# تحليل رياضي/الاشتقاق
## القابلية للاشتقاق
### قابلية اشتقاق دالة في عدد

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$
نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق في العدد $a$ إذا وُجِدَ عدد حقيقي $\ell$ بحيث : $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell$
العدد $\ell$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f'(a)$
لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق في عدد حقيقي $a$
* المستقيم الذي معادلته : $y=f'(a).(x-a)+f(a)$ يسمى مماس منحنى الدالة $f$ في النقطة التي أُفصولها $a$
* الدالة $x\mapsto f'(a).(x-a)+f(a)$ تسمى التقريب التآلفي للدالة $f$ بجوار العدد $a$
ونكتب : $f(x)\simeq f'(a).(x-a)+f(a)$ بجوار $a$ ، أو $f(a+h)\simeq h.f'(a)+f(a)$ بجوار $0$

### قابلية الاشتقاق على اليمين - قابلية الاشتقاق على اليسار

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $[a,a+r[$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.
نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ إذا وُجِد عدد حقيقي $\ell _{1}$ بحيث : $\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell _{1}$
العدد $\ell _{1}$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ على اليمين في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f_{d}'(a)$ ونكتب $f_{d}'(a)=l_{1}$
لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $]a-r,a]$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.
نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على اليسار في $a$ إذا وُجِد عدد حقيقي $\ell _{2}$ بحيث : $\lim _{x\to a^{-}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell _{2}$
العدد $\ell _{2}$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ على اليسار في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f_{g}'(a)$ ونكتب $f_{g}'(a)=l_{2}$
لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$
تكون $f$ قابلة للاشتقاق في العدد $a$ إذا وفقط إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين وعلى اليسار في $a$ و $f_{d}'(a)=f_{g}'(a)$

### قابلية اشتقاق دالة على مجال

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $[a,b]$ ($a<b$)
* نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل عدد من $]a,b[$
* الدالة التي تربط كل عدد $x$ من $]a,b[$ بالعدد المشتق $f'(x)$ تسمى الدالة المشتقة للدالة $f$ على المجال $]a,b[$ ، ويُرمَزُ لها بالرمز $f'$
* نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على القطعة $[a,b]$ إذا كانت قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ ، وقابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ وعلى اليسار في $b$

### مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية :
| الدالة $f$ | قابلة للاشتقاق على | الدالة المشتقة $f'$ |
| $x\mapsto k,(k\in \mathbb {R} )$ | $\mathbb {R}$ | $x\mapsto 0$ |
| $x\mapsto ax,(a\in \mathbb {R} ^{*})$ | $\mathbb {R}$ | $x\mapsto a$ |
| $x\mapsto x^{n},(n\in \mathbb {N} ^{*})$ | $\mathbb {R}$ | $x\mapsto nx^{n-1}$ |
| $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ | $\mathbb {R} ^{-*}$ أو $\mathbb {R} ^{+*}$ | $x\mapsto {\frac {-1}{x^{2}}}$ |
| $x\mapsto {\sqrt {x}}$ | $\mathbb {R} ^{+*}$ | $x\mapsto {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ |
| $x\mapsto \cos(x)$ | $\mathbb {R}$ | $x\mapsto -\sin(x)$ |
| $x\mapsto \sin(x)$ | $\mathbb {R}$ | $x\mapsto \cos(x)$ |
| $x\mapsto \tan(x)$ | $\left]-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right[,k\in \mathbb {Z}$ | $x\mapsto 1+\tan ^{2}{x}={\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$ |
| $x\mapsto \cos(ax+b),(a\in \mathbb {R} ^{*})$ | $\mathbb {R}$ | $x\mapsto -a\sin(ax+b)$ |
| $x\mapsto \sin(ax+b),(a\in \mathbb {R} ^{*})$ | $\mathbb {R}$ | $x\mapsto a\cos(ax+b)$ |

### الكتابة التفاضلية

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، وإذا وضعنا $y=f(x)$ ، فإنه يمكن استعمال الكتابة التفاضلية: $f'(x)={\frac {dy}{dx}}$ أو $dy=f'(x)dx$
في مادة الفيزياء، إذا كانت $x$ دالة للمتغير $t$ بحيث $x={\frac {1}{2}}t^{2}+3t+1$ فإننا نكتب : ${\frac {dx}{dt}}=t+3$

### العمليات على الدوال القابلة للاشتقاق

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال $I$ و $\alpha$ عددا حقيقيا. لدينا :
* $(u+v)'=u'+v'$ و $(\alpha .u)'=\alpha .u'$ و $(u.v)'=u'.v+u.v'$ و $(u^{n})'=nu'.u^{n-1}$ حيث $n\in \mathbb {N} ^{*}$
* إذا كانت $v(x)\neq 0$ لكل $x$ من $I$ فإن : $\left({\frac {1}{v}}\right)'=-{\frac {v'}{v^{2}}}$ و $\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$

## الاشتقاق والاتصال

لتكن $f$ دالة و $a$ عنصرا من مجموعة تعريفها. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ فإن $f$ متصلة في $a$
ملاحظتان :
* نتيجة لهذه الخاصية، كل دالة قابلة للاشتقاق على مجال هي دالة متصلة على هذا المجال.
* عكس هذه الخاصية غير صحيح، فدالة القيمة المطلقة المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي : $x\to |x|$ متصلة في صفر، لكنها غير قابلة للاشتقاق في هذا العدد.

