# اقتصار (رياضيات)

في الرياضيات، اقتصار دالة $f$ هي دالة جديدة يرمز لها بـ $f\vert _{A}$ أو $f{\upharpoonright _{A}}$، يُحْصَلُ عليها من خلال اختيار أصغر مجال للدالة الأصلية $f$.

## تعريف

بفرض أن $f:E\to F$ هي دالة من مجموعة $E$ لمجموعة $F$، وإذا كانت المجموعة $A$ هي مجموعة فرعية من $E$، فإن اقتصار $f$ على $A$ هي الدالة:${f|}_{A}:A\rightarrow F$حيث ${f|}_{A}(x)=f(x)$ لكل قيم $x\in A$، بمعنى أن اقتصار $f$ على $A$ هي نفس الدالة $f$، ولكن معرفة فقط على $A$.
إذا نظرنا للدالة $f$ على أنها علاقة رياضية $(x,f(x))$ في الجداء الديكارتي $E\times F$، فإن اقتصار $f$ على $A$ يمكن تمثيله بالرسم البياني الخاص بها $G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),$ حيث العلاقة $(x,f(x))$ تمثل الأزواج المرتبة في الرسم البياني $.G$

### امتدادات

يُقال أن دالة $F$ امتداد ( باللغة الأنجليزية "extension") دالة أخرى $f$ إذا كان في كل مرة تكون $x$ في مجال $f$، فإنها أيضا في مجال $F$ و $f(x)=F(x)$. تحديدًا إذا كانت $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ و $.F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f$
الامتداد الخطي (باللغة الأنجليزية "linear extension" وأيضًا الامتداد المستمر) للدالة $f$ هو تحويل خطي لـ $f$ (وأيضًا تحويل مستمر).

## أمثلة

* اقتصار الدالة الغير متباينة $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ على المجال $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ هو التباين $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$.
* دالة المضروب تنتج من اقتصار الدالة غاما على مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة لأننا نطرح 1 من $n$ ، أي: ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$.

## خصائص الاقتصار

* اقتصار دالة $f:X\rightarrow Y$ على المجال بأكمله $X$ يعيد إلى الدالة الأصلية، أي $f|_{X}=f$ .
* اقتصار دالة مرتين هو نفسه اقتصارها مرة واحدة، أي إذا كان $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f$ ، فإنّ:$(f|_{B})|_{A}=f|_{A}$ .
* اقتصار الدالة المحايدة المعرفة على مجموعة $X$ على مجموعة فرعية $A$ من $X$ هو مجرد تباين قانوني من $A$ إلى $.X$
* اقتصار دالة مستمرة هو عبارة عن دالة مستمرة.

## تطبيقات
### دوال عكسية

لكي يكون لـ الدالة $f$ دالة عكسية، يجب أن تكون تقابلية، وإذا لم تكن f كذلك، يمكن تحديد دالتها العكسية عن طريق اقتصارها (تقييدها) على جزء من المجال.
على سبيل المثال، دالة $f(x)=x^{2}$المُعرّفة عموماً على $\mathbb {R}$ ليست تقابلية لأن $x^{2}=(-x)^{2}$ وذلك لكل $x$ من $.\mathbb {R}$
ومع ذلك، تصبح الدالة $f(x)=x^{2}$ تقابلية إذا اقتصرنا على المجال $\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty [$، في هذه الحالة
$f^{-1}(y)={\sqrt {y}}$
ملاحظة:
إذا كنا نود أن نقتصر على المجال $]-\infty ,0]$، فإن دالتها العكسية ستكون( $-{\sqrt {y}}$) بدلًا من ذلك، ليست هناك حاجة لاقتصار المجال إذا كنا لا نريد إيجاد الدالة العكسية كونها دالة متعددة القيم.

### الحزم
## انظر أيضاً

* قيد
* انكماش تشويهي
* علاقة ثنائية

## مراجع

* ↑ ترجمة و معنى restriction في قاموس المعاني. قاموس عربي انجليزي نسخة محفوظة 3 يناير 2020 على موقع واي باك مشين.
* ↑ Stoll، Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories (ط. 2nd). San Francisco: W. H. Freeman and Company. ص. [36]. ISBN:0-7167-0457-9.
* ↑ Halmos، Paul (1960). Naive Set Theory $^{[لغاتأخرى]}$‏. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (ردمك 0-387-90092-6) (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. (ردمك 978-1-61427-131-4) (Paperback edition).
* ↑ Munkres، James R. (2000). Topology (ط. 2nd). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN:0-13-181629-2.
* ↑ Adams، Colin Conrad؛ Franzosa، Robert David (2008). Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. ISBN:978-0-13-184869-6.
* بوابة تحليل رياضي
* بوابة رياضيات