# مسافة دائرة عظمى

مسافة الدائرة العظمى أو المسافة الكروية هي المسافة على طول دائرة عظمى.
إنها أقصر مسافة بين نقطتين على سطح الكرة، وتُقاس على طول سطح الكرة. المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي هي طول الخط المستقيم بينهما، ولكن على الكرة لا توجد خطوط مستقيمة. في الفضاءات ذات الانحناءات، تستبدل الخطوط الجيوديسية بالخطوط المستقيمة. الخطوط الجيوديسية على الكرة هي دوائر على الكرة تتطابق مراكزها مع مركز الكرة، وتسمى «الدوائر العظمى». يعد تحديد مسافة الدائرة العظمى جزءًا من المشكلة الأكثر عمومية للملاحة في الدائرة العظمى. من خلال أي نقطتين على الكرة ليستا نقطتين متقابلتين، توجد دائرة كبيرة وحيدة. النقطتان تفصلان الدائرة العظمى إلى قوسين. طول القوس الأقصر هو مسافة الدائرة العظمى بين النقطتين. تسمى الدائرة العظمى الممنوحة بمثل هذه المسافة الدائرة الريمانية في الهندسة الريمانية.
بين النقاط المتقابلة، هناك عدد لا نهائي من الدوائر العظمى، وكل أقواس الدائرة العظمى بين النقاط المتناقضة لها نصف محيط الدائرة، أو $\pi r$، حيث r هو نصف قطر الكرة.
الأرض كروية تقريبًا، لذا فإن معادلات مسافة الدائرة العظمى تعطي المسافة بين النقاط على سطح الأرض بشكل صحيح في حدود 0.5٪ تقريبًا.
الرأس هو نقطة ذات أعلى عرض على دائرة عظمى.

## الصيغ الرياضية

لتكن $\lambda _{1},\phi _{1}$ و $\lambda _{2},\phi _{2}$ خطي الطول العرض الجغرافيين للنقطتين 1 و 2، و $\Delta \lambda ,\Delta \phi$ فروقهم المطلقة؛ عندئد تكون $\Delta \sigma$، الزاوية المركزية المحصورة بينهما، مُعطاة بقانون جيب التمام الكروي إذا استخدم أحد القطبين كنقطة ثالثة مساعدة على الكرة:
    $\Delta \sigma =\arccos {\bigl\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda ){\bigr )}.$
يتم التعبير عن المشكلة عادةً بدلالة إيجاد الزاوية المركزية $\Delta \sigma$ . بالنظر إلى هذه الزاوية بالتقدير الدائري، يمكن حساب طول القوس الفعلي d على كرة نصف قطرها r ببساطة:
    $d=r\,\Delta \sigma .$

### الصيغ الحوسبية

في أنظمة الحواسيب ذات الدقة المنخفضة للفاصلة العائمة، يمكن أن يحتوي صيغة قانون جيب التمام الكروي على أخطاء تقريبية كبيرة إذا كانت المسافة صغيرة (إذا كانت النقطتان تفصل بينهما كيلومتر واحد على سطح الأرض، فإن جيب التمام للزاوية المركزية يقترب من 0.99999999). بالنسبة لأعداد الفاصلة العائمة 64 بت الحديثة، فإن صيغة قانون جيب التمام الكروي، الموضح أعلاه، لا يحتوي على أخطاء تقريب حرجة للمسافات التي تزيد عن بضعة أمتار على سطح الأرض. صيغة نصف السهم هي الأفضل للمسافات الصغيرة:
    ${\begin{aligned}\Delta \sigma &=\operatorname {archav} \left(\operatorname {hav} \left(\Delta \phi \right)+\left(1-\operatorname {hav} (\Delta \phi )-\operatorname {hav} (\phi _{1}+\phi _{2})\right)\cdot \operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right)\\&=2\arcsin {\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\left(1-\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)-\sin ^{2}\left({\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}\right)\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}.\end{aligned}}$
تاريخيا، تم تبسيط استخدام هذه الصيغة من خلال توفر الجداول لدالة نصف السهم:$\operatorname {hav} (\theta )=\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)$
على الرغم من أن هذه الصيغة دقيقة لمعظم المسافات على الكرة، إلا أنها تعاني أيضًا من أخطاء التقريب للحالة الخاصة (وغير العادية إلى حد ما) للنقاط المتقابلة. الصيغة الدقيقة لجميع المسافات هي الحالة الخاصة التالية صيغة فينسنتي $^{[الإنجليزية]}$ للسطح الناقصي متساوية المحاور الرئيسية والثانوية:
    $\Delta \sigma =\arctan {\frac {\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin(\Delta \lambda )\right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda )\right)^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda )}}.$
هنا الربع ل $\Delta \sigma$ يجب أن تتحكمها إشارات البسط والمقام للطرف الأيمن، على سبيل المثال، باستخدام دالة قوس الظل ثنائي العمدة.

## انظر أيضا

* الملاحة الجوية
* المسافة الزاوية
* الملاحة الدورانية
* مسح الأرض
* خط الاتجاه الثابت
* الهندسة الكروية
* حساب المثلثات الكروية

## مراجع

* ↑ Admiralty Manual of Navigation, Volume 1 (بالإنجليزية), The Stationery Office, 1987, p. 10, ISBN:9780117728806, Archived from the original on 2021-04-22
* ↑ Kells, Lyman M.; Kern, Willis F.; Bland, James R. (1940). Plane And Spherical Trigonometry (بالإنجليزية). McGraw Hill Book Company, Inc. pp. 323-326. Archived from the original on 2021-05-07. Retrieved 2018-07-13.
* ↑ "Calculate distance, bearing and more between Latitude/Longitude points" (بالإنجليزية). Archived from the original on 2022-10-06. Retrieved 2013-08-10.
* ↑ Sinnott, Roger W. (Aug 1984). "Virtues of the Haversine". Sky and Telescope (بالإنجليزية). 68 (2): 159.
* ↑ Vincenty, Thaddeus (1 Apr 1975). "Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with Application of Nested Equations" (PDF). Directorate of Overseas Surveys (بالإنجليزية). Kingston Road, Tolworth, Surrey. 23 (176): 88–93. DOI:10.1179/sre.1975.23.176.88. Archived from the original (PDF) on 2022-05-21. Retrieved 2008-07-21.
* بوابة رياضيات
* بوابة هندسة رياضية
* بوابة ملاحة
* بوابة طيران
* بوابة فيزياء الأرض