# تحليل رياضي/التكامل
## تكامل دالة متصلة على قطعة

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال مفتوح $I$ و $a$ و $b$ عنصرين من $I$
العدد الحقيقي $F(b)-F(a)$ ، حيث $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $I$ ، يسمى تكامل الدالة $f$ من $a$ إلى $b$ ويُرمز له بالرمز $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$
$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ يُقرأ كذلك "مجموع $f(x)\,dx$ من $a$ إلى $b$" ونكتب : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$
ملاحظة :
في الكتابة $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ يُكمن تعويض الحرف $x$ بأي حرف آخر.
وبناء عليه، فإن التكاملات $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ و $\int _{a}^{b}f(t)\,dt$ و $\int _{a}^{b}f(u)\,du$ و $\int _{a}^{b}f(y)\,dy$ كلها متساوية.

### الخاصيات الجبرية للتكامل

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$ ، لدينا لكل $a$ و $b$ و $c$ من $I$ :
* $\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0$
* $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx$
* $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$ (علاقة شال)
لتكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على مجال $I$ ،
لكل عنصرين $a$ و $b$ من $I$ ولكل عدد حقيقي ثابت $\alpha$ ، لدينا :
* $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx$
* $\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx$

### التأويل الهندسي للتكامل

لتكن $f$ دالة متصلة وموجبة على قطعة $[a,b]$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد.
مساحة الحيز المحصور بين المنحنى $(C)$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=a$ و $x=b$ هي $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ (بوحدة قياس المساحة).

## تقنيات لحساب تكامل

لحساب تكامل، نستعمل جدول الدوال الأصلية للدوال الاعتيادية والخاصيات السابقة. إلا أنه في بعض الحالات ينبغي اللجوء إلى بعض التقنيات التي تمكن من تبسيط حساب هذا التكامل.
ومن بين هذه التقنيات سنتطرق إلى تقنية المكاملة بالأجزاء وتقنية تغيير المتغير.

### المكاملة بالأجزاء

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال مفتوح $I$ بحيث $u'$ و $v'$ متصلتان على $I$
لكل $a$ و $b$ من $I$ لدينا : $\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx$

### المكاملة بتغيير المتغير

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$ ، و $g$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $J$ بحيث $g'$ متصلة على $J$ و $g(J)\subset I$
لكل $a$ و $b$ من $J$ لدينا : $\int _{a}^{b}f((g(x)).g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(t)\,dt$
عمليا :
على "الطريقة الفيزيائية"، إذا وضعنا $t=g(x)$ فإن : ${\frac {dt}{dx}}=g'(x)$ ، وبالتالي فإن : $dt=g'(x)\,dx$
ومنه فإن التعبير $f(g(x)).g'(x)\,dx$ سيصبح $f(t)\,dt$
ولدينا أيضا : ${\begin{cases}x=a\Rightarrow t=g(a)\\x=b\Rightarrow t=g(b)\end{cases}}$
نقول إننا أجرينا "تغييرا للمتغير بوضع $t=g(x)$"

## التكامل والترتيب

لتكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على قطعة $[a,b]$ ($a<b$)
* إذا كانت $f$ موجبة على المجال $[a,b]$ فإن : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$
* إذا كان $f(x)\leq g(x)$ لكل $x$ من $[a,b]$ فإن : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$

### التكامل والقيمة المُطْلَقة

$f$
$I$
$a$
$b$
$I$
$a<b$
   $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

### القيمة المتوسطة لدالة متصلة على قطعة

$f$
$[a,b]$
$a<b$
   $\mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$
$f$
$[a,b]$
لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $[a,b]$ ($a<b$)
يوجد على الأقل عدد حقيقي $c$ من $[a,b]$ بحيث : $f(c)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$
ملاحظتان :
* إذا كان $f([a,b])=[m,M]$ وكانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $[a,b]$ فإن الصيغة $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(c)$ تكافئ $F(b)-F(a)=(b-a)F'(c)$ وهي صيغة مبرهنة التزايدات المنتهية مطبقة على الدالة $F$
* في حالة $f$ موجبة على $[a,b]$ ، الصيغة $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(c)$ تعني أن مساحة الحيز $\Delta =\{M(x,y)\;;\;a\leq x\leq b\,,0\leq y\leq f(x)\}$ هي مساحة المستطيل الذي بُعداه : $b-a$ و $\mu =f(c)$

