# نظرية البيان

في الرياضيات، نظرية البيان هي دراسة البيانات (جمع بيان) بوصفها بنى رياضية تستعمل لنمذجة العلاقة المتبادلة بين الأغراض. يتكوَّن البيان من رؤوس، تُسمَّى أيضاً عقداً، ووصلات تُسمَّى أيضاً عقداً أو أقواساً.
نظرية البيان ودراسته هي موضوع رئيس في الرياضيات المتقطعة.

## التسمية

تتفق أغلب المعجمات العربية المتخصصة على ترجمة كلمة (بالإنجليزية: Theory)‏ إلى (نظرية). ولكنها تختلف في تعريب المصطلح (بالإنجليزية: Graph)‏:
* يستعمل معجم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مجمع اللغة العربية بدمشق مصطلح (بيان) مقابلاً عربياً ويبني منه مصطلح نظرية البيان،، ويتفق معه المعجم الموحد لمصطلحات الرياضيات والفلك الصادر عن مكتب تنسيق التعريب فيذكر بيان ورسم بياني مقابلاً للمصطلح الأجنبي.
* أما مجمع اللغة العربية بالقاهرة فيعتمد مصطلح الشكل البياني والرسم البياني، ويجعل المصطلح المقابل للنظرية نظرية الرسوم أو نظرية المخططات.
* يقترح معجم مصطلحات المعلوماتية الصادر عن الجمعية العلمية السورية للمعلوماتية مصطلح (مِبيَان) أيضاً.

## التعريف
### البيان غير المُوجَّه

يُعرَّف البيان $G=(V,E)$ بأنه زوجان مرتبان:
* مجموعة $V$ من الرؤوس (تسمَّى أيضاً عقداً أو نقاطاً);
* مجموعة من الوصلات $E$، تُسمَّى أيضاً أحرفاً أو خطوط، يُمثَّل كل منها بزوجين غير مرتبين $^{[الإنجليزية]}$ من الرؤوس، أي أن الوصلة تربط بين رأسين متمايزين. تُعرَّف الوصلة كما يأتي:
$E\subseteq \{\{x,y\}\mid x,y\in V\;{\textrm {and}}\;x\neq y\}$
الاسم الدقيق للكائن الرياضي المُعرَّف بالعلاقة السابقة، لو كان استعمال كلمة بيان مُلبساً مع أنواع أخرى من البيانات، هو بيان بسيط غير مُوجَّه.
من أجل وصلة $\{x,y\}$، يسمى الرأسان $x$ و$y$ طرفين. ويُقبل القول أن الوصلة التي تصل بين الرأسين هي التقاء أو تلاقٍ بين الرأسين $x$ و$y$.
يمكن نظرياً، حسب هذا التعريف، أن يضم البيان رأساً لا يتصل مع أي رأس آخر، ولكن لا يمكن أن يضم هذا البيان وصلة مضاعَفة، وهي وصلة تصل الرأس مع نفسه.
يمكن تعميم التعريف ليشمل الوصلات المضاعفة بجعل البيان ثلاثية مرتبة $G=(V,E,\phi )$ تتكون من:
* مجموعة من الرؤوس $V$.
* مجموعة من الوصلات $E$.
* دالة التقاء $\phi$، تطابق كل وصلة مع زوجين غير مرتبين من الرؤوس المتمايزة، كما يأتي:
$\phi :E\to \{\{x,y\}\mid x,y\in V\;{\textrm {and}}\;x\neq y\}$
الاسم الدقيق للكائن الرياضي المُعرَّف بالعلاقة السابقة، هو بيان مُتعدِّد الوصلات غير مُوجَّه، أو اختصاراً بيان مُتعدِّد غير مُوجَّه.
العروة $^{[الإنجليزية]}$ (الجمع: عُرَى) هي وصلة تربط الرأس مع نفسه. لا يمكن أن يضم البيان عُرَى حسب التعريفين أعلاه، لأن هذا يعني أن الرأس $x$ هو نفسه الرأس $y$، وهذا لا يتفق مع الشرط الذي يحدد العضوية في مجموعة الرؤوس $V$. ليشمل التعريف العُرَى، يلزم توسيعه كما يأتي:
* من أجل البيان البسيط غير المُوجَّه، يُعدَّل تعريف مجموعة الوصلات $E$ ليصبح:
$E\subseteq \{\{x,y\}\mid x,y\in V\}$
* من أجل البيان المُتعدِّد غير المُوجَّه، يُعدَّل تعريف دالة الالتقاء $\phi$ ليصبح:
$\phi :E\to \{\{x,y\}\mid x,y\in V\}$
الاسم الدقيق للكائن الرياضي المُعرَّف بالعلاقة السابقة، هو بيان بسيط غير موجه يسمح بالعُرَى..
تعامل مجموعتا الرؤوس $V$ والوصلات $E$ معاملة المجموعات المحدودة عادةً، ويُفترض أيضاً أن مجموعة الرؤوس ليست خالية، ولا يوجد قيود على كون مجموعة الوصلات خالية. مرتبة البيان هي عدد رؤوسه $|V|$. أما حجم البيان فهو عدد وصلاته $|E|$.
درجة رأس في بيان هي عدد الوصلات التي تتلاقى عنده، مع الانتباه إلى أن كل عروة تُحصى مرتين. درجة البيان هي أعلى درجة لرؤوسه. من أجل بيان بسيط غير موجه من المرتبة $n$، فإن الدرجة القصوى الممكنة لكل رأس هي $n-1$ وحجم البيان الأقصى هو ${\frac {n(n-1)}{2}}$.
تُنشئ وصلات البيان البسيط غير الموجه الذي يسمح بالعُرَى علاقة متجانسة رمزها $\sim$ بين رؤوس البيان تُسمَّى علاقة التجاور، ويعبَّر عن ذلك بالصيغة $x\sim y$ من أجل وصلة $(x,y)$ طرفاها $x$ و$y$ ويُقال أنهما متجاوران.

