# قائمة أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة

أعداد مِرْسين الأولية (بالإنجليزية: Mersenne Number)‏ والأعداد التامة (بالإنجليزية: Perfect Number)‏ هما نوعان من الأعداد الطبيعية مرتبطان أحدهما بالآخر، وهما موضوع دراسة في مجال نظريَّة الأعداد. أعداد مرسين الأولية، التي سُمِّيت باسم الراهب مارين مرسين، هي أعداد أولية يمكن كتابتها بالصيغة: 2$^p$ − 1، وفيها p هو عدد صحيح موجب. العدد 3 على سبيل المثال، هو من أعداد مرسين الأولية، لأنَّهُ عدد أولي يمكن كتابته بصيغة: 2$^2$ − 1. أما الأعداد التامة، فهي أعداد صحيحة موجبة يساوي كل منها مجموع قواسمه الموجبة ما خلا العدد نفسه. العدد 6 على سبيل المثال، عددٌ تام لأنَّ قواسمه الموجبة هي 1 و2 و3، ومجموعها: 1 + 2 + 3 = 6.
لكي يكون عدد مرسين أوليًا، يلزم أن يكون p في الصيغة: 2$^p$ − 1 أوليًا. لكن هذا لا يعني أن كل عدد أولي p سينتج عدد مرسين أولي. على سبيل المثال، من أجل p تساوي 11، وهو عدد أولي، يكون ناتج 2$^{11}$ − 1 = 2047، وهو ليس عددًا أوليًا، ولا من أعداد مرسين لأنَّهُ حاصل ضرب 23 × 89. بعبارةٍ أخرى، كُل عدد مرسين أولي هو عدد أولي، ولكن ليس كُل عدد أولي هو عدد مرسين أولي.
تربط دالة تقابل أعداد مرسين الأولية بالأعداد التامة. تُكتَب الأعداد التامة بالصيغة:
وفيها p هو عدد أولي، و2$^p$ − 1 هو عدد مرسين أولي. لذا، يولِّد كلُّ عددٍ مكتشف من أعداد مرسين الأولية عددًا تامًا زوجيًا جديدًا مقابل له. مع ذلك، لا يزال من غير المعروف ما إذا كان يوجد أعداد تامة فرديَّة. ويعود ذلك التقابل إلى مبرهنة إقليدس وأويلر، التي وضع أساسها إقليدس وأكمل برهانها ليونهارت أويلر، وتنصُّ المبرهنة على أن العدد التام يكون زوجيًا، إذا وفقط إذا، أمكن التعبير عنه بالصيغة المذكورة سابقًا. بتعبيرٍ آخر، كلُّ عددٍ يمكن صياغته بهذه الطريقة هو عدد تام، وتتبع الأعداد التامة الزوجية كلها هذه الصيغة. على سبيل المثال، عندما تكون p = 2، فإنَّ الناتج من الصيغة 2$^2$ − 1 = 3 وهو عدد مرسين أولي، وعند ضربه في 2$^{2−1}$، يكون الناتج 2 × 3 = 6 هو عدد تام.
مسألة وجود أعداد لا نهائيَّة من أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة الزوجيَّة من التحدِّيات التي لم تُحل بعد في علم الرياضيَّات. ويمكن تقريبًا تقدير عدد مرَّات تكرار أعداد مرسين الأولية باستعمال بعض حدسيات مرسين، وهي فرضيات رياضيَّة تتعلَّق بتوزيع وخصائص أعداد ميرسين، وتنصُّ إحدى هذه الحدسيات على أن العدد المتوقع من أعداد مرسين تحت قيمة معينة x يمكن تقديره بالصيغة:
وفيها e هو عدد أويلر، وγ هو ثابت أويلر، وlog هو اللوغارتم الطبيعي. بالرغم من عدم إثبات وجود أعداد تامة فرديَّة، فقد أثبتت عدَّة شروطٍ لوجودها، منها أنَّهُ إذا وُجد عدد تام فردي، فيجب أن يكون أكبر من 10$^{1500}$. هذه النتيجة تعني أن أي عدد تام فردي يجب أن يكون هائل الحجم، لكن حتَّى العام 2012، لم يُعثَر على أيِّ عددٍ تام فردي.

