# نجمة كلين

في المنطق الرياضي وعلم الحاسوب، فان نجمة كلين (أو مشغل كلين أو الانغلاق كلين) عملية أحادية، إما على مجموعة من الكلمات أو على مجموعة من الرموز أو الحروف. يتم كتابة تطبيق النجمة كلين للمجموعة V على النحو V *. ويتم استخدامها على نطاق واسع لأشكال التعابير النمطية، وهو السياق الذي قدم من قبل كلين ستيفن لتوصيف نظرية التشغيل الذاتي بعينها، حيث تعني «صفر أو أكثر».
* إذا كانت V عبارة عن مجموعة من السلاسل إذا يتم تعريف V * باعتبارها أصغر مجموعة جزئية من V والتي تحتوي على الكلمة الفارغة وتغلق بموجب عمليات تسلسل الكلمات. هذا ويمكن أيضا وصف هذه المجموعة بأنها مجموع من السلاسل التي يمكن إجراؤها بواسطة سلسلة الصفر أو المزيد من سلاسل V.
* إذا كانت V عبارة عن مجموعة من الرموز أو الأحرف إذا V * هي مجموعة لكل السلاسل خلال رموز المجموعة V، بما في ذلك الكلمة الفارغة.
يتم استخدام العمليات في إعادة كتابة القواعد للقواعد المحدثة.

## التعريف والتدوين

المعطى
    $V_{0}=\{\lambda \}\,$
يحدد بشكل تكراري المجموعة
    $V_{i+1}=\{wv\mid w\in V_{i}{\mbox{ and }}v\in V\}\,$ حيث $i\geq 0\,$.
إذا كانت $V$ لغة رسمية، إذا $V_{i}$ والتي هي القوة (الاس) الذي يرمز له ب i-th من المجموعة $V$ ، يعتبر اختصار لتسلسل المجموعة $V$ مع نفسها i من مرات. ولذا $V_{i}$ يمكن أن يتم فهمه على انه مجموعة لجميع الكلمات التي يمكن أن تتمثل على نحو تسلسل للكلمة i في المجموعة $V$. تعريف النجمة كلين هو $V^{*}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }V_{i}=\left\{\lambda \right\}\cup V_{1}\cup V_{2}\cup V_{3}\cup \ldots .$
ولذا هذا هو تجميع لكافة السلاسل محدودة الطول المحتملة المتولدة من الرموز في $V$.
في بعض دراسات اللغة الشكلية، (مثل نظرية أفل) فان الاختلاف على عملية نجمة كلين سميت باسم كلين زائد وتم استخدامها بالفعل. وزائد كلين يحذف الحد $V_{0}$ في الاتحاد أعلاه. وبعبارة أخرى، زائد كلين هي في المجموعة $V$ $V$ is $V^{+}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}\!\!\!\!V_{i}=V_{1}\cup V_{2}\cup V_{3}\cup \ldots .$
بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام نجمة كلين في النظرية المثالية.

## أمثلة

امثلة على تطبيق نجمة كلين على مجموعة من السلاسل:
    {"ab", "c"}* = {λ, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc",...}.
امثلة على تطبيق نجمة كلين على مجموعة من الأحرف:
    {'a', 'b', 'c'}* = {λ, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", "ca", "cb", "cc",...}.
امثلة على تطبيق نجمة كلين على المجموعة الفارغة:
    $\varnothing ^{*}=\{\lambda \}.$
امثلة على تطبيق زائد كلين على المجموعة الفارغة:
    $\varnothing ^{+}=\varnothing \varnothing ^{*}=\{\}=\varnothing .$
لاحظ انه لكل مجموعة L, $L^{+}$تساوي التسلسل في L مع$L^{*}$. للمقارنة $L^{*}$ يمكن كتابتها مثل $\{\lambda \}\cup L^{+}$. العمليات $L^{+}$ and $L^{*}$ يمكن ان تصف المجموعة ذاتها فقط وفقط إذا كانت المجموعة L قيد البحث تتضمن العبارة الفارغة.

## تعميم

السلاسل التي تشكل البنية الجبرية مونويد مع تسلسل كما في العملية الثنائية وλ العنصر المحايد. يتم تعريف نجمة كلين لأي مونويد وليس فقط للسلاسل. بالتحديد، فلتكن $(M,\cdot )$ مونويد$S\subseteq M$. ثم $S^{*}$ هي أصغر مونويد فرعية ل $M$ تحتوي على $S$، ولهذا، $S^{*}$ تتضمن العنصر المحايد من $(M,\cdot )$، وهو مجموعة $(M,\cdot )$ ، وبحيث لو $x,y\in S^{*}$ إذا $x\cdot y\in S^{*}$.

## انظر أيضا

* خوارزمية البحث بأولوية الأفضل
* النظرية المثالية
* كاشف التسلسل

## مراجع

تم العثور على تعريف نجمة كلين في تقريبا كل في كتاب عن نظرية كاشف التسلسل. المرجع النوذجي ما يلي:
* جون هوبكروفت and جيفري أولمان. Introduction to Automata Theory Languages and Computation. 1st edition. Addison-Wesley Publishing Company, 1979.
* بوابة رياضيات
* بوابة علم الحاسوب
* بوابة منطق