# عدد مرسين الأولي

في الرياضيات، عدد مِرْسين (بالإنجليزية: Mersenne number)‏ هو عدد صحيح موجب أصغر من قوة العدد اثنين بواحد:
    $M_{p}=2^{p}-1.\,$
سميت هذه الأعداد هكذا نسبة لمارين ميرسين وهو راهب فرنسي بدأ دراستها في بداية القرن السابع عشر. بعض التعريفات لأعداد ميرسين تشترط في الأس p أن يكون أوليا، بما أنه إذا كان p عددا مؤلفا فإن العدد $2^{p}-1$ يكون مؤلفا أيضا. يُتطرق إلى أعداد ميرسن الأولية نظرا لارتباطها بالأعداد المثالية.
من المعلوم أنه إذا كان $2^{p}-1$ عددا أوليا فإن p هو عدد أولي أيضا. أصغر عدد لميرسن مؤلفٍ رغم كون الأس أوليا هو 2$^{11}$ − 1 = 2047 = 23 × 89
بحلول أبريل 2020، اكتشف واحد وخمسون عددا أوليا لميرسين. أكبر عدد أولي معروف (ويساوي $2^{82,589,933}-1$) هو عدد أولي لميرسين. كل أعداد ميرسين الأولية المكتشفة بعد 1997، اكتشفت بفضل مشروع البحث الكبير عن أعداد مرسين الأولية في الإنترنت.

## حول أعداد ميرسين الأولية

يبقى عدد من المسائل المتعلقة بأعداد ميرسن الأولية غير محلحلا بعد. لا يُعلم هل عدد أعداد ميرسن الأولية منته أم غير منته. حدسية لينسترا-بوميرانس-فاغشتاف تنص على أن هناك عددا غير منته من أعداد ميرسن الأولية كما تتنبأ بوتيرة نُموهن. أيضا، لا يُعلم عدد الحالات حيث يكون الأس أوليا وعدد ميرسن ذاته غير أولي.انظر إلى عدد صوفي جيرمين الأولي.
ليس هناك اختبار بسيط يمكن من الجزم أن عددا ما لميرسين أولي أو غير أولي. هذا يجعل من البحث عن أعداد ميرسن الأولية أمرا صعبا وخصوصا أن أعداد ميرسن تنمو بشكل سريع جدا. اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما هو طريقة فعالة تساعد على اختبار أولية أعداد ميرسن.
عندما يُراد القيام بحسابياتٍ بتردد عدد أولي، تصير أعداد ميرسن الأولية اختيارا رائعا وفعالا خصوصا عند استعمال الحاسوب وتمثيله الثنائي للأعداد. انظر على سبيل المثال إلى مولد ليهمر للأعداد العشوائية.

## التاريخ

اعتقد عدد من الرياضيين السابقين أن العدد من الصورة $2^{n}-1$ يكون أوليا كلما كان n عددا أوليا، و لكن في 1536 أثبت ريجيوس ( Regius ) أن العدد : 2047 = 23.89 = $2^{11}-1$ ليس أوليا حيث أنه حاصل ضرب 23 و89، و في عام 1603 تحقق كاتالدي أن العددين $2^{17}-1$ و $2^{19}-1$ أوليان ، و استنتج كاتالدي و بشكل خاطئ أن العدد $2^{n}-1$ يكون أوليا لكل : n = 23,29,31,37 ، حيث أثبت فيرما في 1645 أن كاتالدي كان خاطئا بالنسبة للعددين n = 23,37 ، و أثبت أويلر في 1738 أن كاتالدي كان أيضا خاطئا بالنسبة للعدد n = 29 ، و في وقت لاحق أثبت أويلر أن كاتالدي كان مصيبا بالنسبة للعدد n = 31.
بمجيء الفرنسي مارين ميرسين (1588-1648)، حيث وضع في مقدمة أحد كتبه أن العدد $2^{n}-1$ يكون أوليا عندما : n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 ، و أنه مركب لكل الأعداد n <257 الصحيحة، و رغم أن هذا التخمين من ميرسين كان خاطئا إلا أن اسمه ظل ملتصقا بهذه الأعداد حيث سميت باسمه.
كان واضحا أنه ليس بإمكان ميرسين التحقق من كل هذه الأعداد (n <257) لصعوبة ذلك في عصر ميرسين. كذلك لم يكن بمقدور معاصريه التحقق من موضوعته، فبقيت كذلك إلى مائة سنة و ذلك عندما تحقق أويلر في 1750 من أن العدد التالي في قائمة ميرسين هو $2^{31}-1$ ، و بعد قرن آخر و في 1876 بين إدوارد لوكاس أن العدد $2^{127}-1$ أولي، و بعد سبع سنوات أثبت عالم الرياضيات الروسي بيرفوشين أن العدد $2^{61}-1$ أولي و هذا لم يذكره ميرسين ، كذلك أثبت باورس في بداية القرن العشرين أن ميرسين أغفل أيضا العددين الأوليين $2^{89}-1$ و $2^{107}-1$ و بنهاية عام 1947 كانت سلسلة ميرسين للأعداد (n<258 ) قد اكتملت بشكلها الصحيح و هي :
(n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ) ، أما بالنسبة لبقية أعداد ميرسين فقد تم اكتشافها مع ظهور الحاسب الحالي.

