# طريقة ديكارت

في الرياضيات، طريقة ديكارت هي طريقة جبرية لحل المعادلات التربيعية و الرباعية.
لهذه الغاية، استعمل ديكارت تعميل الحدوديات من الدرجة n إلى جداء حدوديات من الدرجة الأولى $a(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$.

## معادلة من الدرجة الثانية

لحل المعادلة
    $ax^{2}+bx+c=0$ ,
نبدأ من العلاقتين التاليبين بين المعاملات والجذور:
    $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ ;
    $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$ .
من العلاقة الأولى نصل لـ
    $x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+p\quad {\text{et}}\quad x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-p$ ,
حيث p هي قيمة تحددها العلاقة الثانية.
هذه الطريقة شائعة جدًا، لو لدينا عدد C عبارة عن مجموع عددين A وB، يمكننا دائمًا كتابة A كنصف مجموع C وقيمة معينة p، وبذا تصبح قيمة B بالضرورة نصف قيمة C ناقص p.
لنصل لـ
    $\left(-{\frac {b}{2a}}+p\right)\left(-{\frac {b}{2a}}-p\right)={\frac {c}{a}}$ ,
ونستنتج ±p ثم الجذرين.

## المعادلة من الدرجة الرابعة

ضمن ديكارت كتابه الهندسة (1637) طريقة لحل المعادلات من الدرجة الرابعة بمجهول واحد وتتلخص فيما يلي:
نعتبر المعادلة من الدرجة الرابعة في شكلها العام: $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~$
نضع
$x=z-{\frac {b}{4a}}~$
فنجد:
$z^{4}+pz^{2}+qz+r=0~$
يمكن تعميل رباعية الحدود اعلاه الى جداء حدوديتين من الدرجة الثانية حسب المبرهنة الاساسيةفي الجبر حيث معاملا حدي الدرجة الاولى للحدوديتين متقابلين لكون رباعية الحدود خالية من حد الدرجة الثالثة
$z^{4}+pz^{2}+qz+r=(z^{2}+az+b)(z^{2}-az+c)~$
ننشر فنجد:
$z^{4}+pz^{2}+qz+r=z^{4}+(b+c-a^{2})z^{2}-a(b-c)z+bc~$
حسب خاصية تساوي حدوديتين نستنتج أن:
${\begin{cases}b+c-a^{2}=p\\a(b-c)=-q\\bc=r\end{cases}}$
أي
${\begin{cases}b+c=a^{2}+p\\b-c=-{\frac {q}{a}}\\bc=r\end{cases}}$
بجمع المعادلتين الاوليين طرفا بطرف وطرحهما نحصل على${\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p-{\frac {q}{a}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p+{\frac {q}{a}}\right)\\bc=r.\end{cases}}$
بتعويض b و c في المعادلة الثالثة نجد
${\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p-{\frac {q}{a}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p+{\frac {q}{a}}\right)\\{\frac {1}{4}}\left(a^{2}+p-{\frac {q}{a}}\right)\left(a^{2}+p+{\frac {q}{a}}\right)=r\end{cases}}$
نستنتج أن
$(a^{2}+p)^{2}-{\frac {q^{2}}{a^{2}}}=4r$.
أي
$a^{6}+2pa^{4}+(p^{2}-4r)a^{2}-q^{2}=0$.
نضع y=a² فنحصل على
$y^{3}+2py^{2}+(p^{2}-4r)y-q^{2}=0$.
$a={\sqrt {y_{1}}}$.
${\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p-{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p+{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\\a={\sqrt {y_{1}}}.\end{cases}}$
إذن $z^{4}+pz^{2}+qz+r=0$ تكافئ $\left(z^{2}+z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p-{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\right)\left(z^{2}-z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p+{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\right)=0$.
* $z^{2}+z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p-{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)=0$
* $z^{2}-z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p+{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)=0$
$z_{1}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y_{1}}}+{\sqrt {-y_{1}-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)$
$z_{2}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y_{1}}}-{\sqrt {-y_{1}-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)$
$z_{3}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y_{1}}}+{\sqrt {-y_{1}-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)$
$z_{4}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y_{1}}}-{\sqrt {-y_{1}-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)$.

## مراجع

* بوابة رياضيات
* بوابة جبر