# جداء

في الرياضيات، الجُدَاءُ (بالإنجليزية: Product)‏ هو نتيجةُ عمليةِ ضربِ كميتينِ. الترتيب الذي تأتي فيه الأعداد الحقيقية أو العقدية في عملية الضرب ليس له تأثير على قيمة الجداء. هذه الخاصية تعني أن عملية الضرب هي عملية تبديلية.

## جداء عددين
### جداء عددين طبيعيين

وضع عدد من الكرات على شكل مستطيل عدد أسطره $r$ وعدد أعمدته $s$ يعطي :
    $r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\sum _{j=1}^{r}s$
كرة.

### جداء عددين صحيحين

    ${\begin{array}{|c|c c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}$
وبتعبير آخر:
* جداء عددين سالبين يساوي عددا موجبا.
* جداء عدد سالب وعدد موجب يساوي عددا سالبا.
* جداء عدد موجب وعدد سالب يساوي عدد سالبا.
* جداء عددين موجبين يساوي عددا موجبا.

### جداء كسرين

جداء كسرين هو كسر بسطه يساوي جداء بسط الكسرين ومقامه يساوي جداء مقام الكسرين، كما تبين ذلك الصيغة التالية:
    ${\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}$

### جداء عددين عقديين

يحسب جداء عددين عقديين باستعمال قانون التوزيعية وبعلم كون $\mathrm {i} ^{2}=-1$ كما تبين ذلك الصيغة التالية:
    ${\begin{aligned}(a+b\,\mathrm {i} )\cdot (c+d\,\mathrm {i} )&=a\cdot c+a\cdot d\,\mathrm {i} +b\cdot c\,\mathrm {i} +b\cdot d\cdot \mathrm {i} ^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} \end{aligned}}$

#### المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين

يمكن أن تكتب الأعداد العقدية في النظام الإحداثي القطبي كما يلي:
    $a+b\,\mathrm {i} =r\cdot (\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$
وبالإضافة إلى ذلك،
    $c+d\,\mathrm {i} =s\cdot (\cos(\psi )+\mathrm {i} \sin(\psi ))=s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }$, ومن ذلك يحصل على ما يلي:
    $(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} =r\cdot s\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \sin(\varphi +\psi ))=r\cdot s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}$
المعنى الهندسي لجداء عددين عقديين هو جداء معياريهما وجمع عمدتيهما.

## الجداءات في الجبر الخطي
### الجداء القياسي

جداء قياسي هو تطبيق ثنائي الخطية:
    $\cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R}$
بالشروط التالية، $v\cdot v>0$ من أجل كل $0\not =v\in V$.
من الجداء القياسي، يمكننا تحديد معيار بجعل $\|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}$.
الجداء القياسي يمكن أيضا من تعريف الزاوية المحصورة بين متجهتين كما يلي:
    $\cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}$
في فضاء إقليدي بُعده $n$، الجداء القياسي الاعتيادي (يسمى ببساطة جداءا قياسيا) يعطى بالصيغة التالية:
    $\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}$

### جداء مصفوفتين

لتكن المصفوفتين
    $A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}$ و $B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}$
جذاؤهما هو:
    $B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}$

### تركيب دالتين خطيتين ممثلا بجداء مصفوفتين
## جداء متتالية

يرمز إلى الجداء الخاص بجداء متتالية بواسطة الحرف اليوناني الكبير پي $\prod$ (قياسا على استخدام الحرف الكبير سيغما $\sum$ رمزًا للمجموع). جداء متتالية يتكون من رقم واحد هو فقط الرقم نفسه. يُعرف الجداء بدون أي عامل بالجداء الخالي $^{[الإنجليزية]}$، ويساوي 1.
مثال على جداء المتتالية: $\prod _{i=1}^{N}u_{i}=u_{1}\times u_{2}\times \cdots \times u_{N}$

## جداءات أخرى

هناك العديد من أنواع الجداءات الأخرى اللائي يدرسن في الرياضيات:
* جداء هادامار،
* جداء كرونكر،
* جداء الداخل،
* جداء الخارج،
* جداء عقدي، نظرية حول المنحنيات الإهليلجية.

## انظر أيضا

* بي (حرف).

## مراجع

* ↑ Moschovakis، Yiannis (2006). Notes on set theory (ط. 2nd). New York: Springer. ص. 13. ISBN:0387316094.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: التاريخ والسنة (link)
* ↑ Boothby، William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry (ط. 2nd). Orlando: Academic Press. ص. 200. ISBN:0080874398.
* ↑ Clarke، Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. ص. 9–10. ISBN:1447148207.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: التاريخ والسنة (link)

## وصلات خارجية

* الجداء في موقع ماثوورلد
* بوابة رياضيات