# دالة مميزة (نظرية احتمالات)

في نظرية الاحتمال والإحصاء، الدالة المميزة لمتغير عشوائي X حقيقي هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال $\scriptstyle \ \mathbb {R} \$ حيث:
${\begin{aligned}\varphi _{X}(t)&=\mathbb {E} \left[e^{itX}\right]\\&=\mathbb {E} \left[\cos(tX)\right]+i\ \mathbb {E} \left[\sin(tX)\right].\end{aligned}}$
في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي X ، فإن الدالة المميزة في هذه الحالة هي معكوسة تحويل فورييه ( بمعامل تقريبي $\scriptstyle \ 2\pi \,$ ) لدالة الكثافة. (في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة $\scriptstyle \ \phi _{X}(t)=E[e^{2i\pi tX}].$)
بشكل أعم، الدالة المميزة لمتغير عشوائي حقيقي معرف على المجال $\scriptstyle \ \mathbb {R} ^{d}\$، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال $\scriptstyle \ \mathbb {R} ^{d}\$ بـ :
$\phi _{X}(u)=\mathbb {E} \left[e^{i\langle u,X\rangle }\right]\,$ أين $\scriptstyle \ \langle u,X\rangle \,$ هو الجداء القياسي لـ u مع X.
في حالة المتغير العشوائيX المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ :
$G(z)=\mathbb {E} \left[z^{X}\right]$ باعتبار z عدد مركب، و نستخلص إذا :
$\phi _{X}(t)=G\left(e^{it}\right);$ حيث أن الدالة G هي امتداد لـ $\scriptstyle \ \phi _{X}$

## خصائص الدالة المميزة

* تحدد الدالة المميزة طبيعة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي في حالة تساوي دالتين، يعني في حالة تساوي دالتين مميزتين $\phi _{X}=\phi _{Y}\,$ نستنتج أن للمتغيران $X\,$ et $Y\,$ نفس دالة التوزيع الاحتمالي.
* إذا كان X و Y متغيران عشوائيان مستقلان، إذا $\phi _{X+Y}=\phi _{X}\,\phi _{Y}$.
بشكل أعم، إذا كان $X_{1},\ldots ,X_{n}$ مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض، فإن
$\phi _{X_{1}+\cdots +X_{n}}=\phi _{X_{1}}\cdots \phi _{X_{n}}$
وبتطبيق معكوسة تحويل فورييه لـ $\phi _{X+Y}$ نتحصل على قانون دالة التوزيع الاحتمالي للدالة X+Y
* توجد أيضا علاقة بين الدالة المميزة و دالة العزوم لمتغير عشوائي، ففي حالة وجود دالة العزوم بالإضافة إلى تقارب المتتالية فإن:
    $\phi _{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\mu _{k}}{k!}}t^{k}$ أين $\mu _{k}$ هو عزم ذو درجة k .
تستعمل هذه العلاقة أحيانا لإيجاد المتوسط الحسابي (الذي يمثل العزم ذو درجة 1) والتباين (الذي يمثل العزم ذو درجة 2) حيث أن:
    $1=\phi _{X}(0),\qquad \mathbb {E} [X]=-i\,\phi _{X}^{\prime }(0),\qquad \mathbb {E} \left[X^{2}\right]=-\,\phi _{X}^{\prime \prime }(0)$
    ${\textrm {Var}}(X)=-\,\phi _{X}^{\prime \prime }(0)+\phi _{X}^{\prime 2}(0)$.
* مثلا العلاقة التالية تستعمل في حساب الدالة المميزة لمتغير عشوائي ذو توزيع احتمالي طبيعي موسط ومخزل :
$\phi _{aX+b}(t)=\phi _{X}(at)\,e^{itb}$

## بعض الدوال المميزة المشهورة

| التوزيع الاحتمالي | الدالة المميزة φ(t) |
| توزيع احتمالي ثنائي B(n, p) | $\,(1-p+pe^{it})^{n}$ |
| توزيع بواسون Pois(λ) | $\,e^{\lambda (e^{it}-1)}$ |
| توزيع منتظم U(a, b) | $\,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$ |
| توزيع لابلاس L(μ, b) | $\,{\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}$ |
| توزيع احتمالي طبيعي N(μ, σ$^2$) | $\,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ |
| توزيع كاي مريع χ$^2$$_k$ | $\,(1-2it)^{-k/2}$ |
| توزيع كوشي Cauchy(μ, θ) | $\,e^{it\mu -\theta |t|}$ |
| توزيع غاما Γ(k, θ) | $\,(1-it\theta )^{-k}$ |
| توزيع أسي Exp(λ) | $\,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}$ |
| توزيع طبيعي متعدد الحدود N(μ, Σ) | $\,e^{it'\mu -{\frac {1}{2}}t'\Sigma t}$ |
الجدول أعلاه مقتبس من الجدول الموسع للدوال المميزة لاورهيتينغر ( 1973 )

## مراجع

* ↑ Shaw، W. T.؛ McCabe، J. (2009). "Monte Carlo sampling given a Characteristic Function: Quantile Mechanics in Momentum Space". arXiv:0903.1592. {{استشهاد بأرخايف}}: الوسيط |arxiv= مطلوب (مساعدة)
* بوابة رياضيات
* بوابة إحصاء