# قائمة مجسمات جونسون

في الهندسة، تُعَرّف المجسمات بأنها أجسام ثلاثية الأبعاد حيث تتصل النقاط بواسطة خطوط لتشكيل المضلعات. تُعْرَف النقاط والخطوط والمضلعات في المجسم باسم الرؤوس والحواف والوجوه، على التوالي. يُعتبر المجسم محدبًا إذا:
* كانت أقصر مسافة بين أي نقطتين من رؤوسه تقع إما داخل داخله أو على حدوده.
* لا تتشارك أي من وجوهه في نفس المستوى—لا تتواجد في نفس المستوى ولا "تكون مسطحة".
* لا تكون أي من حوافه متساوية في خط مستقيم—ليست أجزاءً من نفس الخط.
يُعرف المجسم المحدب الذي تكون وجوهه مضلعات منتظمة باسم مجسم جونسون، أو أحيانًا باسم مجسم جونسون-زالجالر. يستبعد بعض المؤلفين المجسمات الموحدة من التعريف. المجسم الموحد هو مجسم تكون وجوهه منتظمة وهي متساوية الوجه؛ تشمل الأمثلة المجسمات البلاتونية والمجسمات الأرخيميدسية بالإضافة إلى المكعبات والمضلع المضاد.
تُسمى مجسمات جونسون بهذا الاسم نسبةً إلى عالم الرياضيات الأمريكي نورمان جونسون (1930–2017)، الذي نشر قائمة تضم 92 من هذه المجسمات في عام 1966، حيث افترض بأن القائمة كاملة وأنه لا توجد أمثلة أخرى. وقد أثبتت صحتها بواسطة عالم الرياضيات الروسي-الإسرائيلي فيكتور زالجالر (1920–2020) في عام 1969.
يمكن تصنيف بعض مجسمات جونسون كمجسمات أساسية، مما يعني أنه لا يمكن فصلها بواسطة مستوى لإنشاء مجسمين صغيرين محدبين بوجوه منتظمة. المجسمات التي تلبي هذه المعايير هي الستة الأولى—هرم مربع متساوي الأضلاع، هرم خماسي الشكل، كوبولا مثلثية، كوبولا مربعة، كوبولا خماسية الشكل، وروتندا خماسية الشكل. كما يلبي هذه المعايير أحد عشر مجسمًا آخر من مجسمات جونسون، وهي على وجه التحديد على وجه التحديد، ، المعينات المتوازية المتناقصة، المجسمات المعينية ثلاثية التناقص، ديسفينويد أزز، مضاد للمربعات الأزدراء، الوتدي الإكليلي، تضخم الوتدي، هيبيسفينوميجا كورونا، ديسفينوسينجولوم، بيلونبيروتوندا، وهيبيسفينوروتوندا الثلاثي.
المجسمات العشرونية المتناقصة، المعينات المتوازية المتناقصة، المجسمات المعينية ثلاثية التناقص، مجسم ديسفينويد متماثل، مجسم مربع مضاد متماثل، مجسم تاجي إكليلي، مجسم تاجي متضخم، هيبيسفينوميجا كورونا، ديسفينوسينجولوم بيلونبيروتوندا، ووهيبيسفينوروتوندا الثلاثي. بقية مجسمات جونسون ليست أساسية، ويتم بناؤها باستخدام أول ستة مجسمات جونسون مع المجسمات البلانية والأرخيميدسية بعمليات مختلفة. تتضمن الزيادة ربط مجسمات جونسون بوجه واحد أو أكثر من المجسمات، بينما تتضمن الإطالة أو الإطالة الدورانية ربطها بأسس مكعب أو مضلع مضاد، على التوالي. يتم بناء بعض المجسمات الأخرى عن طريق التقليل، وهو إزالة أحد أول ستة مجسمات من واحد أو أكثر من وجوه المجسم.
