على ثمانية فاقسم الاثنين على الثمانية واضف الرابع الخارج إلى لفظ العشرة مرة مرة واحدة لان الفضل بين الاثنين اثنان على الجواب ربع عشر
وإن قيل اقسم العشرين على ثمانية الاف فالفضل بين الاثنين ربع عشر مرتين.
وإن قيل اقسمها على ثمانين ألفا فالفضل إلاثنين ثلاثة فالجواب ربع عشر عشر عشر ثلثا
ولو قيل اقسم ثمانين على مائتين فاقسم الثمانية على الاثنين فاضف الأربعة الحاصلة إلى لفظ العشر مرة وقيل أربعة اعشار أي خمسان.
ولو قيل اقسم الثمانين على ألفين فالجواب أربعة أعشار عشر أي خمسا عشرا وعلى عشرين ألفا فالمطلوب أربعة أعشار عشر عشراي خمسا عشر عشر
تنبيه إذا كان الخارج من قسمت العقود واحد واثنين فابدل الواحد يعسر والاثنين بخمس
فلو قيل اقسم ثمانين على ثمان مائة فالخارج من قسمت العقود واحد فابدله بلفظ العشرة مرة وقيل الجواب عشر وإن قسمت الثمانين على الثمانية ​الاف فقيل عشر عشر وإن قسمنها على أربعمائة فخارج قسمت العقود اثنان فقيل خمس أو على أربعة الاف فقل خمسة عشر وعلى هذا القياس والله أعلم.
فصل كل عدد يزلا بدا أن يكون بينهما نسبة من نسب أربع وهي التي التماثل والتداخل والتوافق والتباين لان العددين إما أن يكون متساويين أو متفاضلين فإن كانا متساويين فهما متماثلان كالخمسة والخمسة لان كلا منهما مماثل الاخر وإن كانا متفاضلين فانظر إن كان القليل جزء واحدا من الكثير فمتداخلان كالاثنين والأربعة وكالثلاثة والخمسة عشر معناه إن الأصغر داخل في الأكبر لان جزء الشيء داخل في ذلك الشيء دون عكسه وإن لم يكن جزاء واحدا منه فانظر إن كان بينهما متوافقة لجزء أو جزء فمتوافقان كأربعة وستين فإن لكل منهما نصفا صحيحا وكل منهما موافق الاخر وكثمانية واثنا عشر ​فإن لكل منهما نصفا صحيحا وربعا صحيحا وكل منهما موافق الأخر وإن لم يكن بينهما موافقة فمتباينان لان كلا منهما يباين الاخر والواحد داخل في كل عدد وكل عددين متواليين متبايين والأعداد الاوائل كلها متباينة والعدد الأول هو الذي لا يقيد من الأعداد إلا الواحد فقط كالاثنين والثلاثة والخمسة والسبعة والاحد عشر ونحوها وتسمى الأعداد الأربعة الأول اوائل منعطفة وإما عداها اوئل صم.
