# كسر مستمر

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}$
كسر مستمر منته، حيث n عدد صحيح موجب وa$_0$ عدد صحيح، و a$_i$ عدد صحيح موجب بالنسبة إلى i=1,…,n.
في الرياضيات، الكسر المستمر (بالإنجليزية: Continued fraction)‏ هو كسر يأخذ الصيغة التالية :
    $x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}$
حيث a$_0$ عدد صحيح والاعداد (a$_i$ (i ≠ 0 هي أعداد موجبة. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.
إذا سُمح لكل بسط جزئي ومقام جزئي أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما.

## تحفيز

الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:
    $r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i},$
حيث a$_0$ عدد صحيح، وكل a$_i$ آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (a$_i$) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).
لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.
لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو أكثر بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط. بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].
لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:
* تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
* تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
* لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
* تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
* بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.
* تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد x ينتج عنه تقريب نسبي لـx والذي يمثل التقريب الأمثل.

## حساب تمثيل الكسور المستمرة

ليكن العدد الحقيقي r, وليكن i الجزء الصحيح وf الجزء الكسري ل r. وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة r is [i; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/f. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.
لحساب الكسر المستمر للعدد r، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من r. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان r نسبيا.
أوجد صورة الكسر المستمر للعدد 3.245 :
| $3\,$ | $3.245\ \left(3{\tfrac {49}{200}}\right)-3\,$ | $=0.245\ \left({\tfrac {49}{200}}\right)\,$ | $1/0.245\ \left({\tfrac {200}{49}}\right)\,$ | $=4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)\,$ |
| $4\,$ | $4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)-4\,$ | $=0.082\ \left({\tfrac {4}{49}}\right)\,$ | $1/0.082\ \left({\tfrac {49}{4}}\right)\,$ | $=12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)\,$ |
| $12\,$ | $12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)-12\,$ | $=0.250\ \left({\tfrac {1}{4}}\right)\,$ | $1/0.250\ \left({\tfrac {4}{1}}\right)\,$ | $=4.000\,$ |
| $4\,$ | $4.000-4\,$ | $=0.000\,$ | توقف | |
| الكسر المستمر لـ 3.245 هو [3; 4, 12, 4] |||||
| $3.245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}$ |||||

## صور الكسور المستمرة

    $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\;$
أو
    $x=a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}.$
أو
    $x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}{1 \over a_{2}+}{1 \over a_{3}+}.$
وأحيانا
    $x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle .\;$
أو
    $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].$

## الكسور المستمرة المنتهية

هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:
    $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n},1]=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}+1].\;$
مثل,
    $2.25=9/4=[2;3,1]=[2;4],\;$
    $-4.2=-21/5=[-5;1,3,1]=[-5;1,4].\;$

## الكسور المستمرة للمقاليب

مثل,
    $2.25={\frac {9}{4}}=[2;4],\;$
    ${\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4].\;$

## الكسور المستمرة غير المنتهية

    ${\frac {a_{0}}{1}},\qquad {\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\qquad {\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\qquad {\frac {a_{3}(a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0})+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.$
وبصيغة أخرى:
$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.$
وتكون الصيغ المتقاربة
    ${\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.$

## بعض المبرهنات المفيدة

إذا كان a$_0$، a$_1$، a$_2$،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب $h_{n}$ و$k_{n}$ بالمعاودة:
| $h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}\,$ | $h_{-1}=1\,$ | $h_{-2}=0\,$ |
| $k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}\,$ | $k_{-1}=0\,$ | $k_{-2}=1\,$ |

### نظرية 1

لاي $x\in \mathbb {R}$ موجب
    $\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},x\right]={\frac {xh_{n-1}+h_{n-2}}{xk_{n-1}+k_{n-2}}}.$

### نظرية 2

التقاربات [a$_0$; a$_1$, a$_2$,...]تعطى بالعلاقة
    $\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n}\right]={\frac {h_{n}}{k_{n}}}.$

### نظرية 3

إذا كان التقارب النوني n لكسر مستمر هو $h_{n}/k_{n}$، حينئذ
    $k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.\,$

## نشر π في كسر مستمر

    ${\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},\,\ldots$
    ${\frac {3}{1}}+{\frac {1}{1\times 7}}-{\frac {1}{7\times 106}}+{\frac {1}{106\times 113}}-\cdots$
الصورة المختصرة:
    $\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]$
       أو
    $\pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:
    $\pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{6+{\cfrac {13^{2}}{6+{\cfrac {15^{2}}{6+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}\ ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{13+{\cfrac {7^{2}}{15+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}$

## أنماط منتظمة من الكسور المستمرة

    $e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\dots ]\,\!.$
ولدينا أيضا، عندما n عدد صحيح أكبر من الواحد,
    $\exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,\dots ]\,\!.$
إذا كانت n ّعدد فردي
    $\exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3k+(n-1)/2,(12k+6)n,3k+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!$
الحالة الخاصة عند n = 1:
    $e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.$
الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي
    $\tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!$
حيث n عدد صحيح موجب; كذلك
    $\tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15\dots ]\,\!$
و
    $\tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,\dots ]\,\!.$
إذا كانت (I$_n$(x هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية p/q
    $S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}},$
$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}$
كسر متصل منته,حيث a$_0$ هو عدد صحيح ما، و n هو عدد صحيح طبيعي و ai هي أعداد صحيحة طبيعية.
الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية.
على سبيل المثال، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :
    (...,a$_i$ = (3,1,4,1,5,9,2
لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :
* التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المستمرة هو منته إذا وفقط إذا كان ذلك العدد جذريا.
* لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر.
[a$_0$; a$_1$, … a$_n$ − 1, a$_n$] = [a$_0$; a$_1$, … a$_{n−1}$, a$_n$ − 1, 1]
* لكل عدد غير جذري، تمثيل وحيد بالكسور المستمرة.

## تاريخ الكسور المستمرة

* في عام 1737، درس ليونهارت أويلر خصائص الكسور المستمرة واستنتج أن e عدد غير جذري.
* في عام 1761، أثبت يوهان لامبرت لأول مرة أن ${\pi }$ عدد غير جذري. استعمل من أجل هذا الهدف الكسور المستمرة الممثِلة ل tan(x).

## انظر أيضا

* شجرة ستيرن-بروكوت
* كسر مستمر معمم
* متسلسلة (رياضيات)
* جداء غير منته

## مراجع

* ↑ "Estimating square roots, generalized continued fraction expression for every square root", The Ben Paul Thurston Blog نسخة محفوظة 13 ديسمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
* ↑ Hardy، G.H.؛ Wright، E.M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (ط. Fifth). Oxford.
* ↑ "E101 – Introductio in analysin infinitorum, volume 1". مؤرشف من الأصل في 2015-07-12. اطلع عليه بتاريخ 2008-03-16.

## وصلات خارجية

* ما هو الكسر المستمر وما تطبيقاته - موقع إجابة.
* بوابة تحليل رياضي
* بوابة رياضيات
* بوابة نظرية الأعداد