# معادلة أبيل

معادلة أبيل هي معادلة دالية سميت نسبة لعالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل يمكن كتابتها بالشكل التالي:
    $f(h(x))=h(x+1)$
أو الشكل التالي:
    $\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$
ويتم التحكم في عدد مرات تكرار الدالة f.

## المعادلة المكافئة

هاتان المعادلتان متكافئتان. بفرض أن α هي دالة عكسية، يمكن كتابه المعادلة الثانية بالصورة التالية:
    $\alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.$
وبأخذ x = α$^{−1}$(y) يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي
       $f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.$
للدالة f(x)، بفرض أنها دالة معرفة يكون المطلوب هو حل المعادلة الدالية للدالة α$^{−1}$≡h، بحيث تحقق متطلبات أخرى مثل α$^{−1}$(0) = 1.
عند حدوث تغير كالتالي s$^{α(x)}$ = Ψ(x)، لمعامل حقيقي s، تعمل معادلة أبيل كمعادلة شرودنجر Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .
أما عند حدوث تغير كالتالي F(x) = exp(s$^{α(x)}$) تعمل المعادلة كمعادلة بوتشر F(f(x)) = F(x)$^s$..
تعتبر معادلة أبيل حالة خاصة لمعادلات التحويل:
    $\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,$
    $\omega (x,1)=f(x)$
    $\omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)$.  (لاحظ أن ω(x,0) = x.

## التاريخ

قديما، كان الشكل العام للمعادلة يتعامل مع متغير واحد وتقدم تحليل خاص لها.
في حالة دالة التحويل الخطي، تكون الحلول حلول تقريبة.

## حالة خاصة

تعتبر معادلة التكرار الأسي الرابع السالب هي حالة خاصة من حالات معادلة أبيل حيث f = exp..
في حالة التكرار يتم كتابة المعادلة بالصورة التالية:
    $\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,$
ومنها
    $\alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.$

## الحلول

* الحل الرسمي: حل وحيد.
* الحلول التحليلية: حلول تقريبية.

## انظر أيضا

* الدوال والثوابت الرياضية
* معادلة دالية
* معادلة شرونجر

## المصادر

* ↑ Aczél, János, (1966): Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232 .
* ↑ Abel, N.H. (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik. ج. 1: 11–15. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.
* ↑ A. R. Schweitzer (1912). "Theorems on functional equations". Bull. Amer. Math. Soc. ج. 19 ع. 2: 51–106. DOI:10.1090/S0002-9904-1912-02281-4. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.
* ↑ Korkine, A (1882). "Sur un problème d'interpolation", Bull Sci Math & Astron 6(1) 228—242. online نسخة محفوظة 27 أكتوبر 2020 على موقع واي باك مشين.
* ↑ G. Belitskii؛ Yu. Lubish (1999). "The real-analytic solutions of the Abel functional equations" (PDF). Studia Mathematica. ج. 134 ع. 2: 135–141. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2020-10-22.
* ↑ Jitka Laitochová (2007). "Group iteration for Abel's functional equation". Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. ج. 1 ع. 1: 95–102. DOI:10.1016/j.nahs.2006.04.002.
* ↑ G. Belitskii؛ Yu. Lubish (1998). "The Abel equation and total solvability of linear functional equations" (PDF). Studia Mathematica. ج. 127: 81–89. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2020-10-22.
* ↑ Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia نسخة محفوظة 11 أكتوبر 2016 على موقع واي باك مشين.
* ↑ Dudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis نسخة محفوظة 04 مارس 2016 على موقع واي باك مشين.
* بوابة النرويج
* بوابة رياضيات
* هذه بذرة مقالة عن موضوع متعلق بالنرويج بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.