## لائحة أعداد ميرسين الأولية المعروفة

اللائحة أسفله تحتوي على أعداد ميرسن الأولية المعروفة وعددهن واحد وخمسون :
| # | p | M$_p$ | عدد أرقام M$_p$ | تاريخ الاكتشاف | المكتشِف | الطريقة المستعملة |
| 1 | 2 | 3 | 1 | حوالي 430 قبل الميلاد | علماء الرياضيات اليونان | |
| 2 | 3 | 7 | 1 | حوالي 430 قبل الميلاد | علماء الرياضيات اليونان | |
| 3 | 5 | 31 | 2 | حوالي 300 قبل الميلاد | علماء الرياضيات اليونان | |
| 4 | 7 | 127 | 3 | حوالي 300 قبل الميلاد | علماء الرياضيات اليونان | |
| 5 | 13 | 8191 | 4 | 1456 | غير معروف | القسمة المتكررة |
| 6 | 17 | 131071 | 6 | 1588 | بييترو كاتالدي | القسمة المتكررة |
| 7 | 19 | 524287 | 6 | 1588 | بييترو كاتالدي | القسمة المتكررة |
| 8 | 31 | 2147483647 | 10 | 1772 | ليونهارت أويلر | القسمة المتكررة with modular restrictions |
| 9 | 61 | 2305843009213693951 | 19 | 1883 نوفمبر | ايفان ميخيفيتش بيرفوشين | متتاليات لوكاس |
| 10 | 89 | 618970019642...137449562111 | 27 | 1911 يونيو | رالف ارنشت باورز | متتاليات لوكاس |
| 11 | 107 | 162259276829...578010288127 | 33 | 1914 يونيو 1 | رالف ارنشت باورز | متتاليات لوكاس |
| 12 | 127 | 170141183460...715884105727 | 39 | 1876 يناير 10 | إدوارد لوكاس | متتاليات لوكاس |
| 13 | 521 | 686479766013...291115057151 | 157 | 1952 يناير 30 | رافائيل إم. روبنسون | LLT / SWAC |
| 14 | 607 | 531137992816...219031728127 | 183 | 1952 يناير 30 | رافائيل إم. روبنسون | LLT / SWAC |
| 15 | 1,279 | 104079321946...703168729087 | 386 | 1952 يونيو 25 | رافائيل إم. روبنسون | LLT / SWAC |
| 16 | 2,203 | 147597991521...686697771007 | 664 | 1952 أكتوبر 7 | رافائيل إم. روبنسون | LLT / SWAC |
| 17 | 2,281 | 446087557183...418132836351 | 687 | 1952 أكتوبر 9 | رافائيل إم. روبنسون | LLT / SWAC |
| 18 | 3,217 | 259117086013...362909315071 | 969 | 1957 September 8 | Hans Riesel | LLT / BESK |
| 19 | 4,253 | 190797007524...815350484991 | 1,281 | 1961 نوفمبر 3 | Alexander Hurwitz | LLT / IBM 7090 |
| 20 | 4,423 | 285542542228...902608580607 | 1,332 | 1961 نوفمبر 3 | Alexander Hurwitz | LLT / IBM 7090 |
| 21 | 9,689 | 478220278805...826225754111 | 2,917 | 1963 ماي 11 | دونالد بي. غيليز | LLT / ILLIAC II |
| 22 | 9,941 | 346088282490...883789463551 | 2,993 | 1963 ماي 16 | Donald B. Gillies | LLT / ILLIAC II |
| 23 | 11,213 | 281411201369...087696392191 | 3,376 | 1963 يونيو 2 | Donald B. Gillies | LLT / ILLIAC II |
| 24 | 19,937 | 431542479738...030968041471 | 6,002 | 1971 March 4 | Bryant Tuckerman | LLT / IBM 360/91 |
| 25 | 21,701 | 448679166119...353511882751 | 6,533 | 1978 أكتوبر 30 | Landon Curt Noll & Laura Nickel | LLT / CDC Cyber 174 |
| 26 | 23,209 | 402874115778...523779264511 | 6,987 | 1979 فبراير 9 | Landon Curt Noll | LLT / CDC Cyber 174 |