يحتوي الجدول التالي على 92 من مجسمات جونسون، مع طول حافة $a$. يتضمن الجدول ترقيم المجسم (المشار إليه بـ $J_{n}$). كما يتضمن عدد الرؤوس والحواف والوجوه لكل مجسم، بالإضافة إلى مجموعة التناظر، ومساحة السطح $A$، والحجم $V$. لكل مجسم خصائصه الخاصة بما في ذلك التناظر والقياس. يُقال إن كائنًا ما له تناظر إذا كان هناك تحويل يطابقه بنفسه. يمكن تجميع جميع تلك التحويلات في مجموعة، جنبًا إلى جنب مع عدد عناصر المجموعة، المعروف باسم ترتيب المجموعة. في الفضاء ثنائي الأبعاد، تشمل هذه التحويلات الدوران حول مركز المضلع وانعكاس كائن حول الخط العمودي للمضلع. يُشار إلى المضلع الذي يتم تدويره بشكل متناظر بمقدار 360$^∘$/n {\textstyle {\frac {360^{\circ }}{n}}} بـ $C_{n}$، وهو مجموعة دورانية من ترتيب $n$؛ يؤدي دمج هذا مع التناظر الانعكاسي إلى تناظر مجموعة ثنائية $D_{n}$ من ترتيب $2n$. في نقاط تناظر ثلاثية الأبعاد، تشمل التحويلات التي تحافظ على تناظر المجسم دوران حول الخط الذي يمر عبر مركز القاعدة، المعروف باسم محور التناظر، والانعكاس بالنسبة للمستويات العمودية التي تمر عبر قسم القاعدة، والذي يعرف باسم التناظر الهرمي $C_{n\mathrm {v} }$ من ترتيب $2n$. تُعرف التحويلة التي تحافظ على تناظر المجسّم بالانعكاس عبر مستوى أفقي باسم التناظر الهرمي $D_{n\mathrm {h} }$ من ترتيب $4n$. يحافظ التناظر المضاد الهرمي $D_{n\mathrm {d} }$ من ترتيب $4n$ على التناظر عن طريق تدوير نصف القاعدة السفلية والانعكاس عبر المستوى الأفقي.
تحتفظ التناظرية بالتماثل من خلال تدوير نصفها السفلي والانعكاس عبر المستوى الأفقي. تُحافظ مجموعة التناظر $C_{n\mathrm {h} }$ من الرتبة $2n$ على التماثل من خلال الدوران حول محور التناظر والانعكاس على المستوى الأفقي؛ الحالة المحددة التي تحافظ على التماثل من خلال دوران كامل واحد هي $C_{1\mathrm {h} }$ من الرتبة 2، وغالبًا ما يُشار إليها بـ $C_{s}$. تشمل قياسات الأشكال المتعددة السطوح مساحة السطح والحجم. تُحسب المساحة كقياس ثنائي الأبعاد من خلال حاصل ضرب الطول والعرض؛ بالنسبة للمتعدد السطوح، مساحة السطح هي مجموع مساحات جميع وجوهه. الحجم هو قياس لمنطقة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يمكن تحديد حجم الشكل المتعدد السطوح بطرق مختلفة: إما من خلال قاعدته وارتفاعه (مثل الأهرامات والمنشورات)، أو عن طريق تقطيعه إلى قطع وجمع أحجامها الفردية، أو من خلال إيجاد جذر متعدد الحدود يمثل الشكل المتعدد السطوح.