## قائمة الأعداد

يذكر الجدول قائمة أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة المعروفة حاليًا، مع توضيح الأسس p المقابلة لكل عدد. حتَّى عام 2024م، اكتشاف 52 عددًا أوليًا من أعداد مرسين (وبالتالي 52 عددًا تامًا)، واكتشاف أكبر 18 عددًا منها من خلال مشروع الحوسبة الموزعة المعروف باسم البحث الكبير عن أعداد مرسين على الإنترنت (بالإنجليزية: Great Internet Mersenne Prime Search)‏ اختصارًا (GIMPS). تُكتشف أعداد مرسين الأولية الجديدة باختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما (بالإنجليزية: Lucas–Lehmer test)‏ اختصارًا (LLT)، وهو اختبار يستخدم لتحديد ما إذا كان عدد مرسين معيَّن أوليًا أم لا، ويتميَّز بالكفاءة عند استخدامه في الحواسيب التي تعتمد على نظام العد الثنائي.
يستند الترتيب الحالي لأعداد مرسين الأولية إلى المعلومات المتوفِّرة حتَّى عام 2022م، واحتمال اكتشاف أعداد أصغر من تلك المكتشفة حاليًا ضئيل، إلاَّ أنَّ حدوث ذلك قد يؤدِّي إلى تغيير ترتيب الأعداد المعروف. وفقًا لمشروع «البحث الكبير»، فحصت جميع أعداد ميرسين التي يقل الأس فيها عن p = 57,885,161 (وهو الأس المرتبط بالعدد 48 في الترتيب) حتى يناير 2024، ممَّا يجعل من غير المحتمل اكتشاف عدد جديد بأس أصغر من 57,885,161.
يُذكَر بالجدول اسم مكتشف العدد وتاريخ الاكتشاف لكل عدد مرسين، نظرًا لأنَّ الأعداد التامة الزوجيَّة تُولَّد مباشرة من أعداد مرسين بعد اكتشافها وفقًا لمبرهنة إقليدس وأويلر، فلا تُذكر معلومات منفصلة لمكتشف العدد التام. عندما يشار إلى المكتشف بالاسم الرمزي: «GIMPS / الاسم»، فهذا يعني أنَّ الاكتشاف حدث عبر مشروع «البحث الكبير»، باستخدام عتاد حاسوب مملوكة له. بالنسبة للأرقام الكبيرة جدًّا، يعرض أوَّل أرقامٍ منها فقط وآخر ستَّة.
جدول يحتوي على جميع أعداد مرسين الأولية المعروفة حاليًا والأعداد التامة المقابلة لها وعددهم 52 :
| الترتيب | p | عدد مرسين M$_p$ | عدد مرسين M$_p$ | العدد التام | العدد التام | تاريخ الاكتشاف | المكتشف | طريقة الاكتشاف | المراجع |
| الترتيب | p | القيمة | عدد الأرقام | القيمة | عدد الأرقام | تاريخ الاكتشاف | المكتشف | طريقة الاكتشاف | المراجع |
| 1 | 2 | 3 | 1 | 6 | 1 | 000000000100-01-01-0000عصور قديمة | معروف لدى علماء الرياضيات اليونانيِّين القدماء | غير مسجَّلة | |
| 2 | 3 | 7 | 1 | 28 | 2 | 000000000100-01-01-0000عصور قديمة | معروف لدى علماء الرياضيات اليونانيِّين القدماء | غير مسجَّلة | |
| 3 | 5 | 31 | 2 | 496 | 3 | 000000000100-01-01-0000عصور قديمة | معروف لدى علماء الرياضيات اليونانيِّين القدماء | غير مسجَّلة | |
| 4 | 7 | 127 | 3 | 8128 | 4 | 000000000100-01-01-0000عصور قديمة | معروف لدى علماء الرياضيات اليونانيِّين القدماء | غير مسجَّلة | |
| 5 | 13 | 8191 | 4 | 33550336 | 8 | 000000001456-01-01-0000 القرن الثالث عشر الميلادي / قرابة 1456م | ابن فلُّوس / شخص مجهول | القسمة المتكررة | |
| 6 | 17 | 131071 | 6 | 8589869056 | 10 | 000000001588-01-01-00001588م | بييترو كاتالدي | القسمة المتكررة | |
| 7 | 19 | 524287 | 6 | 137438691328 | 12 | 000000001588-01-01-00001588م | بييترو كاتالدي | القسمة المتكررة | |
| 8 | 31 | 2147483647 | 10 | 952128...230584 | 19 | 000000001772-01-01-00001772م | ليونهارت أويلر | القسمة المتكررة مع قيود معيارية | |
| 9 | 61 | 693951...230584 | 19 | 842176...265845 | 37 | 000000001883-11-01-0000نوفمبر 1883 | إيفان ميخيفيتش بيرفوشين | متتالية لوكاس | |
| 10 | 89 | 562111...618970 | 27 | 169216...191561 | 54 | 000000001911-06-01-0000يونيو 1911 | رالف إرنست باورز | متتالية لوكاس | |
| 11 | 107 | 288127...162259 | 33 | 728128...131640 | 65 | 000000001914-06-01-00001 يونيو 1914 | رالف إرنست باورز | متتالية لوكاس | |
| 12 | 127 | 105727...170141 | 39 | 152128...144740 | 77 | 000000001876-01-10-000010 يناير 1876 | إدوارد لوكا | متتالية لوكاس | |
