# ثوابت ستيلتجيس

في الرياضيات ، ثوابت ستيلتجيس هي الأعداد $\gamma _{k}$ التي تظهر في متسلسلة لوران لدالة زيتا لريمان :
   $\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(s-1)^{n}$
ثابت $\gamma _{0}=\gamma =0.577\dots$ يُعرف بثابت أويلر ماسكيروني .

## التمثيلات

يتم إعطاء ثوابت ستيلتجيس بالنهاية الآتية :
   $\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right\}}$
(في الحالة $n=0$ ، يتطلب الجمع الأول حساب قيمة $0^{0}$ ، والذي يعتبر 1. )
صيغة كوشي التكاملية تؤدي إلى التمثيل التكاملي لأعداد ستيلتجيس :
   $\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)\,dx$
تعطي أعمال كل من جنسن، فرانيل، هيرميت ، هاردي ، رامانوجان ، اينسورث، هويل، كوبو، كونون، كوفي، تشوي، بلاغوشين وبعض الكتاب الآخرين تمثيلات مختلفة بواسطة التكامل والسلاسل الانهائية . على وجه الخصوص ، تنص صيغة التكامل لجنسن-فرانيل ، التي تُنسب غالبًا بشكل خاطئ إلى اينسورث و هويل ، على ما يلي:
   $\gamma _{n}={\frac {1}{2}}\delta _{n,0}+{\frac {1}{i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(1-ix))^{n}}{1-ix}}-{\frac {(\ln(1+ix))^{n}}{1+ix}}\right\}\,,\qquad \quad n=0,1,2,\ldots$
بحيث يرمز $\delta _{n,k}$ إلى دلتا كرونيكر . من بين الصيغ الأخرى ، نذكر :
   $\gamma _{n}=-{\frac {\pi }{2(n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(\ln \left({\frac {1}{2}}\pm ix\right)\right)^{n+1}}{\cosh ^{2}\pi x}}\,dx\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad n=0,1,2,\ldots$ ${\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}=-\left[\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}\right]\ln 2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{\pi x}+1}}\left\{{\frac {\ln(1-ix)}{1-ix}}-{\frac {\ln(1+ix)}{1+ix}}\right\}\\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma ^{2}-\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right]e^{-x}\ln x\,dx\end{array}}$
طالع.

## الحدود والنمو المقارب

ثوابت ستيلتجيس تستوفي المتفاوتة الآتية :
   $|\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[3mm]\displaystyle {\frac {4(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}$
قدمها بيرندت عام 1972. تم الحصول على متفاوتة أفضل( أي أنها تستعمل دوال أكثر بساطة) بواسطة لافريك
   $|\gamma _{n}|\leq {\frac {n!}{2^{n+1}}},\qquad n=1,2,3,\ldots$
بواسطة إسرائيلوف
   $|\gamma _{n}|\leq {\frac {n!C(k)}{(2k)^{n}}},\qquad n=1,2,3,\ldots$
مع $k=1,2,...$ و $C(1)=1/2,C(2)=7/12$،...من طرف نان يو و ويليامز
:$|\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[4mm]\displaystyle {\frac {4(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}$

## قيم عددية

قيم أعداد ستيلتجيس هي
| $n$ | القيمة التقريبية ل$\gamma _{n}$. |
| 0 | +0.5772156649015328606065120900824024310421593359 |
| 1 | −0.0728158454836767248605863758749013191377363383 |
| 2 | −0.0096903631928723184845303860352125293590658061 |
| 3 | +0.0020538344203033458661600465427533842857158044 |
| 4 | +0.0023253700654673000574681701775260680009044694 |
| 5 | +0.0007933238173010627017533348774444448307315394 |
| 6 | −0.0002387693454301996098724218419080042777837151 |
| 7 | −0.0005272895670577510460740975054788582819962534 |
| 8 | −0.0003521233538030395096020521650012087417291805 |
| 9 | −0.0000343947744180880481779146237982273906207895 |
| 10 | +0.0002053328149090647946837222892370653029598537 |
| 100 | −4.2534015717080269623144385197278358247028931053 × 10$^{17}$ |
| 1000 | −1.5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10$^{486}$ |
| 10000 | −2.2104970567221060862971082857536501900234397174 × 10$^{6883}$ |
| 100000 | +1.9919273063125410956582272431568589205211659777 × 10$^{83432}$ |

## مراجع

* ↑ Coppo، Marc-Antoine (1999). "Nouvelles expressions des constantes de Stieltjes". Expositiones Mathematicae. ج. 17: 349–358.
* ↑ Coffey، Mark W. (2010). "Addison-type series representation for the Stieltjes constants". J. Number Theory. ج. 130: 2049–2064. DOI:10.1016/j.jnt.2010.01.003.
* ↑ Choi، Junesang (2013). "Certain integral representations of Stieltjes constants". Journal of Inequalities and Applications. ج. 532: 1–10.
* ↑ Blagouchine، Iaroslav V. (2015). "A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations". Journal of Number Theory. ج. 148: 537–592. arXiv:1401.3724. DOI:10.1016/j.jnt.2014.08.009. And vol. 151, pp. 276-277, 2015. أرشيف خي:1401.3724
* 1 2 Iaroslav V. Blagouchine. Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in π$^{−2}$ and into the formal enveloping series with rational coefficients only Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 158, pp. 365-396, 2016. Corrigendum: vol. 173, pp. 631-632, 2017. arXiv:1501.00740
* 1 2 Blagouchine، Iaroslav V. (2015). "A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations". Journal of Number Theory. ج. 148: 537–592. arXiv:1401.3724. DOI:10.1016/j.jnt.2014.08.009.Blagouchine, Iaroslav V. (2015). "A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations". Journal of Number Theory. 148: 537–592. arXiv:1401.3724. doi:10.1016/j.jnt.2014.08.009. And vol. 151, pp. 276-277, 2015. أرشيف خي:1401.3724
* ↑ Coppo، Marc-Antoine (1999). "Nouvelles expressions des constantes de Stieltjes". Expositiones Mathematicae. ج. 17: 349–358.Coppo, Marc-Antoine (1999). "Nouvelles expressions des constantes de Stieltjes". Expositiones Mathematicae. 17: 349–358.
* ↑ "A couple of definite integrals related to Stieltjes constants". ستاك إكستشينج. مؤرشف من الأصل في 2019-07-03.
* ↑ Bruce C. Berndt. On the Hurwitz Zeta-function. Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 2, no. 1, pp. 151-157, 1972.
* ↑ A. F. Lavrik. On the main term of the divisor's problem and the power series of the Riemann's zeta function in a neighbourhood of its pole (in Russian). Trudy Mat. Inst. Akad. Nauk. SSSR, vol. 142, pp. 165-173, 1976.
* ↑ Israilov، M. I. (1981). "On the Laurent decomposition of Riemann's zeta function [in Russian]". Trudy Mat. Inst. Akad. Nauk. SSSR. ج. 158: 98–103.
* ↑ Z. Nan-You and K. S. Williams. Some results on the generalized Stieltjes constants. Analysis, vol. 14, pp. 147-162, 1994.
* ↑ Choudhury، B. K. (1995). "The Riemann zeta-function and its derivatives". Proc. Royal Soc. A ع. 1940: 477–499. DOI:10.1098/rspa.1995.0096.
* بوابة تحليل رياضي
* بوابة رياضيات