# دوال ثيتا لنيفيل

في الرياضيات، دوال ثيتا لنيفيل (بالإنجليزية: Neville theta functions)‏ التي سميت باسم إريك هارولد نيفيل $^{[الإنجليزية]}$‏، معرفة على النحو التالي:
    $\theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)$
    $\theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\sum _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)$
    $\theta _{n}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)$
    $\theta _{s}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)$
$K(m)$ هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول، $K'(m)=K(1-m)$ و $q(m)=e^{-\pi K'(m)/K(m)}$ هو النُوم $^{[الإنجليزية]}$ الإهليلجي.

## العلاقة بدوال أخرى

يمكن التعبير عن دوال ثيتا لنيفيل بدلالة دوال ثيتا لجاكوبي
    $\theta _{s}(z|\tau )=\theta _{23}(0|\tau )\theta _{1}(z'|\tau )/\theta '_{1}(0|\tau )$
    $\theta _{c}(z|\tau )=\theta _{2}(z'|\tau )/\theta _{2}(0|\tau )$
    $\theta _{n}(z|\tau )=\theta _{4}(z'|\tau )/\theta _{4}(0|\tau )$
    $\theta _{d}(z|\tau )=\theta _{3}(z'|\tau )/\theta _{3}(0|\tau )$
حيث $z'=z/\theta _{3}(0|\tau )^{2}$ .
ترتبط دوال ثيتا لنيفيل بدوال جاكوبي الإهليلجية $^{[الإنجليزية]}$. إذا كانت $\operatorname {pq} (u,m)$ هي دالة جاكوبي الإهليلجية، فإن:
    $\operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}$

## أمثلة

نعوض z = 2.5, m = 0.3 في التعريفات المذكورة أعلاه لدوال ثيتا لنيفيل (باستخدام برنامج ميبل) بمجرد الحصول على ما يلي (بما يتفق مع نتائج ماثورلد ولفرام).
* $\theta _{c}(2.5,0.3)=-0.65900466676738154967$
* $\theta _{d}(2.5,0.3)=0.95182196661267561994$
* $\theta _{n}(2.5,0.3)=1.0526693354651613637$
* $\theta _{s}(2.5,0.3)=0.82086879524530400536$

## تناظر

* $\theta _{c}(z,m)=\theta _{c}(-z,m)$
* $\theta _{d}(z,m)=\theta _{d}(-z,m)$
* $\theta _{n}(z,m)=\theta _{n}(-z,m)$
* $\theta _{s}(z,m)=-\theta _{s}(-z,m)$

## مراجع

* ↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. <nowiki>ISBN 978-0-486-61272-0</nowiki>. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
* ↑ Neville، E. H. (Eric Harold) (1944). Jacobian Elliptic Functions. Oxford Clarendon Press. مؤرشف من الأصل في 2008-06-17.
* ↑ wolfram Mathematic نسخة محفوظة 2016-10-21 على موقع واي باك مشين.
* ↑ wolfram math نسخة محفوظة 2020-06-14 على موقع واي باك مشين.
* ↑ Olver، المحرر (22 ديسمبر 2017). "NIST Digital Library of Mathematical Functions (Release 1.0.17)". National Institute of Standards and Technology. مؤرشف من الأصل في 2020-04-06. اطلع عليه بتاريخ 2018-02-26.
* ↑ "NevilleThetaC(2.5,0.3) - Wolfram|Alpha". www.wolframalpha.com. مؤرشف من الأصل في 2020-06-14. اطلع عليه بتاريخ 2020-06-14.
* بوابة رياضيات