الأشكال الـ 92 لجونسون :
| $J_{n}$ | اسم الشكل | الرؤوس | الحواف | الوجوه | مجموعة التناظر ورقمها الرتبة | مساحة السطح والحجم |
| 1 | هرم مربع متساوي الأضلاع | 5 | 8 | 5 | $C_{4v}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=\left(1+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 2.7321a^{2}\\V&={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}\\&\approx 0.2357a^{3}\end{aligned}}$ |
| 2 | هرم خماسي | 6 | 10 | 6 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\\&\approx 3.8855a^{2}\\V&=\left({\frac {5+{\sqrt {5}}}{24}}\right)a^{3}\\&\approx 0.3015a^{3}\end{aligned}}$ |
| 3 | قبة مثلثية | 9 | 15 | 8 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\\&\approx 7.3301a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\\&\approx 1.1785a^{3}\end{aligned}}$ |
| 4 | قبيبة مربعة $^{[لغاتأخرى]}$‏ | 12 | 20 | 10 | $C_{4v}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=\left(7+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 11.5605a^{2}\\V&=\left(1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 1.9428a^{3}\end{aligned}}$ |
| 5 | Pentagonal cupola | 15 | 25 | 12 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&=\left({\frac {1}{4}}\left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(145+62{\sqrt {5}}\right)}}\right)\right)a^{2}\\&\approx 16.5798a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{6}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)\right)a^{3}\\&\approx 2.3241a^{3}\end{aligned}}$ |
| 6 | Pentagonal rotunda | 20 | 35 | 17 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&=\left({\frac {1}{2}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {10\left(65+29{\sqrt {5}}\right)}}\right)\right)a^{2}\\&\approx 22.3472a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{12}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)\right)a^{3}\\&\approx 6.9178a^{3}\end{aligned}}$ |
| 7 | Elongated triangular pyramid | 7 | 12 | 7 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&=\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 4.7321a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{12}}\left({\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)\right)a^{3}\\&\approx 0.5509a^{3}\end{aligned}}$ |
| 8 | Elongated square pyramid | 9 | 16 | 9 | $C_{4v}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=\left(5+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 6.7321a^{2}\\V&=\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{6}}\right)a^{3}\\&\approx 1.2357a^{3}\end{aligned}}$ |
| 9 | Elongated pentagonal pyramid | 11 | 20 | 11 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}a^{2}\\&\approx 8.8855a^{2}\\V&=\left({\frac {5+{\sqrt {5}}+6{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{24}}\right)a^{3}\\&\approx 2.022a^{3}\end{aligned}}$ |
| 10 | Gyroelongated square pyramid | 9 | 20 | 13 | $C_{4v}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=(1+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 6.1962a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+2{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\\&\approx 1.1927a^{3}\end{aligned}}$ |
| 11 | Gyroelongated pentagonal pyramid | 11 | 25 | 16 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(15{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 8.2157a^{2}\\V&={\frac {1}{24}}\left(25+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 1.8802a^{3}\end{aligned}}$ |
| 12 | Triangular bipyramid | 5 | 9 | 6 | $D_{3h}$ من الرتبة 12 | ${\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\\&\approx 2.5981a^{2}\\V&={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}\\&\approx 0.2358a^{3}\end{aligned}}$ |
| 13 | هرم مزدوج خماسي $^{[لغاتأخرى]}$‏ | 7 | 15 | 10 | $D_{5h}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&={\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\\&\approx 4.3301a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 0.603a^{3}\end{aligned}}$ |
| 14 | Elongated triangular bipyramid | 8 | 15 | 9 | $D_{3h}$ من الرتبة 12 | ${\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 5.5981a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 0.6687a^{3}\end{aligned}}$ |
| 15 | Elongated square bipyramid | 10 | 20 | 12 | $D_{4h}$ من الرتبة 16 | ${\begin{aligned}A&=2\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 7.4641a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left(3+{\sqrt {2}}\right)a^{3}\\&\approx 1.4714a^{3}\end{aligned}}$ |
| 16 | Elongated pentagonal bipyramid | 12 | 25 | 15 | $D_{5h}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 9.3301a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{3}\\&\approx 2.3235a^{3}\end{aligned}}$ |
| 17 | Gyroelongated square bipyramid | 10 | 24 | 16 | $D_{4d}$ من الرتبة 16 | ${\begin{aligned}A&=4{\sqrt {3}}a^{2}\\&\approx 6.9282a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\\&\approx 1.4284a^{3}\end{aligned}}$ |
| 18 | Elongated triangular cupola | 15 | 27 | 14 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(18+5{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 13.3301a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(5{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.7766a^{3}\end{aligned}}$ |
