# قوس الجيب

في الرياضيات، دالة قوس الجيب (بالإنجليزية: Arcsine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 هي الدالة العكسية لدالة الجيب، مستقرها هو $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$، وحدتها هي الراديان.
الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 قيمة قوس جيب الخاص به يرمز لها بـ arcsin أو sin $^{-1}$. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الجيب المثلثية المقتصرة إلى المجال $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ .
في المَعْلم الديكارتي المتعامد الوَحْديّ للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الجيب المقتصرة إلى المجال $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x.

## مشتق

دالة الجيب العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[ ودالتها المشتقة هي:
$\arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

### إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:$(\arcsin x)'={d \over dx}\arcsin x$
نضع $\theta =\arcsin x$:
    ${\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {d\theta }{d\theta \cos \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

## تمثيل بواسطة متسلسلة

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:
إذا كانت $|z|\leq 1$،
    ${\begin{aligned}\arcsin z&=z+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {z^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {z^{7}}{7}}+\dots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}$
حيث $(n)!!$ هو عاملي ثنائي.
متسلسلة تايلور للدالة المستقة هي:
    ${\begin{aligned}\arcsin '(z)&=(1-z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)(-z^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{2}}(-z^{2})^{2}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\left(-{\frac {5}{2}}\right)}{2\cdot 3}}(-z^{2})^{3}+\cdots \\&=1+{\frac {1}{2}}z^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}z^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}z^{6}+\dots ,\end{aligned}}$
بمكاملتها نتحصل على المتسلسلة غير المنتهية للدالة.

## الشكل التكاملي

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل غير المحدد :
$\arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt$

## المشتق العكسي

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة :
$\int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

## العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام

من أجل كل عدد حقيقي x محصور بين –1 و 1 : $\arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}$

## على المستوي المركب
### الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الجيب باستخدام اللوغاريتم العقدي:
$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$

## طالع أيضًا

* دوال مثلثية عكسية
* دالة جيب التمام العكسية
* دالة الظل العكسية

## مراجع

* ↑ موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 36، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
* ↑ معجم الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، القاهرة: مجمع اللغة العربية بالقاهرة، ج. 1، 1995، ص. 88، QID:Q120333811
* ↑ ميشال إبراهيم ساسين؛ رامي أبو سليمان؛ فادي فرحات (2007). قاموس المصطلحات العلمية: فيزياء - كيمياء - رياضيات (إنكليزي - فرنسي - عربي) مع مسرد ألفبائي بالألفاظ الفرنسية (بالعربية والإنجليزية والفرنسية) (ط. 1). بيروت: دار الكتب العلمية. ص. 36. ISBN:978-2-7451-5445-3. OCLC:929661320. OL:53616244M. QID:Q120799140.
* بوابة تحليل رياضي
* بوابة رياضيات
* بوابة هندسة رياضية