# هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي

في علم الرياضيات، وخاصة في علم الطوبولوجيا التفاضلية، فإن هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي يشير إلى هيكل الحزمة الشعاعية الطبيعي (TE,p$_*$,TM) الموجود على إجمالي الفضاء TE المخصص لحزمة المماس الخاصة بالحزمة الشعاعية السلسة (E,p,M)، الناتجة عن الدفع الأمامي p$_*$:TE→TM لخريطة الإسقاط الأصلية p:E→M.
في الحالة الخاصة (E,p,M)=(TM,π$_{TM}$,M)، حيث يكون TE=TTM هو حزمة المماس المزدوجة، والحزمة الشعاعية الثانوية (TTM,(π$_{TM}$)$_*$,TM) تكون متماثلة مع حزمة المماس (TTM,π$_{TTM}$,TM) لـ TM عبر الانعكاس المعياري.

## بناء هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية

بفرض أن (E,p,M) هي الحزمة الشعاعية السلسة من الرتبة N. وبما أن الصورة الأصلية (p$_*$)$^{−1}$(X)⊂TE لأية شعاع مماس X∈TM في معامل الدفع الأمامي p$_*$:TE→TM الخاص بالإسقاط المعياري p:E→M هي تفرع ثانوي متعدد من فئة البُعد 2N، وتصبح مساحة شعاعية مع عوامل الدفع الأمامي
    $+_{*}:T(E\times E)\to TE\quad ,\quad \lambda _{*}:TE\to TE$
للإضافة الأصلية والمضاعفة العددية غير الموجهة
    $+:E\times E\to E\qquad ,\qquad \lambda :E\to E$
كما هو الحال في عمليات الفضاء الشعاعي. العامل الثلاثي (TE,p$_*$,TM) يصبح حزمة شعاعية سلسة مع وجود عمليات الفضاء الشعاعي على أليافه.

### البرهان

بفرض أن (U,φ) هو نظام إحداثيات محلية على أساس العامل المتشعب M مع φ(x)=(x$^1$,...,x$^n$) وبفرض أن
    $\psi :W\to \varphi (U)\times \mathbb {R} ^{N}\quad ;\quad \psi (v^{k}e_{k}|_{x}):=(x^{1},\ldots ,x^{n},v^{1},\ldots ,v^{N})$
يكون نظام إحداثيات على E ومتناسبًا معه. إذن
    $p_{*}{\BigX^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v}{\Big )}=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{p(v)},$
وبالتالي، فإن ألياف هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية عند X∈T$_x$M يكون في صورة
    $p_{*}^{-1}(X)={\Big \\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v}\ {\Big |}\ v\in E_{x}\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{N}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.$
والآن يتضح أن
    $\chi {\BigX^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v}{\Big )}={\BigX^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{p(v)},(v^{1},\ldots ,v^{N},Y^{1},\ldots ,Y^{N}){\Big )}$
يعطي تسطيحًا محليًا χ:TW→TU×R$^{2N}$ للقيمة (TE,p$_*$,TM)، وتُقرأ عوامل الدفع الأمامي الخاصة بعمليات الفضاء الشعاعي الأصلية في الإحداثيات المناسبة المُعدلة مثل
    ${\BigX^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v}{\Big )}+_{*}{\BigX^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{w}+Z^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{w}{\Big )}=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v+w}+(Y^{\ell }+Z^{\ell }){\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v+w}$
و
    $\lambda _{*}{\BigX^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{v}{\Big )}=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\lambda v}+\lambda Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}_{\lambda v},$
وبالتالي، فإن كل واحد من الألياف (p$_*$)$^{−1}$(X)⊂TE هو مساحة شعاعية، والقيمة الثلاثية (TE,p$_*$,TM) هي الحزمة الشعاعية السلسة.

## الاستقامة الخطية لروابط الحزم الشعاعية

تكون رابطة إيهريزمان العامة
    $TE=HE\oplus VE$
على حزمة شعاعية (E,p,M) يمكن وصفها من حيث خريطة الرابط
    $\kappa :T_{v}E\to E_{p(v)}\qquad ;\qquad \kappa (X):=\operatorname {vl} _{v}^{-1}(\operatorname {vpr} X),$
حيث vl$_v$:E→V$_v$E هو عامل الرفع الرأسي، وvpr$_v$:T$_v$E→V$_v$E يكون الإسقاط الرأسي. ويكون الاقتران
    $\nabla :TM\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)\quad ;\quad \nabla _{X}v:=\kappa (v_{*}X)$
الناتج عن رابطة إيهريزمان هو المشتق الطردي المتغاير على Γ(E) بمعنى أن
* $\nabla _{X+Y}v=\nabla _{X}v+\nabla _{Y}v$
* $\nabla _{\lambda X}v=\lambda \nabla _{X}v$
* $\nabla _{X}(v+w)=\nabla _{X}v+\nabla _{X}w$
* $\nabla _{X}(\lambda v)=\lambda \nabla _{X}v$
* $\nabla _{X}(fv)=X[f]v+f\nabla _{X}v$
وفقط إذا كانت خريطة الرابط خطية من ناحية هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية (TE,p$_*$,TM) على TE. فحينها يُطلق على الرابطة أنها خطية. لاحظ أن خريطة الرابط تكون خطية تلقائيًا مع هيكل حزمة المماس (TE,π$_{TE}$,E).