تنبيه إذا اشتكلت عليك النسبة بين العدين فاسقط الأصغر من الأكبر مرة بعد مرة فإن فنى الأكبر فمتداخلان كثلاثة وستة وكاثنين وعشرين وإلا فال تداخل فإن بقي من الأكبر واحد فمتباينان كثلاثة وسبعة وكثلاثة وعشرة إن بقى أكثر من واحد فاسقطه من الأصغر مرة فأكثر فإن فنى الأصغر فمتوافقان كعشرة وخمسة عشر وكعشرين وأربعة وثمانين ​بقي أكثر من واحد فاطرحه من بقية الأكبر فان فنية به فمتوافقان كعشرين وخمسة وسبعين أو بقى منها واحد فمتباينان أو أكثر فاطرحه من بقية الأصغر وهكذا تبسط بقية كل عدد على العدد الذي طرحته به إلى ان بقي واحد فيكونا متباينان فلا يبقى شيء فيكونان متوافقين بما للعدد الاخير الفنى لكل منهما من الاخر واعلم ان كل عددين متماثلين متوافقين أبد أحدهما من الاخر أو كل متداخلين متوافقان أيضًا الأصغرهما ولكن لا يطلق عليهما متوافقان حقيقة في الاصطلاح لان حقيقة المتوافقين مشتركان ليسا متماثلين ولا متداخلين والمعتبر في الأعمال من أجزاء الموافقة إذا تعددت فقط طلبا للاختصار ووفق كل المتوافقين ​يسمى أيضًا راجعا ويعرف مقداره بقسمة صاحب الوفق على العدد المفنى لكل من المتوافقين وهو المنتهى إليه بالطرح فائدة ليس الاعداد صم شيء من الكسور المنطقة وليس للعدد المفرد المنطق نصف صحيح فلاربع ولا سدس ولا ثمن ولا عشر أكثر ما يوجد من الكسور والطبيعة الثلث والخمس والسبع والتسع فأقل عددا توجد الأربعة ثلاثمائة وخمسة عشر ولا تجتمع الكسور بالطبيعية كلها إلا في عدد زوج خال من الآحاد وأقله ألفان وخمسمائة وعشرون والله أعلم
فصل في معرفة أقل عدد ينقسم على كل من عدين مفروضين أو يما أو على أعداد مفروضة قسمة صحيحة من غير كسر فإن كان معك عددان فقط واردت معرفة أقل عدد ينقسم على كل منهما فخذ عددا مساويا لاحدعما ان تماثلا ولأكبرهما ان ​تداخلا ومستطحها أن تباينا ومسطح أحدهما في وفق الأخر أن توافقا فما كان فهو المطلوب فأقل عدد ينقسم على خمسة وخمسة هو خمسة لتماثلهما وعلى خمسة وعشرة هو عشرة لتداخلهما وعلى خمسة وستة هو ثلاثون لتباينهما وعلى أربعة وستة اثنى عشر لتوافقهما للنصف وإن كان معك أعداد ثلاثة فأكثر فأقل عدد ينقسم على كل منهما هو للتساوي لأحدهما أن تماثلت كلها ولا كبرها أن تداخلت كلها أو كان ما عد الأكبر داخلا في الأكبر والحاصل من ضرب بعضها في بعض أن تباينت كلها فلو كانت خمسة وعشرة وعشرين فالمطلوب عشرون لتداخلها وكذا لو كانت خمسة وستة وعشرة وثلاثين فالمطلوب ثلاثون لأن الأعداد الثلاثة الأول داخلة في الرابع وإن كانت اثنين وثلاثة وخمسة فالمطلوب ثلاثون أيضاً لتباينها وإن كانت كلها موافقة ​أو مختلفة فانظرين عدد منها وحصل أقل عدد ينقسم على كل منهما ثم انظر بين العدد الذي حصلته وبين عدد ثالث منهما وحصل أقل عدد ينقسم على كل منهما فانظر بينه وبين رابع وهكذا إلى آخر الأعداد فالعدد المحصل اخر هو المطلوب ولو كان الأعداد ستة وثمانية وعشرة أقل عدد ينقسم على الستة والثمانية أربعة وعشرون لتوافقهما بالنصف فانظر بينه وبين العشرة فأقل عد ينقسم على كل منهما مائة وعشرون وهو المطلوب فإن كانت اثنين وثلاثة وأربعة وخمسة وستة وسبعة وثمانية واخرى وتسعة وعشرة فاعمل كما عملت يحصل ألفان وخمسمائة وعشرون وهو المطلوب.

