# معادلات التلغراف

معادلات التلغراف في التقنية الكهربائية (بالإنجليزية: telegraph equations) هما معادلتان تفاضليتان خطيتان تصف الجهد والتيار الكهربائي في خط نقل واعتمادهما على المسافة في الموصل والزمن . توصل إلى تلك المعادلتين «أوليفر هيفيسايد» في عام 1880 حيث ابتكر نموذجا لخط نقل transmission line model . ويبين هذا النموذج أن موجة كهرومغناطيسية يمكنها الانعكاس في مثل هذا السلك وإمكانية ظهور عدة أشكال للموجة عبر طول الخط . وتنطبق النظرية والحسابات على خطوط النقل الكهربائي بمختلف الترددات ، من التردد العالي مثل خطوط التلغراف وتنطبق أيضا على موصلات تردد الراديو وأسلاك التليفون وخطوط القوى الكهربائية المنخفضة التردد وكذلك على موصلات التيار المستمر.

## وحدة خط نقل

تصف معادلات التلغراف الجهد والتيار في موصل باستخدام معادلات ماكسويل . ومن وجهة التبسيط العملي يعتبر الموصل مكونا من مجموعة كبيرة من مكونات الكهربائية يوصل بينها سلكين ، يتكون الموصل من عدد كبير من وحدات نقل قصيرة ، مكونة من :
* $R$ المقاومة الموزعة وتقاس بالأوم لوحدة الطول ،
* ملفات حث متتابعة $L$ (تعمل بالحث المغناطيسي) وتقاس هنري/ وحدة الطول،
* $C$ مكثف بين السلكين ، ويقاس فاراد/وحة الطول .
* موصل $G$ من مادة عازلة كهربائية تعزل السلكين حيث يحمل أحدهما الإشارة والآخر عودة الإشارة ، ويقاس سيمنز لوحدة الطول. طبقا للنموذج هذا الموصل له مقاومة $1/G$ أوم .
يتكون خط النقل من عدد لا نهاية له من تلك الوحدات المبينة في الشكل وأن قيم الوحدات تعين بالنسبة إلى «وحدة الأطوال» . وتعتبر كل تلك العناصر لا تتغير مع الزمن وكذلك لا يتغير الجهد والتيار . أما بالنسبة إلى التردد فمن الممكن أن يتغير مع الزمن .

### وظيفة كل عنصر

يمكن وصف وظيفة كل عنصر كهربائي طبقا لما في الشكل :
* ملف الحث L يجعل الإلكترونات كما لو كان لها قصور ذاتي ، فمن الصعب زيادة أو خفض التيار عن أي نقطة . الحاث الكبير تجعل الموجة تتقدم ببطء ، مثلما تتقدم موجة على حبل غليظ فتكون بطيئة عن عبورها لحبل خفيف ، وهي تخفض التيار بمعاوقتها .
* المكثف C يضبط تنافر الإلكترونات وبالتالي يضبط مدى تجاذبهم . وعندما يكون المكثف كبيرا يكون الجاذب والتنافر صغيرين لأن السلك الثاني (الذي يحمل شحنة عكسية) يخفض من قوة التجاذب أو التنافر . (أو بمعنى آخر ] تعمل السعة الكبيرة على خفض الجهد). المكثف الكبير يجعل مرور الموجة بطيئا (يخفض الجهد عند نفس التيار) .
* R هي مقاومة كل خط ، وG تسمح بقفز إلكترونات من سلك إلى سلك . الشكل إلى اليمين يبين خط نقل من دون فاقد ، حيث كل من R وG يساوي 0.

## قيم الخصائص الأولية لكابل تليفون

القيم الخاصة لنوع 24 جوج تليفون ، معزول بالبولي إيثيلين PIC عند 70° فهرنهايت.
| التردد | R | L | G | C |
| هرتز | Ω/kft | هنري/kft | µS/kft | nF/kft |
| 1 | 52.50 | 0.1868 | 0.000 | 15.72 |
| 1k | 52.51 | 0.1867 | 0.022 | 15.72 |
| 10k | 52.64 | 0.1859 | 0.162 | 15.72 |
| 100k | 58.41 | 0.1770 | 1.197 | 15.72 |
| 1M | 141.30 | 0.1543 | 8.873 | 15.72 |
| 2M | 196.03 | 0.1482 | 16.217 | 15.72 |
| 5M | 304.62 | 0.1425 | 35.989 | 15.72 |
كما توجد قوائم لأنواع كابلات أخرى تعمل حتى 50 ميجا هرتز.
الوحدات في القائمة: أوم/1000 قدم ، مللي هنري/1000 قدم ومللي سيمنز /1000 قدم ، نانوفاراد/كيلو قدم.
ويعتمد تغير R وL على تأثير جلدي (فيزياء) skin effect وتأثير القرب.