## مشتقة مركب دالتين

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ و $g$ دالة معرفة على مجال مفتوح $J$ بحيث $f(I)\subset J$ وليكن $a$ عنصرا من المجال $I$
إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ و $g$ قابلة للاشتقاق في $f(a)$، فإن الدالة $g\circ f$ قابلة للاشتقاق في $a$
إذا كانت $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ و $g$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $J$ بحيث $f(I)\subset J$
فإن الدالة $g\circ f$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ، ولدينا لكن $x$ من $I$ : $(g\circ f)'(x)=f'(x).g'(f(x))$

## مشتقة الدالة العكسية

لتكن $f$ تقابلا من مجال $I$ نحو مجال $J$ و $f^{-1}$ تقابلها العكسي. وليكن $a$ عنصرا من $I$ و $b$ عنصرا من $J$ بحيث $f(a)=b$
إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ و $f'(a)\neq 0$
فإن $f^{-1}$ قابلة للاشتقاق في $b$ ولدينا : $(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(a)}}$
لتكن $f$ تقابلا من مجال $I$ نحو مجال $J$ و $f^{-1}$ تقابلها العكسي.
إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ و $f'$ لا تنعدم على المجال $I$
فإن $f^{-1}$ قابلة للاشتقاق على المجال $J$ ولدينا لكل $x$ من $J$ : $(f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}$

## مشتقة دالة قوس الظل

* الدالة $\arctan$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
* إذا كانت $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ فإن الدالة $x\mapsto \arctan(u(x))$ قابلة للاشتقاق على $I$ و دالتها المشتقة هي الدالة : $x\mapsto {\frac {u'(x)}{1+(u(x))^{2}}}$

## مشتقة دالة الجذر من الرتبة n
### مشتقة الدالة $x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$

ليكن $n$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من $1$
الدالة $f:x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R} ^{+*}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $f'(x)={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$

### مشتقة الدالة $x\mapsto {\sqrt[{n}]{u(x)}}$

ليكن $n$ عددا صحيحا طبيعيا أكبر من $1$
إذا كانت الدالة $u$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال $I$، فإن الدالة $f:x\mapsto {\sqrt[{n}]{u(x)}}$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f'(x)={\frac {1}{n}}u'(x).(u(x))^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {u'(x)}{n{\sqrt[{n}]{(u(x))^{n-1}}}}}$

### مشتقات الدوال $x\mapsto x^{r}$ و $x\mapsto (u(x))^{r}$ حيث $r\in \mathbb {Q} ^{*}$

ليكن $r$ عددا جذريا غير منعدم.
* الدالة $x\mapsto x^{r}$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R} ^{+*}$ ومشتقتها هي الدالة $x\mapsto rx^{r-1}$
* إذا كانت دالة $u$ قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال $I$، فإن الدالة $f:x\mapsto (u(x))^{r}$ قابلة للاشتقاق على المجال $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f'(x)=r.u'(x).(u(x))^{r-1}$

## مبرهنة رول - مبرهنة التزايدات المنتهية
### مبرهنة رول

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقالبة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ و $f(a)=f(b)$
فإنه يوجد على الأقل عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f'(c)=0$
هندسيا، وجود عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f'(c)=0$ يعني أن منحنى الدالة $f$ على $[a,b]$ له على الأقل مماس مواز لمحور الأفاصيل.

### مبرهنة التزايدات المنتهية

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$
فإنه يوجد $c$ من $]a,b[$ بحيث : $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$
هندسيا، وجود عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ يعني أن لمنحنى الدالة $f$ على الأقل مماسا موازيا للمستقيم المار من النقطتين $A(a,f(a))$ و $B(b,f(b))$

### متفاوتة التزايدات المنتهية

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ ، وإذا وُجِدَ عددان حقيقيان $\alpha$ و $\beta$ بحيث $\alpha \leq f'(x)\leq \beta$ لكل $x$ من $]a,b[$
فإن : $\alpha (a-b)\leq f(b)-f(a)\leq \beta (b-a)$
إذا كانت دالة $f$ متصلة على $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على $]a,b[$ ، وإذا وُجِدَ عدد حقيقي موجب $k$ بحيث : $(\forall t\in ]a,b\quad |f'(t)|\leq k$
فإنه لكل $x$ و $y$ من $]a,b[$ : $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$

## رتابة دالة عددية

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$
* تكون $f$ ثابتة على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x\in I)\quad f'(x)=0$
* تكون $f$ تزايدية على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x\in I)\quad f'(x)\geq 0$
* تكون $f$ تناقصية على $I$ إذا وفقط إذا كان : $(\forall x\in I)\quad f'(x)\leq 0$
ملاحظة : إذا كانت $(\forall x\in I)\quad f'(x)\geq 0$ والمتساوية $f'(x)=0$ محققة فقط بالنسبة لأعداد معزولة من المجال $I$ فإن الدالة $f$ تزايدية قطعا على $I$

## انظر أيضا

* الاتصال
* دراسة الدوال العددية
* الدوال الأصلية
* التكامل
* المعادلات التفاضلية
* نهاية متتالية