# قوس جيب التمام

في الرياضيات، دالة قوس جيب التمام (بالإنجليزية: Arccosine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 هي الدالة العكسية لدالة جيب التمام، مستقرها هو $[0,\pi ]$، وحدتها هي الراديان.
الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 قيمة قوس جيب التمام الخاص به يرمز لها بـ arccos أو cos $^{-1}$. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة جيب التمام المثلثية المقتصرة إلى المجال $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ .
في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب تمام الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة جيب التمام المقتصرة إلى المجال $[0,\pi ]$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x.

## مشتق

دالة جيب التمام العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[ ودالتها المشتقة هي:
$\arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

### إثبات

يمكن كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:$(\arccos x)'={d \over dx}\arccos x$
نضع $\theta =\arccos x$:
    ${\frac {d\theta }{d\cos \theta }}={\frac {d\theta }{-d\theta \sin \theta }}={\frac {-1}{\sin \theta }}={\frac {-1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
إثبات آخر
يمكن إيجاد مشتقة دالة arccos(x) عن طريق تفاضل مركب دالتين (دالة ومعكوسها):
- إذا كانت cos(arccos(x)) = x بتفاضل الطرفين معاً ينتج:
    $(\cos(\arccos(x))'={-\sin(\arccos(x))}{d \over dx}\arccos x$
أي أن:
    $\ (x)'=-{\sqrt {1-\cos ^{2}(\arccos(x))}}{d \over dx}\arccos x$
يُستنتج من ذلك:
    $\ 1=-{\sqrt {1-x^{2}}}{d \over dx}\arccos x$
بترتيبها تنتج المشتقة:
    $\ {d \over dx}{\arccos(x)}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

## الشكل التكاملي

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل المحدد:
$\arccos x=\int _{1}^{x}{\frac {-1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt$

## المشتق العكسي

يمكن الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة:
$\int \arccos(x)dx=x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

## العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام

لكل عدد حقيقي x محصور بين –1 و 1 :
$\arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}$

### إثبات

يمكن أن نستنتج العلاقة بين arccos(x) و arcsin(x) كالتالي:
نأخذ:
$\ y=\arccos(x)$
$\cos(y)=x$
يعني:
$\sin {\left({\frac {\pi }{2}}-y\right)}=x$
ومنه:
${\frac {\pi }{2}}-y=\arcsin(x)$
أي:
${\frac {\pi }{2}}-\arccos(x)=\arcsin(x)$
و بترتيبها نحصل على:
$\arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}$
إثبات آخر
نشتق الدالة $\arccos(x)+\arcsin(x)$:
    ${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ وهي مساوية للصفر ، إذن arccos(x) + arcsin(x) هي عبارة عن دالة ثابتة.
نستنتج من ذلك أن:
مجموع arccos(x) و arcsin(x) عدد حقيقي ثابت (لأن مشتقة الثابت هي الصفر) يتم تعيينه أي أن:
$\arccos(x)+\arcsin(x)=\alpha$
نأخذ arcsin(x) إلى الطرف الآخر:
$\arccos(x)=\alpha -\arcsin(x)$
ندخل دالة الجيب تمام على الطرفين:
$\ x=\cos(\alpha -\arcsin(x))$
نبسط التعبير باستعمال قاعدة جيب تمام فرق عددين:
$\ x=\cos(\alpha )\cos(\arcsin(x))+\sin(\alpha )\sin(\arcsin(x))$
أي أن:
$\ x={\cos(\alpha )}{\sqrt {1-x^{2}}}+{x}{\;\sin(\alpha )}$
و بتعويض x ب 0 و التبسيط نحصل على:
$0=\cos(\alpha )$
بادخال دالة معكوس جيب التمام على الطرفين نحصل على:
$\arccos(0)=\alpha$
أي أن:
${\frac {\pi }{2}}=\alpha$
و بالتالي نحصل على العلاقة بينهما:
$\arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}$

## التمثيل بواسطة متسلسلة

لدينا:
$\arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)$
و بتعويض arcsin(x) بمتسلسلتها نحصل على متسلسلة دالة arccos(x) :
$\arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}}$

## على المستوي العقدي
### الشكل اللوغاريتمي

يمكن التعبير عن دالة قوس جيب التمام باستخدام اللوغاريتم العقدي:
    $\arccos(x)=-i\,\ln \left(x+i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).$

## طالع أيضًا

* دوال مثلثية عكسية
* دالة الجيب العكسية
* دالة الظل العكسية

## مراجع

* ↑ ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (1 يناير 2007). قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي. دار الكتب العلمية. ISBN:978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 2020-03-19.
* ↑ مجمع اللغة العربية بالقاهرة (1957). مجموعة المصطلحات العلمية والفنية التي أقرها المجمع. مؤرشف من الأصل في 2020-08-28.
* بوابة تحليل رياضي
* بوابة رياضيات
* بوابة هندسة رياضية