# قائمة تكاملات الدوال الزائدية

هذه قائمة تكاملات الدوال الزائدية.أخذا بالعلم أن $a$ عدد غير منعدم وأن $C$ هي ثابت التكامل.

## التكاملات التي تحتوي على دالة الجيب الزائدية

    $\int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C\,$
    $\int \sinh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{4a}}\sinh 2ax-{\frac {x}{2}}+C\,$
    $\int \sinh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{an}}\sinh ^{n-1}ax\cosh ax-{\frac {n-1}{n}}\int \sinh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{}n>0{\mbox}}\,$
    $\int \sinh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sinh ^{n+1}ax\cosh ax-{\frac {n+2}{n+1}}\int \sinh ^{n+2}ax\,dx\qquad {\mbox{}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox}}\,$
    $\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tanh {\frac {ax}{2}}\right|+C\,$
    $\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\cosh ax-1}{\sinh ax}}\right|+C\,$
    $\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\sinh ax}{\cosh ax+1}}\right|+C\,$
    $\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\cosh ax-1}{\cosh ax+1}}\right|+C\,$
    $\int {\frac {dx}{\sinh ^{n}ax}}=-{\frac {\cosh ax}{a(n-1)\sinh ^{n-1}ax}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sinh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{}n\neq 1{\mbox}}\,$
    $\int x\sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}x\cosh ax-{\frac {1}{a^{2}}}\sinh ax+C\,$
    $\int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C\,$
    $\int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C\,$
    $\int \sinh ax\sinh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}(a\sinh bx\cosh ax-b\cosh bx\sinh ax)+C\qquad {\mbox{}a^{2}\neq b^{2}{\mbox}}\,$

## التكاملات التي تحتوي على دالة جيب التمام الزائدية

    $\int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C\,$
    $\int \cosh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{4a}}\sinh 2ax+{\frac {x}{2}}+C\,$
    $\int {\frac {dx}{\cosh ax}}={\frac {2}{a}}\arctan e^{ax}+C\,$
    $\int \cosh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{an}}\sinh ax\cosh ^{n-1}ax+{\frac {n-1}{n}}\int \cosh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{}n>0{\mbox}}\,$
    $\int \cosh ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\sinh ax\cosh ^{n+1}ax-{\frac {n+2}{n+1}}\int \cosh ^{n+2}ax\,dx\qquad {\mbox{}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox}}\,$
    $\int {\frac {dx}{\cosh ^{n}ax}}={\frac {\sinh ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cosh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{}n\neq 1{\mbox}}\,$
    $\int x\cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}x\sinh ax-{\frac {1}{a^{2}}}\cosh ax+C\,$
    $\int x^{2}\cosh ax\,dx=-{\frac {2x\cosh ax}{a^{2}}}+\left({\frac {x^{2}}{a}}+{\frac {2}{a^{3}}}\right)\sinh ax+C\,$
    $\int \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C\,$
    $\int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C\,$
    $\int \cosh ax\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}(a\sinh ax\cosh bx-b\sinh bx\cosh ax)+C\qquad {\mbox{}a^{2}\neq b^{2}{\mbox}}\,$

## التكاملات الأخرى
### تكاملات دوال الظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام الزائدية

    $\int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C$
    $\int \tanh ^{2}ax\,dx=x-{\frac {\tanh ax}{a}}+C$
    $\int \tanh ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\tanh ^{n-1}ax+\int \tanh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox}}$
    $\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
    $\int \coth ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\coth ^{n-1}ax+\int \coth ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox}}$
    $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C$
    $\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$

### التكاملات التي تحتوي على دالتي الجيب وجيب التمام الزائدية

    $\int (\cosh ax)(\sinh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\biga(\sinh ax)(\sinh bx)-b(\cosh ax)(\cosh bx){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox}}$
    $\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx={\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(n-m)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox}}$
أيضًا:
    $\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx=-{\frac {\cosh ^{n+1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox}}$
    $\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx=-{\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox}}$
    $\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx={\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(m-n)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-m}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox}}$
    $\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx={\frac {\sinh ^{m+1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox}}$
    $\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx=-{\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox}}$

### التكاملات التي تحتوي على الدوال الزائدية والمثلثية

    $\int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C$
    $\int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C$
    $\int \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C$
    $\int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C$

## طالع أيضًا

* قائمة التكاملات
* قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية
* قائمة تكاملات الدوال المثلثية
* بوابة رياضيات
* بوابة تحليل رياضي