# نظام معادلات خطية

في الرياضيات، نظام المعادلات الخطية (بالإنجليزية: System of linear equations)‏ هي مجموعة من المعادلات الخطية، تضم نفس المجموعة من المتغيرات. على سبيل المثال:
    ${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$
هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. حل نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:
    ${\begin{alignedat}{2}x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\end{alignedat}}$
بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هذه القيم.
انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

## الشكل العام

    ${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}$
يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.
1. معادلات متجهة:
    $x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$
2. معادلات مصفوفة:
    $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$
    $A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$
هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي
* حسب المصفوفات غاوس,
* قاعدة كرامر،
* طريقة التعويض.

## خصائص
### الاستقلالية

انظر إلى استقلال خطي.

### التناسق

انظر إلى تناقض (منطق)
على سبيل المثال، المعادلتان
    $3x+2y=6$ و $\;\;\;\;3x+2y=12$ غير متناسقتين.

### التكافؤ

نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته
على سبيل المثال، المعادلتان
    $3x+y=6$ و $\;\;\;\;3x+3y=12$ متكافئتان لأن $x=1,y=3$.

## حلحلة النظام الخطي

هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.

### اقصاء المتغيرات

    ${\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\\2x&&\;+\;&&4y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&8&\end{alignedat}}$
    ${\begin{alignedat}{5}-4y&&\;+\;&&12z&&\;=\;&&-8&\\-2y&&\;+\;&&7z&&\;=\;&&-2&\end{alignedat}}$
    ${\begin{alignedat}{7}x&&\;=\;&&5&&\;+\;&&2z&&\;-\;&&3y&\\y&&\;=\;&&2&&\;+\;&&3z&&&&&\\z&&\;=\;&&2&&&&&&&&&\end{alignedat}}$

### تبسيط الصفوف

انظر إلى مصفوفة ممتدة.

### قاعدة كرامر

قاعدة كرامر هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:
    ${\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\end{alignedat}}$
تعطى بما يلي:
    $x={\frac {\,\left|{\begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;y={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;z={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}}.$

### طرق أخرى
#### طريقة الجمع

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:
    ${\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;3\\\end{alignedat}}$
نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:
    $-2y=-2\,$
أي أن:
    $y=1\,$
الآن نعوض y بـ1 فنجد:
    $x=2\,$

#### طريقة التعويض

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:
    ${\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;1\\\end{alignedat}}$
نأخذ $x=3-y\,$ فنجد :
    ${\begin{alignedat}{7}3&\;-&\;2y&\;=&\;1\\\end{alignedat}}$
أي :
    ${\begin{alignedat}{7}y&\;=&\;{\frac {3-1}{2}}&\;=&\;1\\\end{alignedat}}$
نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :
    ${\begin{alignedat}{7}x+1&\;=&\;3\\\end{alignedat}}$
أي أن :
    ${\begin{alignedat}{7}x&\;=&\;3-1&\;=&\;2\\\end{alignedat}}$
هكذا :
$x=2\,$ و $y=1\,$

## الأنظمة المتجانسة

يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه متجانس إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:
    ${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\,\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0.\\\end{alignedat}}$

### مجموعة الحلول

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة

## مراجع

* ↑ "معلومات عن نظام معادلات خطية على موقع d-nb.info". d-nb.info. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.
* ↑ "معلومات عن نظام معادلات خطية على موقع enciclopedia.cat". enciclopedia.cat. مؤرشف من الأصل في 2018-01-28.

## انظر أيضا

* تبسيط الصفوف،
* المعادلات المترابطة،
* تفكيك المصفوفات،
* مربعات دنيا خطية.
* بوابة رياضيات
* بوابة جبر