# عدد فيرما

في الرياضيات، عدد فيرما (بالإنجليزية: Fermat number)‏ هو عدد صحيح موجب يكتب على شكل:
    $F_{n}=2^{2^{\overset {n}}}+1$
حيث n هو عدد صحيح غير سالب. سمي كذلك نسبة إلى بيير دي فيرما لأنه هو أول من درس هذه الأعداد.
إذا كان العدد 2$^n$ + 1 عددا أوليا وكان n > 0 من الممكن برهان أن n هو من مضاعفات العدد 2.
لائحة أعداد فيرما الأولية المعروفة لا تحتوي على غير F$_0$ وF$_1$ وF$_2$ وF$_3$ وF$_4$.

## الخصائص الأساسية

تحقق أعداد فيرما العلاقات ذاتية الاستدعاء التالية:
    $F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1$
    $F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2$
كلما توفر n ≥ 1.
    $F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}$
    $F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}$
كلما توفر n ≥ 2. يُبرهن على هذه العلاقات باستعمال البرهان بالترجع.

## هل أعداد فيرما أولية ؟

درست أعداد فيرما وأعداد فيرما الأولية من طرف عالم الرياضيات بيير دي فيرما، الذي حدس (ولكنه أعلن عدم إمكانه البرهان على ذلك) أن جميع أعداد فيرما هي أعداد أولية. بالفعل، فالأعداد F4,...,F0 هي أعداد أولية. ولكن هاته الحدسية دحضت من طرف ليونهارد أويلر عندما أثبت عام 1732 أن :
    $F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417.\;$
أثبت أويلر أن جميع العوامل القاسمة لأعداد فيرما تكتبن على الشكل k2$^{n+1}$ + 1 ليثبت بعده إدوارد لوكاس أنهن تكتبن على الشكل k2$^{n+2}$ + 1. (أي أنه أثبت بأن k الذي جاء في صيغة أويلر زوجي).

## تعميل أعداد فيرما

أعداد فيرما التسعة الأولى هن :
| F$_0$ | = | 2$^1$ | + | 1 | = | 3 |
| F$_1$ | = | 2$^2$ | + | 1 | = | 5 |
| F$_2$ | = | 2$^4$ | + | 1 | = | 17 |
| F$_3$ | = | 2$^8$ | + | 1 | = | 257 |
| F$_4$ | = | 2$^{16}$ | + | 1 | = | 65537 |
| F$_5$ | = | 2$^{32}$ | + | 1 | = | 4,294,967,297 |
| | | | | | = | 641 × 6,700,417 |
| F$_6$ | = | 2$^{64}$ | + | 1 | = | 18,446,744,073,709,551,617 |
| | | | | | = | 274,177 × 67,280,421,310,721 |
| F$_7$ | = | 2$^{128}$ | + | 1 | = | 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 |
| | | | | | = | 59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721 |
| F$_8$ | = | 2$^{256}$ | + | 1 | = | 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937 |
| | | | | | = | 1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 |
| العام | المخترع | عدد فيرما | العامل |
| 1732 | أويلر | $F_{5}$ | $5\cdot 2^{7}+1$ |
| 1732 | أويلر | $F_{5}$ (معملة بشكل كامل) | $52347\cdot 2^{7}+1$ |
| 1855 | توماس كلوسين | $F_{6}$ | $1071\cdot 2^{8}+1$ |
| 1855 | كلوسين | $F_{6}$ (معملة بشكل كامل) | $262814145745\cdot 2^{8}+1$ |
| 1877 | بيرفوشين | $F_{12}$ | $7\cdot 2^{14}+1$ |
| 1878 | بيرفوشين | $F_{23}$ | $5\cdot 2^{25}+1$ |
| 1886 | Seelhoff | $F_{36}$ | $5\cdot 2^{39}+1$ |
| 1899 | Cunningham | $F_{11}$ | $39\cdot 2^{13}+1$ |
| 1899 | Cunningham | $F_{11}$ | $119\cdot 2^{13}+1$ |
| 1903 | Western | $F_{9}$ | $37\cdot 2^{16}+1$ |
| 1903 | Western | $F_{12}$ | $397\cdot 2^{16}+1$ |
| 1903 | Western | $F_{12}$ | $973\cdot 2^{16}+1$ |
| 1903 | Western | $F_{18}$ | $13\cdot 2^{20}+1$ |
| 1903 | Cullen | $F_{38}$ | $3\cdot 2^{41}+1$ |
| 1906 | Morehead | $F_{73}$ | $5\cdot 2^{75}+1$ |
| 1925 | Kraitchik | $F_{15}$ | $579\cdot 2^{21}+1$ |

## مبرهنات أخرى حول أعداد فيرما

لأي عدديين صحيحين موجبين m < n العلاقة التالية تتحقق
    $F_{n}=(F_{m}-1)^{2^{(n-m)}}+1$

## علاقة أعداد فيرما بمتعددات الأضلع القابلة للإنشاء

طور كارل فريدريش غاوس نظرية الدورات الغاوسية في كتابه استفسارات حسابية، فأعطى شرطا كافيا لقابلية متعددٍ للأضلاع للإنشاء بالمسطرة والبركار. ادعى غاوس أن شرطه ليس كافيا فحسب، وإنما هو ضروري أيضا، ولكنه لم ينشر برهانه على ذلك. جاء بالبرهان الكامل عام 1837 عالم الرياضيات الفرنسي بيير فانتزل، مما جعل هذه النتيجة تعرف باسم مبرهنة غاوس-فانتزل.
    متعددٌ للأضلاع عدد أضلاعه يساوي n قابل للإنشاء بالمسطرة والبركار وحدهما إذا وفقط إذا كان n جداءا لقوةٍ لاثنين من جهة، ولائحة من أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر، من جهة أخرى. بتعير آخر، إذا وفقط إذا كان n يكتب على شكل n = 2$^k$p$_1$p$_2$…p$_s$ حيث k عدد طبيعي موجب وحيث p$_i$ هن أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر.
انظر إلى مؤشر أويلر.