| 19 | Elongated square cupola | 20 | 36 | 18 | $C_{4v}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=(15+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 19.5605a^{2}\\V&=\left(3+{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 6.7712a^{3}\end{aligned}}$ |
| 20 | Elongated pentagonal cupola | 25 | 45 | 22 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+5{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 26.5798a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(5+4{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 10.0183a^{3}\end{aligned}}$ |
| 21 | Elongated pentagonal rotunda | 30 | 55 | 27 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}a^{2}\left(20+5{\sqrt {3}}+5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)\\&\approx 32.3472a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}a^{3}\left(45+17{\sqrt {5}}+30{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&\approx 14.612a^{3}\end{aligned}}$ |
| 22 | Gyroelongated triangular cupola | 15 | 33 | 20 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(6+11{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 12.5263a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}{\sqrt {{\frac {61}{2}}+18{\sqrt {3}}+30{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}}}a^{3}\\&\approx 3.5161a^{3}\end{aligned}}$ |
| 23 | Gyroelongated square cupola | 20 | 44 | 26 | $C_{4v}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=(7+2{\sqrt {2}}+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 18.4887a^{2}\\V&=\left(1+{\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}+2{\sqrt {146+103{\sqrt {2}}}}}}\right)a^{3}\\&\approx 6.2108a^{3}\end{aligned}}$ |
| 24 | Gyroelongated pentagonal cupola | 25 | 55 | 32 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(20+25{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 25.2400a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{6}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 9.0733a^{3}\end{aligned}}$ |
| 25 | Gyroelongated pentagonal rotunda | 30 | 65 | 37 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(15{\sqrt {3}}+\left(5+3{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 31.0075a^{2}\\V&=\left({\frac {45}{12}}+{\frac {17}{12}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 13.6671a^{3}\end{aligned}}$ |
| 26 | Gyrobifastigium | 8 | 14 | 8 | $D_{2d}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=\left(4+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 5.7321a^{2}\\V&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 0.866a^{3}\end{aligned}}$ |
| 27 | Triangular orthobicupola | 12 | 24 | 14 | $D_{3h}$ من الرتبة 12 | ${\begin{aligned}A&=2\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 9.4641a^{2}\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}\\&\approx 2.357a^{3}\end{aligned}}$ |
| 28 | Square orthobicupola | 16 | 32 | 18 | $D_{4h}$ من الرتبة 16 | ${\begin{aligned}A&=2(5+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 13.4641a^{2}\\V&=\left(2+{\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.8856a^{3}\end{aligned}}$ |
| 29 | Square gyrobicupola | 16 | 32 | 18 | $D_{4d}$ من الرتبة 16 | ${\begin{aligned}A&=2(5+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 13.4641a^{2}\\V&=\left(2+{\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.8856a^{3}\end{aligned}}$ |
| 30 | Pentagonal orthobicupola | 20 | 40 | 22 | $D_{5h}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 17.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 4.6481a^{3}\end{aligned}}$ |
| 31 | Pentagonal gyrobicupola | 20 | 40 | 22 | $D_{5d}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 17.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 4.6481a^{3}\end{aligned}}$ |
| 32 | Pentagonal orthocupolarotunda | 25 | 50 | 27 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&=\left(5+{\frac {1}{4}}{\sqrt {1900+490{\sqrt {5}}+210{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}}}\right)a^{2}\\&\approx 23.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 9.2418a^{3}\end{aligned}}$ |
| 33 | Pentagonal gyrocupolarotunda | 25 | 50 | 27 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&=\left(5+{\frac {15}{4}}{\sqrt {3}}+{\frac {7}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 23.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 9.2418a^{3}\end{aligned}}$ |
| 34 | Pentagonal orthobirotunda | 30 | 60 | 32 | $D_{5h}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&=\left((5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 29.306a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}(45+17{\sqrt {5}})a^{3}\\&\approx 13.8355a^{3}\end{aligned}}$ |
| 35 | Elongated triangular orthobicupola | 18 | 36 | 20 | $D_{3h}$ من الرتبة 12 | ${\begin{aligned}A&=2(6+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 15.4641a^{2}\\V&=\left({\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 4.9551a^{3}\end{aligned}}$ |