## دالة مُعَرَّفة بتكامل

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$ و $a$ عنصرا من $I$
الدالة $g:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا : $(\forall x\in I)\quad g'(x)=f(x)$
ملاحظة : الدالة $g:x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt$ هي الدالة الأصلية للدالة $f$ على $I$ التي تنعدم في $a$

## حساب المساحات

المستوى منسوب إلى معلم متعامد. لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $(a<b)\quad [a,b]$
مساحة الحيز المحصور بين المنحنى $(C)$ الممثل للدالة $f$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتهما $x=a$ و $x=b$ هي $\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$ بوحدة قياس المساحة.

### مساحة حيز محصور بين منحنيين

المستوى منسوب إلى معلم متعامد. لتكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على قطعة $(a<b)\quad [a,b]$
مساحة الحيز المحصور بين المنحنيين $(C_{f})$ و $(C_{g})$ والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=a$ و $x=b$ هي $\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx$ بوحدة قياس المساحة.

## حساب الحجوم
### حجم مجسم في الفضاء

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد ممنظم.
ليكن $(S)$ مجسما محصورا بين مستويين معرفين على التوالي بالمعادلتين $z=a$ و $z=b$
نعتبر الدالة $t\mapsto {\mathcal {A}}(t)$ المعرفة على $[a,b]$ ، حيث ${\mathcal {A}}(t)$ هي مساحة مجموعة النقط $M(x,y,z)$ من المجسم $(S)$ بحيث $z=t$
إذا كانت الدالة ${\mathcal {A}}$ متصلة على $[a,b]$ ، فإن حجم $(S)$ هو : $\nu =\int _{a}^{b}{\mathcal {A}}(t)\,dt$ بوحدة قياس الحجم.

### حجم مجسم مولد بدوران منحنى دالة حول محور الأفاصيل

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $(a<b)\;[a,b]$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد ممنظم $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$
حجم المجسم المُوَلَّد بدوران المنحنى $(C)$ دورة كاملة حول محور الأفاصيل هو : $\int _{a}^{b}\pi (f(x))^{2}\,dx$ بوحدة قياس الحجم

### حجم مجسم مولد بدوران منحنى دالة حول محور الأراتيب

لتكن $f$ دالة متصلة ورتيبة قطعا على قطعة $(a<b)\;[a,b]$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد ممنظم $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$
حجم المجسم المُوَلَّد بدوران المنحنى $(C)$ دورة كاملة حول محور الأراتيب هو : $V=\left|\int _{f(a)}^{f(b)}\pi (f^{-1}(t))^{2}\,dt\right|$ بوحدة قياس الحجم
وإذا كانت، بالإضافة إلى ذلك، $f$ قابلة للاشتقاق على $[a,b]$ فإن هذا الحجم هو : $V=\pi \int _{a}^{b}x^{2}|f'(x)|\,dx$

## تأطير تكامل بمتتاليتين باستعمال طريقة المستطيلات

لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $(a<b)\quad [a,b]$
لكل $n$ من $\mathbb {N} ^{*}\smallsetminus \{1\}$ نضع : $s_{n}:={\frac {b-a}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)$ و $S_{n}:={\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)$
إذا كانت $f$ تزايدية على $[a,b]$ فإن : $s_{n}\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq S_{n}$
وإذا كانت $f$ تناقصية على $[a,b]$ فإن : $S_{n}\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq s_{n}$
لتكن $f$ دالة متصلة على قطعة $(a<b)\quad [a,b]$
المتتاليتان $(s_{n})_{n>0}$ و $(S_{n})_{n>0}$ متقاربتان وتقبلان التكامل $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ نهاية مشتركة لهما.

## انظر أيضا

* الاتصال
* الاشتقاق
* الدوال الأصلية
* دراسة الدوال العددية
* المعادلات التفاضلية
* نهاية متتالية