## الباب الثالث
### في الكسور واسمائها واعمالها

الكسور قسمان طبعية وهي تسعة النصف والثلث والربع والخمس والسدس والسبع والثمن والتسع والعشر ​وغير الطبيعة وهي ماعدى هذه التسعة والكسر إما منطق وإما أصم فالمنطق ما يعبر عن حقيقة بغير لفظ الجربية وهو الطبعية وما أخذ منها والأصم ما لا بعبر عن حقيقة كجزء من أحد عشر وكل واحد من المنطق والأصم أربعة أنواع مفرد ومكرر ومضاف ومعطوف فالمفرد عشرة الكسور الطبعية والجزء والمكرر ما تعدد من مفرد كثلاثة أرباع كجزئين من أحد عشر والمضاف ما ركب بالإضافة من قسمين وأكثر كنصف ثمن وكثلثي خمس ولثلثي سبع عشر وكربع جزء من ثلاثة عشر جزءا ومن الواحد وكجزء من أحد عشر جزء في جزء من ثلاثة عشر جزء من الواحد والمعطوف ما عطف جزء بعضه على بعض بالواو سواء كان من اسمين أو أكثر كنصف وربع وكثلاثة أخماس وجزء من سبعة عشر وكجزء من أحد عشر وجزء من ثلاثة عشر وكخمس وسدس وسبع وكثلث وسبعين وثلاثة أجزاء من أحد عشر وأسماء الكسور ​بسيطة ومركبة فالبسيطة عشرة وهي أسماء الكسور المفردة وإما المركبة فاسماء المكرره والمضاف والمعطوف والله أعلم.
فصل في معرفة مخارج الكسور وتسما مقاماتها مخرج الكسر ومقامه هو أقل عدد يصح منه الكسر المفروض فمقام النصف اثنان لإنه أقل عدد له نصف صحيح ومقام كل كسر مفرد غير النصف سميه فمقام الثلث ثلاثة ومقام الربع أربعة وهكذا إلى العشرة فعشرة ومقام الجزء من ثلاثة عشر وهو الثلاثة عشر ومقام المكرر هو مقام مفرده فمقام الثلثين ثلاثة ومقام ثلاثة أخماس خمسه ومقام خمسة أجزاء من أحد عشر هو الأحد عشر وإما مقام المضاف فانظر إن كان مضافا من اسمين فهو مسطح مقاميهما وإن كان من أكثر من اسمين فهو ما يحصل من ضرب مقامات الاسماء المتضايفه بعضها في بعض من غير نظر إلى نسبة بينهما فمقام ​خمس الخمس خمسة وعشرون لإنه من ضرب خمس في خسمة وكذا مقام ثلاثة أخماس خمس ومقام نصف الثمن ستة عشر لإنه من ضرب الاثنين مقام النصف في ثمانية مقام الثمن ومقام ربع العشر أربعون لإنه مسطح وأربعة وعشرة وكذا مقام الثلاثة أرباع العشر ومقام ثلث الخمس أو ثلثي الخمس خمسة عشر لإنه مسطح ثلاثة وخمسة ومقام نصف جزاء من سبعة عشر أربعة وثلاثون ومقام ثلث خمس السبع مائة وخمسة ومقام نصف ثلث ربع الخمسمائة وعشرون وإما مقام المعطوف فهو أقل عدد ينقسم على كل من مقامي المتعاطفين إن كان من اسمين فإن كان من أكثر فهو أقل عدد ينقسم على كل من مقامات متعاطفاته فمقام النصف والثمن ثمانية لتبدا مقامي المتعاطفين ومقام الربع السدس اثنا عشر ​لتوافقهما بالنصف ومقام الثلث والخمس خمسة عشر للمتباينة ومقام النصف والثلث والربع اثني عشر ومقام الكسور الطبعية كلها ألفان وخمسمائة وعشرين لأن مقامات مفراتها من اثنين إلى عشرة على توالي الأعداد وأقل عدد ينقسم على كل منهما هو ماذكرناه والله أعلم.