| 27 | 44,497 | 854509824303...961011228671 | 13,395 | 1979 April 8 | Harry L. Nelson & David Slowinski | LLT / كراي-1 |
| 28 | 86,243 | 536927995502...709433438207 | 25,962 | 1982 September 25 | David Slowinski | LLT / Cray 1 |
| 29 | 110,503 | 521928313341...083465515007 | 33,265 | 1988 يناير 29 | Walter Colquitt & Luke Welsh | LLT / NEC SX-2 $^{[لغاتأخرى]}$‏ |
| 30 | 132,049 | 512740276269...455730061311 | 39,751 | 1983 September 19 | David Slowinski | LLT / Cray X-MP |
| 31 | 216,091 | 746093103064...103815528447 | 65,050 | 1985 September 1 | David Slowinski | LLT / Cray X-MP/24 |
| 32 | 756,839 | 174135906820...328544677887 | 227,832 | 1992 February 17 | David Slowinski & عدد ميرسين الأولي | LLT / Harwell Lab's Cray-2 |
| 33 | 859,433 | 129498125604...243500142591 | 258,716 | 1994 يناير 4 | David Slowinski & Paul Gage | LLT / Cray C90 |
| 34 | 1,257,787 | 412245773621...976089366527 | 378,632 | 1996 September 3 | David Slowinski & Paul Gage | LLT / Cray T94 $^{[لغاتأخرى]}$‏ |
| 35 | 1,398,269 | 814717564412...868451315711 | 420,921 | 1996 نوفمبر 13 | GIMPS / Joel Armengaud | LLT / Prime95 on 90 MHz بنتيوم |
| 36 | 2,976,221 | 623340076248...743729201151 | 895,932 | 1997 August 24 | GIMPS / Gordon Spence | LLT / Prime95 on 100 MHz Pentium |
| 37 | 3,021,377 | 127411683030...973024694271 | 909,526 | 1998 يناير 27 | GIMPS / Roland Clarkson | LLT / Prime95 on 200 MHz Pentium |
| 38 | 6,972,593 | 437075744127...142924193791 | 2,098,960 | 1999 يونيو 1 | GIMPS / Nayan Hajratwala | LLT / Prime95 on 350 MHz بنتيوم II آي بي إم أبتيفيا |
| 39 | 13,466,917 | 924947738006...470256259071 | 4,053,946 | 2001 نوفمبر 14 | GIMPS / Michael Cameron | LLT / Prime95 on 800 MHz Athlon T-Bird $^{[لغاتأخرى]}$‏ |
| 40 | 20,996,011 | 125976895450...762855682047 | 6,320,430 | 2003 نوفمبر 17 | GIMPS / Michael Shafer | LLT / Prime95 on 2 GHz Dell Dimension |
| 41 | 24,036,583 | 299410429404...882733969407 | 7,235,733 | 2004 ماي 15 | GIMPS / Josh Findley | LLT / Prime95 on 2.4 GHz بنتيوم 4 |
| 42 | 25,964,951 | 122164630061...280577077247 | 7,816,230 | 2005 February 18 | GIMPS / Martin Nowak | LLT / Prime95 on 2.4 GHz Pentium 4 |
| 43 | 30,402,457 | 315416475618...411652943871 | 9,152,052 | 2005 دسمبر 15 | GIMPS / Curtis Cooper $^{[لغاتأخرى]}$‏ & Steven Boone | LLT / Prime95 on 2 GHz Pentium 4 |
| 44 | 32,582,657 | 124575026015...154053967871 | 9,808,358 | 2006 September 4 | GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone | LLT / Prime95 on 3 GHz Pentium 4 |
| 45 | 37,156,667 | 202254406890...022308220927 | 11,185,272 | 2008 September 6 | GIMPS / Hans-Michael Elvenich | LLT / Prime95 on 2.83 GHz نواة إنتل |