### البيان المُوجَّه

البيان الموجه $G$ هو بيان يوجد لكل وصلة فيه اتجاه محدد واحد أو اتجاهان، يتكون البيان $G=(V,E)$ من زوجين مرتبين كما يلي:
* مجموعة من الرؤوس $V$.
* مجموعة من الوصلات $E$، تُسمَّى أيضاً الوصلات الموجهة، وهي زوجان مُرتَّبان من الرؤوس المتمايزة يتصل أحدها مع الآخر، وتُعرَّف كما يأتي:
$E\subseteq \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\;{\textrm {and}}\;x\neq y\right\}$
الاسم الدقيق للكائن الرياضي السابق هو بيان بسيط موجَّه. في نظريتي الزُّمر والمجموعات، يعني الحد $V^{n}$ مجموعة مكونة من $n$ عنصراً مأخوذاً من $V$، مع عدم اشتراط تمايزها بعضها عن بعض.
لتكن الوصلة $(x,y)$ الموجَّهة من $x$ إلى $y$، يُسمَّى هذان الرأسان طرفي القطعة، ويُسمَّى الرأس $x$ ذيلاً للوصلة، أما الرأس $y$ فيُسمَّى أنفاً للوصلة. تُسمَّى الوصلة $(y,x)$ بالوصلة المقلوبة. يمكن تعميم مفهوم الالتقاء، الذي عُرِّف من أجل البيان غير المُوجَّه على البيان البسيط الموجَّه. يسمح التعريف السابق بوجود رؤوس لا ترتبط بأي وصلة، ولكنه لا يُسمى بالوصلات المضاعفة، وهي وصلتان أو أكثر يكون لها الأنف والذيل نفسهما.
يمكن تعميم التعريف ليشمل الوصلات المضاعفة بجعل البيان ثلاثية مرتبة $G=(V,E,\phi )$ تتكون من:
* مجموعة من الرؤوس $V$.
* مجموعة من الوصلات $E$.
* دالة التقاء $\phi$، تطابق كل وصلة مع زوجين مرتبين من الرؤوس المتمايزة، كما يأتي:
$\phi :E\to \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\;{\textrm {and}}\;x\neq y\right\}$
الاسم الدقيق للكائن الرياضي المُعرَّف بالعلاقة السابقة، هو بيان مُتعدِّد الوصلات غير مُوجَّه، أو اختصاراً بيان مُتعدِّد غير مُوجَّه..
يُعمم تعريف العروة $^{[الإنجليزية]}$ (الجمع: عُرَى) المُستعمل مع البيان المُوجَّه على البيان غير الموجه: وصلة تربط الرأس مع نفسه. لا يمكن أن يضم البيان غير المُوجَّه عُرَى حسب التعريفين أعلاه، لأن هذا يعني أن الرأس $x$ هو نفسه الرأس $y$، وهذا لا يتفق مع الشرط الذي يحدد العضوية في مجموعة الرؤوس $V$. ليشمل التعريف العُرَى، يلزم توسيعه كما يأتي:
* من أجل البيان البسيط المُوجَّه، يُعدَّل تعريف مجموعة الوصلات $E$ ليصبح:
$\left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\;{\textrm {and}}\;x\neq y\right\}$
* من أجل البيان المُتعدِّد غير المُوجَّه، يُعدَّل تعريف دالة الالتقاء $\phi$ ليصبح:
$\phi :E\to \left\{(x,y)\mid (x,y)\in V^{2}\right\}$
الاسم الدقيق للكائن الرياضي المُعرَّف بالعلاقة السابقة، هو بيان بسيط مُوجَّه يسمح بالعُرَى..
يمكن تعميم علافة التجاوز المُعرَّفة للبيان غير المُوجَّه على البيان المُوجَّه.

