# مبرهنة غرين

في الرياضيات، مبرهنة غرين (بالإنجليزية: Green's theorem)‏ تعطي العلاقة بين التكامل الخطي حول منحنى بسيط مغلق C والتكامل الثنائي على منطقة مستوية D محصورة ضمن C. تعد النظرية حالة خاصة ثنائية البعد من نظرية أعم هي مبرهنة ستوكس، وجاء الاسم كتقدير للرياضياتي الإنكليزي جورج غرين.
ليكن C منحنى مغلق بسيط، إيجابي الوجهة، متفرع أملس، في المستوى $\mathbb {R} ^{2}$، ولتكن D المنطقة المحصورة بالمنحنى C. إذا كانت L وM دوال في (x، y) معرفة على منطقة مفتوحة تحتوي D ولها مشتقات جزئية متصلة هناك، فإن
    $\oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.$
في حالة الوجهة الإيجابية، يمكن رسم سهم يشير باتجاه عكس عقارب الساعة في الدائرة الصغيرة الموجودة وسط علامة التكامل ($\oint$).
لمبرهنة غرين أهمية كبيرة في الفيزياء، لحل تكاملات جريان ثنائي البعد، وتنص على أن مجموع التدفقين عند أي نقطة داخل الحجم تساوي إجمالي التدفق المتجمع حول مساحة مغلقة.

## البرهان عندما تكون D منطقة بسيطة

فيما يلي برهان للنظرية في حالة منطقة بسيطة D، وهي منطقة من النوع I (تلفظ واحد) تكون فيها C$_2$ وC$_4$ عبارة عن مستقيمين قائمين. يوجد أيضا برهان مماثل للحالة D منطقة من النوع II (تلفظ اثنان) حيث تكون C$_1$ وC$_3$ خطوط مستقيمة. يمكن استخلاص الحالة العامة من هذه الحالة الخاصة بتقريب المجال D باتحاد مؤلف من مجالات بسيطة.
إذا كان ممكن إثبات أن
    $\int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)}$
و
    $\int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)}$
صائبتان، فإنه يكون قد تم برهنة نظرية غرين في الحالة الأولى.
عرف منطة D من النوع I كما هو مبين في الصورة:
    $D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$
حيث g$_1$ وg$_2$ هما دالتان متصلتان على الفترة [a, b]. احسب التكامل الثنائي في العلاقة (1):
    ${\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\Big \L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)} \end{aligned}}$
الآن قم باحتساب التكامل الخطي في العلاقة (1). C يمكن إعادة صياغتها كاتحاد لأربعة منحنيات: C$_1$, C$_2$, C$_3$, C$_4$.
مع C$_1$، استعن بالدوال الوسيطة: x = x, y = g$_1$(x), a ≤ x ≤ b. على ذلك
    $\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx$
مع C$_3$، استخدم الدوال الوسيطة: x = x, y = g$_2$(x), a ≤ x ≤ b. بالتالي
    $\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx$
التكامل على C$_3$ يصبح سالباً لأنه يخالف الاتجاه الموجب b إلى a، حيث أن C متجهة إيجاباً (عكس عقارب الساعة). على C$_2$ وC$_4$ بينما x تبقى ثابتة ما يعني أن
    $\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0$
لذلك،
    ${\begin{aligned}\int _{C}L\,dx&=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx+\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx\qquad \mathrm {(4)} \end{aligned}}$
بدمج (3) مع (4)، نحصل على العلاقة (1). بحسابات مماثلة يمكن الحصول على العلاقة (2).

## مراجع

* ↑ "معلومات عن مبرهنة غرين على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it". thes.bncf.firenze.sbn.it. مؤرشف من الأصل في 2019-12-12.
* ↑ "معلومات عن مبرهنة غرين على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-04-22.
* ↑ "معلومات عن مبرهنة غرين على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2019-05-25.
* بوابة الفيزياء
* بوابة تحليل رياضي
* بوابة رياضيات