فصل في معرفة بسط الكسور بسط الكسر عبارة عن مقدار الكسر المفروض من مقامه فإذا أحد الكسر المفروض من مقامه كان المأخوذ بسطه المفرد واحد أبدا وبسط المكرر عدة تكراره أبدا وبسط المضاف واحد إن كان المضاف مفرداً وعدة تكراره إن كان مكرر افبسط النصف واحد لأنه نصف مقامه وبسط العشر واحد وبسط الجزء من أحد عشر واحد وبسط الثلثين اثنان لإنهما ثلثا مقامهما وبسط ثلاثة أسباع ثلاثة وبسط خمسة أجزاء من ثلاثة ​عشر خمسة وبسط نصف الثمن واحد لأنه نصف ثمن مقامه وبسط جزء من أحد عشر واحد وبسط جزء من أحد عشر من جزء ثلاث عشر جزاء ثمن جزء من ثلاثة عشر جزاء واحد أيضاً لأن المضاف فيهما مفرد وبسط ثلاثة أرباع الخمس أو خمس ثلاثة أرباع ثلاثة أربعة أخماس جزء من أحد عشر أربعة لأنه عدة تكرار المضاف فيها وإما بسط المعطوف فبحسبه فبسط النصف والثمن خسمه لأن مقامه ثمانية ونصف وربع وثمن واحد ومجوعهما خمسة وبسط الربع السدس خمسة أيضاً بسط النصف والثمن وبسط الثلث والسبع عشرة لامقامه أحد عشر وبسط ثلاثة أخماس وسدس ثلاثة وعشرون وبسط أربعة أخماس وجزءين من أحد عشر أربعة وخمسون وبسط الثلث والربع والخمس سبعة وأربعون وإذا كان مع الكسر صحيح ​وأردت بسط الجميع فاضرب الصحيح في مقام الكسر المقرون به يحصل بسط الصحيح زد عليه بسط الكسر يحصل بسط مجموع الصحيح والكسر وبسط الواحد والنصف ثلاثة وبسط الاثنين والنصف خمسة وبسط الثلاثة والثلث عشرة وبسط الاثنين وثلاثة أخماس ثلاثة عشر وبسط خمسة وثلث سبعمائة وخمسة عشر لأن مقام الكسر احد وعشرون وبسطه عشرة وحاصل ضرب الخمسة في المقام مائة وخمسة زد عليها العشرة يحصل ما ذكرناه وبسط الخمسة وثلث السبع بالإضافة مائة وستة لإن بسط الكسر واحد والله أعلم.
فصل في معرفة ما فوق الكسر وما تحت الكسر، إما فوق الكسر فاسقط من مقام الكسر المفروض بسطه وانسب البسط إلى الباقي فالحاصل ​بالنسبة هو ما فوق الكسر فلو قيل كم فوق الربع فاسقط بسطه فهو واحد من مقامه وهو أربعة بفصل ثلاثة ونسبة الواحد ما لها ثلث فوق الربع الثلث وفوق الخمس الربع وفوق العشر التسع وفوق ثلاثة الأسباع ثلاثة الأرباع لإن بسط ثلاثة الأسباع ثلاثة والباقي من مقامها بعض طرحها منه أربعة ونسبة الثلاثة ثلاثة أرباع وفوق السبعين خمسان وفوق الثلاثة أخماس مثل ونصف وفوق أربعة أخماس أربعة أمثال وفوق الثلث والخمس مثل وسبع وعلى هذا القياس وإما ما تحت الكسر فزد على مقام الكسر المفروض بسطه وانسب البسط المزيد إلى المجتمع يحصل ما تحت ذلك الكسر فتحت النصف الثلث لإنه الحاصل من نسبة بسط النصف إلى مجموعه مع مقامه وتحت الثلث الربع وتحت العشر جزء من احد عشر وتحت الثلثين خمسان وتحت ثلاثة أخماس ​ثلاثة أثمان وتحت الثلث والخمس ثمانية أجزاء من ثلاثة وعشرين جزء من الواحد والله أعلم.