| 13 | 521 | 057151...686479 | 157 | 646976...235627 | 314 | 000000001952-01-30-000030 يناير 1952 | رافائيل إم. روبنسون | اختبار لوكاس ليهمر (LLT) على حاسوب (SWAC) | |
| 14 | 607 | 728127...531137 | 183 | 328128...141053 | 366 | 000000001952-01-30-000030 يناير 1952 | رافائيل إم. روبنسون | اختبار لوكاس ليهمر (LLT) على حاسوب (SWAC) | |
| 15 | 1,279 | 729087...104079 | 386 | 291328...541625 | 770 | 000000001952-06-25-000025 يونيو 1952 | رافائيل إم. روبنسون | اختبار لوكاس ليهمر (LLT) على حاسوب (SWAC) | |
| 16 | 2,203 | 771007...147597 | 664 | 782528...108925 | 1,327 | 000000001952-10-07-00007 أكتوبر 1952 | رافائيل إم. روبنسون | اختبار لوكاس ليهمر (LLT) على حاسوب (SWAC) | |
| 17 | 2,281 | 836351...446087 | 687 | 915776...994970 | 1,373 | 000000001952-10-09-00009 أكتوبر 1952 | رافائيل إم. روبنسون | اختبار لوكاس ليهمر (LLT) على حاسوب (SWAC) | |
| 18 | 3,217 | 315071...259117 | 969 | 525056...335708 | 1,937 | 000000001957-09-08-00008 سبتمبر 1957 | هانز ريزل | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (BESK) | |
| 19 | 4,253 | 484991...190797 | 1,281 | 377536...182017 | 2,561 | 000000001961-11-03-00003 نوفمبر 1961 | ألكسندر هورويتز | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (IBM 7090) | |
| 20 | 4,423 | 580607...285542 | 1,332 | 534528...407672 | 2,663 | 000000001961-11-03-00003 نوفمبر 1961 | ألكسندر هورويتز | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (IBM 7090) | |
| 21 | 9,689 | 754111...478220 | 2,917 | 577216...114347 | 5,834 | 000000001963-05-11-000011 مايو 1963 | دونالد بي. غيليز | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (ILLIAC II) | |
| 22 | 9,941 | 463551...346088 | 2,993 | 496576...598885 | 5,985 | 000000001963-05-16-000016 مايو 1963 | دونالد بي. غيليز | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (ILLIAC II) | |
| 23 | 11,213 | 392191...281411 | 3,376 | 086336...395961 | 6,751 | 000000001963-06-02-00002 يونيو 1963 | دونالد بي. غيليز | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (ILLIAC II) | |
| 24 | 19,937 | 041471...431542 | 6,002 | 942656...931144 | 12,003 | 000000001971-03-04-00004 مارس 1971 | بريانت توكيرمان | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (IBM 360/91) | |
| 25 | 21,701 | 882751...448679 | 6,533 | 605376...100656 | 13,066 | 000000001978-10-30-000030 أكتوبر 1978 | لاندون كيرت نول ولورا نيكل | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (CDC Cyber 174) | |
| 26 | 23,209 | 264511...402874 | 6,987 | 666816...811537 | 13,973 | 000000001979-02-09-00009 فبراير 1979 | لاندون كيرت نول | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (CDC Cyber 174) | |
| 27 | 44,497 | 228671...854509 | 13,395 | 827456...365093 | 26,790 | 000000001979-04-08-00008 أبريل 1979 | هاري إل نيلسون وديفيد سلوينسكي | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (كراي-1) | |
| 28 | 86,243 | 438207...536927 | 25,962 | 406528...144145 | 51,924 | 000000001982-09-25-000025 سبتمبر 1982 | ديفيد سلوينسكي | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (كراي-1) | |
| 29 | 110,503 | 515007...521928 | 33,265 | 862528...136204 | 66,530 | 000000001988-01-29-000029 يناير 1988 | والتر كولكيت ولوك ويلش | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (NEC SX-2) | |
| 30 | 132,049 | 061311...512740 | 39,751 | 550016...131451 | 79,502 | 000000001983-09-19-000019 سبتمبر 1983 | ديفيد سلوينسكي وآخرون. باستخدام أجهزة من شركة كراي | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray X-MP) | |
