# تحليل رياضي/الدوال الأسية
## الدالة الأسية النيبيرية

دالة اللوغاريتم النيبيري $\ln$ تقابل من $\mathbb {R} ^{+*}$ نحو $\mathbb {R}$
الدالة العكسية للدالة $\ln$ تسمى الدالة الأسية النيبيرية ويُرمز لها بالرمز $\exp$
ليكن $r$ عددا جذريا، لدينا : $\ln(\exp(r))=r$ ونعلم أن : $\ln(e^{r})=r\ln e=r$ إذن : $\ln(\exp(r))=\ln(e^{r})$
وبالتالي : $\exp(r)=e^{r}$ لكل $r$ من $\mathbb {Q}$
نمدد هذه الكتابة إلى المجموعة $\mathbb {R}$ فنكتب : $\exp(x)=e^{x}$ لكل $x$ من $\mathbb {R}$ .
* الدالة $\exp$ معرفة ومتصلة على $\mathbb {R}$
* لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $e^{x}>0$
* لكل $x$ من $\mathbb {R}$ ولكل $y$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $e^{x}=y\iff x=\ln y$
* لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\ln(e^{x})=x$ ولكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $e^{\ln x}=x$
* الدالة $\exp$ تزايدية قطعا على $\mathbb {R}$
* لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ ، لدينا : $e^{x}=e^{y}\iff x=y$ و $e^{x}<e^{y}\iff x<y$
* لكل عدد حقيقي $x$ ، لدينا : $e^{x}=1\iff x=0$ و $e^{x}>1\iff x>0$ و $e^{x}<1\iff x<0$

### خاصيات جبرية للدالة $\exp$

لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ ولكل عدد جذري $r$ ، لدينا :
${\begin{aligned}e^{x-y}&={\frac {e^{x}}{e^{y}}}\qquad &e^{x+y}&=e^{x}e^{y}\\(e^{x})^{r}&=e^{rx}\qquad &e^{-x}&={\frac {1}{e^{x}}}\end{aligned}}$

### نهايات هامة

* $\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$
* $\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$
* $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}=+\infty$
* $\lim _{x\to -\infty }xe^{x}=0$
* $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$
لكل $n$ من $\mathbb {N} ^{*}$ لدينا : $\lim _{x\to -\infty }x^{n}e^{x}=0$ و $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{n}}}=+\infty$

### التمثيل المبياني للدالة $\exp$

* بما أن الدالة $\exp$ هي الدالة العكسية للدالة $\ln$ فإن منحنى الدالة $\exp$ في معلم متعامد ممنظم، هو مماثل منحنى الدالة $\ln$ بالنسبة للمستقيم الذي معادلته $y=x$ (المنصف الأول للمعلم).
* منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأفاصيل كمقارب أفقي بجوار $-\infty$ (لأن $\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$ )
* منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأراتيب كاتجاه مقارب بجوار $+\infty$ (لأن $\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$ و $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}=+\infty$ )
* المستقيم ذو المعادلة $y=x+1$ هو المماس لمنحنى الدالة $\exp$ في النقطة $J(0,1)$

### مشتقة الدالة الأسية النيبيرية

الدالة $\exp$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\exp '(x)=e^{x}$
$\exp '=\exp$
ملاحظة : الدالة التآلفية $x\mapsto x+1$ هي تقريب للدالة $\exp$ بجوار $0$ أي : $e^{x}\simeq x+1$ بجوار $0$

### مشتقة الدالة $x\mapsto e^{u(x)}$

إذا كانت دالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$
فإن الدالة $f:x\mapsto e^{u(x)}$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$
لتكن $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$
الدوال الأصلية للدالة $x\mapsto u'(x)e^{u(x)}$ على $I$ هي الدوال $x\mapsto e^{u(x)}+c$ حيث $c$ عدد حقيقي ثابت.

## الدالة الأسية للأساس $a$

ليكن $a$ عنصرا من $\mathbb {R} ^{+*}\smallsetminus \{1\}$ ، الدالة $\log _{a}$ تقابل من $\mathbb {R} ^{+*}$ نحو $\mathbb {R}$
الدالة العكسية للدالة $\log _{a}$ تسمى الدالة الأسية للأساس $a$ ويُرمز لها بالرمز $\exp _{a}$

### كتابة أخرى للعدد $\exp _{a}(x)$

* لكل $x$ من $\mathbb {R}$ ولكل $y$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ ، لدينا :
${\begin{aligned}x=\log _{a}(y)&\iff \exp _{a}(x)=y\\x={\frac {\ln y}{\ln a}}&\iff \exp _{a}(x)=y\\\ln y=x\ln a&\iff \exp _{a}(x)=y\\y=e^{x\ln a}&\iff \exp _{a}(x)=y\end{aligned}}$ إذن $\exp _{a}=e^{x\ln a}$ لكل $x$ من $\mathbb {R}$
* ليكن $a$ عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف $1$. لكل $r$ من $\mathbb {Q}$ لدينا $\exp _{a}(r)=e^{r\ln a}=\left(e^{\ln a}\right)^{r}$ أي : $\exp _{a}(r)=a^{r}$ نمدد هذه الكتابة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية فنكتب لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\exp _{a}(x)=a^{x}$
ملاحظة : يمكن في الكتابة $a^{x}$ اعتبار الحالة $a=1$ فيكون لدينا : $1^{x}=1$ لكل $x$ من $\mathbb {R}$

### خاصيات جبرية للدالة $\exp _{a}$

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين قطعا. لكل $x$ و $y$ من $\mathbb {R}$ لدينا :
* $a^{x+y}=a^{x}+a^{y}$
* $a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}$
* $a^{x-y}={\frac {a^{x}}{a^{y}}}$
* $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
* $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$
* $\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}={\frac {a^{x}}{b^{x}}}$

### مشتقة الدالة $\exp _{a}$

الدالة $\exp _{a}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $(\exp _{a})'(x)=(\ln a).a^{x}$
ملاحظة : إذا كان $a>1$ فإن الدالة $\exp _{a}$ تزايدية قطعا على $\mathbb {R}$ ، وإذا كان $0<a<1$ فإن الدالة $\exp _{a}$ تناقصية قطعا على $\mathbb {R}$

### نهايات الدالة $\exp _{a}$

إذا كان $a>1$ فإن : $\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$ و $\lim _{x\to +\infty }a^{x}=+\infty$
وإذا كان $0<a<1$ فإن : $\lim _{x\to -\infty }a^{x}=+\infty$ و $\lim _{x\to +\infty }a^{x}=0$

## انظر أيضا

* الدوال اللوغاريتمية
* الاتصال
* الاشتقاق