# متسلسلة متداخلة

في الرياضيات ، المتسلسة المتداخلة هي متسلسة، تكتب على شكل $t_{n}$ بحيث $t_{n}=a_{n}-a_{n+1}$ ، أي الفرق بين عددين متتاليتين في المتتالية $(a_{n})$ .
نتيجة لذلك ، تتكون المجاميع الجزئية فقط من عبارتين من المتتالية $(a_{n})$ بعد أن يلغيا بعضهما.
على سبيل المثال ، المتسلسلة :
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}$
(مجموع مقلوبات الأعداد البرونية ) يمكن أن تبسط كالآتي :
    ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}$

## تعميم

المجاميع المتداخلة هي مجاميع محدودة تلغي فيها العبارات المتتالية بعضها البعض ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية.
لتكن $a_{n}$ متسلسلة من الأعداد. إذاً،
   $\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}$
إذا كانت $a_{n}\rightarrow 0$، فإن :
   $\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}$
الجداءات المتداخلة هي جداءات محدودة حيث تلغي العبارات المتتالية المقام بالبسط ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية.
لتكن $a_{n}$ متسلسلة من الأعداد. إذاً،
   $\prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}$
إذا كانت $a_{n}\rightarrow 1$، فإن :
   $\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}$

## أمثلة أخرى

* يمكن تمثيل العديد من الدوال المثلثية كفرق بين مجموعة من العبارات ، مما يسمح بالإلغاء بين العبارات المتتالية.
   ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}$
* بعض المجاميع تحت الشكل الآتي :
   $\sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}$
بحيث $f$ و $g$ هم دوال متعددة الحدود يمكن تقسيم كسرهما إلى كسور جزئية ، هذه الطريقة لا تستوفي الجمع. على وجه الخصوص :
   ${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\=&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\=&\infty .\end{aligned}}$
المشكلة هي أنه هنا العبارات لا تلغي بعضها البعض.

## مراجع

* ↑ Tom M. Apostol, Calculus, Volume 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, pages 422–3
* ↑ Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, Elementary Real Analysis, Second Edition, CreateSpace, 2008, page 85
* ↑ Weisstein, Eric W. "Telescoping Sum". MathWorld (بالإنجليزية). Wolfram. Archived from the original on 2020-11-11.
* بوابة تحليل رياضي
* بوابة رياضيات