### المسالك وأنواعها

تُفرِّق نظرية البيان بين المسلك والمسار والطريق والدارة والدورة:
* المسلك هو تتابع محدود الطول من الرؤوس والوصلات. طول المسلك هو عدد الوصلات فيه، ولا قيود على تكرار مرور المسلك بالرأس أو الوصلة أكثر من مرة. يوصف المسار بأنه مفتوح (بالإنجليزية: open)‏ لو كان طوله مغايراً للصفر وكانت نقطة بدايته مغايرة لنقطة نهايته، ويوصف بأنه مغلق (بالإنجليزية: closed)‏ لو كان طوله مغايراً للصفر وكانت نقطة بدايته هي نفسها نقطة نهايته. رياضياً، يمكن أن يُعرَّف المسلك في بيان $G=(E,V,\phi )$كما يلي:
      * تتابع الوصلات $e_{1},e_{2},...e_{n}$ الذي يرتبط مع تتابع من الرؤوس $v_{1},v_{2},...v_{n}$ بدالة الالتقاء $\phi (e_{i})=\{a_{i},a_{i+1}\}$
      * متتالية متناوبة من الوصلات والرؤوس $\{v_{0},e_{1},v_{1},e_{2},v_{2}...v_{n}\}$ تربط فيه كل $e_{i}$ بين $e_{i}+1$ و$v_{i}$ من أجل $i=1,2...n$.
* الطريق أو الرحلة هي مسلك مفتوح لا تتكرر فيه الوصلات، ولكن يمكن أن تتكرر رؤوسه. رياضياً، يُشترط أن تكون الوصلات في التتابع $e_{1},e_{2},...e_{n}$ متمايزة ليصبح المسلك طريقاً. يمكن تمثيل الشرط رياضياً: $e_{i}\neq e_{j}$ من أجل $i\neq j$.
* المسار هو مسلك لا تتكرر فيه الوصلات، ولا الرؤوس ما خلا رأس البداية. إن لم يتكرر رأس البداية، كان المسار مفتوحاً، وإن تكرر يكون المسار مغلقاً ويُسمَّى دورة (بالإنجليزية: cycle)‏. رياضياً، يُشترط أن تكون الوصلات في التتابع $e_{1},e_{2},...e_{n}$ والرؤوس $v_{1},v_{2},...v_{n}$ متمايزة ليصبح المسلك مساراً.
* الدارة (بالإنجليزية: circuit)‏ هي بيان جزئي $G'$ من البيان $G$ لا تتكرر فيه الوصلات أبداً، ولكن قد تتكرر رؤوسه. لو تكرر رأس البداية فيه ليكون مسار النهاية نفسه، فإن الدارة تسمى دارة بسيطة أو دورة.

