# فجوة أولية

الفجوة الأولية هي الفرق بين عددين أوليين متتابعين. الفجوة الأولية النونية، والمشار إليها ب$g_{n}$ أو $g(p_{n})$ هي الفرق بين$p_{n}$ و $p_{n+1}$، أي :
   $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$
لدينا $g_{1}=1$، و $g_{3}=g_{2}=2$،$g_{4}=4.$ و تمت دراسة المتتالية ($g_{n}$) على نطاق واسع ؛ ومع ذلك، تظل العديد من الأسئلة والحدسيات دون إجابة.
أول 60 فجوة أولية هي:
    1، 2، 2، 4، 2، 4، 2، 4، 6، 2، 6، 4، 2، 4، 6، 6، 2، 6، 4، 2، 6، 4، 6، 8، 4، 2، 4، 2، 4، 14، 4، 6، 2، 10، 2، 6، 6، 4، 6، 6، 2، 10، 2، 4، 2، 12، 12، 4، 2، 4، 6، 2، 10، 6، 6، 6، 2، 6، 4، 2،...
    من خلال التعريف الذي أعطيناه ل $g_{n}$، يمكن كتابة أي عدد أولي على الشكل الآتي :$p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.$

## ملاحظات بسيطة

أول وأصغر فجوة أولية هي بحجم 1، وهي فجوة بين 2 العدد الأولي الزوجي الوحيد، و 3، أول عدد أولي فردي. جميع الفجوات الأولية الأخرى هي زوجية. يوجد زوج واحد فقط من الفجوات المتتالية بحجم 2 : الفجوات $g_{2}$ و $g_{3}$ بين الأعداد الأولية 3 و 5 و 7.
لأي عدد صحيح، العاملي، والذي يرمز له ب $n!$ هو ناتج ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر أو تساوي $n$. إذاً المتتالية :
   $n!+2,n!+3,\ldots ,n!+n$
العدد الأول في هذه المتتالية يقبل القسمة على 2، والعدد الثاني يقبل القسمة على 3، وهكذا... وبالتالي، فهذه متتالية بحجم $n-1$ من الأعداد الصحيحة المؤلف المتتالية، وهذه ببساطة فجوة بين الأعداد الأولية، طولها $n$ على الأقل. ويترتب على ذلك وجود فجوات بين الأعداد الأولية كبيرة للغاية بشكل إستعباطي، أي أنه بالنسبة لأي عدد صحيح $N$، يوجد عدد صحيح موجب $m$ بحيث $g_{m}\geq N$.
ومع ذلك، يمكن أن تحدث الفجوات الكبيرة بين الأعداد الأولية عند عدد أصغر بكثير من $n!$ على سبيل المثال، أول فجوة أولية بحجم أكبر من 14 تحدث بين الأعداد الأولية 523 و 541، في حين أن $15!$ هو عدد كبير بشكل شاسع $1307674368000$.