فصل في جمع الكسور وطرحها إذا أردت جمع كسر إلى كسر أو طرح كسر من كسر فخذ مقامايهم الكسرين وخذ منه بسط كل منهما فإن أردت جمعهما فاقسم مجموع البسطين على ذلك المقام وإن أردت طرح أصغرهما من الأكبر فاقسم الفضل بين البسطين على ذلك المقام
ولو قيل أجمع خمسين إلى ثلاثة أسباع واطرح خمسين من ثلاثة أسباع فمقامهما خمسة وثلاثون وبسط الخمسين منه أربعة وعشر وبسط ثلاثة أسباع منه خمسة عشر ففي الجمع اقسم مجموعما وهو تسعة وعشرون على المقام يحصل أربعة أخماس وخمس سبع وفي الطرح اقسم الفضل بينهما وهو واحد على المقام فالباقي خمس سبع ولو قيل أجمع ثلثا وربع إلى خمسة أسداس أو أطرحه من خمسة أسداس فالمقام ​الجامع لهما اثنا عشر المتداخل وبسط الأول منه سبعة وبسط الثاني عشرة فاقسم مجموعهما أو الفضل على المقام فحاصل الجمع واحد وربع وسدس والباقي بعد الطرح ربع وربما يكون الجمع والطرح واضحين يدركان من غير عمل كما لو قيل اجمع خمسين إلى ثلاثة أخماس واطرحهما من ثلاثة الأخماس فواضح أن مجموعهما واحد وإن الباقي بعد الطرح خمس وكذا.
لو قيل اجمع ثمنين إلى ثلاثة أثمان أو اطرحهما من ثلاثة اثمان فالجواب خمسة أثمان أة ثمن وإما جمع الكسور الكثيرة فجمعها كلها من مقامها الجامع لها وقسمة مجمةعها على مقامها.
فلو قيل اجمع ثلاثين وخمسين وخمسة أسداس وأربعة أتساع وثلاثة أعشار فمقامها الجامع لها تسعون ومجموعها منه مائتان وثمانية وثلاثون اقسمه على التسعين يخرج اثنان وثلث وخمس وتسع وإن شيئت قلت اثنان وأربعة أتساع وخمس فقس على ذلك ولله أعلم.
فصل في ضرب الكسر في الصحيح ​أو الصحيح والكسر في الصحيح تقدم أن نضرب الصحيح تضعيف وإما ضرب الكسر فهو تبعيض لأن ضرب الكسر في كل مقدار هو على معنى خلاف لفظة في إضافة الكسر إلى ذلك المقدار فإذا قيل اضرب نصفا في عشرة وكأنه قيل كم نصف العشرة فخذ نصفها فالمطلوب خمسة فإن قيل اضرب ثلاثة أخماس في ثلاثين تجده ثمانية عشر فهو المطلوب وعلى هذا القياس فإن عسر عليك أحد الكسرين من العدد الصحيح فاضرب العدد في بسط الكسر والكسر الحاصل على مقامه يحصل المطلوب.
فلو قيل اضرب خمسا وسدسا في سبعة فاضرب السبعة في أحد عشر بسط الكسر واقسم السبعة والسبعين الحاصل على مقامه وهو ثلاثون فالجواب اثنان وخمسان وسدس.
ولو قيل اضرب أحد عشر في خمسة وسدس فاضربها في بسطه واقسم الحاصل على مقامه يحصل أربعة وثلث عشر وإذا كان بين ​الصحيح وبين مقام الكسر اشتراك بجزء أو باجزاء فالاخصر ان تضرب تضرب بسط الكسر في وفق الصحيح وتقسم الحاصل على وفق مقام الكسر.