| 46 | 42,643,801 | 169873516452...765562314751 | 12,837,064 | 2009 يونيو 4 | GIMPS / Odd M. Strindmo | LLT / Prime95 on 3 GHz Core 2 |
| 47 | 43,112,609 | 316470269330...166697152511 | 12,978,189 | 2008 August 23 | GIMPS / Edson Smith | LLT / Prime95 on Dell Optiplex 745 |
| 48 | 57,885,161 | 581887266232...071724285951 | 17,425,170 | 2013 يناير 25 | GIMPS / Curtis Cooper | LLT / Prime95 on 3 GHz Intel Core2 Duo E8400 |
| 49 | 74,207,281 | 300376418084...391086436351 | 22,338,618 | 2016 يناير 7 | GIMPS / Curtis Cooper | LLT / Prime95 on Intel Core i7-4790 |
| 50 | 77,232,917 | 467333183359...069762179071 | 23,249,425 | 2017 دسمبر 26 | GIMPS / Jon Pace | LLT / Prime95 on 3.3 GHz Intel Core i5-6600 |
| 51 | 82,589,933 | 148894445742...325217902591 | 24,862,048 | 2018 ديسمبر 7 | GIMPS / Patrick Laroche | LLT / Prime95 on Intel Core i5-4590T |
* ↑ Although M$_{42,643,801}$ was first reported by a machine on April 12, 2009, no human took notice of this fact until يونيو 4, 2009.
* ↑ Strindmo also uses the alias Stig M. Valstad.
* 1 2 3 4 It is not verified whether any undiscovered Mersenne primes exist between the 47th (M$_{43,112,609}$) and the 51st (M$_{82,589,933}$) on this chart; the ranking is therefore provisional.
* ↑ Although M$_{74,207,281}$ was first reported by a machine on September 17, 2015, no human took notice of this fact until يناير 7, 2016.
All Mersenne numbers below the 51st Mersenne prime (M$_{82,589,933}$) have been tested at least once but some have not been double-checked. Primes are not always discovered in increasing order. For example, the 29th Mersenne prime was discovered after the 30th and the 31st. Similarly, M$_{43,112,609}$ was followed by two smaller Mersenne primes, first 2 weeks later and then 9 months later. M$_{43,112,609}$ was the first discovered prime number with more than 10 million decimal digits.
أكبر عدد أولي لميرسن معروفٍ (2$^{82,589,933}$ − 1) هو أيضا أكبر عدد أولي معروف.
منذ 1952، كانت أعداد ميرسن الأولية هن أكبر عدد أولي معروف، باستثناء بين عام 1989 و 1992.

## الأعداد المثالية

تكمن أهمية أعداد ميرسين الأولية في ارتباطها بالأعداد المثالية. في القرن الرابع قبل الميلاد، برهن اقليدس على أنه إذا كان M$_p$ عددا أوليا لميرسن، فإن
    $2^{p-1}\cdot (2^{p}-1)=M_{p}(M_{p}+1)/2\$
هو عدد مثالي زوجي. في القرن العاشر، يبدو أن ابن الهيثم كان أول من حاول تصنيف الأعداد المثالية الزوجية على شكل ($2^{k-1}(2^{k}-1$ حيث $(2^{k}-1)$ هو عدد أولي. في القرن الثامن عشر، برهن ليونهارد أويلر على عكس هذه المبرهنة والذي ينص على أن كل عدد مثالي زوجي له هذا الشكل.

## أعداد ميرسين في الطبيعة وغيرها

في معضلة برج هانوي الرياضية: حلحلة المعضلة حيث عدد الأقراص هو p تتطلب على الأقل M$_p$ خطوة.