# مثلث متساوي الأضلاع

في الهندسة الرياضية، المثلث المتساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral triangle)‏ هو مثلث جميع أضلاعه متساوية الطول. وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس وقياس كل منهما °60.
المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.

## خصائص أساسية

* كل المثلثات المتساوية الأضلاع متشابهة.
* الارتفاع في المثلث المتساوي الأضلاع ينصف الضلع المتعلق به.
* المتوسط في المثلث المتساوي الأضلاع عمودي على الضلع الذي ينصفه.
* يحقق المثلث المتساوي الأضلاع مبرهنة فيفياني.
* AD قطعة مستقيمة في المثلث المتساوي الأضلاع AD :ABC ارتفاع $\Leftrightarrow$ AD متوسط $\Leftrightarrow$ AD منصف للزاوية A.
* P نقطة في المثلث المتساوي الأضلاع P :ABC مركز قائم $\Leftrightarrow$ P نقطة وسطى $\Leftrightarrow$ P مركز الدائرة الداخلية المماسة للمثلث ABC.

## طول الارتفاع

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:
$h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$
البرهان:
إذا كان ABC مثلثاً متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:
H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع ABC ).
بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC
$a^{2}=AH^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}$
$\Rightarrow AH^{2}={\frac {3{a}^{2}}{4}}$
$\Rightarrow AH={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$
وهو المطلوب إثباته.

## المساحة

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن مساحته تعطى بالقانون:
$Area={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$
البرهان:
مساحة المثلث = ½ الارتفاع × القاعدة
مساحة المثلث = ½ ${\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$ × $a\,$
$\Leftarrow$ مساحة المثلث المتساوي الأضلاع = ${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

## مبرهنات مهمة

* تنص مبرهنة مورلي على أنه في أي مثلث، النقط الثلاث حيث يلتقي مثلِّثات الزوايا المتحادية تُكون مثلثا متساوي الأضلاع.
* مبرهنة نابليون
* مبرهنة فيفياني
* مبرهنة بومبي
* تنص صيغة لمتباينة المحيط الثابت تخص المثلثات، أن المثلث ذا المساحة القصوى عندما يكون المحيط ثابتا هو المثلث المتساوي الأضلاع.

## خصائص أخرى

بفرض طول الضلع a، والارتفاع h، فإن:
* طول نصف قطر الدائرة المحيطة هو: $R={\frac {a}{\sqrt {3}}}={\frac {2h}{3}}$
* طول نصف قطر الدائرة الداخلية هو: $r={\frac {a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {R}{2}}={\frac {h}{3}}$
* حسب مبرهنة أويلر، فإن الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة بمثلث متساوي الساقين لهما مركز واحد.
* المثلث ذو المساحة القصوى المحاط بدائرة محددة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الصغرى المحيط بدائرة معلومة هو مثلث متساوي الأضلاع.
* نسبة مساحة الدائرة المحاطة بمثلث متساوي الأضلاع إلى مساحته هي: ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.
* نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع إلى مربع محيطه هي ${\frac {1}{12{\sqrt {3}}}}$، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.

## الإنشاء الهندسي

مثلث متساوي الأضلاع ينشئ بسهولة بواسطة الفرجار والمسطرة.

## انظر أيضاً

* مثلث
* مبرهنة فيفياني
* مبرهنة فيثاغورس
* مثلثات قائمة خاصة
* قوانين مساحة المثلث

## مراجع

* ↑ De، Prithwijit (2008). "Curious properties of the circumcircle and incircle of an equilateral triangle". Mathematical Spectrum. ج. 41 ع. 1: 32–35.
* ↑ Community - Art of Problem Solving نسخة محفوظة 13 أكتوبر 2016 على موقع واي باك مشين.
* ↑ Minda، D.؛ Phelps، S. (2008). "Triangles, ellipses, and cubic polynomials". American Mathematical Monthly. ج. 115 ع. October: 679–689. JSTOR:27642581.

## وصلات خارجية

إيريك ويستاين، إنشاء المثلث المتساوي الأضلاع، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).
* بوابة رياضيات
* بوابة هندسة رياضية