| 31 | 216,091 | 528447...746093 | 65,050 | 880128...278327 | 130,100 | 000000001985-09-01-00001 سبتمبر 1985 | ديفيد سلوينسكي وآخرون. باستخدام أجهزة من شركة كراي | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray X-MP/24) | |
| 32 | 756,839 | 677887...174135 | 227,832 | 731328...151616 | 455,663 | 000000001992-02-17-000017 فبراير 1992 | ديفيد سلوينسكي وآخرون. باستخدام أجهزة من شركة كراي | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray-2) الخاص بمختبر هارويل | |
| 33 | 859,433 | 142591...129498 | 258,716 | 167936...838488 | 517,430 | 000000001994-01-04-00004 يناير 1994 | ديفيد سلوينسكي وآخرون. باستخدام أجهزة من شركة كراي | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray C90) | |
| 34 | 1,257,787 | 366527...412245 | 378,632 | 704128...849732 | 757,263 | 000000001996-09-03-00003 سبتمبر 1996 | ديفيد سلوينسكي وآخرون. باستخدام أجهزة من شركة كراي | اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray T94) | |
| 35 | 1,398,269 | 315711...814717 | 420,921 | 375616...331882 | 841,842 | 000000001996-11-13-000013 نوفمبر 1996 | GIMPS / جويل ارمنغود | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 90 MHz | |
| 36 | 2,976,221 | 201151...623340 | 895,932 | 462976...194276 | 1,791,864 | 000000001997-08-24-000024 أغسطس 1997 | GIMPS / جوردون سبنس | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 100 MHz | |
| 37 | 3,021,377 | 694271...127411 | 909,526 | 457856...811686 | 1,819,050 | 000000001998-01-27-000027 يناير 1998 | GIMPS / رولاند كلاركسون | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 200 MHz | |
| 38 | 6,972,593 | 193791...437075 | 2,098,960 | 572736...955176 | 4,197,919 | 000000001999-06-01-00001 يونيو 1999 | GIMPS / نيان هاجراتوالا | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب آي بي إم أبتيفيا بمعالج بنتيوم 2 350 MHz | |
| 39 | 13,466,917 | 259071...924947 | 4,053,946 | 021056...427764 | 8,107,892 | 000000002001-11-14-000014 نوفمبر 2001 | GIMPS / مايكل كاميرون | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج Athlon T-Bird 800 MHz | |
| 40 | 20,996,011 | 682047...125976 | 6,320,430 | 896128...793508 | 12,640,858 | 000000002003-11-17-000017 نوفمبر 2003 | GIMPS / مايكل شيفر | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب Dell Dimension بمعالج بنتيوم 4 2 GHz | |
| 41 | 24,036,583 | 969407...299410 | 7,235,733 | 950528...448233 | 14,471,465 | 000000002004-05-15-000015 مايو 2004 | GIMPS / جوش فيندلي | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج بنتيوم 4 2.4 GHz | |
| 42 | 25,964,951 | 077247...122164 | 7,816,230 | 088128...746209 | 15,632,458 | 000000002005-02-18-000018 فبراير 2005 | GIMPS / مارتن نواك | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج بنتيوم 4 2.4 GHz | |
| 43 | 30,402,457 | 943871...315416 | 9,152,052 | 704256...497437 | 18,304,103 | 000000002005-12-15-000015 ديسمبر 2005 | GIMPS / كيرتس كوبر وستيفن بون | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى | |
| 44 | 32,582,657 | 967871...124575 | 9,808,358 | 120256...775946 | 19,616,714 | 000000002006-09-04-00004 سبتمبر 2006 | GIMPS / كيرتس كوبر وستيفن بون | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى | |
| 45 | 37,156,667 | 220927...202254 | 11,185,272 | 480128...204534 | 22,370,543 | 000000002008-09-06-00006 سبتمبر 2008 | GIMPS / هانز مايكل إلفينيتش | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب | |
