# معادلات نيوتن-أويلر

في الميكانيكا الكلاسيكية، تهتم معادلات نيوتن-أويلر بوصف الحركة الدورانية لجسم جاسئ (جسم صلب متناهي الأبعاد، تهمل في التشوهات)
تجمع معادلات نيوتن أويلر قوانين أويلر لحركة جسم صلب في معادلة واحدة من 6 عناصر، بوضع العناصر في صفوف وأعمدة المصفوفة. هذه القوانين تربط انتقال مركز ثقل الجسم الصلب عند تعرضة لقوى وعزم (أو أكثر من عزم).

## مركز الثقل

في النظام الإحداثي، يمكن تحديد موضع مركز الثقل لجسم ما باستخدام المعادلة التالية:
    $\left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {cm}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),$
حيث:
    F = هي القوى الكلية المؤثرة على مركز ثقل الجسم.
    m = كتلة الجسم.
    I$_3$ = مصفوفة وحدة 3×3
    a$_{cm}$ = تسارع مركز الثقل.
    v$_{cm}$ = سرعة مركز الثقل.
    τ = العزم الكلي المؤثر على مركز الثقل.
    I$_{cm}$ = عزم القصور الذاتي لمركز الثقل.
    ω = السرعة الزاوية للجسم.
    α = التسارع الزاوي للجسم.

## الإسناد

في النظام الإحداثي، عند وجود نقطة P على الجسم غير متزامنة مع مركز الثقل، تكون المعادلات أكثر تعقيدا:
    $\left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),$
حيث c هي مكان مركز تقل الجسم في الحالة العادية.
    $[\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)$
تعتبر هاتين المصفوفتين مصفوفة متماثلة منحرفة.
يمثل الطرف الأيسر للمصفوفة مجموع القوى والعزوم المؤثرة على الجسم.
يتم التعبير عن القوى الأساسية بالمصفوفة التالية:
    $\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),$
بينما يتم التعبير عن القوة الوهمية بالمصفوفة التالية:
    $\left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).$

## التطبيق

يتم استخدام معادلات نيوتن-أويلر في وصف التركيبات الأكثر تعثيدا (متعددة الأشكال)، وتستخدم في وصف ديناميكيا الأجسام المتصلة بواسطة مفاصل عن طريق استخدام أكثر من مصفوفة.

## انظر أيضا

* قوانين أويلر للحركة.
* طريقة جاوس سيدل.
* قوة الطرد المركزي.
* مبدأ التكافؤ.
* الرقم الصغير.
* عدد غير أولي.
* معادلة xʸ=yˣ.
* الأس العشري.
* معدل الحرارة (الكفاءة).

## المصادر

* ↑ Hubert Hahn (2002). Rigid Body Dynamics of Mechanisms. Springer. ISBN:3-540-42373-7. مؤرشف من الأصل في 2016-05-16.
* 1 2 Ahmed A. Shabana (2001). Computational Dynamics. Wiley-Interscience. ISBN:978-0-471-37144-1. مؤرشف من الأصل في 2019-12-17.
* ↑ Haruhiko Asada, Jean-Jacques E. Slotine (1986). Robot Analysis and Control. Wiley/IEEE. ISBN:0-471-83029-1. مؤرشف من الأصل في 2016-05-18.
* ↑ Robert H. Bishop (2007). Mechatronic Systems, Sensors, and Actuators: Fundamentals and Modeling. CRC Press. ISBN:0-8493-9258-6. مؤرشف من الأصل في 2016-05-01.
* ↑ Miguel A. Otaduy, مينغ س. لين (2006). High Fidelity Haptic Rendering. Morgan and Claypool Publishers. ص. 24. ISBN:1-59829-114-9. مؤرشف من الأصل في 2016-05-12.
* 1 2 Roy Featherstone (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer. ISBN:978-0-387-74314-1. مؤرشف من الأصل في 2014-07-20.
* ↑ Constantinos A. Balafoutis, Rajnikant V. Patel (1991). Dynamic Analysis of Robot Manipulators: A Cartesian Tensor Approach. Springer. Chapter 5. ISBN:0-7923-9145-4. مؤرشف من الأصل في 2017-11-28.
* بوابة الفيزياء