# تحليل رياضي/الدوال العددية
## محور تماثل - مركز تماثل منحنى

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد.
يكون المستقيم ذو المعادلة $x=a$ محورَ تماثل للمنحنى $(C)$ إذا وفقط إذا كان لكل $x$ من $D$ : ${\begin{cases}2a-x\in D\\f(2a-x)=f(x)\end{cases}}$
لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$ و $(C_{f})$ منحناها في معلم ما.
تكون النقطة $\Omega (a,b)$ مركز تماثل للمنحنى $(C_{f})$ إذا وفقط إذا كان لكل $x$ من $D$ : ${\begin{cases}2a-x\in D\\f(2a-x)=2b-f(x)\end{cases}}$
لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$
إذا كان منحنى دالة $f$ يقبل نقطة $\Omega (a,b)$ كمركز تماثل، أو يقبل كمحور تماثلٍ مستقيما معادلته $x=a$
فإنه يكفي أن تُدرسَ الدالة $f$ على المجموعة $D\cap [a,+\infty [$

## الدوال الدورية

لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$. نقول إن الدالة $f$ دورية إذا وُجِدَ عدد حقيقي $T$ غير منعدم بحيث لكل $x$ من $D$ لدينا : ${\begin{cases}x+T\in D\\x-T\in D\\f(x+T)=f(x)\end{cases}}$
العدد الحقيقي $T$ يسمى دورا للدالة $f$ ، وأصغر دور موجب قطعا يسمى دور الدالة $f$
لتكن $f$ دالة مجموعة تعريفها $D$ مُمثّلة مبيانيا في معلم $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$
إذا كانت $f$ دورية دورها $T$ فإن منحناها على $D\cap [x_{0}+nT,x_{0}+(n+1)T[$ حيث $n\in \mathbb {Z}$ هو صورة منحناها على $D\cap [x_{0},x_{0}+T[$ بالإزاحة التي متجهتها $nT{\overrightarrow {i}}$
إذا كانت $f$ دالة دورية دورها $T$ فإنه يكفي أن تُدرسَ الدالة $f$ على مجال سعته $T$

## دراسة تقعر منحنى

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ و $(C)$ منحناها على $I$
نقول إن $(C)$ مُحَدَّب إذا كان يوجد فوق جميع مماساته، ونقول إنه مُقَعَّر إذا كان يوجد تحت جميع مماساته.
نقول إن النقطة $J(a,f(a))$ هي نقطة انعطاف المنحنى $(C)$ إذا كان $(C)$ يخترق مماسه في $J$
لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق مرتين على مجال $I$
* يكون منحنى الدالة $f$ محدبا على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x\in I)\quad f''(x)\geq 0$
* يكون منحنى الدالة $f$ مقعرا على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x\in I)\quad f''(x)\leq 0$
* تكون النقطة $J(a,f(a))$ نقطة انعطاف لمنحنى الدالة $f$ إذا وفقط إذا انعدمت $f''$ وغيرت إشارتها في $a$

## دراسة الفروع اللانهائية لمنحنى دالة

جدول ملخص لدراسة الفروع اللانهائية :
| النهايات | النهايات | النهايات | الفروع اللانهائية |
| $\lim _{x\to \infty }f(x)=b$ | $\lim _{x\to \infty }f(x)=b$ | $\lim _{x\to \infty }f(x)=b$ | المستقيم ذو المعادلة $y=b$ مقارب أفقي للمنحنى $(C_{f})$ |
| $\lim _{x\to a}f(x)=\infty$ | $\lim _{x\to a}f(x)=\infty$ | $\lim _{x\to a}f(x)=\infty$ | المستقيم ذو المعادلة $y=a$ مقارب عمودي للمنحنى $(C_{f})$ |
| $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ | $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\infty$ | $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\infty$ | $(C_{f})$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الأراتيب |
| $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ | $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=0$ | $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=0$ | $(C_{f})$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه محور الأفاصيل |
| $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ | $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a\in \mathbb {R} ^{*}$ | $\lim _{x\to \infty }(f(x)-ax)=\infty$ | $(C_{f})$ يقبل فرعا شلجميا اتجاهه المستقيم ذو المعادلة $y=ax$ |
| $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ | $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a\in \mathbb {R} ^{*}$ | $\lim _{x\to \infty }(f(x)-ax)=b$ | $(C_{f})$ يقبل مقاربا مائلا معادلته $y=ax+b$ |
| $\lim _{x\to \infty }[f(x)-(ax+b)]=0,(a\in \mathbb {R} ^{*})$ | $\lim _{x\to \infty }[f(x)-(ax+b)]=0,(a\in \mathbb {R} ^{*})$ | $\lim _{x\to \infty }[f(x)-(ax+b)]=0,(a\in \mathbb {R} ^{*})$ | $(C_{f})$ يقبل مقاربا مائلا معادلته $y=ax+b$ |

## انظر أيضا

* الاتصال
* الاشتقاق
* التكامل
* الدوال الأصلية
* دراسة الدوال العددية
* الدوال اللوغاريتمية
* الدوال الأسية
* نهاية متتالية