## نبذة تاريخية

يُنظر إلى الورقة البحثية التي نشرها ليونهارت أويلر سنة 1736م عن جسور كونيغسبرغ السبعة على أنها أقدم دراسة معروفة في نظرية البيان. عمم كوشي وسيمون لويلر $^{[الإنجليزية]}$ الصيغة التي وضعها أويلر لحساب عدد وصلات عديد وجوه ورؤوسه ووجوهه، وينظر إلى هذا العمل على أنه ميلاد فرع جديد في الرياضيات هو الطوبولوجيا.
نشر آرثر كيلي، بعد أكثر من قرن من عمل أولر عن جسور كونيغسبرغ، ورقة بحثية عن صنف فرعي من البيانات عمل عليه في أثناء دراسته التحليلية للتفاضل، وهو الأشجار، اهتم كيلي بشكل رئيس بتعداد رؤوس البيان وترتيبها $^{[الإنجليزية]}$ وكان لعمله هذا تطبيقات في الكيمياء النظرية. ربط كيلي بعد ذلك النتائج الرياضية التي حصل عليها مع الدراسات المعاصرة في الكيمياء، وكان هذا العمل أساساً لوضع المصطلحات الخاصة بنظرية البيانات.
صاغ جيمس سيلفستر مصطلح (البيان) للمرة الأولى في ورقة بحثية نشرها سنة 1878م في مجلة الطبيعة، شبَّه فيها بين الثوابت الكمية والمتغيرات المشتركة في الجبر ومخططات الجزيئات، وجاء في النص:
* [...] يمكن التعبير عن الثوابت والمتغيرات المشتركة [..] باستعمال بيان مطابق بإحكام لمخطط كيكوله أو للرسم الكيميائي. [...] أعرِّف قاعدة للضرب الهندسي للبيانات، أعني إنشاء بيان لناتج جداء الثوابت أو المتغيرات التي تُعرَف بياناتها.
وضع دينس كونيغ أول كتاب مخصص لنظرية البيان، ونشره بالألمانية سنة 1936م بعنوان (بالألمانية: Theorie der endlichen und unendlichen Graphen) ومعناها: نظرية البيانات المنتهية وغير المنتهية.
مبرهنة الألوان الأربعة هي واحدة من أشهر المسائل المرتبطة بنظرية البيان، وهي تحاول حل المشكلة التالية: هل يكفي استعمال أربعة ألوان فقط لتلوين خريطة ثنائية الأبعاد مقسَّمة إلى أقاليم تلويناً لا يكون فيه لأي إقليمين يشتركان بحدود اللون نفسه. طرح فرنسيس غوثري هذه المشكلة سنة 1852م، وصاغها أغسطس دي مورغان في رسالة وجهها إلى وليم هاملتون في العام نفسه. اقترحت براهين عديدة لحل المسألة ولكنها كان غير صحيحة، وبقيت هذه المشكلة من غير لأكثر من قرن حتى العام 1969م عندما نشر هاينريش هيش $^{[الإنجليزية]}$ طريقة للحل باستعمال الحاسوب. ثُمَّ أثبت كينيث أبيل وفولفغانغ هاكن $^{[الإنجليزية]}$ صحة طريقة هيش ببرهان رياضي بمعونة الحاسوب سنة 1976م.

## مصطلحات

* ↑ vertices
* ↑ edges
* ↑ simple undirected graph
* ↑ endpoints
* ↑ join
* ↑ incident
* ↑ multiple edge
* ↑ ordered triple
* ↑ incidence function
* ↑ undirected multigraph
* ↑ loop
* ↑ undirected simple graph permitting loops, undirected multigraph permitting loops and undirected pseudograph
* ↑ order
* ↑ order
* ↑ degree or valency
* ↑ degree
* ↑ directed graph or digraph
* ↑ directed edges
* ↑ directed simple graph
* ↑ tail
* ↑ head
* ↑ inverted edge
* ↑ ordered triple
* ↑ directed multigraph
* ↑ directed simple graph permitting loops, directed multigraph permitting loops and quiver
* ↑ walk
* ↑ trail
* ↑ path
* ↑ subgraph
* ↑ […] Every invariant and co-variant thus becomes expressible by a graph precisely identical with a Kekuléan diagram or chemicograph. […] I give a rule for the geometrical multiplication of graphs, i.e. for constructing a graph to the product of in- or co-variants whose separate graphs are given. […]