# نصف قطر بور

بالنسبة لذرة الهيدروجين حسب نموذج نيلس بور، نصف قطر بور هو بعد المسافة بين الإلكترون عن نواة ذرة الهيدروجين (أي البروتون). وطبقا للنظرية الموجية للإلكترون كما تصفها ميكانيكا الكم فإن حل معادلاتها يعطي نصف قطر بور، وهو يعادل بالتقريب نصف القطر الحقيقي لمدار الإلكترون في ذرة الهيدروجين. وقد سمي نصف قطر بوهر تخليدا للعالم نيلس بور (أو نيلس بوهر) الذي اقترح النموذج الذري لذرة الهيدروجين في أوائل القرن الماضي.
* $a_{0}\ =\ {\frac {h^{2}\varepsilon _{0}}{\pi m_{e}q_{e}^{2}}}$
حيث أن:
* $h$ هي ثابتة بلانك
* $\varepsilon _{0}$ سماحية الفراغ
** $\epsilon _{0}=8{,}854\ 187\ 817\dots \times 10^{-12}$ F·m$^{−1}$.
* $m_{e}$ هي كتلة الإلكترون
* $q_{e}$ هي شحنة الإلكترون

## حساب نصف قطر بور

بالتعويض عن الثوابت في معادلة نصف القطر لذرة الهيدروجين وباستخدام الثوابت طبقا ل لجنة بيانات العلوم والتكنولوجيا ، مع استخدام المعادلة الدقيقة لنصف القطر التي تأخذ ثابت البناء الدقيق لذرة الهيدروجين، نحصل على :
    $a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}={\frac {\hbar }{m_{e}\,c\,\alpha }}$
where:
    $\epsilon _{0}\$ سماحية الفراغ الكهربائية
    $\hbar \$ ثابت بلانك المعدل
    $m_{e}\$ كتلة الإلكترون
    $e\$ الشحنة الأولية
    $c\$ سرعة الضوء في الفراغ
    $\alpha \$ ثابت البناء الدقيق لذرة الهيدروجين.
بالتعويض عن القيم نحصل على:
نصف قطر ذرة الهيدروجين = 5.2917720859 ×10$^{−11}$ متر
    أي بالتقريب 53 بيكومتر أو 0.53 أنجستروم.
ورغم أن النموذج الذري لبوهر لم يكن آنذاك يصف ذرة الهيدروجين بدقة كاملة فإن نصف قطر بوهر لا يزال محتفظا بقيمته للتعبير عن مقاييس الغلاف الإلكتروني في الذرات عند حسابها باستخدام ميكانيكا الكم التفصيلية. ولذلك فيستخدم نصف قطر بوهر كوحدة في الفيزياء الذرية.
وجدنا نصف قطر بور 53و0 أنجستروم، أي نحو نصف أنجستروم ولذلك فالأنجستروم هو وحدة مناسبة لوصف المسافات بين الذرات في المواد الصلبة والسائلة، وعلى الأخص عند دراسة البناء البلوري للمعادن والمركبات الكيميائية ووالمركبات العضوية.

## كتلة الإلكترون المخفضة

يلاحظ أنه عند حساب نصف قطر بوهر استخدمنا كتلة الإلكترون عوضا عن الكتلة المخفضة للإلكترون (التي تراعي ارتباط الإلكترون بالبروتون في الذرة). ومن أجل الحصول على نصف قطر بوهر بدقة أكبر فلا بد من استخدام كتلة الإلكترون المخفضة.
و نقوم بذلك التعديل حيث أن نصف قطر بوهر يدخل في تعيين نصف قطر مدار الإلكترون في الذرات الكبيرة أيضا، وفيها تختلف كتلة الإلكترون المخفضة عن مقدارها في ذرة الهيدروجين. ذلك لأن كتلة الإلكترون المخفضة تعتمد على كتلة نواة الذرة التي يدور حولها الإلكترون.
وينتمي نصف بوهر للإلكترون إلى وحدتي طول آخرتين تتعلقان بكتلة الإلكترون وخاصيته الموجية ، وهما :
    طول موجة كومبتون للإلكترون = $\lambda _{e}\$
    نصف القطر الكلاسيكي (ميكانيكا كلاسيكية) للإلكترون = $r_{e}\$.
ويعين نصف قطر بوهر من كتلة الإلكترون $m_{e}$ و== ثابت بلانك المخفض == $\hbar \$ و شحنة الإلكترون $e\$.
كما نعين طول موجة كومبتون للإلكترون من h ثابت بلانك وكتلة الإلكترون $m_{e}$ و سرعة الضوء $c\$.
ونعين نصف القطر الكلاسيكي للإلكترون من $m_{e}\$ و $c\$ و $e\$.
وكل طول من تلك الأطوال يمكن كتابته باستخدام ثابت البناء الدقيق $\alpha \$ للذرة، فنحصل على:
    $r_{e}={\frac {\alpha \lambda _{e}}{2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}.$
وبأخذ تأثير كتلة الإلكترون المصغرة في الاعتبار فيمكننا حساب نصف قطر بوهر بالمعادلة:
    $\ a_{0}^{*}\ ={\frac {\lambda _{p}+\lambda _{e}}{2\pi \alpha }},$
حيث
    $\lambda _{p}\$ طول موجة كومبتون للبروتون.
    $\lambda _{e}\$ طول موجة كومبتون للإلكترون.
    $\alpha \$ ثابت البناء الدقيق للذرة.
وبذلك نكون قد أخذنا تأثير كتلة الإلكترون المخفضة (أي الإلكترون المرتبط بالذرة وليس حرا) في الحسبان عن طريق استخدام طول موجة كومبتون للإلكترون والتي يزيد طولها قليلا عن عن طول موجة كومبتون للإلكترون الحر. ولحساب طول موجة كومبتون للإلكترون في ذرة الهيدروجين نجمع طول موجة كومبتون للإلكترون إلى طول موجة كومبتون للبروتون.