فلو قيل اضرب ثلثا وربعا في ثمانية فبين الثمانية وبين المقام موافقة بالربع فرد كلا منهما إلى أربعة واضرب البسط وهو سبعة في اثنين واقسم الحاصل على ثلاثة يحصل أربعة وثلثان وإذا كان الصحيح ما ويالمقام الكسر فبسط الكسر هو حاصل الضرب فلو قيل اضرب ستة في نصف وثلث فالستة تساوي مقام الكسر فقام فبسط الكسر وهو خمسة هو حاصل الضرب وان ضربت صحيحا في صحيح وكسر فاضرب الصحيح المفرد في الصحيح وحده ثم في الكسر وحده واجمع الحاصلين يحصل المطلوب فلو قيل اضرب أربعة في خمسة ونصف فاضرب الأربعة في الخمسة يحصل عشرون وفي النصف يحصل اثنان والمجموع اثنان وعشرون ​ولو قيل اضرب خمسة وخمسا وسدسا في أربعين فاضرب فيها الخمسة يحصل مائتان ثم الخمس والسدس يحصل أربعة عشر وثلثا مجموعهما المطلوب، ولله أعلم.
فصل في ضرب الكسر والكسر والصحيح في الكسر أو في الكسر والصحيح ابسط كل واحد من المضروبين سواء كان كسرا مجرد أو مقرونا بصحيح واضرب بسط كل جانب منهما في بسط الاخر ومقامه في مقامه واقسم مسطح البسطين على سطح المقامين يحصل المطلوبين.
فلو قيل اضرب نصفا في نصف فمقام كل منهما اثنان وبسطه واحد فاقسم مسطح بسطيهما وهو واحد على مسطح مقامهما وهو أربعة يحصل ربع ولو قيل اضرب اثنين في ثلاثة أرباع فمقام الأول ثلاثة وسطه اثنين ومقام الثاني أربعة وسطه ثلاثة فاقسم ستة سطح البسطين على اثني عشر ​سطح المقامين يخرج نصف.
ولو قيل اضرب واحدا وثلثا في واحد وخمسين فاقسم سطح البسطين وهو ثمانية وعشرون على خمسة عشر سطح المقامين يخرج واحد وثلثان وخمس
تنبيه إذا كان بين بسط أحد المضروبين ومقام الاخر موافقه فرد كل منهما إلى وفقه ومقامه وكمل لعمل فهو اخصر.
فلو قيل اضرب ثلثا وربعا في ثلث وخمس فإن شيئت فاقسم سطح البسطين فهو ستة وخمسون على سطح المقامين وهو مائة وثمانون.
وإن شئيت فبين مقام الأول وهو اثنا عشر بين بسط الثاني وهو ثمانية موافقة بالربع فرد مقام الأول إلى ثلاثة واضربه في مقام الثاني وهو خمسة عشر ورد بسط الثاني إلى اثنين واضربه في بسط الأول وهو سبعة واقسم أربعة على خمسة وأربعين يحصل خمس وتسع.
ولو قيل اضرب اثنين ونصفا ​في ثلاثة ثلث فإن شيئت فاقسم سطح بسطيها وهو خمسون على سطح المقامين وهو ستة يحصل ثمانية وثلث وإن شيئت فمقام النصف يوافق بسط الثاني وهو عشر بالنصف فاقسم نصف كل منهما مقامه واضرب بسط الأول وهو في نصف بسط الثاني وهو خمسة واقسم الخمسة والعشرين الحاصلة على سطح الواحد والثلاثة يخرج ما ذكرناه.
ولو قيل اضرب ثمانية وثلثا وخمسا في ثلث ثمن فبسط الأول وهو مائة وثمانية وعشرين يوافق مقام الثاني وهو أربعة وعشرون بالثمن فاقسم ثمن كل منهما مقامه وكمل العمل يحصل ثلث وخمس وتسع
فلو كان بسط احد المضرببين مساويا لمقام الاخر فالاخصر أن تسقطهما وتقسم البسط الباقي على المقام الباقي ففي ثلثين في ثلاثة أرباع يساوي مقام الثلثين بسط الثلاثة الأرباع فاسقطهما واقسم اثنين على أربعة يخرج نصف.
فلو قيل اضرب خمسا وسدسا ​في عشرة اجزاء من احد عشر جزء فبسط الأول يساوي مقام الثاني فاطرحهما فاقسم عشرة بسط الثاني على ثلاثين مقام الأول يحصل ثلث.