| 46 | 42,643,801 | 314751...169873 | 12,837,064 | 253376...144285 | 25,674,127 | 000000002009-06-04-00004 يونيو 2009 | GIMPS / أود ماجنار ستريندمو | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور 2 3 GHz | |
| 47 | 43,112,609 | 152511...316470 | 12,978,189 | 378816...500767 | 25,956,377 | 000000002008-08-23-000023 أغسطس 2008 | GIMPS / إدسون سميث | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب Dell OptiPlex بمعالج إنتل كور 2 ديو E6600 | |
| 48 | 57,885,161 | 285951...581887 | 17,425,170 | 130176...169296 | 34,850,340 | 000000002013-01-25-000025 يناير 2013 | GIMPS / كورتيس كوبر | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى | |
| * | 72,072,997 | أدنى نقطة لم يتحقَّق منها | أدنى نقطة لم يتحقَّق منها | أدنى نقطة لم يتحقَّق منها | أدنى نقطة لم يتحقَّق منها | أدنى نقطة لم يتحقَّق منها | أدنى نقطة لم يتحقَّق منها | أدنى نقطة لم يتحقَّق منها | أدنى نقطة لم يتحقَّق منها |
| 49 | 74,207,281 | 436351...300376 | 22,338,618 | 315776...451129 | 44,677,235 | 000000002016-01-07-00007 يناير 2016 | GIMPS / كورتيس كوبر | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i7-4790 | |
| 50 | 77,232,917 | 179071...467333 | 23,249,425 | 301056...109200 | 46,498,850 | 000000002017-12-26-000026 ديسمبر 2017 | GIMPS / جوناثان بيس | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-6600 | |
| 51 | 82,589,933 | 902591...148894 | 24,862,048 | 207936...110847 | 49,724,095 | 000000002018-12-07-00007 ديسمبر 2018 | GIMPS / باتريك لاروش | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-4590T | |
| * | 129,469,817 | أدنى نقطة لم تُختبَر | أدنى نقطة لم تُختبَر | أدنى نقطة لم تُختبَر | أدنى نقطة لم تُختبَر | أدنى نقطة لم تُختبَر | أدنى نقطة لم تُختبَر | أدنى نقطة لم تُختبَر | أدنى نقطة لم تُختبَر |
| 52 | 136,279,841 | 871551...881694 | 41,024,320 | 008576...388692 | 82,048,640 | 000000002024-10-12-000012 أكتوبر 2024 | GIMPS / لوك ديورانت | اختبار لوكاس ليهمر / برنامج PRPLL على حاسوب بمعالج رسومي Nvidia H100 | |

## أنظر أيضًا

* جدول القواسم

## الملاحظات

* ↑ فرع من الرياضيَّات يهتم بدراسة خصائص الأعداد.
* ↑ أَتَى توثيق أوَّل أربعة أعداد تامة من قبل «نيقوماخس الجرشي» قرابة عام 100م، وكان المفهوم معروفًا لدى إقليدس في زمن كتابه «الأصول»، بما في ذلك أعداد مرسين الأولية. ومع ذلك، لا توجد سجلات تشير إلى متى جرى اكتشاف هذه الأعداد لأوَّل مرَّة.
* 1 2 قد يكون علماء الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية، مثل إسماعيل بن فلُّوس (1194 - 1239م)، قد عرفوا الأعداد التامة من الخامس إلى السابع قبل أن تُسجَّل في المصادر الأوروبِّية.'"`UNIQ--ref-0000005B-QINU`"'
* ↑ وجدت معلومات في مخطوطة مجهولة الهوية تحمل الرقم «Clm 14908»، والتي تعود إلى الفترة بين عامي 1456 و1461م، وكذلك في عمل ابن فلُّوس السابق، الذي لم يوزع على نطاق واسع.
* ↑ M$_{42,643,801}$ أُبلغ عنه للمرَّة الأولى بمشروع GIMPS في 12 أبريل 2009، ولكن لم يلاحظه أحد حتَّى 4 يونيو 2009 بسبب خطأ في الخادم.
* 1 2 اعتبارًا من 25 أكتوبر 2024 (2024-10-25).'"`UNIQ--ref-00000090-QINU`"'
* 1 2 3 4 لم يحدث تحقق بعد يوكِّد وجود أعداد مرسين أولية غير مكتشفة تقع بين العدد ال 48 (M$_{57,885,161}$) والعدد ال 52 (M$_{136,279,841}$) في هذا الجدول، لذا فإنّ الترتيب الحالي مؤقت.
* ↑ M$_{74,207,281}$ أُبلغ عنه للمرَّة الأولى بمشروع GIMPS في 17 سبتمبر 2015، ولكن لم يلاحظه أحد حتَّى 7 يناير 2016 بسبب خطأ في الخادم.
* ↑ اُكتُشاف لأوَّل مرَّة كعدد أولي محتمل باستخدام اختبار فيرما على وحدة معالجة الرسوميات Nvidia A100 في 11 أكتوبر 2024.