## معادلات التلغراف
### الخصائص العامة

إذا افترضنا خط نقل مستقيم يمتد في الاتجاه $x$ ، فتكون معادلتي التلغراف له:
    ${\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}&=-L'(x){\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}&&\,-R'(x)I(x,t)\\{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}&=-G'(x)U(x,t)&&\,-C'(x){\frac {\partial U(x,t)}{\partial t}}\end{alignedat}}$
وتعتمد الدالات $R'$و $L'$و $G'$ و$C'$ على المسافة على الخط . وفي العادة تكون تلك خصائص ثابتة للخط ولا تتغير بالمسافة عليه ، وهي تسمى«ثوابت الخط البدئية»:
* R' معامل المقاومة ويقاس بالأوم/وحدة الأطوال،
* C' معامل المكثف ويقاس بالسعة / وحدة الأطوال
* L' معامل الحث ويعطي الحث/وحدة الأطوال،
* G' معامل توصيل ويقاس بالاوم/وحدة الأطوال بين السلكين الموصلين للتيار .

### استنتاج معادلتي التلغراف

يمكن استنتاج معادلتي التلغراف بتطبيق قانوني كيرشوف باعتبار خط النقل متكون من وحدات من تلك العناصر الكهربائية طول الوحدة $\Delta x$. وتتكون الوحدة من : سعة مكثف $C=C'(x)\Delta x$ ، ومقاومة $R=R'(x)\Delta x$، وحثها الذاتي $L=L'(x)\Delta x$. ويعبر عن الفاقد بين السلكين بالمقاومة العرضية $G=G'(x)\Delta x$ وهي عازلة بين السلكين .
وبتطبيق قانوني كيرشوف على تلك الوحدة المسلط عليها الجهد $U(x,t)$ على الملف ، والمكثف ، والمقاومة $R$ والجهد $U(x+\Delta x,t)$ في نهايتها ، فنحصل مع مراعاة الإشارات على:
    $U(x+\Delta x,t)-U(x,t)+RI(x+\Delta x,t)+L{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}=0.$
وبالتعويض عن $L=L'(x)\Delta x$ و$R=R'(x)\Delta x$ في المعادلة فنجد :
    $U(x+\Delta x,t)-U(x,t)=-R'\Delta xI(x+\Delta x,t)-L'\Delta x{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}},$
فإذا كانت $\Delta x$ صغيرة ، نحصل على:
    $U(x+\Delta x,t)=U(x,t)+{\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}\Delta x$
وينتج عن ذلك:
    ${\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}\Delta x=-R'\Delta xI(x+\Delta x,t)-L'\Delta x{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}.$
وبالقسمة على $\Delta x$ نحصل على:
    ${\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}=-R'I(x+\Delta x,t)-L'{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}.$
كما تنطبق في نفس الوقت :
    $I(x+\Delta x,t)=I(x,t)+{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}\Delta x$
وكذلك:
    ${\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}={\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}\Delta x$
فإذا كانت $\Delta x$ صغيرة ، أي $\Delta x\rightarrow 0$، تتبسط المعادلة إلى $I(x,t)$ وبالتالي $\partial I(x,t)/\partial t$.
وبالتعويض عنها في المعادلة نحصل على:
    ${\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}=-R'I(x,t)-L'{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}},$
وهذه هي المعادلة الأولى من معادلتي التلغراف. وبتطبيق القانون الأول لكيرشوف نحصل على:
    $I(x+\Delta x,t)=I(x,t)-GU(x,t)-C{\frac {\partial U(x,t)}{\partial t}}.$
وبالتعويض :
    $I(x+\Delta x,t)=I(x,t)+{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}\Delta x$
وكذلك
    $G=G'(x)\Delta x$ und $C=C'(x)\Delta x$ تعطي بعد قسمتها على $\Delta x$ المعادلة الثانية من معادلتي التلغراف :
    ${\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-G'U(x,t)-C'{\frac {\partial U(x,t)}{\partial t}}.$

## الفاقد خلال النقل

عندما يكون العنصران R وG صغيرين فيمكن إهمال تأثيرهما ويعتبر خط النقل مثاليا إذ لا يحدث فيه فاقد . في تلك الحالة فيعتمد النقل على L وC ، ونحصل على معادلتين تفاضليتين من الدرجة الأولى ، تصف أحدهما الجهد V عبر خط النقل والأخرى I، وتغيرهما مع طول الخط x والزمن t:
    ${\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)$
    ${\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)$
ويمكن تعديل المعادلتين فنحصل على معادلتين للموجة :
    ${\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}V={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V$
    $rac{\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}I=rac{1}{LC}rac{\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}I$
وفي حالة الاستقرار باعتبار موجة جيبية ($E=E_{o}\cdot e^{-j\omega (rac{x}{v}-t)}$، تتبسط المعادلتين إلى :
    $rac{\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}+\omega ^{2}LC\cdot V(x)=0$
    $rac{\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0$
حيث $\omega$ هو التردد في حالة الاستقرار.
وإذا كان الخط لا نهائي في الطول أو عند وجود معاوقة في آخره فإن تلك المعادلات تعبر عن وجود موجة تمر في الخط بسرعة $v=rac{1}{\sqrt {LC}}$.

## اقرأ أيضاً

* حساب التيار المتردد
* معاوقة
* معاوقة الدخول
* دائرة مقاومة ومكثف
* دائرة مقاومة وملف
* دائرة رنان توافقي
* دائرة رنين
* مرشح
* رنان ملف ومكثف
* محاثة متبادلة
* بوابة إلكترونيات
* بوابة كهرطيسية
* بوابة اتصال عن بعد
* بوابة الفيزياء