# نهاية أحادية الجانب

تشير نهاية أحادية الجانب في حساب التفاضل والتكامل إلى أنَّ أحد حدي الدالة $f(x)$ متغير حقيقي $x$ يقترب من نقطة محددة إما من اليسار أو من اليمين.
النهاية تكون عندما ينقص المتغير $x$ ويقترب $a$ ( فإن المتغير $x$ يقترب من $a$ "من اليمين" أو "من أعلى") ويمكن الإشارة إليها كما يلي:$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)$نهاية $x$ تزداد في القيمة لتقترب من $a$ ( $x$ يقترب من $a$ "من اليسار" أو "من الأسفل") يمكن الإشارة إليها كما يلي:$\lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)$إذا كان المتغير $x$ في الدالة $f(x)$ يقترب من $a$ إذن النهايات من اليسار ومن اليمين كلاهما موجودان ومتساويان. في بعض الحالات التي يكون فيها الحد غير موجود، مع ذلك فإن الحدين أحادييّ الجانب موجودان: $\lim _{x\to a}f(x)$وبالتالي ، فإن المتغير $x$ الذي يقتر من $a$ يُطلق عليه أحيانًا "نهاية ذات وجهين".
من الممكن أن يوجد أحد النهايتين من جهة واحدة فقط (بينما الأخرى غير موجودة). من الممكن أيضًا عدم وجود أي من النهايتين أحاديتا الجانب.

## التعريف الرسمي
### تعريف

إذا كان $I$ يمثل بعض الفترات المضمنة في المجال $f$ و كانت $a$ نقطة في $I$ والنهاية للمتغير $x$ تقترب من الجانب الأيمن من $a$ يمكن تعريفها بدقة على أنها القيمة $R$ التي تحقق: ${\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,$والنهاية من الجهة اليسرى للمتغير $x$ عندما يقترب من $a$ يمكن تعريفها بدقة على أنها القيمة $L$ التي تحقق:${\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .$وبشكل تجريدي ومجمل لما يسبق، يمكننا القول:
لو كانت $I$ تمثل المجال الفاصل حيث $I\subseteq \mathrm {domain} (f)$ ، و $a\in I$ .
    $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))$
    $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))$

### حدسية

بالمقارنة مع التعريف الرسمي لنهاية الدالة عند نقطة ما ، فإن النهاية أحادية الجانب تعمل فقط مع قيم الإدخال إلى جانب واحد من قيمة الإدخال التي اقترب منها المتغير.
    $\lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$
لتعريف النهاية أحادية الجانب علينا تعديل هذه المتباينة. لاحظ أن المسافة المطلقة بين $x$ و $a$ يكون$|x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|$

## مراجع

* ↑ "One-sided limit - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. مؤرشف من الأصل في 2023-03-18. اطلع عليه بتاريخ 2021-08-07.
* ↑ Fridy, J. A. (24 Jan 2020). Introductory Analysis: The Theory of Calculus (بالإنجليزية). Gulf Professional Publishing. p. 48. ISBN:978-0-12-267655-0. Archived from the original on 2023-03-16. Retrieved 2021-08-07.
* ↑ Hasan, Osman; Khayam, Syed (2 Jan 2014). "Towards Formal Linear Cryptanalysis using HOL4" (PDF). Journal of Universal Computer Science (بالإنجليزية). 20 (2): 209. DOI:10.3217/jucs-020-02-0193. ISSN:0948-6968. Archived from the original (PDF) on 2022-01-21.
* 1 2 "One-sided limit - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. مؤرشف من الأصل في 2023-03-18. اطلع عليه بتاريخ 2021-08-07."One-sided limit - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. Retrieved 7 August 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
* 1 2 Fridy, J. A. (24 Jan 2020). Introductory Analysis: The Theory of Calculus (بالإنجليزية). Gulf Professional Publishing. p. 48. ISBN:978-0-12-267655-0. Archived from the original on 2023-03-16. Retrieved 2021-08-07.Fridy, J. A. (24 January 2020). Introductory Analysis: The Theory of Calculus. Gulf Professional Publishing. p. 48. ISBN 978-0-12-267655-0. Retrieved 7 August 2021.
* ↑ "one-sided limit". planetmath.org. 22 مارس 2013. مؤرشف من الأصل في 2021-01-26. اطلع عليه بتاريخ 2021-08-07.
* ↑ Gasic, Andrei G. (12 Dec 2020). Phase Phenomena of Proteins in Living Matter (Thesis thesis) (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-03-16.
* ↑ Brokate, Martin; Manchanda, Pammy; Siddiqi, Abul Hasan (2019), "Limit and Continuity", Calculus for Scientists and Engineers (بالإنجليزية), Singapore: Springer Singapore, pp. 39–53, DOI:10.1007/978-981-13-8464-6_2, ISBN:978-981-13-8463-9, Archived from the original on 2023-03-16, Retrieved 2022-01-11
* 1 2 3 "one-sided limit". planetmath.org. 22 مارس 2013. مؤرشف من الأصل في 2021-01-26. اطلع عليه بتاريخ 2021-08-07."one-sided limit". planetmath.org. 22 March 2013. Archived from the original on 26 January 2021. Retrieved 7 August 2021.
* ↑ Giv, Hossein Hosseini (28 Sep 2016). Mathematical Analysis and Its Inherent Nature (بالإنجليزية). American Mathematical Soc. p. 130. ISBN:978-1-4704-2807-5. Archived from the original on 2023-03-16. Retrieved 2021-08-07.
* بوابة رياضيات