ولو قيل اضرب ثلثا وربعا في سبعة وسبع فاسقط بسط الأول ومقام الثاني لتماثلهما واقسم بسط الثاني وهو خمسون على مقام الأول يحصل أربعة وسدس.
ولو قيل اضرب اثنين وثلثا في ستة وسبع فاسقط بسط الأول أيضاً ومقام الثاني واقسم بسطه ثلاثة وأربعين على ثلاثة مقام الأول، فالمطلوب أربعة عشر وثلث والله أعلم.
فصل في قسمة ما فيه الكسر اعلم أن القسمة على الصحيح تبعيض على الكسر تضعيف عكس الضرب لان العرض من القسمة معرفة ما يحصل الواحد الكامل فإذا أردت قسمة صحيح على كسر أو على صحيح وكسر أو عكسه فابسط كلا من المقسوم عليه والمقسوم عليه من جنس الكسر بإن ​تضربه في مقامه ثم اقم بسط المقسوم على البسط المقسوم عليه يحصل المطلوب.
فلو قيل اقسم أربعة على نصف فابسط كلا منهما واقسم بسط الأربعة وهو ثمانية على واحد بسط النصف يحصل وإن عكس السؤال خرج ثمن ولو قيل اقسم عشرة على اثنين ونصف فبسط المقسوم عشرون اقسمه على خمسة بسط المقسوم عليه فالجواب أربعة ولو عكس فالجواب ربع ولك في قسمة الصحيح أن تقسمه على بسط المقسوم عليه وتضرب الخارج في مقامه يحصل المطلوب ففي المثال الأول اقسم الأربعة على بسط النصف وهو واحد واضرب الأربعة الخاجه في الاثنين مقام النصف يحصل ثمانية وهو المطلوب في المثال الثاني اقسم العشرة على خمسة بسط الاثنين والنصف واضرب الخارج في اثنين مقام النصف يحصل أربعة وقس على ذلك وإن كان الكسر في كل من المقسوم عليه والمقسوم ​عليه جميعا فحصل مقاما يعم كلا من يعم كلا من كسر الجانبين سواء كان كلا منهما كسرا مجردا أو مفردنا صحيح أو هما مجرد أو الاخر مقرونا بصحيح وابسط كلا من المقسو عليه والمقسوم عليه من جنس هذا المقام بجامع لها بإن تضربه فيه واقسم بسط المقسوم على البسط المقسو عليه ولو قيل ثلاثة وثلثا على اثنين ونصف فمقامهما الجامع لها ستة لتباين المفاصين فاضرب فيه كلا منهما واقسم عشرين بسط المقسوم على خمسة عشر بسط المقسوم عليه فالجواب واحد وثلث ولو عكس فالجواب ثلاثة أرباع ولو قيل اقسم نصفا وثلثا على ثلاثة أرباع ومقامهما الجامع اثنا عشر لتوافق المقامين فاضرب فيه كلا منهما واقسم عشرة على تسعة يحصل واحد وتسع وإن عكس السؤال فالجواب تسعة أعشار.
ولو قيل اقسم ثلاثة وثلثا على النصف وثلث ومقامهما ستة للتداخل فابسط كلا منهما من جنس واقسم ​واقسم عشرين على خمسة يخرج أربعة ولو عكس السؤال خرج ربع ولو قيل اقسم ثلاثة فخا على أربعة أخماس ومقامهما خمسة للثماتل فالجواب أربعة أیضًا وإن عكس خرج ربع كالتي قبلها فاشئت فابسط كلا من المقسوم علیه من مقامه الخاص به واضرب بسط كل منهما في مقام الاخر واقسم حاصل المقسوم على حاصل المقسوم عليه يخرج الجواب وعلى هذا ان تساوى المقامات فإلا ان نقسم بسط المقسوم على بسط المقسوم عليه يخرج المطلوب ولو قيل