# متسلسلة متقاربة

في الرياضيات، متسلسلة (بالإنجليزية: Convergent series)‏ هي مجموع حدود متتالية من الأعداد.
لتكن $\left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}$ متتالية ما. الحد النوني للمجموع الجزئي $S_{n}$ هو مجموع الحدود n الأولى للمتتالية، أي:
    $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$
تكون متسلسلة ما متقاربة إذا كانت متتالية المجاميع الجزئية $\left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}$ متقاربة. وبشكل رسمي، تكون متسلسلة متقاربة إذا وُجدت نهاية $\ell$ حيث كيفما كان عدد موجب صغير ما $\varepsilon >0$، فإنه يوجد عدد $N$ حيث مهما كان $n\geq \ N$ فإن :
    $\left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \varepsilon .$
يقال عن متسلسلة غير متقاربة متسلسلة متباعدة.

## أمثلة على متسلسلات متباعدة ومتسلسلات متقاربة

* مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية يعطي متسلسلة متباعدة تسمى المتسلسلة المتناسقة:
    ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .$
* مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب، يعطي متسلسة متقاربة:
    ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}\cdots =\ln(2)$
* مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية الفردية مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب (صيغة لايبنتس ل π), يعطي متسلسة متقاربة:
    ${1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots ={\pi \over 4}.$
* مجموع مقلوبات الأعداد الأولية يعطي متسلسة متباعدة (هذا برهان على أن عدد الأعداد الأولية غير منته):
    ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .$
* مجموع مقلوبات الأعداد المثلثية يعطي متسلسلة متقاربة:
    ${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.$
* مجموع مقلوبات عاملي الأعداد الطبيعية يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى العدد e):
    ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.$
* مجموع مقلوبات المربعات الكاملة يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى معضلة بازل):
    ${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.$
* مجموع مقلوبات قوى العدد اثنين يعطي متسلسلة متقاربة:
    ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.$
* مجموع مقلوبات قوى العدد اثنين مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب، يعطي أيضا متسلسلة متقاربة:
    ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.$
* مجموع مقلوبات أعداد فيبوناتشي يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى العدد ψ):
    ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .$

## اختبارات التقارب

هناك عدة طرق تمكن من معرفة هل متسلسلة ما تتقارب أو تتباعد.
اختبار المقارنة : حدود المتتالية $\left\{a_{n}\right\}$ تُقارن مع حدود متتالية أخرى $\left\{b_{n}\right\}$. إذا توفر ما يلي مهما كانت قيمة n :
$0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}$, و $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ متسلسلة متقاربة، فإن $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$ متقاربة أيضا.
وبشكل مماثل، إذا توفر ما يلي مهما كانت قيمة n:
$0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}$, و $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ متباعدة، فإن $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ أيضا متباعدة.
اختبار النسبة : يُفترض أنه مهما كانت قيمة n فإن $a_{n}>0$ وأنه يوجد عدد $r$ حيث
    $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=r.$
إذا كان r <1, فإن المتسلسلة متقاربة. وإذا كان r> 1, فإن المتسلسلة متباعدة. أما إذا كان r = 1, فإن اختبار النسبة يصير غير مجد وغير نافع وأن المتسلسلة قد تكون متقاربة وقد تكون متباعدة.
اختبار الجذر أو الجذر النوني
اختبار التكامل
اختبار مقارنة النهايات
اختبار المتسلسلات المتناونة الإشارة

## مراجع

* ↑ "معلومات عن متسلسلة متقاربة على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-04-13.
* ↑ "معلومات عن متسلسلة متقاربة على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it". thes.bncf.firenze.sbn.it. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.

## انظر أيضا

* نهاية متتالية
* بوابة تحليل رياضي