| 36 | Elongated triangular gyrobicupola | 18 | 36 | 20 | $D_{3d}$ من الرتبة 12 | ${\begin{aligned}A&=2(6+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 15.4641a^{2}\\V&=\left({\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 4.9551a^{3}\end{aligned}}$ |
| 37 | Elongated square gyrobicupola | 24 | 48 | 26 | $D_{4d}$ من الرتبة 16 | ${\begin{aligned}A&=2(9+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 21.4641a^{2}\\V&=\left(4+{\frac {10{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 8.714a^{3}\end{aligned}}$ |
| 38 | Elongated pentagonal orthobicupola | 30 | 60 | 32 | $D_{5h}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&=\left(20+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 27.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(10+8{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 12.3423a^{3}\end{aligned}}$ |
| 39 | Elongated pentagonal gyrobicupola | 30 | 60 | 32 | $D_{5d}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&=\left(20+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 27.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(10+8{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 12.3423a^{3}\end{aligned}}$ |
| 40 | Elongated pentagonal orthocupolarotunda | 35 | 70 | 37 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+{\sqrt {10\left(190+49{\sqrt {5}}+21{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 33.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 16.936a^{3}\end{aligned}}$ |
| 41 | Elongated pentagonal gyrocupolarotunda | 35 | 70 | 37 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+{\sqrt {10\left(190+49{\sqrt {5}}+21{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 33.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 16.936a^{3}\end{aligned}}$ |
| 42 | Elongated pentagonal orthobirotunda | 40 | 80 | 42 | $D_{5h}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {30\left(10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 39.306a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 21.5297a^{3}\end{aligned}}$ |
| 43 | Elongated pentagonal gyrobirotunda | 40 | 80 | 42 | $D_{5d}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {30\left(10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 39.306a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 21.5297a^{3}\end{aligned}}$ |
| 44 | Gyroelongated triangular bicupola | 18 | 42 | 26 | $D_{3}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&=\left(6+5{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 14.6603a^{2}\\V&={\sqrt {2}}\left({\frac {5}{3}}+{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}\right)a^{3}\\&\approx 4.6946a^{3}\end{aligned}}$ |
| 45 | Gyroelongated square bicupola | 24 | 56 | 34 | $D_{4}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=\left(10+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 20.3923a^{2}\\V&=\left(2+{\frac {4}{3}}{\sqrt {2}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}+2{\sqrt {146+103{\sqrt {2}}}}}}\right)a^{3}\\&\approx 8.1536a^{3}\end{aligned}}$ |
| 46 | Gyroelongated pentagonal bicupola | 30 | 70 | 42 | $D_{5}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 26.4313a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{3}}+{\frac {4}{3}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 11.3974a^{3}\end{aligned}}$ |
| 47 | Gyroelongated pentagonal cupolarotunda | 35 | 80 | 47 | $C_{5}$ من الرتبة 5 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(20+35{\sqrt {3}}+7{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 32.1988a^{2}\\V&=\left({\frac {55}{12}}+{\frac {25}{12}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 15.9911a^{3}\end{aligned}}$ |
| 48 | Gyroelongated pentagonal birotunda | 40 | 90 | 52 | $D_{5}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&=\left(10{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 37.9662a^{2}\\V&=\left({\frac {45}{6}}+{\frac {17}{6}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 20.5848a^{3}\end{aligned}}$ |
| 49 | Augmented triangular prism | 7 | 13 | 8 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}(4+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 4.5981a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}(2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}})a^{3}\\&\approx 0.6687a^{3}\end{aligned}}$ |
| 50 | Biaugmented triangular prism | 8 | 17 | 11 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}(2+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 5.3301a^{2}\\V&={\sqrt {{\frac {59}{144}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}}}a^{3}\\&\approx 0.9044a^{3}\end{aligned}}$ |
| 51 | Triaugmented triangular prism | 9 | 21 | 14 | $D_{3h}$ من الرتبة 12 | ${\begin{aligned}A&={\frac {7{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\\&\approx 6.0622a^{2}\\V&={\frac {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{4}}a^{3}\\&\approx 1.1401a^{3}\end{aligned}}$ |
| 52 | Augmented pentagonal prism | 11 | 19 | 10 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(8+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 9.173a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}{\sqrt {233+90{\sqrt {5}}+12{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}a^{3}\\&\approx 1.9562a^{3}\end{aligned}}$ |
