# إكمال المربع

إكمال المربع هي عملية لتحويل الدالة التربيعية من الشكل
    $ax^{2}+bx+c\,\!$
إلى الشكل
    $a(\cdots \cdots )^{2}+{\mbox{constant}}.\,$
ومصطلح "constant" يعني أنه قيمة ثابتة ولا يعتمد على x. والجزء داخل القوسين يكون على صورة (x + constant) ، بمعنى أن:
    $ax^{2}+bx+c\,\!$
تحولت إلى
    $a(x+h)^{2}+k\,$
بقيم معينة لكلا من h و k.
استخدامات طريقة إكمال المربع:
* حل المعادلات التربيعية
* رسم المعادلات التربيعية
* حساب التكامل في التفاضل والتكامل مثل تكامل جاوس.
* إيجاد تحويل لابلاس.
ويعد إكمال المربع من العمليات الأساسية في الرياضيات، ويتم استخدامها -حتى بدون الإشارة إليها- في الحسابات التي تحتوي على معادلات تربيعية. كما أن هذه الطريقة تستخدم لاستنتاج طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

## مقدمة
### تمهيد

يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر لحساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين
    $(x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.\,\!$
مثال:
    ${\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}$
ففي أي مربع كامل العدد p يكون دائما هو نصف معامل x ، ويكون الحد الثابت هو مربع p أي يساوي p$^2$.

### مثال بسيط

في كثيرة الحدود التربيعية التالية:
    $x^{2}+10x+28.\,\!$
نجد أنها ليست مربعا كاملا، لأن 28 لا تساوي مربع 5 .
    $(x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.\,\!$
بينما يمكننا أن نضع الدالة الأصلية على صورة: (مربع كامل + ثابت) كما يلي:
    $x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.$
وهذا ما يسمى إكمال المربع.

### وصف عام

لأي كثيرة حدود واحدية المدخل (أي معامل x يساوي 1) من الدرجة الثانية (أي تربيعية) على الصورة:
    $x^{2}+bx+c,\,\!$
يمكن أن نكون 'مربعا كاملا' له نفس الحدين الأولين
    $\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.$
وهذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط. ويمكن أن نكتب
    $x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,$
حيث k هو ثابت. وهذه العملية تسمى إكمال المربع. ومثالا لذلك:
    ${\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}$

### غير واحدية المدخل

لأي كثيرة حدود غير واحدية المدخل (معامل x لا يساوي 1) على الصورة:
    $ax^{2}+bx+c\,\!$
يمكن أن نقوم باتخاذ a معاملا مشتركا، ثم نكمل المربع بالطريقة السابقة.
مثال:
    ${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}$
ومعنى هذا أننا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة
    $a(x+h)^{2}+k.\,\!$

### صيغة عامة

يمكن كتابة صيغة عامة لعملية إكمال المربع كالتالي:
    $ax^{2}+bx+c\;=\;a(x+h)^{2}+k,$
حيث:
$h={\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$
* حالة خاصة عندما a=1:
    $x^{2}+bx+c\;=\;(x+h)^{2}+k,$
حيث:
$h={\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}$
* وفي حالة المصفوفات (يراعى ترتيب ضرب المصفوفات):
    $x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k$
حيث:
    $h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b$
ويجب أن تكون المصفوفة $A$ متماثلة (أي مدور المصفوفة يساوي نفس المصفوفة).
أما لو كانت المصفوفة $A$ غير متماثلة فإن صيغة حساب $h$ و $k$ يتم تغييرها إلى الصورة العامة:
    $h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b$.
و
    $k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b$.

## علاقته بالرسم

رسم أي دالة تربيعية هو قطع مكافئ في مستوى xy. فالدالة التربيعية على صورة:
    $(x-h)^{2}+k\quad {\text{or}}\quad a(x-h)^{2}+k$
الأرقام h و k تمثل إحداثيات نقطة رأس القطع المكافئ. وتمثل h الإحداثي x لمحور التماثل، بينما تمثل k القيمة الصغرى ( أو العظمى إذا كانت a < 0 ) للدالة التربيعية.
ويمكن القول أن رسم منحنى الدالة التربيعية ƒ(x) = x$^2$ هو قطع مكافئ، رأسه عند نقطة الأصل (0, 0).
بينما رسم منحنى الدالة ƒ(x − h) = (x − h)$^2$ هو قطع مكافئ تمت إزاحته جهة اليمين بالقيمة h ورأسه هي (h, 0) كما هو مبين بالشكل.
ورسم منحنى الدالة ƒ(x) + k = x$^2$ + k هو قطع مكافئ تمت إزاحته لأعلى بالقيمة k، ورأسه هي نقطة $(0,k)$ كما هو مبين بالشكل الثاني.
ويمكن جمع الإزاحتين الأفقية (يمين أو يسار) والرأسية (أعلى أو أسفل) فالدالة ƒ(x − h) + k = (x − h)$^2$ + k
هي قطع مكافئ مزاح لليمين بالقيمة h، ومزاح لأعلى بالقيمة k، ورأسه عند النقطة (h, k)، كما هو مبين بالشكل الثالث.

