# سهم (حساب المثلثات)

فَرْجَيْب التمام أو السهم أو الجيب المعكوس (بالإنجليزية: Versed Sine أو Versine)‏، هي دالة مثلثية موجودة في بعض الجداول المثلثية القديمة. سهم زاوية هو فرق بين جيب تمام زاوية نفسها والواحد، بتعبيرٍ آخر: $\operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta$
هناك العديد من الدوال ذات الصلة، وأبرزها سهم التمام أو الفرجيب (Coversine) و نصف السهم أو نصف فرجيب التمام (Haversine). هذه الأخيرة، لها أهمية خاصة في صيغة نصف السهم للملاحة.

## نظرة عامة

السهم هو دالة مثلثية ظهرت سابقا في بعض الجداول المثلثية القديمة. يرمز إليها بالرموز التالية: versin (θ)، sinver (θ) ، vers(θ)، ver (θ) أو siv (θ). باللغة اللاتينية، يُعرف بالاسماء التالية: sinus versus (جيب معكوس)، versinus ،versus أو sagitta (السهم).
يكافئ سهم الزاوية العبارات التالية: 1 − cos(θ) و 2 sin$^2$ (θ/2).
هناك عدة دوال متعلقة بالسهم:
* جيب التمام المعكوس (بالإنجليزية: Versed cosine)‏: يرمز لها بالرمز vercos(θ) أو vcs(θ).
* سهم التمام أو الجيب المعكوس للتمام (بالإنجليزية: Coversed sine)‏: يرمز لها بالرمز coversin(θ)، أو (covers(θ)، أو cosiv(θ) أو cvs(θ).
* جيب التمام المعكوس للتمام (بالإنجليزية: Coversed cosine)‏: يرمز لها بالرمز covercosin(θ) أو covercos(θ) أو cvc(θ).
توجد أيضًا مجموعة أخرى من أربع دوال «نصف القيمة»:
* نصف السهم (بالإنجليزية: Haversine)‏: يرمز إليها بالرمز haversin(θ) أو hav(θ)
* نصف سهم التمام (بالإنجليزية: Hacoversed sine)‏: يرمز إليها بالرمز hacoversin(θ) أو hcv(θ).
* نصف جيب التمام المعكوس (بالإنجليزية: Haversed cosine)‏: يرمز إليها بالرمز havercosin(θ) أو hvc(θ).
* نصف جيب التمام المعكوس للتمام (بالإنجليزية: Hacoversed cosine)‏: يرمز إليها بالرمز hacovercosin(θ) أو hcc(θ).

## التاريخ والتطبيقات
### السهم وسهم التمام (Coversine)

في بعض الأحيان، كانت تسمى تاريخيا دالة الجيب العادية sinus rectus («الجيب المستقيم» بالترجمة الحرفية) للتمييز بينها وبين السهم (sinus versus). يكون معنى هذه المصطلحات واضحًا إذا نظر المرء إلى الدوال في السياق الأصلي لتعريفها، وهي دائرة الوحدة:
بالنسبة للوتر العمودي AB لدائرة الوحدة، يكون جيب الزاوية θ (يمثل نصف الزاوية المقابلة Δ) هو المسافة AC (نصف الوتر). من ناحية أخرى، فإن سهم الزاوية θ هو المسافة CD من مركز الوتر إلى مركز القوس. وبالتالي، فإن مجموع cos (θ) (يساوي طول الخط OC) و versin (θ) (يساوي طول الخط CD) يساوي طول نصف القطر OD (طوله 1). يتضح بهذه الطريقة بأن الجيب عمودي (rectus، حرفيًا «مستقيم») بينما يكون السهم أفقيًا (versus، حرفيًا «مقلوب، خارج الموضع»)؛ كلاهما مسافات من C إلى الدائرة.
كانت التسمية العربية للدالة ترجمة للكلمة الهندية "sara" التي تستخدم للإشارة إلى سهم المحارب. إذا كان القوس ADB للزاوية المزدوجة Δ = 2θ ينظر إليه على أنه «قوس المحارب» واعتبار AB على أنه «وتر»، والسهم CD هو عمود السهم.

### نصف السهم (Haversine)

كانت دالة نصف السهم ($\operatorname {haversin} ={\frac {\operatorname {versin} x}{2}}$) مهمًة خاصة في الملاحة لأنها تظهر في صيغة نصف السهم (Haversine formula)، والتي تستخدم لحساب المسافات بدقة على سطح كروي فلكي (طالع المشكلات المتعلقة بنصف قطر الأرض والشكل الكروي) باعتبار إلى المواضع الزاوية (على سبيل المثال، خط الطول ودائرة العرض). يمكن للمرء أيضًا استخدام $\sin ^{2}({\tfrac {\theta }{2}})$ مباشرة، ولكن وجود جدول لنصف السهم أزالت الحاجة إلى حساب المربعات والجذور التربيعية.

## المتطابقات الرياضية
### التعريفات

* ${\textrm {versin}}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,$
* ${\textrm {coversin}}(\theta ):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,$
* ${\textrm {vercosin}}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,$
* ${\textrm {covercosin}}(\theta ):={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,$
* ${\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}=\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,$
* ${\textrm {hacoversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,$
* ${\textrm {havercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}=\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,$
* ${\textrm {hacovercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,$

### الدورات الدائرية

    ${\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta )&=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$

### المشتقات والتكاملات

| ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}$ | $\int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C$ |
| ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}$ | $\int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C$ |
| ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}$ | $\int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C$ |

### خصائص أخرى

يمكن تعبير تلك الدوال بواسطة متسلسلة ماكلورين:
${\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}$

## طالع أيضًا

* عمق قوس

## مراجع

* ↑ أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 817. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
* ↑ قدري حافظ طوقان (2018). تراث العرب العلمي في الرياضيات والفلك. تقديم ومراجعة: مدحت رمضان. الجيزة: وكالة الصحافة العربية ناشرون. ص. 357.
* 1 2 محمد علي التهانوي (2013). كشّاف اصطلاحات الفنون والعلوم. ترجمة: د. عبد الله الخالدي، تحقيق: أحمد حسن بسج. بيروت: دار الكتب العلمية. ج. 1. ص. 258. ISBN:978-2-7451-0047-4. الجيب: بالفتح وسكون المثناة التحتانية في اللّغة گريبان كما في الصّراح. وعند المهندسين والمنجمين هو نصف وتر ضعف القوس. ... وهذا الذي ذكر هو الجيب المستوي. وما وقع من القطر بين جيب القوس وطرف القوس هو الجيب المعكوس ويسمّى بسهم القوس أيضا.
* ↑ أبو الوفاء البوزجاني (2010). مجسطي أبي الوفاء البوزجاني. سلسلة تاريخ العلوم عند العرب. تحقيق: علي موسى، إشراف: رشدي راشد (ط. 1). بيروت: مركز دراسات الوحدة العربية. ص. 56. ISBN:978-9953-82-304-1. الجيب المعكوس: وهو سهم القوس، أي الخط الذي يقطع كلّ واحد من القوس ووترها بنصفين، وهو مساوٍ لتفاضل جيب تمام القوس ونصف القطر.
* ↑ أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 310. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
* ↑ Calvert, James B. (14 Sep 2007) [2004-01-10]. "Trigonometry" (بالإنجليزية). Archived from the original on 2007-10-02. Retrieved 2015-11-08.
* بوابة تحليل رياضي
* بوابة رياضيات
* بوابة هندسة رياضية