# قانون الاحتمالات الكلية

في نظرية الاحتمالات ، قانون (أو صيغة ) الاحتمال الكلي هو قاعدة أساسية تربط الاحتمالات الهامشية بالاحتمالات الشرطية . إنه يعبر عن الاحتمال الكلي لنتيجة يمكن تحقيقها من خلال عدة أحداث متميزة ، ومن هنا جاء الاسم.

## القانون

قانون الاحتمال الكلي هو نظرية تنص ، في حالتها المنفصلة(المتقطعة) ، إذا $\left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}$ هو قسم محدود أو لانهائي من مساحة عينة (بمعنى آخر ، مجموعة من الأحداث المنفصلة الزوجية التي يكون اتحادها هو مساحة العينة بأكملها) وكل حدث $B_{n}$ قابل للقياس ، إذن لأي حدث $A$ من نفس مجال الاحتمال :
    $P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})$
أو ، بدلاً من ذلك ،
    $P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),$
حيث ، لأي $n$ لأي منهم $P(B_{n})=0$ تم حذف هذه المصطلحات ببساطة من الجمع ، لأن $P(A\mid B_{n})$ محدود.
يمكن تفسير التجميع على أنه متوسط موزون ، وبالتالي الاحتمال الهامشي ، $P(A)$ ، تسمى أحيانًا "الاحتمال المتوسط" ؛ يُستخدم مصطلح "الاحتمال الإجمالي" أحيانًا في الكتابات الأقل رسمية.
يمكن أيضًا تحديد قانون الاحتمال الكلي للاحتمالات الشرطية:
    $P({A|C})={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}{P({A,{B_{n}},C})}}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}=\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})$
أخذ $B_{n}$ على النحو الوارد أعلاه ، وافتراض $C$ هو حدث مستقل عن أي من $B_{n}$ :
    $P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C\cap B_{n})P(B_{n})$

## حالة مستمرة

يمتد قانون الاحتمال الكلي إلى حالة التكييف على الأحداث الناتجة عن المتغيرات العشوائية المستمرة. يترك $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ يكون مجال احتمالي . افترض $X$ هو متغير عشوائي مع دالة التوزيع $F_{X}$ ، و $A$ حدث يوم $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ . ثم ينص قانون الاحتمال الكلي
$P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF_{X}(x).$
إذا $X$ يعترف بدالة الكثافة $f_{X}$ ، ثم النتيجة
$P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f_{X}(x)dx.$
علاوة على ذلك ، بالنسبة للحالة المحددة حيث $A=\{Y\in B\}$ ، حيث $B$ هي مجموعة Borel ، ثم هذا ينتج
$P(Y\in B)=\int _{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f_{X}(x)dx.$

## مثال

لنفترض أن هناك مصنعين يزودان السوق بمصابيح كهربائية . تعمل مصابيح Factory X لأكثر من 5000 ساعة في 99٪ من الحالات ، بينما تعمل مصابيح المصنع Y لأكثر من 5000 ساعة في 95٪ من الحالات. من المعروف أن المصنع X يوفر 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة و Y يوفر 40٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي احتمالية أن يعمل المصباح الذي تم شراؤه لمدة تزيد عن 5000 ساعة؟
بتطبيق قانون الاحتمال الكلي ، نحصل على:
    ${\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}$
حيث أن:
* $P(B_{X})={6 \over 10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع X ؛
* $P(B_{Y})={4 \over 10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع Y ؛
* $P(A\mid B_{X})={99 \over 100}$ هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة X لأكثر من 5000 ساعة ؛
* $P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}$ هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة Y لأكثر من 5000 ساعة.
وبالتالي فإن كل مصباح كهربائي يتم شراؤه لديه فرصة 97.4٪ للعمل لأكثر من 5000 ساعة.

## أنظر أيضا

* قانون القيم المتوقعة الكلية

## مراجع

* ↑ Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. (ردمك 1-58488-059-7) page 31.
* ↑ Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. (ردمك 1-58488-059-7)ISBN 1-58488-059-7 page 31.
* ↑ Paul E. Pfeiffer (1978). Concepts of probability theory. Courier Dover Publications. ص. 47–48. ISBN:978-0-486-63677-1. مؤرشف من الأصل في 2022-12-21.
* ↑ Deborah Rumsey (2006). Probability for dummies. For Dummies. ص. 58. ISBN:978-0-471-75141-0. مؤرشف من الأصل في 2022-12-21.
* بوابة إحصاء
* بوابة رياضيات
* هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.