| 53 | Biaugmented pentagonal prism | 12 | 23 | 13 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}a^{2}\left(6+4{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)\\&\approx 9.9051a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}a^{3}{\sqrt {257+90{\sqrt {5}}+24{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}\\&\approx 2.1919a^{3}\end{aligned}}$ |
| 54 | Augmented hexagonal prism | 13 | 22 | 11 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&=(5+4{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 11.9282a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 2.8338a^{3}\end{aligned}}$ |
| 55 | Parabiaugmented hexagonal prism | 14 | 26 | 14 | $D_{2h}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=(4+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 12.6603a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.0695a^{3}\end{aligned}}$ |
| 56 | Metabiaugmented hexagonal prism | 14 | 26 | 14 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&=(4+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 12.6603a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.0695a^{3}\end{aligned}}$ |
| 57 | Triaugmented hexagonal prism | 15 | 30 | 17 | $D_{3h}$ من الرتبة 12 | ${\begin{aligned}A&=3\left(1+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 13.3923a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 3.3052a^{3}\end{aligned}}$ |
| 58 | Augmented dodecahedron | 21 | 35 | 16 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.0903a^{2}\\V&={\frac {1}{24}}\left(95+43{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 7.9646a^{3}\end{aligned}}$ |
| 59 | Parabiaugmented dodecahedron | 22 | 40 | 20 | $D_{5d}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.5349a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 8.2661a^{3}\end{aligned}}$ |
| 60 | Metabiaugmented dodecahedron | 22 | 40 | 20 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.5349a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 8.2661a^{3}\end{aligned}}$ |
| 61 | Triaugmented dodecahedron | 23 | 45 | 24 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&={\frac {3}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.9795a^{2}\\V&={\frac {5}{8}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 8.5676a^{3}\end{aligned}}$ |
| 62 | Metabidiminished icosahedron | 10 | 20 | 12 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 7.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 1.5787a^{3}\end{aligned}}$ |
| 63 | Tridiminished icosahedron | 9 | 15 | 8 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 7.3265a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{8}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{24}}\right)a^{3}\\&\approx 1.2772a^{3}\end{aligned}}$ |
| 64 | Augmented tridiminished icosahedron | 10 | 18 | 10 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(7{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 8.1925a^{2}\\V&={\frac {1}{24}}\left(15+2{\sqrt {2}}+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 1.395a^{3}\end{aligned}}$ |
| 65 | Augmented truncated tetrahedron | 15 | 27 | 14 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(6+13{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 14.2583a^{2}\\V&={\frac {11}{2{\sqrt {2}}}}a^{3}\\&\approx 3.8891a^{3}\end{aligned}}$ |
| 66 | Augmented truncated cube | 28 | 48 | 22 | $C_{4v}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=(15+10{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 34.3383a^{2}\\V&=\left(8+{\frac {16{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 15.5425a^{3}\end{aligned}}$ |
| 67 | Biaugmented truncated cube | 32 | 60 | 30 | $D_{4h}$ من الرتبة 16 | ${\begin{aligned}A&=2\left(9+4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 36.2419a^{2}\\V&=(9+6{\sqrt {2}})a^{3}\\&\approx 17.4853a^{3}\end{aligned}}$ |
| 68 | Augmented truncated dodecahedron | 65 | 105 | 42 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(20+25{\sqrt {3}}+110{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 102.1821a^{2}\\V&=\left({\frac {505}{12}}+{\frac {81{\sqrt {5}}}{4}}\right)a^{3}\\&\approx 87.3637a^{3}\end{aligned}}$ |
| 69 | Parabiaugmented truncated dodecahedron | 70 | 120 | 52 | $D_{5d}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+50{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 103.3734a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 89.6878a^{3}\end{aligned}}$ |
| 70 | Metabiaugmented truncated dodecahedron | 70 | 120 | 52 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+50{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 103.3734a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 89.6878a^{3}\end{aligned}}$ |
| 71 | Triaugmented truncated dodecahedron | 75 | 135 | 62 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+35{\sqrt {3}}+90{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 104.5648a^{2}\\V&={\frac {7}{12}}\left(75+37{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 92.0118a^{3}\end{aligned}}$ |
