# قاعدة الرفع إلى أس

في الرياضيات، تستعمل قاعدة الرفع إلى أس أو قاعدة القوة(بالإنجليزية: power rule)‏ للتفاضل وتستعمل لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأسفل.
تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. وتُعطى مشتقاتها وتكاملها غير المحدود بواسطة القوانين التالية:
    $\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)'=\sum _{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}$
و
    $\int \!\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+C\,\!$.
لذلك, تكون مشتقة $x^{100}$ هي $100x^{99}$ والتكامل غير المحدود للقيمة $x^{100}$ هو ${\frac {x^{101}}{101}}+C$ حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.

## قاعدة القوة

تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هو عدد طبيعي, تكون مشتقة $f(x)=x^{n}\!$ هي $f'(x)=nx^{n-1}\!$, وبالتالي تكون القاعدة هي
    $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}.$
و قاعدة القوة للتكامل هي
    $\int \!x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$
عندما يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.

### البرهان

لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال طريقة الاشتقاق كنهاية رياضياتية:
    $f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$
و عند تعويض $f(x)=x^{n}$ ستكون المعادلة على النحو التالي
    $f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}.$
ثم يمكن للمرء التعبير عن $(x+h)^{n}$ باستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على
    $f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}-x^{n}}{h}}.$
يمكن كتابة الحد $i=n$ من المجموع في جهة مستقلة للحصول على
    $f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}+x^{n}-x^{n}}{h}}.$
و بسبب إلغاء قيم الحدود $x^{n}$ ستكون المعادلة
    $f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}}{h}}.$
و يمكن إخراج قيمة $h$ من جميع الحدود من المجموع للحصول على
    $f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}}{h}}.$
و بذلك يمكننا إلغاء قيم $h$ من المقام والحصول على
    $f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}.$
و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن $n-i-1>0$ لكل $i<n-1$ وتساوي صفر لكل$i=n-1.$ لذلك نجد قيمة $h^{0}$ فقط عندما يكون $i=n-1$, وبالتالي تكون المعادلة
    $f'(x)={n \choose {n-1}}x^{n-1}.$
و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة
    ${n \choose {n-1}}={\frac {n!}{(n-1)!\ 1!}}={\frac {n\ (n-1)!}{(n-1)!}}=n.$
و بالتالي هذه المعادلة
    $f'(x)=nx^{n-1}.\!$

## تفاضل متعددات الحدود الكيفية

لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي (differential operator) للحصول على:
    $\left(\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}\left(a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left(x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}ra_{r}x^{r-1}.$
و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي
    $\int \!\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.$

## تعميم

يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي
    $\left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}$
عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام أن قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع
    $\int \!x^{-1}\,dx=\ln x+c,$
سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة x, والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.