## نتائج عددية

عادة ما يُطلق على النسبة ${\frac {g_{n}}{\ln(p_{n})}}$ «ميزة الفجوة $g_{n}$».
نقول أن $g_{n}$ هي فجوة قصوى، إذا وإذا كان فقط $g_{m}<g_{n}$ لكل $m<n$، في أغسطس 2018 وجد برتيل نيمان أكبر فجوة قصوى وتحتوي على 1550 رقم، تحدث هذه الفجوة بعد العدد الأولي 18361375334787046697. يمكن الإطلاع على فجوات قصوى أخرى في OEIS.
هذه قائمة الفجوات القصوى :
الأعداد من 1 إلى 27 :
| # | g$_n$ | p$_n$ | n |
| 1 | 1 | 2 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 2 |
| 3 | 4 | 7 | 4 |
| 4 | 6 | 23 | 9 |
| 5 | 8 | 89 | 24 |
| 6 | 14 | 113 | 30 |
| 7 | 18 | 523 | 99 |
| 8 | 20 | 887 | 154 |
| 9 | 22 | 1,129 | 189 |
| 10 | 34 | 1,327 | 217 |
| 11 | 36 | 9,551 | 1,183 |
| 12 | 44 | 15,683 | 1,831 |
| 13 | 52 | 19,609 | 2,225 |
| 14 | 72 | 31,397 | 3,385 |
| 15 | 86 | 155,921 | 14,357 |
| 16 | 96 | 360,653 | 30,802 |
| 17 | 112 | 370,261 | 31,545 |
| 18 | 114 | 492,113 | 40,933 |
| 19 | 118 | 1,349,533 | 103,520 |
| 20 | 132 | 1,357,201 | 104,071 |
| 21 | 148 | 2,010,733 | 149,689 |
| 22 | 154 | 4,652,353 | 325,852 |
| 23 | 180 | 17,051,707 | 1,094,421 |
| 24 | 210 | 20,831,323 | 1,319,945 |
| 25 | 220 | 47,326,693 | 2,850,174 |
| 26 | 222 | 122,164,747 | 6,957,876 |
| 27 | 234 | 189,695,659 | 10,539,432 |
الأعداد من 28 إلى 54 :
| # | g$_n$ | p$_n$ | n |
| 28 | 248 | 191,912,783 | 10,655,462 |
| 29 | 250 | 387,096,133 | 20,684,332 |
| 30 | 282 | 436,273,009 | 23,163,298 |
| 31 | 288 | 1,294,268,491 | 64,955,634 |
| 32 | 292 | 1,453,168,141 | 72,507,380 |
| 33 | 320 | 2,300,942,549 | 112,228,683 |
| 34 | 336 | 3,842,610,773 | 182,837,804 |
| 35 | 354 | 4,302,407,359 | 203,615,628 |
| 36 | 382 | 10,726,904,659 | 486,570,087 |
| 37 | 384 | 20,678,048,297 | 910,774,004 |
| 38 | 394 | 22,367,084,959 | 981,765,347 |
| 39 | 456 | 25,056,082,087 | 1,094,330,259 |
| 40 | 464 | 42,652,618,343 | 1,820,471,368 |
| 41 | 468 | 127,976,334,671 | 5,217,031,687 |
| 42 | 474 | 182,226,896,239 | 7,322,882,472 |
| 43 | 486 | 241,160,624,143 | 9,583,057,667 |
| 44 | 490 | 297,501,075,799 | 11,723,859,927 |
| 45 | 500 | 303,371,455,241 | 11,945,986,786 |
| 46 | 514 | 304,599,508,537 | 11,992,433,550 |
| 47 | 516 | 416,608,695,821 | 16,202,238,656 |
| 48 | 532 | 461,690,510,011 | 17,883,926,781 |
| 49 | 534 | 614,487,453,523 | 23,541,455,083 |
| 50 | 540 | 738,832,927,927 | 28,106,444,830 |
| 51 | 582 | 1,346,294,310,749 | 50,070,452,577 |
| 52 | 588 | 1,408,695,493,609 | 52,302,956,123 |
| 53 | 602 | 1,968,188,556,461 | 72,178,455,400 |
| 54 | 652 | 2,614,941,710,599 | 94,906,079,600 |
الأعداد من من 55 إلى 80 :
| # | g$_n$ | p$_n$ | n |
| 55 | 674 | 7,177,162,611,713 | 251,265,078,335 |
| 56 | 716 | 13,829,048,559,701 | 473,258,870,471 |
| 57 | 766 | 19,581,334,192,423 | 662,221,289,043 |
| 58 | 778 | 42,842,283,925,351 | 1,411,461,642,343 |
| 59 | 804 | 90,874,329,411,493 | 2,921,439,731,020 |
| 60 | 806 | 171,231,342,420,521 | 5,394,763,455,325 |
| 61 | 906 | 218,209,405,436,543 | 6,822,667,965,940 |
| 62 | 916 | 1,189,459,969,825,483 | 35,315,870,460,455 |
| 63 | 924 | 1,686,994,940,955,803 | 49,573,167,413,483 |
| 64 | 1,132 | 1,693,182,318,746,371 | 49,749,629,143,526 |
| 65 | 1,184 | 43,841,547,845,541,059 | 1,175,661,926,421,598 |
| 66 | 1,198 | 55,350,776,431,903,243 | 1,475,067,052,906,945 |
| 67 | 1,220 | 80,873,624,627,234,849 | 2,133,658,100,875,638 |
| 68 | 1,224 | 203,986,478,517,455,989 | 5,253,374,014,230,870 |
| 69 | 1,248 | 218,034,721,194,214,273 | 5,605,544,222,945,291 |
| 70 | 1,272 | 305,405,826,521,087,869 | 7,784,313,111,002,702 |
| 71 | 1,328 | 352,521,223,451,364,323 | 8,952,449,214,971,382 |
| 72 | 1,356 | 401,429,925,999,153,707 | 10,160,960,128,667,332 |
| 73 | 1,370 | 418,032,645,936,712,127 | 10,570,355,884,548,334 |
| 74 | 1,442 | 804,212,830,686,677,669 | 20,004,097,201,301,079 |
| 75 | 1,476 | 1,425,172,824,437,699,411 | 34,952,141,021,660,495 |
| 76 | 1,488 | 5,733,241,593,241,196,731 | 135,962,332,505,694,894 |
| 77 | 1,510 | 6,787,988,999,657,777,797 | 160,332,893,561,542,066 |
| 78 | 1,526 | 15,570,628,755,536,096,243 | 360,701,908,268,316,580 |
| 79 | 1,530 | 17,678,654,157,568,189,057 | 408,333,670,434,942,092 |
| 80 | 1,550 | 18,361,375,334,787,046,697 | 423,731,791,997,205,041 |