| 72 | Gyrate rhombicosidodecahedron | 60 | 120 | 62 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$ |
| 73 | Parabigyrate rhombicosidodecahedron | 60 | 120 | 62 | $D_{5d}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$ |
| 74 | Metabigyrate rhombicosidodecahedron | 60 | 120 | 62 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$ |
| 75 | Trigyrate rhombicosidodecahedron | 60 | 120 | 62 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$ |
| 76 | Diminished rhombicosidodecahedron | 55 | 105 | 52 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$ |
| 77 | Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron | 55 | 105 | 52 | $C_{5v}$ من الرتبة 10 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$ |
| 78 | Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron | 55 | 105 | 52 | $C_{s}$ من الرتبة 2 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$ |
| 79 | Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron | 55 | 105 | 52 | $C_{s}$ من الرتبة 2 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$ |
| 80 | Parabidiminished rhombicosidodecahedron | 50 | 90 | 42 | $D_{5d}$ من الرتبة 20 | ${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 56.9233a^{2}\\V&={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 36.9672a^{3}\end{aligned}}$ |
| 81 | Metabidiminished rhombicosidodecahedron | 50 | 90 | 42 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 56.9233a^{2}\\V&={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 36.9672a^{3}\end{aligned}}$ |
| 82 | Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron | 50 | 90 | 42 | $C_{s}$ من الرتبة 2 | ${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 56.9233a^{2}\\V&={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 36.9672a^{3}\end{aligned}}$ |
| 83 | Tridiminished rhombicosidodecahedron | 45 | 75 | 32 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+5{\sqrt {3}}+30{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+9{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 55.732a^{2}\\V&=\left({\frac {35}{2}}+{\frac {23{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 34.6432a^{3}\end{aligned}}$ |
| 84 | Snub disphenoid | 8 | 18 | 12 | $D_{2d}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=3{\sqrt {3}}a^{2}\\&\approx 5.1962a^{2}\\V&\approx 0.8595a^{3}\end{aligned}}$ |
| 85 | Snub square antiprism | 16 | 40 | 26 | $D_{4d}$ من الرتبة 16 | ${\begin{aligned}A&=2\left(1+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 12.3923a^{2}\\V&\approx 3.6012a^{3}\end{aligned}}$ |
| 86 | Sphenocorona | 10 | 22 | 14 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&=(2+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 7.1962a^{2}\\V&={\frac {1}{2}}a^{3}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}\\&\approx 1.5154a^{3}\end{aligned}}$ |
| 87 | Augmented sphenocorona | 11 | 26 | 17 | $C_{s}$ من الرتبة 2 | ${\begin{aligned}A&=(1+4{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 7.9282a^{2}\\V&={\frac {1}{2}}a^{3}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\\&\approx 1.7511a^{3}\end{aligned}}$ |
| 88 | Sphenomegacorona | 12 | 28 | 18 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&=2\left(1+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 8.9282a^{2}\\V&\approx 1.9481a^{3}\end{aligned}}$ |
| 89 | Hebesphenomegacorona | 14 | 33 | 21 | $C_{2v}$ من الرتبة 4 | ${\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}\left(2+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 10.7942a^{2}\\V&\approx 2.9129a^{3}\end{aligned}}$ |
| 90 | Disphenocingulum | 16 | 38 | 24 | $D_{2d}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=(4+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 12.6603a^{2}\\V&\approx 3.7776a^{3}\end{aligned}}$ |
| 91 | Bilunabirotunda | 14 | 26 | 14 | $D_{2h}$ من الرتبة 8 | ${\begin{aligned}A&=\left(2+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 12.346a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(17+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 3.0937a^{3}\end{aligned}}$ |
| 92 | Triangular hebesphenorotunda | 18 | 36 | 20 | $C_{3v}$ من الرتبة 6 | ${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(12+19{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 16.3887a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{2}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{6}}\right)a^{3}\\&\approx 5.1087a^{3}\end{aligned}}$ |

## References

* ↑ Meyer (2006), p. 418.
* ↑ Litchenberg (1988)Boissonnat & Yvinec (1989)
* ↑ Diudea (2018), p. 39Todesco (2020), p. 282Williams & Monteleone (2021), p. 23
* ↑ Johnson (1966)Zalgaller (1969)
* ↑ Cromwell (1997), p. 86–87، See the figure on p.89Johnson (1966)
* ↑ Rajwade (2001), p. 84–88Slobodan, Obradović & Ðukanović (2015)Berman (1971), p. 350
* ↑ Uehara (2020), p. 62.
* ↑ Powell (2010), p. 27Solomon (2003), p. 40
* ↑ Walsh (2014), p. 284.
* ↑ Parker (1997), p. 264.
* ↑ Cromwell (1997), p. 36Berman (1971)Timofeenko (2009)
* ↑ Johnson (1966).
