# متباينة فايتزينبوخ

في الهندسة الرياضية، متراجحة فايتزينبوخ،(بالإنجليزية: Weitzenböck's inequality)‏ المسماة على شرف رولاند فايتزينبوخ ، تنص على أنه في مثلث أطوال أضلاعه $a$، $b$، $c$، ومساحته $\Delta$، المتراجحة التالية محققة:
    $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\,\Delta .$
تنتج حالة المساواة إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع. متراجحة بيدو هي تعميم لمتراجحة فايتزينبوخ.

## مزيد براهين

برهان هذه المفاوتة طلب كسؤال في أولمبياد الرياضيات الدولي لسنة 1961. مع ذلك، فهو ليس صعبًا إذا ما استخدمنا له صيغة هيرون لمساحة مثلث:
    ${\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.\end{aligned}}$

### الطريقة الأولى

يمكن إثبات أن مساحة مثلث نابوليون الداخلي، الموجبة، هي:
${\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}\Delta )$
و إذًا فالتعبير داخل الأقواس أكبر من أو يساوي 0.

### الطريقة الثانية

هذه الطريقة لاتفترض معرفة بالمتفاوتات باسثتناء علم أن المربعات موجبة.
    ${\begin{aligned}&(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\\iff &2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geq 0\\\iff &{\frac {4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq {\frac {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\\iff &{\frac {(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}\geq (4\Delta )^{2},\end{aligned}}$
و ستظهر النتيجة تلقائيا عند أخذ الجذور الموجبة لكلا الطرفين. يمكن ملاحظة أيضا من المتراجحة الأولى أن حالة المساواة تتحقق فقط عندما $a=b=c$ والمثلث متساوي الأضلاع.

### الطريقة الثالثة

هذا البرهان يفترض معرفة متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي.
    ${\begin{aligned}&&(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}&\geq &&0\\\Rightarrow &&2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}&\geq &&2ab+2bc+2ac\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c)^{2}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)\left({\frac {a+b+c}{3}}\right)^{3}}}\\\Rightarrow &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&4{\sqrt {3}}\Delta .\end{aligned}}$
وبما أنه تم استعمال متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي، فإن حالة المساواة تتحقق عندما $a=b=c$ و المثلث متساوي الأضلاع.

### الطريقة الرابعة
## مراجع

* ↑ "معلومات عن متباينة فايتزينبوخ على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2020-04-01.
* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, (ردمك 9780883853429), pp. 84-86
* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Geometric Proofs of the Weitzenböck and Hadwiger-Finsler Inequalities. Mathematics Magazine, Vol. 81, No. 3 (Jun., 2008), pp. 216–219 (JSTOR)
* D. M. Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculete, Nevulai Stanciu: Some geometric inequalities of Ionescu-Weitzebböck type. International Journal of Geometry, Vol. 2 (2013), No. 1, April
* D. M. Batinetu-Giurgiu, Nevulai Stanciu: The inequality Ionescu - Weitzenböck. MateInfo.ro, April 2013, (online copy)
* دانييل بيدو: On Some Geometrical Inequalities. The Mathematical Gazette, Vol. 26, No. 272 (Dec., 1942), pp. 202–208 (JSTOR)
* رولاند فايتزينبوخ: Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie. Mathematische Zeitschrift, Volume 5, 1919, pp. 137–146 (online copy at Göttinger Digitalisierungszentrum)
* Dragutin Svrtan, Darko Veljan: Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities. Forum Geometricorum, Volume 12, 2012, pp. 197–209 (online copy)
* Mihaly Bencze, Nicusor Minculete, Ovidiu T. Pop: New inequalities for the triangle. Octogon Mathematical Magazine, Vol. 17, No.1, April 2009, pp. 70–89 (online copy)

## وصلات خارجية

* إيريك ويستاين، متراجحة فايتزينبوخ، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).
* "Weitzenböck's Inequality," an interactive demonstration by Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project.
* بوابة تحليل رياضي
* بوابة رياضيات
* بوابة هندسة رياضية