## نتائج متقدمة
### الحد الأعلى

تنص مسلمة برنارد على أنه يوجد دائما عدد أولي بين $k$ و $2k$، وهذا يعني أن $p_{n+1}<2p_{n}$ وبالتالي $g_{n}<p_{n}$.
تم إثبات مبرهنة الأعداد الأولية عام 1852، والتي تنص على أن متوسط الفجوة بين عددين أوليين متتابعين هو تقريبا $\ln x$ بالنسبة لعدد كبير $x$. الفجوة الحقيقية قد تختلف عن هذه النتيجة ومع ذالك يمكن للمرئ أن يستنتج منها الآتي :
لكل $\epsilon >0$، يوجد عدد $N$، بحيث لكل $n>N$ لدينا :
   $g_{n}<p_{n}\epsilon$.
يمكن للمرء أيضًا أن يستنتج أن الفجوات تصبح أصغر بشكل استعباطي مقارنةً مع حجم الأعداد الأولية : فحاصل القسمة :
   $\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.$
في عام 2005 قام كل من دانيال غولدستون ويانوس بينتز وسيم يلدريم بإثبات الآتي :
   $\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0$
وبعد سنتين قاموا بتحسين هذه النتيجة إلى :
   $\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .$
وفي عام 2013 أثبت يتانغ تشانغ أن هناك على الأقل فجوة الأولية بحجمٍ أقل من سبعين مليون، بحيث أنها تتكرر عدداً لانهائياً من المرات، أي أن :
   $\liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7}$

### الحد الأدنى

في عام 1931، قام إريك ويستزينثيوس بإثبات أن الفجوات الأولية القصوى تنموا بشكل أسرع من اللوغاريتمي، أي أن :
   $\limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .$
في عام 1938، أثبت روبرت رانكين وجود ثابت $c>0$، بحيث المتفاوتة الآتية :
   $g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}$
صحيحة من أجل عدد لانهائي من قيم $n$، محسناً نتائج بول إيردوس و ويستزينثيوس، أثبت لاحقا أنه يمكن ل $c<e^{\gamma }$, بحيث $\gamma$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني. عرض بول إيردوس جائزة قدرها 10000 دولار لإثبات أو دحض أن الثابت $c$ يمكن أن يكون كبيراً بشكل استعباطي. تم إثبات صحة ذلك في عام 2014 من طرف فورد-جرين-كونياجين-تاو، وبشكل مستقل، جيمس ماينارد، وتم تحسين النتيجة إلى
   $g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}$
متأثراً بجائزة إيردوس الأصلية، عرض تيرنس تاو جائزة قدرها 10000 دولار أمريكي لمن أثبت أن $c$ يمكن أن يأخذ كبيراً بشكل استعباطي في هذه المتفاوتة.

## حدسيات عن الفجوات الأولية

يمكن تحقيق نتائج أفضل في ظل فرضية ريمان. أثبت هارالد كرامر أنه إذا كانت فرضية ريمان صحيحة فهذا يعني أن الفجوة $g_{n}$ تستوفي المعادلة الآتية:
   $g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n})$
بحيث ترمز $O$ إلى تمثيل O الكبرى، بعدها قام كرامر بحدس أن الفجوة تستوفي أيضا المعادلة الآتية :
   $g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).$
تنص حدسية فيروزباخت على أن $p_{n}^{1/n}$ هي دالة تناقصية قطعياً، أي أن :
   $p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}$ لكل $n\geq 1$
إذا كانت هذه الحدسية صحيحة فإن فإن دالة الفجوة الأولية $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ تستوفي المتفاوتة $g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}$ لكل $n>4$ هذه الحدسية تشير إلى نسخة قوية من حدسية كرامر ولكنها لا تتوافق مع اقتراح غرانفيل وبينتز الذي ينص على أن التفاوتة $g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}$ صحيحة لعدد لانهائي من $n$، لكل $\varepsilon >0$، بحيث $\gamma$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني.
وفي الوقت نفسه ، حدسية أوبيرمان هي أضعف من حدسية كرامر. والتي تنص على أن حجم الفجوة الأولية هي في حدود :
   $g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}$
إذا كانت حدسية أوبيرمان صحيحة ، فإنه يوجد $m$ (على الأرجح $m=30$) بحيث لكل $n>m$ لدينا $g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}$.

## انظر أيضا

* عددان أوليان توأم
* عدد أولي.

## مراجع

* ↑ "Hidden structure in the randomness of the prime number sequence?", S. Ares & M. Castro, 2005
* ↑ "Prime gaps: differences between consecutive primes". OEIS. مؤرشف من الأصل في 2021-05-06.
* ↑ "NEW MAXIMAL PRIME GAPS OF 1530 AND 1550". مؤرشف من الأصل في 2021-04-30.
* ↑ Maynard، James. "Large Gaps Between Primes". مؤرشف من الأصل في 2021-05-06.
* ↑ Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin,، James Maynard, Terence Tao. "Long gaps between primes". مؤرشف من الأصل في 2021-05-06.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link) صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link)
* ↑ Sinha، Nilotpal Kanti (2010). "On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture". arXiv:1010.1399 [math.NT]. {{استشهاد بأرخايف}}: الوسيط |arxiv= مطلوب (مساعدة).
* بوابة نظرية الأعداد
* بوابة رياضيات