* ↑ Berman (1971).

## Bibliography

* Berman، M. (1971). "Regular-faced convex polyhedra". Journal of the Franklin Institute. ج. 291 ع. 5: 329–352. DOI:10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR:0290245.
* Boissonnat، J. D.؛ Yvinec، M. (يونيو 1989). "Probing a scene of non convex polyhedra". Proceedings of the fifth annual symposium on Computational geometry. ص. 237–246. DOI:10.1145/73833.73860.
* Cromwell، P. R. (1997). Polyhedra. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN:978-0-521-66405-9.
* Diudea، M. V. (2018). Multi-shell Polyhedral Clusters. Springer. DOI:10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN:978-3-319-64123-2.
* Flusser، J.؛ Suk، T.؛ Zitofa، B. (2017). 2D and 3D Image Analysis by Moments. John Wiley & Sons. ISBN:978-1-119-03935-8.
* Hergert، W.؛ Geilhufe، M. (2018). Group Theory in Solid State Physics and Photonics: Problem Solving with Mathematica. John Wiley & Sons. ISBN:978-3-527-41300-3.
* Holme، A. (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer. DOI:10.1007/978-3-642-14441-7. ISBN:978-3-642-14441-7.
* Johnson، N. (1966). "Convex Solids with Regular Faces". Canadian Journal of Mathematics. ج. 18: 169–200. DOI:10.4153/CJM-1966-021-8.
* Litchenberg، D. R. (1988). "Pyramids, Prisms, Antiprisms, and Deltahedra". The Mathematics Teacher. ج. 81 ع. 4: 261–265. JSTOR:27965792.
* Meyer، W. (2006). Geometry and Its Applications. Academic Press. ISBN:978-0-123-69427-0.
* Parker، S. P. (1997). Dictionary of Mathematics. McGraw Hill. ISBN:978-0-070-52433-0.
* Powell، R. C. (2010). Symmetry, Group Theory, and the Physical Properties of Crystals. Springer. DOI:10.1007/978-1-4419-7598-0. ISBN:978-1-441-97598-0.
* Rajwade، A. R. (2001). Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. DOI:10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN:978-9-386-27906-4.
* Solomon، R. (2003). Abstract Algebra. جمعية الرياضيات الأمريكية. ISBN:978-0-821-84795-4.
* Slobodan، M.؛ Obradović، M.؛ Ðukanović، G. (2015). "Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms" (PDF). Journal for Geometry and Graphics. ج. 19 ع. 1: 79–91.
* Timofeenko، A. V. (2009). "The Non-Platonic and Non-Archimedean Noncomposite Polyhedra". Journal of Mathematical Sciences. ج. 162 ع. 5: 710–729. DOI:10.1007/s10958-009-9655-0.
* Todesco، G. M. (2020). "Hyperbolic Honeycomb". في Emmer، M.؛ Abate، M. (المحررون). Imagine Math 7: Between Culture and Mathematics. Springer. DOI:10.1007/978-3-030-42653-8. ISBN:978-3-030-42653-8.
* Uehara، R. (2020). Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry. Springer. DOI:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN:978-9-811-54470-5.
* Walsh، E. T. (2014). A First Course in Geometry. Dover. ISBN:978-0-486-78020-7.
* Williams، K.؛ Monteleone، C. (2021). Daniele Barbaro’s Perspective of 1568. Springer. DOI:10.1007/978-3-030-76687-0. ISBN:978-3-030-76687-0.
* Zalgaller، V. A. (1969). Convex Polyhedra with Regular Faces. Springer. ISBN:978-1-489-95671-2.

## وصلات خارجية

* Hart، George W. "Johnson Solids".
* "Johnson Polyhedra". – Images of all 92 categorised Johnson solids
* "Johnson Solids". – Visualisations of all 92 Johnson solids
* Bulatov، Vladimir. "Johnson solids". – VRML models of Johnson solids
* Gagnon, Sylvain (1982). "Les polyèdres convexes aux faces régulières" [Convex polyhedra with regular faces] (PDF). Topologie Structurale [Structural Topology] (بالفرنسية) (6): 83–95.
* بوابة رياضيات
* بوابة هندسة