## حل المعادلات التربيعية

تستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، ومثال ذلك:
    $x^{2}+6x+5=0,\,\!$
الخطوة الأولى هي إكمال المربع:
    $(x+3)^{2}-4=0.\,\!$
ثم نحل الحد المربع:
    $(x+3)^{2}=4.\,\!$
وبالتالي إما
    $x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,$
إذن
    $x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.$
ويمكن تطبيق ذلك لأي معادلة تربيعية. وعندما يكون معامل x$^2$ لا يساوي 1 تكون الخطوة الأولى هي قسمة المعادلة على هذا المعامل. انظر المثال التالي:
    ${\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}$

### الجذور غير النسبية أو المركبة

يمكن استخدام إكمال المربع للحصول على جذور الدالة التربيعية حتى لو كانت تلك الجذور هي جذور غير نسبية أو جذور مركبة. مثال للجذور غير النسبية:
    $x^{2}-10x+18=0.\,\!$
بإكمال المربع نحصل على
    $(x-5)^{2}-7=0,\,\!$
وبالتالي
    $(x-5)^{2}=7.\,\!$
إذن إما
    $x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}},\,$
إذن
    $x=5-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x=5+{\sqrt {7}}.\,$
وعادةً تكتب على الصورة:
    $x=5\pm {\sqrt {7}}.\,$
ومثال للمعادلات ذات الجذور المركبة:
    ${\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}$
حيث الرمز i يساوي ${\sqrt {-1}}\,$

## تطبيقات أخرى
### التكامل

يمكن استخدام إكمال المربع لحساب التكامل كالتالي:
    $\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}$
باستخدام قواعد التكامل
    $\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.$
مثال:
    $\int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.$
بإكمال المربع للمقام نحصل على:
    $\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.$
وبالتالي يمكن إجراء التكامل بالتعويض.
u = x + 3,
الذي يُنتج
    $\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.$

### الأعداد المركبة

العلاقة التالية
    $|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,\,$
حيث z وb هما عدادان مركبان، و $b^{*},z^{*},$ هما العددان المرافقان لهما على الترتيب، و c هو عدد حقيقي.
باستخدام القاعدة
    $|u|^{2}=uu^{*},$
يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة
    $|z-b|^{2}-|b|^{2}+c,\,\!$
والتي يتضح أنها كمية حقيقة
    ${\begin{aligned}|z-b|^{2}&=(z-b)(z-b)^{*}\\&=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}$
مثال آخر المعادلة التالية:
    $ax^{2}+by^{2}+c,\,\!$
حيث a و b و c و x و y هي أعداد حقيقية، و a > 0 و b > 0, يمكن صياغتها على صورة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب كالتالي: نفرض
    $z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.$
إذن
    ${\begin{aligned}|z|^{2}&=zz^{*}\\&=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}$
وبالتالي
    $ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.\,\!$

## المنظور الهندسي

لإكمال المربع للمعادلة
    $x^{2}+bx=a\,$
حيث أن x$^2$ تمثل مساحة مربع طول ضلعه x،
وbx تمثل مساحة مستطيل ضلعاه هما b و x،
وبالتالي فإن عملية إكمال المربع يمكن اعتبارها إكمال المستطيلات لنصل إلى مربع.
إذا حاولنا إنشاء مربعا كبيرا مكون من (المربع x$^2$ ) و(المستطيل bx ) معا، سنجد أن هناك ركنا ناقصا يحتاج إلى إكماله. الحد$(b/2)^{2}$ الذي يتم إضافته إلى المعادلة يمثل مساحة هذا الركن الذي نحتاجه لإكمال المربع، ومن هنا جاءت التسمية إكمال المربع

## إكمال المربع بطريقة مختلفة

كما رأينا سابقا فقد أضفنا الحد الثالث v$^2$ إلى المعادلة
    $u^{2}+2uv\,$
لنحصل على مربع. لكن هناك حالات أخرى نقوم فيها بإضافة الحد الثاني (أو الأوسط) بحيث يكون إما (2uv) أو (2uv-) إلى المعادلة
    $u^{2}+v^{2}\,$
لنحصل على مربع على الصورة:
    $u^{2}+v^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}-2uv=(u+v)^{2}-2uv\,$
أو
    $u^{2}+v^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}+2uv=(u-v)^{2}+2uv\,$

### مثال: مجموع رقم موجب ومقلوبه

إذا أردنا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب $x\,$ مع مقلوبه ${1 \over x}\,$ يمكننا استخدام هذه الطريقة:
    ${\begin{aligned}x+{1 \over x}&=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}$
واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوبه يكون دائما أكبر من أو يساوي 2 لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر.

### مثال: تحليل معادلة بسيطة

عند تحليل المعادلة التالية
    $x^{4}+324.\,\!$
نجد أنها على صورة
    $(x^{2})^{2}+(18)^{2},\,\!$
وبالتالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة
    $2*x^{2}*(18)=36x^{2},\,\!$
فسوف نحصل على
    ${\begin{aligned}x^{4}+324&=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\end{aligned}}$
وهذا هو فرق بين مربعين يتم تحليله كالتالي:
    ${\begin{aligned}&=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}$
السطر الأخير تم كتابته لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي لدرجة المتغير x.